Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như sau: a) Tìm hệ số b) Tính c) Quan sát đại lượng ngẫu nhiên 10 lần. Tìm xác suất để trong 10 lần quan sát, có 4 lần nhận giá trị trong khoảng d) Tính E(X), D(X)
Bài 1. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau: [ ] [ ] ∈++ ∉ = 4;0)12( 4;00 )( 3 xkhixxa xkhi xf a) Tìm hệ số a b) Tính ( ) 31 << XP c) Quan sát đại lượng ngẫu nhiên X 10 lần. Tìm xác suất để trong 10 lần quan sát, có 4 lần X nhận giá trị trong khoảng ( ) 3;1 d) Tính E(X), D(X) a) Áp dụng tính chất hàm mật độ, ta có 84 1 84)12()(1 4 0 3 =⇒=++== ∫∫ ∞+ ∞− aadxxxadxxf b) Áp dụng định nghĩa của hàm mật độ, ta có: ( ) ( ) 14 5 12 84 1 )(31 3 1 3 3 1 ∫ =++= ∫ =<< dxxxdxxfXP c) Gọi A là biến cố X nhận giá trị trong khoảng ( ) 3;1 ( )( ) 14 9 1 14 5 )31(3;1)( =−=⇒=<<=∈== pqXPXPAPp Coi 10 lần quan sát đại lượng ngẫu nhiên X như là dãy 10 phép thử Becnuli, trong đó trong mỗi lần thử, biến cố A xảy ra với xác suất 14 5 = p . Gọi k B là biến cố trong 10 lần quan sát đại lượng ngẫu nhiên X , có 4 lần X nhận giá trị trong khoảng ( ) 3;1 Tính ( ) 64 41044 104 14 9 . 14 5 . )!410(!4 !10 − == − qpCBP =0,24114264040 379016 d) Tính ∫ =++= ∫ = ∞+ ∞− 4 0 3 315 958 )12(. 84 1 .)(.)( dxxxxdxxfxXE 99225 65036 315 958 )12(. 84 1 .))(()()( 2 4 0 3222 = − ∫ ++= ∫ −= ∞+ ∞− dxxxxXEdxxfxXD Bài 2.Biết trọng lượng các bao gạo trong kho là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 0,8(kg). Cân thử một số bao gạo trong kho, ta thu được bảng số liệu sau: Trọng lượng Bao gạo (kg) (48,5;49) (49;49,5) (49,5;50) (50;50,5) (50,5;51) Số bao 5 12 19 10 6 a) Với độ tin cậy 90%, cho một ước lượng khoảng về trọng lượng các bao gạo trong kho. b) Biết trọng lượng bao gạo theo quy định là 50(kg). Có ý kiến cho rằng các bao gạo bị đóng thiếu. Với mức ý nghĩa 2%, có thể trả lời ra sao cho nghi ngờ này. Gọi X là trọng lượng bao gạo trong kho. X có phân bố chuẩn );( 2 σ aN i x 48,75 49,25 49,75 50,25 50,75 i n 5 12 19 10 6 52 = n 75,49 = x a) Độ tin cậy 9,0 = γ 71,6448536295,0 2 1 )( 00 =⇒= + =Φ zz γ Độ lệch chuẩn 8,0 = σ Với mẫu cụ thể trên, với độ tin cậy 90%, ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của các bao gạo trong kho sẽ là: ( ) 93173,9324801257406827;4949,5675198; 00 = +− z n xz n x σσ b) 50 0 = a Tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định 471649933-2,2534695 0 = − = n ax z qs σ Kiểm định: < = 50: 50: aK aH Mức ý nghĩa 02,0 = α 12,0537489198,01)( 00 =⇒=−=Φ zz α Miền bác bỏ giả thuyết { } 12,05374891: 0 −=−<∈= zzRzW α α Wzzz qsqs ∈⇒−< 0 Với mẫu cụ thể trên, với mức ý nghĩa 2%, nghi ngờ trên là có cơ sở. Bài 3. Biết chiều dài của một loại sản phẩm do nhà máy A là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Đo thử chiều dài của một số sản phẩm ta thu được bảng số liệu như sau: Chiều dài Sản phẩm (cm) (30;32) (32;34) (34;36) (36;38) (38;40) Số sản phẩm 4 10 13 11 6 a) Với độ tin cậy 92%, cho một ước lượng khoảng về chiều dài của sản phẩm b) Với độ tin cậy 94%, cho một ước lượng khoảng về phương sai của chiều dài sản phẩm c) Biết chiều dài theo quy định của sản phẩm là 35. Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định ý kiến cho rằng chiều dài của sản phẩm nhà máy vượt quá quy định Gọi X là chiều dài của sản phẩm. X có phân bố chuẩn );( 2 σ aN i x 31 33 35 37 39 i n 4 10 13 11 6 44 = n 22 775 = x 484 2659 2 = s a) Độ tin cậy %92 = γ 21,79305425 43 08,0 1 10 === − − ttt n γ Với mẫu cụ thể trên, với độ tin cậy 92%, ước lượng khoảng cho chiều dài sản phầm là: ( ) 236539535,8681807 308915;34,5863647 1 ; 1 00 = − + − − t n s xt n s x b) Độ tin cậy 94,0 = γ ( ) 562,050495243;03,0)1; 2 1 ( 22 ==− − χ γ χ n ( ) 727,321865943;97,0)1; 2 1 ( 22 ==− + χ γ χ n Với mẫu cụ thể trên, với mức độ tin cậy 94%, ước lượng khoảng cho phương sai của chiều dài sản phầm là: ( ) 4093878,84739252 47466214;3.89565420 1; 2 1 ; 1; 2 1 2 2 2 2 = − + − − n sn n sn γ χ γ χ c) 35 0 = a Giá trị quan sát 69988030,635835921 0 =− − = n s ax t qs Kiểm định: > = 35: 35: aK aH Mức ý nghĩa 03,0 = α 21,93172957 43 06,0 1 20 === − ttt n α Miền bác bỏ giả thuyết { } 21,93172957: 0 =>∈= ttRtW α α Wttt qsqs ∉⇒< 0 Với mẫu cụ thể trên, với mức ý nghĩa 3%, ý kiến trên là không đúng. . 410 44 10 4 14 9 . 14 5 . )! 410 (!4 !10 .. − == − qpCBP =0,2 411 4264040 379 016 d) Tính ∫ =++= ∫ = ∞+ ∞− 4 0 3 315 958 )12 (. 84 1 .)(.)(. độ, ta có 84 1 84 )12 () (1 4 0 3 =⇒=++== ∫∫ ∞+ ∞− aadxxxadxxf b) Áp dụng định nghĩa của hàm mật độ, ta có: ( ) ( ) 14 5 12 84 1 )( 31 3 1 3 3 1 ∫ =++= ∫ =<<