CHỦ ĐỀ MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I MẶT NÓN Hình 1/ Mặt nón tròn xoay Hình P ( ) d Trong mặt phẳng , cho đường thẳng , ∆ cắt tại O và chúng tạo thành góc β với 00 < β < 900 Khi quay mp ( P ) xung quanh trục ∆ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1)  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón  Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc β gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , r = IM là bán kính đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: S xq = π r.l Diện tích toàn phần hình nón:  Diện tích đáy (hình tròn): Sð = π r  Thể tích khối nón: Vnon = 1 Sð h = π r h 3 4/ Tính chất:  TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( P ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp ( P ) cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân + Nếu mp ( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp (Q ) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn + Nếu mp (Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là nhánh của hypebol + Nếu mp (Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ 1/ Măṭ trụ tròn xoay Trong mp ( P ) cho hai đường thẳng ∆ và l ∆ song song nhau, cách một khoảng r Khi quay mp ( P ) quanh trục cố định ∆ thì A r l D đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ  Đường thẳng ∆ được gọi là trụC  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của B mặt trụ r C 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ  Đường thẳng AB được gọi là trụC  Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2π rh  Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r  Thể tích khối trụ: V = B.h = π r h 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp ( α ) vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm ∆ và có bán kính bằng r với r cũng là bán kính của mặt trụ đó  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp ( α ) không vuông góc với trục ∆ cắt tất cả đường sinh, ta được giao tuyến là mợt đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp ( α ) với sin ϕ 00 < ϕ < 900  Cho mp ( α ) song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d + Nếu d < r thì mp ( α ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật + Nếu d = r thì mp ( α ) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh + Nếu d > r thì mp ( α ) không cắt mặt trụ III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S ( O; R ) Khi đó S ( O; R ) = { M | OM = R} 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một điểm A bất kì, đó:  Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là hai uuu r uuu r bán kính cho OA = −OB thì đoạn thẳng AB gọi là mợt B đường kính của mặt cầu O  Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu M A  Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R ) là tập hợp tất cả điểm M cho OM ≤ R 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu A Cho mặt cầu S ( O; R ) và một mp ( P ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp ( P ) và H là hình chiếu của O mp ( P ) ⇒ d = OH  Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến là đường tròn nằm mp ( P ) có tâm là H và bán kính r = HM = R − d = R − OH (hình a)  Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b)  Nếu d = R ⇔ mp ( P ) có một điểm chung nhất Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Do đó, điều kiện cần và đủ để mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) là d ( O , ( P ) ) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của O đường thẳng ∆ và d = OH là khoảng cách từ tâmO của mặt d cầu đến đường thẳng ∆ Khi đó: d=  Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S ( O; R )  Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu S ( O; R ) tại hai điểm phân biệt  Nếu d = R ⇔ ∆ và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là d = d ( O , ∆ ) = R Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S ( O; R ) thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S ( O; R )  Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm đều bằng  Tập hợp điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S ( O; R ) 5/ Diện tích và thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC = 4π R • Thể tích mặt cầu: VC = π R3 B BÀI TẬP ÁP DỤNG ( Nguyễn Văn Lành-THPT Nguyễn Khuyến ) Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề nào ? 3R 3R C a = R D a = 3 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông C, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), AB = 5a, BC = 3a và CD = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 5a 5a 5a 5a A R = B R = C R = D R = 3 2 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 5a 17a 13a A R = B R = C R = D R = 6a 2 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 9, tính thể tích V khối chóp có thể tích lớn A V = 144 B V = 576 C V = 576 D V = 144 A a = 3R B a = Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r =4 và chiều cao h = A V = 128π B V = 64 2π C V = 32π D V = 32 2π Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50π và có độ dài đường sinh đường kính đường tròn đáy Tính bán kính r đường tròn đáy 2π A r = B r = C r = π D r = 2 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AD = 8, CD = 6, AC’ = 12 Tính diện tích toàn phần Stp hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ A Stp = 576π B Stp = 10 11 + π ( C Stp = 26π ( ) ) D Stp = 11 + π Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r = và chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho 16π A V = B V = 4π C V = 16π D V = 12π Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r = và độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón cho A S xq = 12π B S xq = 3π C S xq = 39π D S xq = 3π Câu 10 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Tính thể tích V khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD A V= π a3 B V= 2π a C V= π a3 D V= 2π a Câu 11 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh 3a Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh Sxq (N) 2 2 A S xq = 6π a B S xq = 3π a C S xq = 12π a D S xq = 3π a · Câu 12 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông A, AB =a và ACB = 30° Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC quanh cạnh AC 3π a 3π a A V = B V = 3π a C V = D V = π a 3 Câu 13 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy góc 60o Mặt phẳng qua trục (N) cắt (N) thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp Tính thể tích V khối nón giới hạn (N) A V = 3π B V = 9π C V = 3π D V = 3π Câu 14( 101/2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm và chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ và phần lõi làm than chì Phần lỗi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút và đáy là hình tròn có bán kính Giả định lm3 gỗ có giá (triệu đồng), 1m3 than chì có giá là 8a (triệu đồng) Khi đó giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết nào đây? A 9, 7.a (đồng) B 97, 03.a (đồng) C 90, 7.a (đồng) D 9, 07.a (đồng) ... 101/2018) Một bút chi có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm và chi u cao 200mm Thân bút chi làm gỗ và phần lõi làm than chi Phần lỗi có dạng khối trụ có chi u cao chi u dài bút... của hình tru  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình tru  Khối tru tròn xoay, gọi tắt là khối tru , là phần... kính 9, tính thể tích V khối chóp có thể tích lớn A V = 144 B V = 576 C V = 576 D V = 144 A a = 3R B a = Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r =4 và chi u