BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát  1 ax  by �c  ax  by  c; ax  by �c; ax  by  c  a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0, x y ẩn số II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mơ tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học  1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình gọi miền nghiệm Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình ax  by �c sau (tương tự cho bất phương trình ax  by �c ) Bước Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax  by  c Bước Lấy điểm M  x0 ; y0  không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O ) Bước Tính ax0  by0 so sánh ax0  by0 với c Bước Kết luận Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  chứa M miền nghiệm ax0  by0 �c Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa M miền nghiệm ax0  by0 �c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax0  by0 �c bỏ đường thẳng ax  by  c miền nghiệm bất phương trình ax0  by0  c Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x  y �3 Giải Vẽ đường thẳng  : x  y  O  0;0  , ta thấy O � có 2.0   nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa độ O miền nghiệm Lấy gốc tọa độ bất phương trình cho (miền khơng bị tơ đậm hình) III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Cũng bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x  y �6 � �x  y �4 � � �x �0 � Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình �y �0 Giải Vẽ đường thẳng d1 : x  y  d2 : x  y  d2 : x  d2 : y   Oy   Ox  M  1;1 Vì điểm có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tơ đậm nửa mặt  d  ,  d  ,  d3  ,  d  không chứa điểm M phẳng bờ Miền khơng bị tơ đậm (hình tứ giác OCIA kể bốn cạnh AI , IC , CO, OA ) hình vẽ miền nghiệm hệ cho IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải số toán kinh tế thường dẫn đến việc xét hệ bất phương trình bậc hai ẩn giải chúng Loại toán nghiên cứu ngành tốn học có tên gọi Quy hoạch tuyến tính CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? 2 2 A x  y  B x  y  2 C x  y �0 D x  y �0 Câu Cho bất phương trình x  y  �0 (1) Chọn khẳng định khẳng định sau: A Bất phương trình  1 B Bất phương trình  1 vơ nghiệm C Bất phương trình  1 D Bất phương trình  1 có tập nghiệm có nghiệm ln có vơ số nghiệm Câu Miền nghiệm bất phương trình: điểm: A  3;  B  3;1 C � 3x   y  3   x  1  y   2;1 Câu Miền nghiệm bất phương trình: điểm: A  0;0  B  4;  C Câu Miền nghiệm bất phương trình chứa điểm điểm sau? A  0;0  B  1;1 C D  0;0   x  1   y    x   2;  D D nửa mặt phẳng chứa  5;3  x    y  2   1 x   4;  nửa mặt phẳng chứa nửa mặt phẳng không  1; 1 Câu Trong cặp số sau đây, cặp không thuộc nghiệm bất phương trình: x  y  5  A  5;0  Câu Điểm B A  1;3   2;1 C  0;0  B x  y  C 3x  y  D x  y    2;3 nghiệm bất phương trình sau ? A x – y –1  C x  y  1; 3 điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình: A 3x  y   Câu Cặp số D B x – y  D x – y   Câu Miền nghiệm bất phương trình x  y �2 phần tơ đậm hình vẽ hình vẽ nào, hình vẽ sau? Câu 10 Phần tơ đậm hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau? A x  y  B x  y  C x  y  D x  y  Vấn đề HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN �x  y  �0 � x  y  �0 Trong điểm sau, điểm thuộc miền Câu 11 Cho hệ bất phương trình � nghiệm hệ bất phương trình? A M  0;1 B N  –1;1 C P  1;3 D Q  –1;0  2x  y 1  � � �2 x  y   �x  y   Câu 12 Cho hệ bất phương trình � Trong điểm sau, điểm thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình? A O  0;  B M  1;0  C N  0; 2  D P  0;  �x y �2   �0 � �x �0 � 3y �x   �2 Câu 13 Miền nghiệm hệ bất phương trình � 2 chứa điểm điểm sau đây? A O  0;0  B M  2;1 C N  1;1 D P  5;1 3x  y �9 � �x �y  � � �2 y �8  x � Câu 14 Miền nghiệm hệ bất phương trình �y �6 chứa điểm điểm sau đây? A O  0;  Câu 15 Điểm B M  1;  M  0; 3 C N  2;1 D P  8;  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trìnhnào sau đây? �2 x  y �3 � x  y � 12 x  � A 2x  y  � � x  y � 12 x  � B �2 x  y  3 � x  y � 12 x  � C x  y �3 � � x  y � 12 x  � D �x  y  �0 � x  y   Trong điểm sau, điểm không thuộc Câu 16 Cho hệ bất phương trình � miền nghiệm hệ bất phương trình? A O  0;  B M  1;1 C N  1;1 D P  1; 1 �x  y  � �x  y  2 �y  x  Câu 17 Miền nghiệm hệ bất phương trình � phần khơng tơ đậm hình vẽ hình vẽ sau? D C �x  y   � �y �2 � x  y  Câu 18 Miền nghiệm hệ bất phương trình � phần khơng tơ đậm hình vẽ hình vẽ sau? A B C D Câu 19 Phần không tô đậm hình vẽ (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau? A x - y �0 � � � � 2x - y �1 � B x- y > � � � � 2x - y > � C x- y < � � � � 2x - y > � D x- y < � � � � 2x - y � � � � �x + 3y - Vấn đề TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC F(x,y) VỚI ĐIỀU KIỆN LÀ MỘT HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1: �y  x �2 � �2 y  x �4 �x  y �5 � Giá trị nhỏ biết thức F  y  x miền xác định hệ A F  x  2, y  B F  x  0, y  C F  x  1, y  Câu 2: Câu 3: D F  x  0, y  �2 x  y �2 � � x  y �2 � x  y �4 Giá trị nhỏ biết thức F  y  x miền xác định hệ � A F  3 x  1, y  2 B F  x  0, y  x ,y 3 C F  2 D F  x  2, y  �x  y �2 � 3x  y �15 � � �x �0 � Cho hệ bất phương trình �y �0 Khẳng định sau khẳng định sai ? A.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm hệbất phương trình cho �25 � B� ; � A  0;3 C  2;0  O  0;0  miền tứ giác ABCO kể cạnh với , �8 �, 17 1 �m � B.Đường thẳng  : x  y  m có giao điểm với tứ giác ABCO kể C.Giá trị lớn biểu thức x  y , với x y thỏa mãn hệ bất phương trình cho 17 D.Giá trị nhỏ biểu thức x  y , với x y thõa mãn hệ bất phương trình cho Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: � �y �4 � x �0 � � � x  y  �0 � F  x; y   x  y Giá trị lớn biết thức với điều kiện �x  y  10 �0 A B C 10 D 12 � �y �5 � x �0 � � �x  y  �0 � F  x; y   x  y Giá trị nhỏ biết thức với điều kiện �x  y  �0 A 10 B 12 C 8 D 6 2 x  y �2 � � x  y �2 � � � x  y �5 � S  x; y  Biểu thức F  y – x đạt giá trị nhỏ với điều kiện � x �0 điểm có toạ độ  4;1  3;1  2;1  1;1 A B C D �2 x  y  �0 � �x �0 �2 x  y  �0 Biểu thức L  y  x , với x y thõa mãn hệ bất phương trình � , đạt giá trị lớn a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau: A a 25 b  2 B a  b 11 12 C a  b  D a  F x; y = y �x Câu 8: Giá trị nhỏ Fmin biểu thức ( ) miền xác định hệ A Fmin = B Fmin = C Fmin = 4;1 A ( ) � 2� � � � ;- � � � C �3 3� �y- 2x �2 � � � 2y- x �4 � � � � �x + y �5 9 D Fmin = Câu Biểu thức F ( x; y) = y �x đạt giá trị nhỏ với điều kiện là: � 7� � � � ;- � � � B �3 3� b 2x - y �2 � � � � �x - 2y �2 � � x + y �5 � � � � � x �0 5;0 D ( ) điểm M có toạ độ Câu 10 Cho x, y thoả mãn hệ P = ( x; y) = 40000x + 30000y x + 2y- 100 �0 � � � � � x + y- 80 �0 � � x �0 � � � � �y �0 Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức A Pmax = 2000000 B Pmax = 2400000 C Pmax = 1800000 D Pmax = 1600000 F x; y = x + 2y Câu 11 Giá trị lớn Fmax biểu thức ( ) miền xác định hệ A Fmax = B Fmax = C Fmax = 10 �y �4 � � � � �x �0 � � x - y- 1�0 � � � � �x + 2y- 10 �0 D Fmax = 12 F x; y = 4x + 3y Câu 12 Giá trị nhỏ Fmin biểu thức ( ) miền xác định hệ � � x �10 � � � � y �9 � � � 2x + y �14 � � � 2x + 5y �30 � � A Fmin = 23 B Fmin = 26 C Fmin = 32 D Fmin = 67 Vấn đề BÀI TOÁN KINH TẾ, BÀI TỐN TỐI ƯU Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức hệ bất phương trình bậc hai ẩn cho trước T ( x, y) = ax + by x; y với ( ) nghiệm Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền nghiệm S đa giác Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với ( x; y) tọa độ đỉnh đa giác Bước 3: Kết luận: �Giá trị lớn F số lớn giá trị tìm �Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm Câu Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo ● Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu; ● Để pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu 10 Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao nhất? A lít nước cam lít nước táo B lít nước cam lít nước táo C lít nước cam lít nước táo D lít nước cam lít nước táo Câu Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn Xưởng có 200 kg nguyên liệu 1200 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? A 30 kg loại I 40 kg loại II B 20 kg loại I 40 kg loại II C 30 kg loại I 20 kg loại II D 25 kg loại I 45 kg loại II Câu Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp hai loại Vitamin A B thu kết sau: Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A lẫn B tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B Do tác động phối hợp hai loại vitamin nên ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Tính số đơn vị vitamin loại để người dùng ngày cho chi phí rẻ nhất, biết đơn vị vitamin A có giá đồng đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng A 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B B 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B C 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B D 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B Câu Công ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất loại hộp này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác �Cách thứ cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm �Cách thứ hai cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu 900 hộp, số hộp cao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? A Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 300 B Cắt theo cách 150 tấm, cắt theo cách hai 100 C Cắt theo cách 50 tấm, cắt theo cách hai 300 11 D Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 200 Câu Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A sản phẩm B chu trình sản xuất Để sản xuất sản phẩm A lãi triệu đồng người ta sử dụng máy I giờ, máy II máy III Để sản xuất sản phẩm B lãi triệu đồng người ta sử dụng máy I giờ, máy II máy III Biết máy I hoạt động không 36 giờ, máy hai hoạt động không 23 máy III hoạt động không 27 Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi nhiều A Sản xuất sản phẩm A không sản xuất sản phẩm B B Sản xuất sản phẩm A sản phẩm B C Sản xuất 10 sản phẩm A 49 sản phẩm B D Sản xuất sản phẩm B không sản xuất sản phẩm A 12