PHẦN I: PHÉP ĐẾM, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP, NHỊ THỨC NIU TƠN TÓM TẮT LÝ THUYẾT BÀI 1: HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n  m cách Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án : Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1 , A , , A k Có n1 cách thực phương án A1 , n cách thực phương án A , … n k cách thực phương án A k Khi cơng việc thực n1  n   n k cách Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn : Giả sử công việc bao gồm k cơng đoạn A1 , A , , A k Cơng đoạn A1 thực theo n1 cách, công đoạn A thực theo n cách, … cơng đoạn A k thực theo n k cách Khi cơng việc thực theo n1n n k cách PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực công việc A (có nghĩa cơng việc A hồn thành phương án A1, A2, ,An) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x , , x n phương án A1 , A , , A n Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x x1  x   x n Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả sử A hoàn thành sau tất công đoạn A1 , A , , A n hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x , , x n công đoạn A1 , A , , A n Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x x1 x .x n VÍ DỤ Ví dụ 1: Một trường trung học phổ thơng, có 26 học sinh giỏi khối 12, có 43 học sinh giỏi khối 11, có 59 học sinh giỏi khối 10 Vậy nhà trường có cách chọn học sinh giỏi để dự thi trại hè LỜI GIẢI Có phương án sau thỏa yêu cầu đề Cách 1: Chọn học sinh giỏi khối 12, có 26 cách chọn Cách 2: Chọn học sinh giỏi khối 11, có 43 cách chọn Cách 3: Chọn học sinh giỏi khối 10, có 59 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng có 26  43  59 128 cách chọn thỏa yêu cầu đề Ví dụ 2: Bạn B học từ nhà đến trường; biết từ nhà đến bến phà có tuyến đường; từ bến phà đến trạm xe buýt có tuyến đường; từ trạm xe buýt có tuyến đường đến trường Vậy bạn B có cách chọn tuyến đường học LỜI GIẢI Ta chia việc học bạn B thành ba công đoạn sau: Công đoạn 1: Bạn B chọn đường để từ nhà đến phà, có cách chọn Công đoạn 2: Bạn B chọn đường để từ phà đến trạm xe bt, có cách chọn Cơng đoạn 3: Bạn B chọn đường để từ trạm xe buýt đến trường, có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.6.4 72 cách Ví dụ 3: Một lớp học có 19 học sinh nam, 11 học sinh nữ( tất hát hay) Vậy lớp học có cách chọn đơi song ca ( 1nam, nữ) để dự thi văn nghệ trường LỜI GIẢI Có hai cơng đoạn sau, để chọn đơi song ca có nam nữ: Cơng đoạn 1: Chọn sinh nam, có 19 cách chọn Cơng đoạn 2: Chọn học sinh nữ, có 11 cách chọn Theo quy tắc nhân có 19.11 209 cách chọn đôi song ca gồm nam nữ Ví dụ 4: Một trường trung học phổ thơng có 26 học sinh giỏi khối 12, có 43 học sinh giỏi khối 11, có 59 học sinh giỏi khối 10 Vậy nhà trường có cách chọn học sinh giỏi đủ khối để dự trại hè LỜI GIẢI Có ba cơng đoạn sau, để chọn đội có người có đầy đủ ba khối: Công đoạn 1: Chọn bạn học sinh giỏi khối 12, có 26 cách chọn Cơng đoạn 2: Chọn bạn học sinh giỏi khối 11, có 43 cách chọn Công đoạn 3: Chọn bạn học sinh giỏi khối 10, có 59 cách chọn Theo quy tắc nhân có 26.43.59 65962 cách chọn nhóm ba bạn có đầy đủ khối Ví dụ 5: Một thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, câu có phương án trả lời Hỏi thi có phương án trả lời LỜI GIẢI Có cơng đoạn sau, đề hồn thành thi trắc nghiệm: Công đoạn 1: Chọn đáp áp cho câu hỏi 1, có phương án trả lời Cơng đoạn 2: Chọn đáp áp cho câu hỏi 2, có phương án trả lời Công đoạn 3: Chọn đáp áp cho câu hỏi 3, có phương án trả lời … Công đoạn 10: Chọn đáp áp cho câu hỏi 10, có phương án trả lời 10    4 phương án trả lời Vậy theo quy tắc nhân có 4.4 10 so BÀI : HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP Hốn vị Cho tập A có n (n 1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A ( gọi tắt hoán vị A) Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn n! n(n  1)(n  2) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử k n n! A kn n(n  1)(n  2) (n  k  1)  n   k ! Tổ hợp Cho tập A có n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập A có k phần tử được gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A ) Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k n) C kn  A kn n(n  1)(n  2) (n  k  1) n!   k! k! k!  n  k  ! Hai tính chất số C kn Tính chất 1: Cho số nguyên dương n số nguyên k với k n Khi C kn C nn  k Tính chất 2: Cho số nguyên n k với k n Khi C kn 1 C nk  C nk  PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1: HỐN VỊ: Khi giải tốn chọn tập X có n phần tử, ta dùng hốn vị có dấu hiệu sau: *Chọn hết phần tử X *Có xếp theo thứ tự VÍ DỤ Ví dụ 1: Có hai dãy ghế, dãy ghế Xếp nam, nữ vào dãy ghế trên, có cách, : a Nam nữ xếp tùy ý b Nam dãy ghế, nữ dãy ghế LỜI GIẢI a Mỗi cách xếp nam nữ vào hai dãy ghế cách tùy ý hốn vị 10 người Vậy có 10! 3628800 cách xếp b Chọn dãy để xếp nam ngồi vào có cách; xếp nam vào dãy ghế chọn có 5! cách ; xếp nữ vào dãy ghế cịn lại có 5! cách Vậy có tất 2.5!.5! cách xếp thỏa điều kiện tốn Ví dụ 2: Cho bàn dài có 10 ghế 10 học sinh có học sinh nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh cho : a Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b Những học sinh giới ngồi cạnh ? LỜI GIẢI a Cách 1: Xếp học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau xếp học sinh nữ vào vị trí cịn lại có 5! cách  có 5!.5! cách Cách 2: Xếp học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau xếp học sinh nữ vào vị trí cịn lại có 5! cách  có 5!.5! cách Vậy tất có 2.5!.5! 28800 cách b Xem nam tổ nữ tổ, ta có tổ Xếp tổ ngồi vào bàn ta có 2! cách Đổi chỗ nam cho có 5! cách, đổi chỗ nữ cho có 5! cách Vậy ta có 2!.5!.5! 28800 cách Ví dụ 3: a) Hỏi có cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn, cho nam nữ ngồi xen kẻ nhau? b) Hỏi có cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn, cho bà ngồi cạnh chồng mình? LỜI GIẢI a) Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn Bước 1: Xếp nam ngồi quanh bàn tròn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp Bước 2: Ta xem người nam vừa xếp vách ngăn, người nam ngồi quanh bàn trịn nên có khoảng trống để xếp người nữ, có 6! Cách xếp Theo quy tắc nhân có 5!.6! = 86400 cách b) Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn Bước 1: Xếp người chồng ngồi quanh bàn trịn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp (vì vợ ngồi gần chồng) Bước 2: Mỗi cặp vợ chồng đổi chổ cho có cách xếp mới, có 26 cách Theo quy tắc nhân có 5!.26 = 7680 cách Ví dụ 4: Một trường trung học phổ thơng có học sinh giỏi khối 12, có học sinh giỏi khối 11, có học sinh giỏi khối 10 Hỏi có cách xếp 20 học sinh thành hàng ngang để đón đồn đại biểu, nếu: a) Các học sinh xếp b) Các học sinh khối phải đứng kề LỜI GIẢI a) Mỗi cách xếp 15 học sinh thành hàng ngang hoán vị 15 phần tử Vậy có 15! cách xếp 15 học sinh thành hàng ngang b) Bước 1: Xếp khối có 3! cách xếp Bước 2: Xếp bạn khối 12 có 4! cách Bước 3: Xếp bạn khối 11 có 5! cách Bước 4: Xếp bạn khối 10 có 6! cách Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600 cách xếp thỏa yêu cầu Ví dụ 5: Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, biết tổng chữ số 18? LỜI GIẢI Gọi số cần tìm n abc,  a 0  Từ tập A  0,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 ta có tập A gồm phần tử cho tổng chúng 18  9,8,1 ;  9,7, 3 ;  9; 6; 4 ;  8;7; 3 ;  8; 6; 4 ;  7; 6; 5 Vậy có tập có phần tử thuộc A cho tổng phần tử 18 Hoán vị phần tử tập ta số cần tìm Suy có tất 3!.6 36 số thỏa yêu cầu DẠNG 2: CHỈNH HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Khi giải tốn chọn tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: *Chỉ chọn k phần tử n phần tử X ( k n ) *Có xếp thứ tự phần tử chọn VÍ DỤ Ví dụ 1: a Có số tự nhiên có chữ số đơi khác ? b Có số tự nhiên có chữ số số số chẵn ? c Có số tự nhiên có chữ số đơi khác số số lẻ ? LỜI GIẢI a Gọi M abcde,  a 0  số có chữ số khác Ta có a có cách chọn nên có A94 cách chọn số xếp vào vị trí bcde Vậy có 9.A94 27216 số b Gọi A abcde số có chữ số A số chẵn Ta có a có cách chọn ; b,c,d số có 10 cách chọn ; e có cách chọn Vậy có 9.10 3.5 45000 số c Gọi B abcde số có chữ số B số lẻ Ta có e có cách chọn ; a có cách chọn ; có A83 cách chọn chữ số xếp vào ba vị trí b,c,d Vậy có 5.8.A83 13440 số Ví dụ 2: Có số gồm chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, LỜI GIẢI Dùng ô sau để xếp số thỏa tốn : TH1: Ơ số :  Chọn ô để xếp số số có A cách ;  Chọn ô số  0; 4; 5; 6; 7; 8; 9 xếp vào cịn lại có A cách ;  ta có A 24 A72 cách TH2 : Ô số : tương tự, ta có A 24 A72 cách TH3: Ô số : tương tự, ta có A 24 A72 cách TH4 : Ơ số khác 1, 2, 3:  Chọn ô xếp số 1, 2, vào có A cách ;  Chọn số thuộc  0; 4; 5; 6; 7; 8; 9 xếp vào có cách ;  Chọn số xếp vào cịn lại : có cách ;  ta có 36.A 34 cách Vậy ta có tất 3A 34 A72  36A 43 2376 số Cách 2: Bước 1: Chọn vị trí vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A 35 Bước 2: Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào hai vị trí cịn lại, có A72 cách Theo quy tắc nhân có A 35 A72 2520 số, có số có chữ số đứng vị trí đầu Trường hợp a1 = 0: Bước 1: Chọn vị trí vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A 34 cách Bước 2: Chọn chữ số chữ số cịn lại để xếp vào vị trí cịn lại, có cách Theo quy tắc nhân có A 34 144 số có chữ số vị trí đầu Kết luận có 2520  144 2376 số thỏa u cầu Ví dụ 3: a Có số tự nhiên có ba chữ số đơi khác bé số 475 ? b Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số bé số 475 ? c Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác bé số 475 số lẻ ? LỜI GIẢI a Gọi abc số tự nhiên có ba chữ số đôi khác nhỏ 475 TH1: a  : a có ba cách chọn ; bc có A92 cách chọn  có 3.A92 216 số  TH2: a 4 : b   b có cách chọn b   6; 5; 3; 2;1; 0  b 7  c có cách chọn c   3; 2;1; 0  c có cách chọn;   có 6.8  52 số Vậy tất ta lập 216  52 268 số b Gọi abc số tự nhiên chẵn có ba chữ số đơi khác nhỏ 475 TH1 : a 1 : a có cách chọn ; c có cách chọn b có cách chọn  có 2.5.8 80 số TH2 : a 2 : c có cách chọn b có cách chọn  có 4.9=32 số TH3 : a 4 : b 0, 2,6 : b có cách chọn c có cách chọn ; b 1, 3, : b có cách chọn c có cách chọn ;  b 7 c có hai cách chọn c   0; 2   có 3.3  3.4  23 số Vậy ta lập tổng cộng 80  32  23 135 số c Gọi abc số tự nhiên lẻ có ba chữ số đơi khác nhỏ 475 TH1 : a 1, : a có cách chọn ; c có cách chọn b có cách chọn  có 2.4.8 64 số TH2 : a 2 : c có cách chọn b có cách chọn  có 5.8 40 số TH3 : a 4 : b 0, 2,6 : b có cách chọn c có cách chọn ; b 1, 3, : b có cách chọn c có cách chọn ;  b 7 c có cách chọn c   1; 3   có 3.5  3.4  29 số Vậy ta lập tổng cộng 64  40  29 133 số Ví dụ 4: Xếp bạn nam bạn nữ thành hàng dọc Hỏi có cách xếp : a) Nam nữ đứng xen kẻ b) Nữ ln đứng cạnh c) Khơng có nam đứng cạnh LỜI GIẢI a) Trường hợp : Bạn nam đứng đầu có cách chọn , bạn nữ có cách chọn , bạn nam có cách chọn , bạn nữ có cách chọn , cuối xếp bạn nữ có cách chọn Suy tổng số cách xếp 5!.5! cách Trường hợp : Bạn nữ đứng đầu , xếp hoàn toàn tương tự trường hợp , suy tổng số cách sếp trường hợp 5!.5! Kết luận theo quy tắc cộng tổng số cách xếp nam nữ xen kẽ 5!.5! + 5!.5! = b) Gọi nhóm bạn nữ nhóm X Số cách xếp bạn nam X 6! cách ứng với cách xếp có 5! cách xếp bạn nữ nhóm X Theo quy tắc nhân có 6!.5! = 86400 cách xếp c) Bước xếp bạn nữ đứng kề có 5! cách xếp Để bạn nam không đứng kế ta xen bạn nam vào bạn nữ bạn nữ có vị trí thêm vị trí đầu cuối, tổng cộng có vị trí để xếp bạn nam Chọn vị trí vị trí để xếp bạn nam, có A65 cách Theo quy tắc nhân có 5!.A65 86400 cách xếp thỏa u cầu tốn Ví dụ 5: Có thể lập số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu 0908, chữ số cịn lại khác đơi một, khác với chữ số đầu phải có mặt chữ số LỜI GIẢI Gọi số điện thoại có dạng 0908abcdef Chọn vị trí vị trí abcdef để xếp chữ số có cách chọn Chọn chữ số chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 7} để xếp vào vị trí cịn lại, có A65 cách Kết luận có 6.A65 4320 số điện thoại thỏa u cầu Ví dụ 6: Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh cho học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh lớp 11 LỜI GIẢI Bước 1: Xếp học sinh lớp 11 thành hàng ngang, có 6! cách Bước 2: bạn học sinh lớp 11 có khoảng trống, chọn khoảng trống khoảng trống để xếp bạn lớp 12, có A 25 cách Theo quy tắc nhân có 6!.A 25 14400 cách xếp thỏa yêu cầu DẠNG 3: TỔ HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Khi giải tốn chọn tập hợp X có n phần tử, ta dùng tổ hợp có dấu hiệu sau: *Chỉ chọn k phần tử n phần tử X ( k n ) *Không phụ thuộc vào thứ tự xếp phần tử chọn VÍ DỤ: Ví dụ 1: Từ bơng hồng vàng, hồng trắng, hồng đỏ (các hồng xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn bó hoa hồng gồm bơng Có cách chọn a) bó hoa có bơng hồng đỏ b) bó hoa có bơng hồng vàng hồng đỏ LỜI GIẢI a) Chọn bó hoa gồm bơng, có bơng hồng đỏ, bơng hồng cịn lại chọn (gồm vàng trắng) Số cách chọn: C14 C68 112 cách b) Có trường hợp sau xảy thỏa yêu cầu toán: Trường hợp 1: Chọn hồng vàng, hồng đỏ bơng hồng trắng, có C 35 C 34 C13 cách Trường hợp 2: Chọn hồng vàng bơng hồng đỏ , có C C cách Trường hợp 3: Chọn bơng hồng vàng bơng hồng đỏ , có C C cách 3 3 Theo quy tắc cộng có: C C C + C C + C C Có viên bi xanh, viên bi đỏ, bi vàng có kích thước đơi khác a.Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ b.Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ LỜI GIẢI a.Ta thức công đoạn sau: Bước 1: Chọn bi đỏ bi đỏ, có C 25 cách chọn Bước 2: Có C13 cách chọn bi 13 viên bi xanh vàng 7150 cách Vậy ta có C 25 C13 b.Số bi xanh, đỏ, vàng chọn có trường hợp là: Trường hợp 1: Chọn xanh, đỏ, ta có C93 C35 cách Trường hợp 2: Chọn xanh, đỏ, vàng, ta có C92 C25 C42 cách Trường hợp 3: Chọn xanh, đỏ, vàng, ta có C19 C15 C 44 cách Theo quy tắc cộng ta có: C93 C 53  C92 C 52 C42  C19 C15 C44 3045 cách Có hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng a) Có cách lấy viên bi, có viên bi xanh có nhiều viên bi vàng phải có đủ màu b) Có cách lấy viên bi có đủ màu LỜI GIẢI a) Các trường hợp xảy theo yêu cầu đề: 2 Trường hơp 1: xanh, vàng, đỏ, có: C C C cách Trường hợp 2: xanh,1 vàng, đỏ, có: C C C cách 2 2 Vậy có : C C C + C C C 1700 cách b) Sử dụng phương pháp gián tiếp: Lấy viên bi 15 viên bi bất kỳ, có C15 cách Trường hợp 1: lấy viên bi có màu xanh đỏ, có C11 cách Trường hợp 2: lấy viên bi có màu xanh vàng, có C9 cách Trường hợp 3: lấy viên bi có màu đỏ vàng, có C10 cách   9 9 Vậy có : C15  C11  C9  C10 4984 cách Một đội cảnh sát giao thông gồm 15 người có 12 nam Hỏi có cách phân đội csgt chốt giao thơng cho chốt có nam nữ LỜI GIẢI Bước 1: Chọn nam 12 nam chọn nữ nữ, có C12 C3 cách Bước 2: Chọn nam nam lại chọn nữ nữ cịn lại, có C8 C cách Bước 3: nam lại nữ lại bắt buộc phải công tác chốt giao thông cuối cùng, nên có cách 4 Theo quy tắc nhân có: C12 C C8 C 207900 cách chọn 372 Mơt lớp có 20 học sinh có 14 nam, nữ Hỏi có cách lập đội gồm học sinh có a.Số nam nữ b.ít nữ LỜI GIẢI a.Bước 1: Chọn nam 14 nam, có C14 cách Bước 2: Chọn nữ nữ,có C62 cách C62 1365 cách Vậy số cách chọn nhóm có nam, nữ C14 b Cách 1: Xét trường hợp xảy cụ thể: 2184 cách Trường hợp 1: Chọn nữ, nam có 6.C14 C62 1365 cách Trường hợp 2: Chọn nữ, nam có C14 Trường hợp 3: Chọn nữ,1 nam có C63 14 280 cách Trường hợp 4: Chọn nữ có C64 15 cách Vậy số cách chọn cần tìm là: 2184  1365  280  15 3844 cách Cách 2: Sử dụng phần bù: Bước 1: Chọn bạn 20 bạn, có C 420 cách Bước 2: Chọn bạn nam, có C14 cách Bước 2: Hoán đổi phần tử ba tập chọn có 2!.2!.2! cách Theo quy tắc nhân có A 34 2!.2!.2! 192 số cần tìm c) Ta có tập gồm hai phần tử thành lập từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} cho tổng hai phần tử  0; 5 ,  2; 3 ,  1; 4 Ta có tập gồm hai phần tử thành lập từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} cho hiệu hai phần tử là:  0; 5 ,  1; 6 ,  2;7 ,  3; 8 ,  4; 9 Trường hợp 1: a1 5 a 0 , chọn tập tập  1; 6 , 2; 7 , 3; 8 , 4; 9 , sau xếp hai phần tử tập vừa chọn vào hai vị trí a a có C14 2! cách Chọn chữ số chữ số lại (bỏ chữ số mà a1 ,a ,a ,a chọn) xếp vào hai vị trí a a có A62 cách Theo quy tắc nhân có C14 2!.A62 240 số Trường hợp 2: Sắp xếp hai phần tử tập  2; 3 vào hai vị trí a1 a có 2! Sau chọn tập tập  0; 5 ,  1; 6 ,  4; 9 xếp hai phần tử tập vừa chọn vào hai vị trí a a có C13 2! cách Chọn chữ số chữ số lại (bỏ chữ số mà a1 ,a ,a ,a chọn) xếp vào hai vị trí a a có A62 cách Theo quy tắc nhân có 2!.C13 2!.A62 360 số Trường hợp 3: Sắp xếp hai phần tử tập  1; 4 vào hai vị trí a1 a Hoàn toàn tương tự trường hợp 2, có 360 số Trường hợp 4: Sắp xếp hai phần tử tập  0; 5 vào hai vị trí a a có 2! Sau chọn tập tập  2; 3 ,  1; 4 xếp hai phần tử tập vừa chọn vào hai vị trí a1 a có C12 2! cách Chọn chữ số chữ số lại (bỏ chữ số mà a1 ,a ,a ,a chọn) xếp vào hai vị trí a a có A62 cách Theo quy tắc nhân có 2!.C12 2!.A62 240 số Kết luận: Theo quy tắc cộng có: 240  360  360  240 1200 số thỏa yêu cầu Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên, số có chữ số thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị Giải Gọi n a1 a a 3a a 5a số cần lập Điều kiện đề bài: a1  a  a a  a  a  (1) Có      21 , nên có : a1  a  a  a  a  a 21 (2) Từ (1) (2) suy ra: a1  a  a 10 , a  a  a 11 Ta có trường hợp sau xảy ra: -{1,3,6} {2,4,6} ta có 3!3!=36 số n -{1,4,5} {2,3,6} ta có 3!3!=36 số n -{2,3,6} {1,4,6} ta có 3!3!=36 số n Theo quy tắc cộng ta có 36  36  36 108 số n Có số tự nhiên có chữ số khác tạo thành từ tập {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, biết tổng chữ số số lẻ LỜI GIẢI Ta có trường hợp sau xảy ra: Trường hợp 1: Số tạo thành gồm chữ số lẻ chữ số chẵn: Bước 1: Chọn số lẻ số lẻ, có C 35 cách Bước 2: Xếp số lẻ vừa chọn với chữ số chẵn thành dãy, có 7! cách xếp Vậy có C 35 ! 50400 số Trường hợp 1: Số tạo thành gồm chữ số lẻ chữ số chẵn: Bước 1: Chọn chữ số chẵn số chẵn, có C 24 cách Bước 2: Xếp chữ số chẵn vừa chọn với chữ số lẻ thành dãy, có 7! Cách xếp Vậy có C 24 ! 30240 số Kết luận có 50400  30240 80640 số thỏa yêu cầu 2) Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; lập tất số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác năm chữ số có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ không đứng cạnh LỜI GIẢI Số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác hai chữ số lẻ có: 5.C25 C 24 4! 4.C25 C13 3! 6480 số Số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác có hai chữ số lẻ đứng cạnh có 5.A 25 3.A 24  4.A 25 2.3 3120 số Suy có 6480  3120 3360 số cần tìm Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, Hãy cho biết có tất số tự nhiên có chữ số khác đôi cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau, lập từ chữ số cho LỜI GIẢI Đặt A = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, } + Tổng số số tự nhiên có chữ số khác đôi lập từ chữ số tập A 7! + Trong A có hai chữ số chẵn nên : Tổng số số tự nhiên có chữ số khác đơi cho hai chữ số chẵn đứng cạnh , lập từ chữ số tập A : 2!6! + Vậy : Tổng số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán : 7! – 2!6! = 6!(7 – 2) = 6!5 = 3600 (số ) ... ? ?1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A ( gọi tắt hoán vị A) Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn n! n(n  1) (n  2) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k... k ! Tổ hợp Cho tập A có n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập A có k phần tử được gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A ) Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k n)... có nam, nữ C14 b Cách 1: Xét trường hợp xảy cụ thể:  218 4 cách Trường hợp 1: Chọn nữ, nam có 6.C14 C62 ? ?13 65 cách Trường hợp 2: Chọn nữ, nam có C14 Trường hợp 3: Chọn nữ ,1 nam có C63 14 280 cách