Đang tải... (xem toàn văn)
Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình, hệ thống mũ và logarit giúp trang bị và hệ thống cho các bạn kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho những kì thi học sinh giỏi, thi quốc gia và tuyển sinh đại học.Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b)
195 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. A. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: Đặt điều kiện cho logf(x) là: 0a1 f(x) 0 <≠ ⎧ ⎨ > ⎩ 1. Dạng cơ bản: b 0a1 logf(x) b f(x) a <≠ ⎧ ⎪ =⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2. Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về dạng: aa log f(x) log g(x) (*)= Ta có: 0a1 (*) f(x) g(x) 0 <≠ ⎧ ⇔ ⎨ => ⎩ 3. Đặt ẩn số phụ: Đặt t = log x để đưa phương trình logarit về phương trình đại số đối với t. 4. Đoán nhận nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với phương trình logarit và sử dụng các công thức sau: . Nếu a > 1 thì: aa log f(x) log g(x) f(x) > g(x) > 0>⇔ aa log f(x) log g(x) f(x) g(x) > 0≥⇔≥ . Nếu 0 < a < 1 thì: aa log f(x) log g(x) 0 f(x) < g(x) >⇔< aa log f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)≥⇔<≤ Tổng quát ta có: [] aa a0 log f(x) log g(x) f(x) 0,g(x) 0 (a 1) f(x) g(x) 0 ⎧ > ⎪ >⇔>> ⎨ ⎪ −−> ⎩ 196 [] aa 0a1 log f(x) log g(x) f(x) 0, g(x) 0 (a 1) f(x) g(x) 0 ⎧ <≠ ⎪ ≥⇔>> ⎨ ⎪ − −≥ ⎩ II. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm tất cả m để phương trình: mm (2 x) (2 x) 22 ++ −= là hệ quả của phương trình: 3 2 2 log (9 x ) 3 log (3 x) − = − (1) (ĐH Bách Khoa TPHCM năm 1994) Giải Điều kiện 3 3 9x 0 x9 3x0 x2 x2 ⎧ −> ⎧ ⎪ < ⎪ −> ⇔ ⎨⎨ ≠ ⎪ ⎪⎩ ≠ ⎩ 332 (1) 9 x (3 x) 9x 27x 18 0⇔ −=− ⇔ − += x1⇔ = Thế x = 1 vào phương trình: mm (2 x) (2 x) 22 ++ −= ta được: mm (2 x) (2 x) 22 ++ −= (2) Đặt m 2 t(21)=+ ( ) ( 2 1)( 2 1) 1+ −= 2 1 (2) t 2 2 t 2 2t 1 0 t ⇔ += ⇔ − += t21 t21 ⎡ = + ⇔ ⎢ = − ⎢ ⎣ m 2 m t21:(21) 21 1m2 2 = ++=+⇔=⇔= m 1 2 1 t 2 1:(2 1) 2 1 (2 1) 21 − =− + =−= = + + m 1m2 2 ⇔ =− ⇔ =− Vậy m2m 2= ∨=− 197 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 2 2 log (x 9x 8) 2 log (3 x) −+ < − (*) (ĐH Tổng hợp TPHCM năm 1964) Giải Điều kiện 2 x1x8 x9x80 x1 x3 3x0 ⎧ <∨ > ⎧ −+> ⎪ ⇔⇔< ⎨⎨ < −> ⎪ ⎩ ⎩ 2 3x21 log(3x)0⇒−>>⇒ − > 22 222 (*) log (x 9x 8) 2log (3 x) log (3 x)⇔−+<−=− 22 1 x9x8(3x) 3x10x 3 ⇔−+<− ⇔+>⇔>− So với điều kiện 1 x1 3 ⇒− < < Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x 1 log x 2 4 ⎛⎞ −≥ ⎜⎟ ⎝⎠ (ĐH Huế năm 1998) Giải Điều kiện 0x1 1 x 4 1 x0 x1 4 <≠ ⎧⎧ > ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ −> ⎪⎪ ≠ ⎩⎩ 2 xxx 11 log x 2 log x log x 44 ⎛⎞ ⎛⎞ −≥⇔ −≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 1 x,x1 1 x,x1 4 4 1 (x 1) x x 0 (x 1)(4x 4x 1) 0 4 ⎧ >≠ ⎧ ⎪ >≠ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎛⎞ ⎪⎪ −−−≥ −−+≤ ⎜⎟ ⎩ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 2 1 x,x1 11 x,x1x 4 44 1 (x 1) x x 0 x10 x1 4 ⎧ >≠ ⎧⎧ ⎪ >≠ > ⎪⎪⎪ ⇔⇔⇔ ⎨⎨⎨ ⎛⎞ ⎪⎪⎪ −−−≤ −≤ < ⎩⎩ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 1 x1 4 ⇔ << 198 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 22 1x 1y 1x 1y log 1 2y y ) log (1 2x x ) 4 (1) log (1 2y) log (1 2x) 2 (2) +− +− ⎧ −+ + ++ = ⎪ ⎨ ++ += ⎪ ⎩ (ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997) Giải Điều kiện 0,1 y 1 x 1 01x1 y1 −≠ >− ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ <+ ≠ < ⎩⎩ 22 1x 1y (1) log (1 y) log (1 x) 4 +− ⇔ −+ += 1x 1y log (1 y) log (1 x) 2 (3) +− ⇔ −+ += Đặt 1x 1y 1x 11 t log (1 y) , log (1 x) log (1 y) t +− + = −+= = − 2 1 (3) t 2 t 2t 1 0 t ⇔ +=⇔ − += 2 (t 1) 0 t 1⇔ −=⇔= 1x log (1y)1 1y1x x y(x 1) + ⇔ −=⇔−=+⇔=− >− Thay y = - x vào phương trình (2): 1x 1x log (1 2x) log (1 2x) 2 ++ − ++= 222 1x log (14x) 14x (1x)(x 0) + ⇔ −=⇔−=+ ≠ 2 22 5x 2x 0 5x 2 0 x y 55 ⇔ +=⇔+=⇔=−⇒= Vậy nghiệm của hệ: 2 x 5 2 y 5 ⎧ = − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 199 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 2.1. Giải bất phương trình: xx 2 log (7.10 5.25 ) 2x 1−>+ (ĐH Thủy Sản 1999). 2.2. Giải hệ phương trình: xy yx 33 432 log (x y) 1 log (x y) + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ −=− + ⎩ (Học Viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1999). 2.3. Giải hệ phương trình: 22 33 x y (log y log x) (2 xy) (1) xy16 (2) −= − + ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ (ĐH Ngoại Thương năm 1999). 2.4. Giải bất phương trình: 3 a a log (35 x ) 3 log (5 x) − > − (a là tham số > 0, khác 1) (ĐH Y DƯC TPHCM) 200 HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 2.1. xx 2 log (7.10 5.25 ) 2x 1−>+ xx 2x1 22 log (7.10 5.25 ) log 2 + ⇔−> x2x2x1 2x x x 2x 7.10 5.5 2 5.5 7.2 .5 2.2 0 + ⇔−> ⇔ −+< 2x x 55 5. 7 2 0 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔ −+< ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (1) Đặt x 5 t0 2 ⎛⎞ = > ⎜⎟ ⎝⎠ 2 2 (1) 5t 7t 2 0 t 1 5 ⇔ −+<⇔<< x0 1x0 25 5 5 5 5 52 2 2 2 2 − ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔< < ⇔ < < ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 1x0 ⇔ −< < (vì 5 a1 2 = > ) 2.2. xy yx 33 432 (I) log(x y) 1 log(x y) + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ −=− + ⎩ xy 5 yx 2 3333 44 3 log (x y) log 3 log (x y) log xy + ⎧ ⎪ = ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= − += ⎪ + ⎩ 22 xy5 xy5 (1) yx2 yx2 3 xy x y 3 (2) xy x y (3) xy ⎧ ⎧ += ⎪ += ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔−= ⇔ −= ⎨⎨ + ⎪⎪ > ⎪⎪ > ⎪⎪ ⎩ ⎩ 201 Giải ( ∆ ): Đặt x t y = 2 1 t 15 (1) t 2t 5t 2 0 2 t2 t2 ⎡ = ⎢ ⇔+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ 22 2 1x1 t: y2x 2y2 (2) x 4x 3 3x 3 VN =⇒=⇔= ⇔− =⇔− = t = 2 x 2x2y y ⇒=⇔= 22 2 y1 x2 (2) 4y y 3 y 1 y1 x2(loại) == ⎡⎡ ⇔−=⇔=⇔ ⇒ ⎢⎢ =− =− < ⎣⎣ Vậy x2 y1 = ⎧ ⎨ = ⎩ là nghiệm của hệ. 2.3. 22 33 x y (log y log x)(2+xy) (1) (I) x y 16 (2) −= − ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ (1) có điều kiện: x0 xy 2 0 y0 > ⎧ ⇒+> ⎨ > ⎩ . Nếu x > y: (1) VT 0 (1) VN VP 0 > ⎧ ⇒⇒ ⎨ < ⎩ . Nếu x < y: VT 0 (1) (1) VN VP 0 < ⎧ ⇒⇒ ⎨ > ⎩ Vậy x = y (từ (1)) Thế vào (2): 33 2x 16 x 8 x 2 y 2=⇔=⇔=⇒= (I)⇒ có nghiệm x2 y2 = ⎧ ⎨ = ⎩ 202 2.4. 3 a a log (35 x ) 3 log (5 x) − > − (*) (0 a 1) < ≠ Điều kiện 3 3 3 x353,27 35 x 0 x35 x5 5x0 ⎧ ⎧ < −> ⎪⎪ ⇔⇔< ⎨⎨ < −> ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ∼ (*) 3 3 5x 5x 5x a log (35 x ) 5 x 1 3log(35x)3 log a.log (5 x) − − − −⇒−> ⇔ >⇔ − > − 33 323 2 3 35 x (5 x) 35 x 125 75x 15x x x5x602x3 35 2x3 ⇔−>− ⇔−> − + − ⇔−+<⇔<<< ⇒<< . 195 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. A. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: Đặt. logarit về phương trình đại số đối với t. 4. Đoán nhận nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Ta có thể dùng các phương pháp