Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 Phương trình lượng giác chắc chắn là một dạng bài tập không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học. Tài liệu này đã lựa chọn khá kĩ những dạng toán lượng giác nhằm giúp học sinh vừa ôn lại các phép biến đổi lượng giác, vừa nắm được cách giải các dạng bài về phương trình lượng giác. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em ôn thi tốt trong mùa thi này
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Vòng tròn lượng giác Mối liên hệ góc có liên quan đặc biệt Các công thức lượng giác - Các đẳng thức lượng giác - Công thức cộng - Công thức nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc - Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng x - Công thức biến đổi theo t = tan II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: Phương trình lượng giác bản: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002) Tìm x ∈ [ 0;14] nghiệm phương trình cos x − cos x + 3cos x − = (1) Giải (1) ⇔ (4 cos3 x − 3cos x) − 4(2 cos x − 1) + 3cos x − = ⇔ cos x(cos x − 2) = ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ ») π 14 Vì x ∈ [ 0;14] nên ≤ + kπ ≤ 14 ⇔ −0, = − ≤ k ≤ − ≈ 3,9 ,mà k ∈ » nên k ∈ {0;1; 2;3} 2 π π 3π 5π 7π Vậy nghiệm phương trình là: x ∈ ; ; ; 2 2 Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − s inx (2) Giải (2) ⇔ (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = s inx(2 cos x − 1) ⇔ (2 cos x − 1)(s inx + cos x) = π π cos x = cos x = ± + k 2π cos x = 3 ⇔ ⇔ ⇔ (k , l ∈ ») t anx = −1 = tan − π x = − π + lπ s inx cos x = − 4 Ví dụ 3: Giải phương trình sin x + sin x = cos 2 x + cos x (3) Giải − cos2 x − cos6x + cos4x + cos8x (3) ⇔ + = + ⇔ −(cos2 x + cos6 x) = cos4 x + cos8 x 2 2 ⇔ −2 cos x cos x = cos x cos x ⇔ 2cos2 x(cos6 x + cos4 x) π kπ x = + cos2 x = π π ⇔ cos x.cos x.cos x = ⇔ cos5 x = ⇔ x = + k (k ∈ ») 10 cos x = x = π + kπ Chú ý: • Khi giải phương trình lượng giác có chứa tanu, cotu, có ẩn mẫu, có chứa bậc chẵn phải đặt điều kiện để phương trình xác định GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 • CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ta dùng cách sau để kiểm tra điều kiện xem có nhận hay khơng + Thử nghiệm tìm xem có thỏa mãn điều kiện hay khơng + Dùng đường trịn lượng giác + So điều kiện q trình giải Ví dụ 4: Giải phương trình tan x − t anx.tan x = (4) Giải cos x ≠ π π Điều kiện ⇔ cos 3x ≠ ⇔ x ≠ + l (l ∈ ») cos x = cos x − 3cos x ≠ s inx s inx s in3x Ta có (4) ⇔ t anx(t anx − tan x) = ⇔ − =2 cos x cos x cos x ⇔ sin x(s inx.cos x − cos x.sin x) = cos x.cos3 x ⇔ s inx.sin( −2 x) = cos x.cos3x ⇔ −2sin x.cos x = cos x.cos3 x ⇔ − sin x = cos x.cos3 x (do cosx ≠ 0) − cos2 x π π ⇔− = (cos4 x + cos2 x ) ⇔ cos4 x = −1 ⇔ x = π + k 2π ⇔ x = + k ( k ∈ ») 2 Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình là: x = π +k π Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2003) x x π Giải phương trình sin − tan x − cos = 2 4 Giải Điều kiện cos x ≠ ⇔ s inx ≠ ±1 1 π sin x Khi (1) ⇔ 1 − cos x − − [1 + cos x ] = 2 cos x ( k ∈ ») (5) (1 − s inx)(1 − cos x) − (1 + cos x) = − sin x − cos x ⇔ − (1 + cos x) = + s inx 1 − cos x ⇔ (1 + cos x) −1 = + sin x ⇔ (1 + cos x)( − cos x − s inx) = ⇔ x = π + k 2π cos x = −1 ⇔ ⇔ (k ∈ ») π t anx = −1 x = − + kπ Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình là: x = π + k 2π ; x = − Ví dụ 6: Giải phương trình sin x + cos x = (t anx + cot x) sin x π + kπ (k ∈ ») (6) Giải Điều kiện sin2x ≠ Ta có: * sin x + cos x = (sin x + cos x)2 − 2sin x cos x = − sin 2 x s inx cos2 x * tan x + cot x = + = cos x sin x sin x GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 Vậy CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 − sin 2 x (6) ⇔ = sin x 2sin x ⇔ − sin 2 x = ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ cos2 x = ⇔ 2x = π + kπ ⇔ x = π +k π (k ∈ ») Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình x = π +k π (k ∈ ») Phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Có dạng: a sin u + b sin u + c = (a ≠ 0) aco s u + bco s u + c = atan 2u + b tan u + c = (a ≠ 0) (a ≠ 0) acot 2u + b cot u + c = (a ≠ 0) - Cách giải: Đặt t = sinu hay t = cosu với t ≤ π + kπ , k ∈ » ) t = cotu (điều kiện u ≠ kπ , k ∈ » ) Các phương trình trở thành at + bt + c = Giải phương trình tìm t, so với điều kiện để nhận nghiệm t Từ giải phương trình lượng giác tìm nghiệm phương trình t = tanu (điều kiện u ≠ Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2002) cos3x+sin3x Tìm nghiệm ( 0; 2π ) phương trình s inx + = + cos x + 2sin x (7) Giải Ta có sin x + cos3 x = (3sin x − 4sin x) + (4cos3 x − 3cos x ) = −3(cos x − s inx) + 4(cos3 x − sin x) Điều kiện sin x ≠ − = (cos x − s inx) −3 + 4(cos x + cos x sin x + sin x ) = (cos x − s inx)(1 + 2sin x) Do vậy: (7) ⇔ [s inx + (cos x − s inx)] = + (2 cos x − 1) cos x = ⇔ cos x − 5cos x + = ⇔ cosx = 2(loai ) ⇔ x=± π Vì x ∈ ( 0; 2π ) nên x = + k 2π π ∨x= (k ∈ ») (thỏa mãn điều kiện) 5π Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình cos x.cos2 x − cos x = Giải + cos6 x + cos2 x (8) ⇔ cos2 x − = ⇔ cos6 x.cos2 x = 2 GV: Hoàng Ngọc Quang *** (8) (8.1) Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cách 1: (8.1) ⇔ (4 cos3 x − 3cos x)cos2 x − = ⇔ cos x − 3cos 2 x − = cos 2 x = ⇔ cos x = − (vô nghiêm) ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π (k ∈ ») ( cos8 x + cos4x ) − = ⇔ 2cos2 x + cos4 x − = cos4 x = π ⇔ ⇔ x = k 2π ⇔ x = k (k ∈ ») cos4 x = − (loai) 2 Cách 3: Phương trình lượng giác khơng mẫu mực cos6 x = cos2 x = (8.1) ⇔ cos6 x = cos2 x = −1 Cách 4: (8.1) ⇔ ( cos8 x + cos4x ) − = ⇔ cos8 x + cos4 x − = ⇔ cos8 x = cos4 x = 2 Cách 2: (8.1) ⇔ ⇔ cos4 x = ⇔ x = k π (k ∈ ») Ví dụ 9: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2005) π π Giải phương trình cos x + sin x + cos x − sin x − − = 4 4 Giải 1 π ( ) ⇔ sin x + cos x − 2sin xcos x + sin x − + sin x − = 2 2 1 ⇔ − sin 2 x + [ −cos4x+sin2x ] − = 2 1 1 ⇔ − sin 2 x − 1 − 2sin 2x + sin x − = 2 2 sin x = ⇔ sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = −2 (loai) ( 2x = (9) ) π + k 2π ⇔ x = π + kπ (k ∈ ») Ví dụ 10: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B, năm 2004) Giải phương trình 5sin x − = 3(1 − s inx)tan x (10) Giải Điều kiện cos x ≠ ⇔ s inx ≠ ±1 sin x 3sin x Khi đó: (10) ⇔ 5sin x − = 3(1 − s inx) ⇔ 5sin x − = − sin x + sin x s inx = (nhân sinx ≠ ±1) ⇔ sin x + 3sin x − = ⇔ s inx = − (vô nghiêm) π x = + k 2π π s inx = sin ⇔ ( k ∈ ») x = 5π + k 2π GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ 11: (khối A năm 2006) ( cos x + sin x ) − sin x cos x Giải phương trình =0 − 2sin x Giải Điều kiện s inx ≠ Phương trình cho tương đương với ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ − sin 2 x − sin x = 2 ⇔ 3sin x + sin x − = (11) ⇔ sin x = ⇔ 2x = ⇔ x= π π + k 2π , k ∈ » + kπ , k ∈ » Do điều kiện, nghiệm phương trình là: x = 5π + m2π , m ∈ » Ví dụ 12: Giải phương trình 3cot x + 2 sin x = (2 + 2) cos x (12) Giải Điều kiện s inx ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 cos x cos x Chia hai vế phương trình cho sin x ta được: + 2 = (2 + 2) (12.1) sin x sin x t = cos x Đặt t = ta phương trình 3t − (2 + 2)t + 2 = ⇔ sin x t = / cos x • Với t = ta có = ⇔ cos x = 2(1 − cos x) ⇔ 2cos x + cos x − = sin x cosx = − (loai) π ⇔ ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ») cos x = 2 cos x ta có = ⇔ 3cos x = 2(1 − cos x) ⇔ 2cos x + 3cos x − = sin x cosx = −2 (loai) π ⇔ ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ») cos x = Kết luận: Kết hợp đ/k nghiệm phương trình • Với t = x=± π + k 2π ; x = ± π + k 2π Ví dụ 13: Giải phương trình (k ∈ ») π tan x − = t anx − 4 (13) Giải Đặt t = x − π ⇔x= π GV: Hoàng Ngọc Quang +t *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + tan t π Khi (13) trở thành: tan t = tan + t − = − với cost ≠ tan t ≠ 1 − tan t 4 tan t ⇔ tan t = ⇔ tan t (tan t + 1)(tan t − tan t + 2) = − tan t ⇔ tan t = ∨ tan t = −1 (nhận so điều kiện) ⇔ t = kπ ∨ t = − π + kπ , (k ∈ ») Vậy nghiệm phương trình (13) là: x = π + kπ ; x = kπ (k ∈ ») Phương trình bậc sinx cosx - Có dạng: a sin u + b cos u = c (*) - Cách giải: Đ/k phương trình có nghiệm: a + b ≥ c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a + b ≠ Đặt cos α = a a +b với α ∈ [ 0; 2π ] (*) ⇔ cosα s inu + sin α cos u = c a2 + b2 b sin α = ⇔ s in(u + α ) = a + b2 c a2 + b2 Cách 2: + Nếu u = π + k 2π nghiệm phương trình (*) a sin π + b cos π = c ⇔ −b = c u 2t 1− t2 + Nếu u ≠ π + k 2π đặt t = tan (*) trở thành: a + b =c 1+ t2 1+ t2 ⇔ (b + c)t − 2at + c − b = u Giải phương trình tìm nghiệm t Từ t = tan ta tìm được u 2π 6π Ví dụ 15: Tìm x ∈ (15) ; thỏa mãn phương trình cos x − sin x = − Giải Chia hai vế phương trình (12) cho ta cos x − sin x = − 2 π π ⇔ sin cos x − cos sin x = − 6 π π ⇔ sin − x = sin − 6 4 54π 2π x = 84 + k ⇔ (k , h ∈ ») x = 11π + h 2π 84 2π 54π 2π 6π 2π 11π 2π 6π 2π 6π Do x ∈ ≤ +k ≤ hay ≤ +h ≤ (k,h ∈ ») ; nên ta phải có: 84 7 84 7 ⇒ k = 2, h = 1, h = 53 π 35 π 59 π V ậy x ∈ ; ; 84 84 84 Ví dụ 16: Giải phương trình 3sin 3x − 3cos9 x = + 4sin 3 x Giải GV: Hoàng Ngọc Quang *** (16) Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 ( CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ) (13) ⇔ 3sin x − 4sin 3 x − 3cos9 x = ⇔ sin x − 3cos9 x = 1 π π sin x − cos9 x = ⇔ sin x − = sin 2 3 π π π 2π 9 x − = + k 2π x = 18 + k ⇔ ⇔ (k ∈ » ) 9 x − π = π − π + k 2π x = 7π + k 2π 54 ⇔ Ví dụ 17: Giải phương trình tan x − 3cot x = 4(s inx + cos x) (17) Giải s inx ≠ Điều kiện ⇔ sin x ≠ cosx ≠ s inx cosx Khi đó: (17 ) ⇔ −3 = 4(s inx + cos x) ⇔ sin x − 3cos x = 4sin x cos x(s inx + cos x) cos x sin x s inx = − cos x ⇔ (s inx + cos x)(s inx − cos x − 2sin x) = ⇔ s inx − cos x = sin x π x = − + kπ π tanx = − = tan − π ⇔ ⇔ x = − − k 2π (k ∈ ») π sin x − = sin x π 2π 3 x = +k Kết hợp điều kiện nghiệm phương trình là: x = − π Ví dụ 18: Giải phương trình cos x + sin x + = 4 Giải π + kπ ; x = 4π 2π +k (k ∈ ») (18) 1 π (18) ⇔ (1 + cos2 x)2 + 1 − cos x + = ⇔⇔ (1 + cos2 x) + (1 + sin x)2 = 4 π 3π ⇔ cos2 x + sin x = −1 ⇔ cos x − = − = cos 4 π x = + kπ π 3π ⇔ 2x − = ± + k 2π ⇔ ( k ∈ ») 4 x = − π + kπ Phương trình đối xứng sinu cosu - Có dạng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (*) π - Cách giải: Đặt t = s inu + cos u = 2cos u − với điều kiện t ≤ 4 t −1 ⇒ sin u cos u = Thay vào PT (*) ta phương trình: bt + 2at − (b + 2c) = GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải phương trình tìm t, so với điều kiện t ≤ π 2cos u − = t ta tìm nghiệm phương trình 4 Chú ý: Nếu phương trình có dạng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (**) Giải phương trình π Thì đặt t = s inu- cos u = sin u − với điều kiện t ≤ 4 t +1 ⇒ sin u cos u = Ví dụ 19: Giải phương trình s inx + sin x + cos3 x = Giải (19 ) ⇔ sin x (1 + s inx ) + cos x (1 − sin x ) = (19) ⇔ (1 + sin x )( s inx + cos x − sin x cos x ) = (1) s inx = −1 ⇔ s inx + cos x − sin x cos x = (2) • (1) ⇔ x = − π + k 2π (k ∈ ») t π Xét (2): Đặt t = s inx + cos x = 2cos x − , điều kiện t ≤ , sin x cos x = 4 Khi (2) trở thành: t = − t −1 t− = ⇔ t − 2t − = ⇔ t = + ( loaïi ) Do đó: π π (2) ⇔ 2cos x − = − ⇔ cos x − = − = cosϕ cosϕ = 4 4 • ⇔x= Ví dụ 20: Giải phương trình tan x − t anx+ Giải • • π ± ϕ + h 2π , h ∈ » (1 + s inx ) cos x −1 2 − 1 ( < ϕ < 2π ) π x = 8cos − 2 (20) Điều kiện: cos x ≠ ⇔ s inx ≠ ±1 Khi đó: − x = (1 + s inx ) 2 ( 20 ) ⇔ t anx ( tan x − 1) + (1 + s inx ) (1 + tan x ) = 1 + cos ⇔ tan x ( tan x − 1) + (1 + s inx ) (1 + tan x ) − = ( π ) ⇔ ( tan x − 1) ( t anx + − s inx ) = ⇔ ( tan x − 1) ( s inx + cos x + sin x cos x ) = • 3 tan x = (1) ⇔ s inx + cos x + sin x cos x = (2) 1 π (1) ⇔ tan x = ⇔ t anx = ± ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » 3 GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π Giải (2): Đặt t = s inx + cos x = sin x + , đ/k t ≤ t ≠ ±1 4 Khi (2) có dạng t = −1 − loại điều kiện t ≤ t −1 t+ = ⇔ t + 2t − = ⇔ t = −1 + • ( π x = ϕ − + k 2π π Vậy sin x + = − = sin ϕ ⇔ 4 x = 3π − ϕ + k 2π ) (k ∈ ») Ví dụ 21: Giải phương trình cos3 x + sin x = cos2 x (21) Giải ( 21) ⇔ ( s inx + cos x )(1 − sin x cos x ) = cos x − sin x ⇔ ( s inx + cos x )(1 − sin x cos x + s inx − cos x ) = s inx + cos x = ⇔ 1 − sin x cos x + s inx − cos x = • (1) ⇔ t anx = −1 ⇔ x = − π (1) ( 2) + kπ , k ∈ » 1− t2 π Giải (2): Đặt t = s inx − cos x = sin x − , đ/k t ≤ sin x cos x = 4 Phương trình (2) có dạng: t −1 1− + t = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 x = k 2π , k ∈ » π π Vậy (2) ⇔ sin x − = − = sin − ⇔ x = 3π + k 2π , k ∈ » 4 4 Chú ý: Phương trình lượng giác có dạng: a (t anx ± cot x) + b(tan x + cot x) + c = (***) • Ta đặt: t = t anx ± cot x ⇒ t = tan x + cot x ± 2 , điều kiện t ≥ sin x ≤ ) ( t = t anx + cot x = sin x Ví dụ 22: Giải phương trình tan x + tan x + cot x + cot x + = Giải Đặt t = t anx + cot x = , với điều kiện t ≥ , ta có tan x + cot x = t − sin x Khi phương trình (22) trở thành: t = ( loai ) 2 ( t − ) + 4t + = ⇔ 3t + 4t − = ⇔ t = −2 Ta có t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin x = −1 2sin x ⇔ 2x = − ⇔ x=− GV: Hoàng Ngọc Quang π π (22) + k 2π , k ∈ » + kπ , k ∈ » *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình đằng cấp - Có dạng: a sin u + b sin u cos u + ccos 2u = d - Cách giải: * Kiểm tra xem cosu = o có thỏa mãn phương trinh hay khơng (nếu thỏa mãn u = π + kπ , k ∈ » nghiệm) * Chia hai vế phương trình cho cos 2u ≠ , ta phương trình a tan u + b tan u + c = d (1 + tan u ) Đặt t = tanu ta có phương trình: ( a − d )t + bt + c − d = Giải phương trình tìm t = tanu Ví dụ 23: Giải phương trình cos x − sin x = + sin x (23) Giải Vì cos x = khơng nghiệm nên chia hai vế (23) cho cos x ≠ , ta (23) ⇔ − t anx = (1 + tan x ) + tan x t = Đặt t = t anx ta có phương trình: 2t + 3t = ⇔ t = − x = kπ , k ∈ » t anx = Vậy (23) ⇔ ⇔ x = − π + kπ , k ∈ » t anx = − Ví dụ 24: Giải phương trình cos3 x − 4sin x − 3cos x sin x + s inx = Giải (24) π + kπ , k ∈ » cos x = s inx = ±1 phương trình (23) vơ nghiệm Do cos x = không nghiệm nên chia hai vế (23) cho cos3 x ta có: (23) ⇔ − tan x − tan x + tan x (1 + tan x ) = Khi x = ⇔ 3tan x + tan x − t anx − = ⇔ ( t anx + 1) ( tan x − 1) = t anx = −1 ⇔ t anx = ± π x = − + kπ ⇔ x = ± π + kπ (k ∈ ») Ví dụ 25: Cho phương trình ( − 6m ) sin x + ( 2m − 1) s inx + ( m − ) sin x cos x − ( 4m − 3) cos x = (25) a) Giải phương trình m = π b) Tìm m để phương trình (23) có nghiệm 0; 4 Giải GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 10 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 Khi x = π CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + kπ , k ∈ » cos x = s inx = ±1 nên phương trình (23) thành ± ( − 6m ) ± ( 2m − 1) = ⇔ = vô nghiệm Chia cà hai vế phương trình cho cos3 x ≠ ( − 6m ) tan x + ( 2m − 1) t anx (1 + tan x ) + ( m − ) tan x − ( 4m − 3) (1 + tan x ) = Đặt t = t anx ta phương trình: t − ( 2m + 1) t + ( 2m − 1) t − 4m + = ⇔ ( t − 1) ( t − 2mt + 4m − 3) = (*) a) Khi m = (* trở thành ( t − 1) ( t − 4t + ) = ⇔ t = ⇒ tan x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ » π b) Ta có x ∈ 0; t anx = t ∈ [ 0;1] Xét phương trình t − 2mt + 4m − = 4 t2 − ⇔ = 2m (do t = không nghiệm) t−2 t2 − Đặt y = f (t ) = (C) (d): y = 2m t−2 t − 4t + Ta có y ' = f '(t ) = (t − 2) t -∞ y' + + + (*) +∞ y Do (*) ln có nghiệm t = ∈ [ 0;1] nên yêu cầu tốn (d ) : y = 2m điểm chung với (C) ⇔ (d ) cắt (C) điểm t = 3 2m < ⇔ m < 2m ≥ m ≥ GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 11 ... *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình đằng cấp - Có dạng: a sin u + b sin u cos u + ccos 2u = d - Cách giải: * Kiểm tra xem cosu = o có thỏa mãn phương. .. ta phương trình: bt + 2at − (b + 2c) = GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải phương trình. .. 10 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 Khi x = π CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + kπ , k ∈ » cos x = s inx = ±1 nên phương trình (23) thành ± ( − 6m ) ± ( 2m − 1) = ⇔ = vô nghiệm Chia cà hai vế phương trình