ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ

30 221 0
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/09/2018, 13:19

CHƯƠNG 3: (TIẾP THEO) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TỐN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ Lưu ý 1: Một chất điểm chuyển động trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v  f  t (m/s) Quãng đường chất điểm chuyển động trục Ox từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 t2 S� f  t  dt t1 Lưu ý 2: Điện tích q� idt q t nguyên hàm cường độ dòng điện i t thời điểm t ( s) nghĩa BÀI TẬP ÁP DỤNG N x Bài 1: Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng   Biết lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là? A 10130 B 5130 C 3154 D 10129 Giải: Theo đề ta có: 2000 N '( x)dx  � dx  2000.ln x   C � x 1 N ' x   2000  x lúc đầu số Ta có: N ( x)  2000ln1  C  5000 � C  5000 � N ( x)  2000.ln x   5000 Ngày thứ 12: N (12)  2000.ln13  5000  10129,9 Chọn D a m / s Bài 2: Một ô tô chạy với vận tốc  người lái đạp phanh; từ thời điểm tơ v t  5t  a (m/ s) chuyển động chậm dần với vận tốc   , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tơ di chuyển 40 mét vận tốc ban đầu a bao nhiêu? A a  40 B a  80 C a  20 D a  25 Giải: Khi xe dừng hẳn vận tốc = ứng dụng tích phân ta có: a a � 5t  a  � t  a a a 5 � �5 � S� v dt  � 5t  a dt  �  t  at � dt  �  t  at �  a  5x  a  dt  � � �2 � �2 �0 10 0 S  40m � a  20( L) � a  40 � � a  20 10 � Vậy a  20(m/ s) Chọn C Bài 3:Trong q trình lắp ráp tơn cho mái nhà, người cơng nhân vơ tình cắt tơn theo hình vẽ Hỏi diện tích phần tơn mà người cơng nhân cắt hỏng bao nhiêu, biết họ khảo sát đường cắt hư có dạng hàm số y  f ( x )  x  x  A S  81.75 (đvdt) B S  74.25 (đvdt) C S  79.35 (đvdt) D S  78.69 (đvdt) Giải: Ta có: phần tơn cắt hỏng biểu diễn sau đây: b Theo kiến thức tích phân học, Ta có: Diện tích Áp dụng, Ta có: a 4 Ston f ( x)dx � �x � � x  x  dx    �4  x  x �  81,75(dvdt) � � 1 Chọn A y  x  1 x �0  Bài 4: Người ta sản xuất cốc cách xoay miền phẳng y  x quanh trục Ox Hãy tìm thể tích vật liệu cần đủ để làm nên cốc Biết đơn vị đo cm A C V  4.7  cm3  V  4.527  cm3  Giải: B D V  4.817  cm3  V  4.327  cm3  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  1; � x  x  � x  x   �  x  1  x  1  � � x  0,5 � Vì giả thiết x �0 nên ta chọn x  Như thể tích vật liệu tính bởi:  V �  x  1   x  2  dx   � x  2x   4x dx �x3 � 23   �  x  x  x5 �   4.817  cm3  �0 15 �3 Chọn B Chú ý:  0;1 ta có: x  �2 x nên ta phá trị tuyệt đối  x  1   2x2  Bài 5: Người ta chứng minh lực giá trị biến thiên (như nén lò xo) xác định b A� F ( x)dx hàm F(x) cơng sinh theo trục Ox từ a tới b a Người ta tiến hành thí nghiệm m 0.75  m  nén lò xo trạng thái tự nhiên dài   xuống Hãy tìm cơng lò xo biết số lò xo k  16N/m A 0.5  N / m  B 0.6  N / m  C 0.7  N / m  D 0.8  N / m  Giải: Ta có: F  16 x 0.25 A Vậy nên công Chọn A 16 xdx  x � 0.25  0.5(N/ m) Bài 6: Người ta tiến hành thí nghiệm kéo căng lò xo lực 40N để kéo căng lò xo có độ dài tự nhiên từ 10(cm) đến 15(cm) Hãy tìm cơng sinh kéo lò xo từ độ dài 15(cm) đến 18(cm) A 1.35J B 1.45J C 1.56J D 1.65J Giải: Ta quan sát hình sau: Và sau bị kéo dãn đoạn: Khi lò xo bị kéo thêm đoạn x(m) so với độ dài tự nhiên lò xo tác dụng lại với lực f ( x)  kx Khi kéo căng lò xo từ 10(cm) đến 15(cm) dãn đoạn 5(cm)=0.05(m) Lúc này, Ta có: 40 f  x   kx  f  0.05   40 � 0.05k  40 �  800 0.05 Do f ( x)  800 x cơng sinh kéo lò xo từ 15(cm) đến 18(cm) là: 0.08 x2 A � 800 xdx  800 005 0.08  1.56 J 0.05 Chọn C N ' t   1000 2t  Biết ngày đầu Bài 7: Số lương đám vi trùng ngày thứ t xác định N(t) với tiên đám vi trùng có 2500 Tính số lượng đám vi trùng ngày thứ 20 (làm tròn kết đến hàng trăm) A 11459 B 8959 C 10000 D 3284 Giải: 1000 N (t )  � dt  500ln 2t   C 2t  Ta có: Ở ngày thứ có 2500 vi trùng nên N  1  500ln 2.1   C � C  1348 N 20  500ln 2.20   1348  3284 Do đó:   Chọn D t  0 s Bài 8: Giả sử vật từ trạng thái nghỉ chuyển động thẳng với vận tốc v  t   t   t  (m/ s) Tìm quãng đường vật dừng lại 125 125 125 125 m m m m A B C D Giải: t  0( Loai ) � � t  t  � � t 5 � Vật dừng lại v = Suy thời gian vật 5s ứng dụng tích phân ta có: chọn D 5 0 S� v dt  � t   t  dt  125 m Bài 9: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; giây sau đạt đến vận tốc 6m/s Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm B xuất phát từ vị trí O chậm 12 giây so với A chuyển động thẳng nhanh dần Biết B đuổi kịp A sau giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25m / s B 46m / s C 24m / s D 47m / s Giải: A xuất phát t = B xuất phát t = 12 A gặp B t = 20 Từ 0s đến 8s A chuyển động nhanh dần nên: 0b � v A  at  b � � � vA  t  a.8  b � Quãng đường mà A là: S A  �tdt  6.12  96 Vì B chuyển động nhanh dần nên vB  mt  n t = 0, vB  � n = vB  mt 8 mt � SB  � mtdt   32m  96 0 �m3 � vB  3t v  3.8  24 Do B   Chọn C Bài 10: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1 (t )  2t  10 (m/ s) sau khoảng thời gian t1 bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2 (t )  20  4t (m/ s) thêm khoảng thời gian t2 dừng lại Hỏi xe quãng đường mét A 57m B 104m C 50m D 125m Giải: Ban đầu chạy với vận tốc v1 khoảng thời gian t1 phanh ô tô chuyển động sau v  20 khoảng thời gian t2 xe dừng lại, thời điểm phanh xe 2( t 0) , vận tốc cuối v1 , v1 (t1 )  2t1  10  20 � t1  Khi xe dừng hẳn v2 (t2 )  20  4t2  � t2  v  t   s� v  t  dt  t � S  � Ta có: Quãng đường mà xe là: s t1 5 t2  0 � 2t  10 dt  � 20  4t  dt  125(m) Chọn D Bài 11: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc dừng hẳn vật di chuyển mét? A 16m B 130m C 170m Giải: Khi vật dừng hẳn: 160  10t  � t  16 Quãng đường vật di chuyển 16s là: v  t   160  10t (m/ s) Hỏi 3s trước D 45m 16 s�  160  10t  dt (m) Quãng đường vật di chuyển 13s đầu là: 13 S1  �  160  10t  dt (m) Quãng đường vật di chuyển 3s trước dừng hẳn là: S  S1  45(m) Chọn D Bài 12: Học sinh lần đầu thử nghiệm “tên lửa tự chế” phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15m/s Hỏi sau 2,5s tên lửa lên đến độ cao bao nhiêu? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực gia tốc trọng trường g  9,8(m/ s ) A 61,5m B 6,875m C 68,125m D 30,625m Giải: v  v0  gt  15  9,8t Sau 2,5s tên lửa độ cao là; 2,5 S  15  9,8t  dt  68,125(m) � Chọn C Bài 13: Vi khuẩn HP (helicobacter pylori) gây đau dày ngày thứ m với số lượng F(m) Biết phát sớm số lượng vi khuẩn không vượt 4000 bệnh nhân cứu chữa Biết 1000 2m  ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn 15 ngày bệnh nhân phát bị bệnh Hỏi có vi khuẩn dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) bệnh nhân có cứu chữa không? A 5433,99 không cứu B 1499,45 cứu C 283,01 cứu D 3716,99 cứu F ' m  Giải: Số vi khuẩn sau 15 ngày bị nhiễm bênh là: 15 1000 2000  � dm  3716,99con m  � cứu Chọn D Bài 14: Giả sử sau t năm dự án đầu tư thứ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P1 (t )  t  50 trăm đô la/năm, dự án đầu tư thứ hai phát sinh lợi nhuận với tốc độ P2 (t )  200  5t trăm đô la/năm Từ lúc bắt đầu đến lúc tốc độ phát sinh lợi nhuận dự án hai tốc độ phát sinh lợi nhuận dự án lợi nhuận dự án hai dự án bao nhiêu? A 1690 trăm đô B 1695 trăm đô C 1687,5 trăm đô D 1685 trăm đô Giải: Đầu tiên ta phải hiểu lợi nhuận nguyên hàm tốc độ phát sinh lợi nhuận Khi dự án đầu tư thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận dự án đầu tư thứ nhất: t  15(t/ m) � t  5t  150  0,  t   � � t  10(L) � Lợi nhuận dự án hai lớn dự án là: 15 15 0  200  5t  dt  �  t  50  dt  1687,5 � Chọn C a t  3t  t (m/ s ) Bài 15: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m/s) tăng tốc với gia tốc   Tính quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 4300 1750 1450 m m m A 3600m B C D Giải: Quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t  to (s) đến thời điểm t1 t  t1 (s) với vận tốc v(t ) m/ s Được tính theo cơng thức ngun hàm gia tốc a(t) Chọn B s� v  t  dx t0 , vận tốc v(t) F x  2x 1 Bài 16: Người ta tác dụng lực có độ lớn   vào cục đá tảng Tính công sinh từ lực này, biết vật di chuyển đoạn từ x  đến x  A 8,67 đơn vị B 7,68 đơn vị C 8,96 đơn vị D 9,68 đơn vị Giải: Trước giải toán cần lưu ý điều sau Trong vật lý, cơng thức hình thành lực tác đông vào vật gây di chuyển, ví dụ đẩy bàn, lái xe đạp, … Nếu có lực biến thiên, thay đổi ta dùng tích phân để tính cơng sinh lực Ta dùng công thức sau: b W� F ( x )dx a F ( x ) lực Áp dụng vào Để giải này, ta cần tính Đặt u  x  � du  2dx I  �2 x  1dx du 12 23 26  dx � I  �2 x  1dx  � u du  u  21 2 Vậy ta đươc Như vậy, công sinh 8,67 đơn vị Chọn A Bài 17: Một ô tơ chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển v t  5t  10(m/ s) động chậm dần với vận tốc   , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Giải: Khi vật dừng hẳn v  10  5t  � t  Từ lúc đạp phanh tới lúc dừng hẳn, ô tô di chuyển quãng đường là: S�  5t  10  dt  10m Chọn C N ' t   4000  0,5t , phòng Bài 18: Một đám vi trung ngày thứ t có số lượng N (t ) Biết lúc đầu đám vi trùng có 250.000 Sao 10 ngày số lượng vi trùng phòng (lấy xấp xỉ hàng đơn vị): A 264334 B 257167 C 258959 D 253584 Giải: Số lượng vi trùng sau 10 ngày phòng là: 10 4000 P� dt  14334,1  0,5 t Vậy số lượng vi trùng sau 10 ngày phòng là: P+250.000 =264334,1 Chọn A Bài 19: Gọi h(t ) cm mực nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết 13 t 8 lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm): A 2,33cm B 5,06cm C 2,66cm D 3,33cm h '(t )  Giải: Ta có h(6) mực nước bồn chứa sau giây Vì ban đầu bồn khơng có nước nên h(6)  h(6)  h(0)  �3 t  dt  2,66cm Chọn C  cm Bài 20: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc / s a t  với t tính giây Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t  thf v  30cm / s 10 20 10 3  20  10  2t   30   2t  2t  2t A B C D Giải: Ta có: v '(t )  a (t ) suy 20 10 v(t )  � dt  C  2t   2t  10  C � C  20  2t Theo đề Ta có: 10  20 Suy hàm vận tốc theo t là:  2t 30  Chọn B 20   2t  Bài 21: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy đường tròn có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường pararabol, hỏi thể tích thùng rượu (đơn vị lít) bao nhiêu? A 425,2l B 425162l C 212581l D 212,6l Giải: Các đường xung quanh thùng rượu đường parabol Đặt thùng rượu nằm ngang chọn hệ trục có gốc tọa độ tâm đáy, trục hoành trục đối xứng thùng rượu Gọi đường paragol có dạng y  ax  bx  c �2 � ,  1;0;3   0;0;3 , � � ;0;4 � Theo ta có đường parabol qua điểm 2 2 y x  x 5 10 Suy ra: � Thêt tích thùng rượu thể tích hình phẳng giới hạn đường ; y  0; x  2 2 x  x 5 10 3� 203 �2 2 V � (m ) �425, 2l � x  x  �dx  5 10 1500 � � y Chọn A Bài 22: Một ô tô chạy với vận tốc 18m/s người lái phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển v t  36t  18(m/ s) động chậm dần với vận tốc   t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển thêm mét? A 3,5m B 5,5m C 4,5m D 6,5m Giải: Lấy mốc thời gian lầ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh Gọi T thời điểm tơ dừng Ta có 36T  18  � T  (s) suy Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn ô tô 0,5s Trong khoảng thời gian tơ di chuyển đc qng đường là: v T   s  v0t  at  C Do đó, quãng đường có biểu thức là: Khi t  � s  � C   1 Theo đề bài: t  5(s),a  9,8(m/ s ) , thay vào phương trình (1) ta 5.5  9,8.52  147.5(m) Chọn A Bài 34: Trong mạch máy vi tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA) hàm số theo thời gian t sau: i  0.3  0.2t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0.05(s) bao nhiêu? A 0.013(mC) B 0.014(mC) C 0.01475(mC) D 0.016(mC) Giải: Ta có biểu thức tọa độ q sau: q� idt  �  0.3  0.2t  dt  0.3t  0.1t  K Khi t  � q  � K  Vậy ta có: q  0.3t  0.1t qt 0.05  0.3 �0.05  0.1� 0.05   0.01475(mC) (Đơn vị đo mili-coulomb cường độ dòng điện i mA) Chọn C Bài 35: Hiệu điện qua tụ điện có điện dung 8.5(nF) đặt mạch thu sóng FM gần Nếu cường độ dòng điện i  0.042t (mA) nạp vào tụ Tìm hiệu điện sau  s A 9.22(nV) Giải: B 9.88(nV) C 9.55(nV) D 9.44(nV) Ta có: hiệu điện VC có biểu thức sau: VC  � idt C � 1nF  109 F � 1 s  106 s � � 0.042t  mA   0.042 �103 t  A  Ta lưu ý đại lượng vật lý sau: � Ta có: 0.042 �103 t VC  tdt  4.94 � 10  K  2.47 �103 t  K 9 � 8.5 �10 Theo giả thiết: t  � VC  � K  Do VC  2.47 �10 t Khi t   s , ta được: VC  2.47 �103  �10 6   9.882 �10 9  9.88  nV  Chọn B Bài 36: Trong mạch máy tivi, cường độ dòng điện (đơn vị mA) biểu thức hàm số theo thời gian t cho sau: i  0.5  0.1t Hỏi điện tích qua điểm mạch thời gian 0.03(s) bao nhiêu? A 0.024(mC) B 0.015(mC) C 0.017(mC) D 0.016(mC) Giải: Ta có: biểu thức điện tích q là: q� idt  �  0.5  0.1t  dt  0.5t  0.05t  K Khi t  0, q  � K  Vậy ta được: q  0.5t  0.05t qt 0.03  0.5 �0.03  0.05 � 0.03   0015  mC  Chọn B Bài 37: Một vật chuyển động với vận tốc v(t )   2sin 2t (m/ s) Tính quãng đường S (m) mà vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t  0(s) đến thời điểm 3 3 3 S  S S  4 A B C 3 (s)  S D t Giải: Quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t  t0 ( s ) đến thời điểm t1 t  t1 ( s ) với vận tốc v  t  m / s tính theo cơng thức Chọn A s� v  t  dt t0 Bài 38: Một nhà sản xuất lợp kim loại tơn có chiều rộng 28inch cao 2inch, bề mặt lợp dàn máy theo phương trình máy tính lập trình trước mà tập hợp điểm bề mặt x Từ phơi kim loại phẳng có chiều dài w lợp thuộc đồ thị hàm số Tính chiều dài cần thiết phôi kim loại để chế tạo lợp theo yêu cầu trên, biết y  sin b độ dài đường cong y  f ( x) đoạn [a;b] xác định công thức L  �1   f � ( x )  dx A x w  �1  sin dx C x� � w  �1  �  cos �dx � �7 28 28 B 28 �1  cos w 2 x dx x� �7 w  �1  �  cos �dx � � 28 D Giải: x nên ta Tấm lợp có độ dài 28inch điểm mặt lợp thuộc đồ thị chọn trục Ox cho O nằm mép đầu lợp, điểm lại mép bên có hồnh độ 28 y  x w y�  cos 7 Ta có: đó: Chọn C x� �  �  cos �dx � � �7 28 Bài 39: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường 9,8 m / s Quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất là: 3125 3125 125 6250 s m s m s m s m 98 49 49 49 A B C D Giải: Quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t  t0 ( s) đến thời điểm t1 t  t1 ( s ) với vận tốc v  t  m / s tính theo công thức vận tốc v  t   25  9,8 t S quãng đường chọn D 125 49 t0 thời điểm vật có độ cao lớn  25  9,8 t  dt  � s� v  t  dt 6250 49 v t  � t  125 49 , Bài 40: Một xơ nước bị rỉ có lượng 5N nâng lên không trung 20(m) với tốc độ cố định Biết lực nâng xô nước x với x khoảng từ xô nước tới mặt đất Hỏi công sinh ta bỏ qua lượng xô nước bằng? A 20J B 25J C 30J D 35J Giải: x F  x    10 Vì , nên ta có: b 20 � � x � �x A� F ( x )dx  � dx  �   x �|020  20 J �  � 10 � � 20 � a � Công Chọn A Bài 41: Một nhà nghiên cứu ước tính sau t kể từ 0h đêm, nhiệt độ thành phố Hồ Chí C  t   40  Minh cho hàm phố từ 8h sáng đến 5h chiều là: o o A 31 B 31,33 2  t  10  (độ C) với �t �24 Nhiệt độ trung bình thành o C 33, 47 o D 33,33 Giải: Nhiệt độ trung bình từ a đến b tính theo cơng thức: b  C (t )dt ba� a Áp dụng vào ta có nhiệt độ trung bình cần tính là: 8 1 � 2� C ( t ) dt  40   t  10  � dt  31,33   � � � 85 85 � � Chọn B Bài 42: Bến xe Quyết Thắng định đầu tư khu trung tâm thương mại Quyết Thắng Mart trung tâm Thị trấn Vạn Giã huyện Vạn Ninh, tỉnh Khánh Hòa Giả sử sau n năm đầu tư, lợi nhuận phát sinh lần đầu tư với tốc độ P1  n   2n  trăm la/năm, tiếp sau P n  20n  170 dự án đầu tư lần hai phát sinh lợi nhuận có tốc độ   trăm la/năm Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên, biết sau thời gian n năm tốc độ lợi nhuận lần đầu tư hai gấp 10 lần tốc độ lợi nhuận lần A 345 trăm đô B 456 trăm đô C 567 trăm đô D 678 trăm đô Giải: Khoảng thời gian để tốc độ lợi nhuận dự án hai gấp 10 lần tốc độ lợi nhuận dự án đầu tiên: P2 (n)  10 P1 (n) � 20n  170  10  2n   n3 � � 20n  20n  120  � � �n3 n   � Lợi nhuận vượt khoảng thời gian �n �3 xác định tích phân sau: 3 0 � I � dn  170  20n    2n  5 �  P2 ( x)  P1 ( x)dn  � � � 3 � � 165n  10n  n3 �  567  165  20n  2n  dn  � � �0 � Chọn C 19 Bài 43: Một hạt electron có điện tích âm 1,6.10 C Người ta tiến hành tách hai electron từ 1pm đến pm Hỏi công sinh bao nhiêu? 16 A 1, 2.10 J Giải: B 1,728.10 16 J C 1,928.10 16 J 10 Ta nhắc lại đơn vị "pm" đơn vị đo pico-metre, hay Ta nêu đại lượng: � a  1�1012 m � b  �1012 m � � k  �109 � � q1  q2  1.6 �1019 C � Lực tương tác hai điện tích F ( x)  k 12 D 1,38.10 16 J  metre  q1q2 x với x khoảng cách hai điện tích b Vậy ta cơng Thay vào ta có: 4� 1012 A kq q A  �12 dx x a  9.10   1.6 �10  � 1� 1012 19 x2 dx   2,304 �10 4.1012 28 1 �  1,728.10 16  J  � � � �x � 1.1012 Chọn B Bài 44: Nhiệt độ T (tính theo C ) ghi nhận ngày thỏa mãn đường cong sau đây: T  0.001t  0.28t  25 Với t tính từ lúc trưa ( 12 �t �12 ) Hỏi nhiệt độ trung bình ngày hơm bao nhiêu? 0 0 A 14.7 C B 13.7 C C 15.7 C D 16.7 C Giải: Ta có cơng thức: nhiệt độ trung bình là: b T (t )dt ba � a Chọn C với a=-12;b=12 Bài 45: Qua theo dõi diễn biến sản xuất lúa gạo huyện V từ đầu năm đến nay, tổng sản lượng lúa huyện V vụ Hè-Thu mô tả TH ( x)  175 x  275 (tấn) 75% so với tiêu vụ Đông-Xuân TD  x   100 x  400 x  900 (tấn) tính sản lượng thực tế thời gian �x �12  sản xuất, biết x số tháng sản xuất  A 6780 B 5670 C 4560 D 3300 Giải: Thời gian sản xuất để tổng lượng lúa huyện V vụ Hè-Thu 75% so với tiêu vụ Đông-Xuân: TH ( x)  75%TD ( x) � 175 x  275  0,75  100 x  400 x  900  x4 � � 100 x  300 x  400  � � � x  thang x  1 � Sản lượng thực tế thời gian sản xuất �x �4 vụ mùa xác định tích phân sau: 4 1 � J � dx  TD ( x)  TH ( x)dx  �  100 x  400 x  900    175x  275 � � � �  625  400 x  75x  dx   625x  200 x2  25 x3   3300 1 Chọn D Bài 46: Vi khuẩn HP (helicobacter pylori) gây đau dày ngày thứ m với số lượng F(m) Biết phát sớm số lượng vi khuẩn khơng vượt q 5000 bệnh nhân cứu chữa Biết 4000 2m  lần đầu khám bệnh nhân có 2550 vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân khám lại Hỏi có vi khuẩn dày bệnh nhân có cứu chữa khơng? A 50508 không cứu B 1499 cứu C 62283 không cứu D 7346 không cứu F ' m  Giải: Số vi khuẩn sau 15 ngày bị nhiễm bênh là: 15 4000 2550  � dm  7345,8con m  � không cứu Chọn A Bài 47: Công ty Acos dự án đầu tư, sau thời gian t (năm) kể từ bắt đầu dự án cho lợi nhuận K '  t   100  t  t  tốc độ sinh lợi nhuận (triệu đồng/năm) Tính lợi nhuận cơng ty A thu từ dự án năm thứ 10 A 2833 triệu B 28333 triệu C 283333 triệu D 283 triệu Giải: 100 K  t  � 100  t  t  dt  25t  t C Ta có: , lúc bắt đầu dĩ nhiên lợi nhuận nên K  t K(0) =0 suy C= 0, đó: K  t  � 100  t  t  dt  25t  100 t Lợi nhuận mà công ty A thu kể từ bắt đầu đến năm thứ 10 K(10)=283333 triệu Chọn C Bài 48: Nhịp trung tâm cầu Cổng Vàng San Francisco Mỹ 1280 (m) Chiều cao tòa tháp 152(m) tính từ mặt đường Hỏi cáp treo hai tòa tháp có chiều dài bao nhiêu? Biết cáp treo tự có hình dạng dây chuyền Dạng tổng quát dây chuyền tổng hai hàm số mũ A 1320 (m) y a  e ax  e ax  B 1323 (m) C 1325 (m) D 1327 (m) Giải: Đầu tiên ta cần mơ hình đường cong Nghĩa ta tìm phương trình đường cong giống với hình cáp treo Ta đặt gốc tọa độ điểm thấp đường cong dây cáp 640;152  ,  0,0  ,  640;152  Đường cong yêu cầu (tương đối) qua điểm  , nên có phương trình là: x x �1326 � 1326 e  e � y  1280  1� � � � � � � Ta xem đồ thị minh họa sau: Đạo hàm hàm số ta được: x x �1326 � 1326 640 �e  e � y'  � 663 � � � � � Sử dụng cơng thức tính đường cong, điểm x  640 đến điểm x =640 Ta có: x � � x �� 1326 1326 �640 � e  e �� 640 � � �� 1 � dx �1327 � � � 663 640 � � � � � � Vậy độ dài sợi dây cáp nhịp trung tâm dài: 1327 m Chọn D Bài 49: Nếu lực giá trị biến thiên (như nén lò xo) xác định hàm F ( x) cơng b sinh theo trục Ox từ a tới b A� F ( x )dx (đơn vị Jun (J)) Một lắc lò xo trạng thái tự nhiên dài 1m ki bị nén lực 0,65cm, biết độ cứng lò xo k  16N/m a Hãy tìm công sinh lúc Cho biết lực F dùng để kéo căng lò xo khoảng x đơn vị so với trạng thái ban đầu lò xo F có dạng F  kx , với k độ cứng lò xo A J B 0,5 J C 0,98 J D 0,6 J Giải: Lực F lúc xác định F ( x)  kx � F ( x)  16 Độ dài lò xo bị nén là: 1m  0,65m  0,35m 0,35 A Vậy công sinh là: Chọn C 16 xdx  0,98 J � Bài 50: Người ta đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u  U sin 2 t T Khi �2 � i  I sin � t   � �T �với  độ lẹch dòng điện hiệu điện mạch có dòng điện xoay chiều Hãy tính cơng dòng điện xoay chiều thực đoạn mạch thời gian chu kì U0I0 U0I0 U0I0 U0I0 T cos  T cos  T cos  T cos  A B C D Giải: Ta có: �2 � 2 A� u.idt  � U I sin � t   � sin tdt T T � � 0 T T 1� � �4 �  U I �� cos   cos � t   � dt � 2� �T � � T U I � � �4 �  0� cos   cos � t   � dx � � 0� �T � � T T U I � T � �4 �  0� t.cos   sin � t   � � � 4 �T � �0 U I0 T cos  Chọn A  �2 � i  I sin � t   � �T �chạy Bài 51: Người ta tiến hành thí nghiệm Cho dòng điện xoay chiều qua mạch có điện trở R Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa mạch thời gian chu kỳ T RI 02 RI 02 RI RI t t t t 3 A B C D Giải: Để tính nhiệt lượng Q tỏa ta phải tính tích phân cận từ t = đến t = T Ta có: �2 �  � T T T  cos � �2 � �T � Q� R.i dt  � RI 02 sin � t   � dt  RL20 � dt T � � 0 T RI � T � RI 02 �2 �  0� t sin � t   � �  T � 4 �T � �0 Chọn C Bài 52: Một nhà nghiên cứu khoa học tiến hành thực nghiệm sau Ơng ước tính sau thời gian t kể từ lúc 0h đêm, nhiệt độ thành phố cho hàm C t  3 2  t  13 ,0 �t �24 Hãy tính nhiệt độ trung bình thành phố 6h sáng 4h chiều A 5.22 C B 4.22 C C 3.22 C D 2.22 C Giải: Vì sáng chiều tương ứng với t =6 t = Như nhiệt độ trung bình thành phố sáng chiều giá trj trung bình hàm nhiệt C(t) với �t �16 Theo cơng thức tính giá trị trung bình ta có: 16 16 1 � 2� 3� � ttb   t  13 dt  t  t  13     � � � 16  6 � � � 10 � � �6 � 2 3� � 3� � 16  16  13  �   13  5.22     � � 10 � 9 � � 10 � � � Vậy nhiệt độ trung bình khoảng thời gian dã cho là: -5.22 độ C Chọn A  Bài 53: Một công ty sở hữu loại máy, biết sau thời gian t năm sinh doanh thu có tốc độ doanh thu R '  t   5000  20t R t (đơ la/năm) Biết chi phí hoạt động chi phí bảo dưỡng C t C ' t  2000  10t máy sau t năm   có tốc độ   (đơ la/năm) Hỏi sau năm máy khơng sinh lãi Tính tiền lãi thực sinh máy khoảng thời gian từ lúc bắt đầu đến máy không sinh lãi A 10000 B 15000 C 20000 đô D 25000 đô Giải: Lợi nhuận mà máy sinh sau t năm hoạt động là: P t  R t  C  t Tốc độ lợi nhuận sau t năm là: P '  t   R '  t   C '  t    5000  20t    2000  10t   3000  30t Việc máy khơng sinh lãi khi: t  10 � P '  t   � 3000  30t  � t  100 � � t  10(loai) � Vậy sau 10 năm việc sinh lợi máy khơng P 10  P   Như tiền lãi thực khoảng thời gian �t �10   Được tính tích phân: 10 10 P  10   P    � P '(t )dt  �  3000  30t  dt   3000t  10t  0 10  20000 đô Chọn C Bài 54: Một người bán tạp hóa nhận kiện hàng gồm 10.000 kg gạo số gạo bán hết vòng tháng, với tốc độ 2000 kg/tháng Nếu chi phí lưu trữ cent/kg/tháng, người phải trả chi phí lưu trữ vòng tháng A la B 10 đô la C 15 đô la D 20 đô la Giải: Gọi S(t) tổng chi phí lưu trữ (đơ la) sau t tháng Vì gạo bán với tốc độ không đổi 2000kg/tháng, số kg gạo lưu trữ sau t tháng 10000  2000t Vì chi phí lưu trữ cent/kg/ tháng, nên tốc độ thay đổi chi phí theo thời gian: S ' t   (chi phí tháng/kg) (Số kg)= 0,01(10000-2000t) S t Do đó,   nguyên hàm của: 0,01 10000  2000t   100  20t , tức là: S  t  � S�  t  dt  �  100  20t  dt  100t  10t  C Ta lại có, thời điểm hàng gửi tới (khi t = 0) khơng có chi phí lưu trữ, vậy:  100 �0  10 �02 � C  S t  100t  10t Vậy   Do tổng chi phí tháng tới là: S  5  100 �5  10 �52  25 đô la Chọn D Bài 55: Tại nhà máy đó, người ta ước tính sản xuất bán q sản phẩm doanh thu cận biên 4q  4000(USD / đvsp) chi phí cận biên 2q  1200(USD / đvsp) Biết sản xuất bán đơn vị sảm phẩm lợi nhuận thu 50000(USD) Hãy biểu diễn hàm lợi nhuận nhà sản xuất nên sản xuất sản phẩm để lợi nhuận thu lớn tìm lợi nhuận lớn P 866,7  P 886,7  P 868,7  P 888,7  A  B  C  D  Giải: P q Gọi   tổng lợi nhuận sản phẩm sản xuất q sản phẩm Ta có: Tốc độ thay đổi doanh thu là: P '  q   4q  4000   2q  1200   6q  5200 P  q  � P�  q  dq  �  6q  5200dq   3q  5200q  C Ta lại có, lợi nhuận sản xuất đơn vị sản phẩm 50000 USD, nên: P    50000 � C  24075 Vậy ta có hàm tổng lợi nhuận công ty là: P  q   3q  5200q  24075 � P�  x   6q  5200  � q  886,7 � P�  x   6  Vậy để lợi nhuận công ty lớn cơng ty phải sản xuất 866,7 (đvsp) lợi nhuận P 866,7  lớn  Chọn A Bài 56: Một vật có khối lượng m, vận tốc ban đầu v0 , di chuyển chịu lực cản có độ lớn FC  kv, v vận tốc vật, số k  1kg / s Viết biểu thức vận tốc vật thời điểm t mk t v  v0e A Giải: B v  v0 e k t m mk t v  v0e C mk t v  v0e D Bài toán xét vật chuyển động tác dụng lực, FC + Chọn chiều dương chiều chuyển động + Theo định luật II Niu-Tơn:  FC  ma dv dt Bậy ta đưa vi phân dt dv vào vế, đồng thời biến v với vi phân dv m dv dt   k v Do ta xét chuyển động vật từ thời điểm ban đầu t = đến thời điểm t vận tốc v0 đến giá trị v đó, tích phân hai vế theo cận này:  kv  m v v0 mdv dt   � � k v t v0 � m m  ln v  ln v0   ln � � � k k �v � k � v  v0e m t Chọn B Bài 57: Một lực 1200N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên từ 18(cm) xuống 16(cm) Hỏi cơng sinh ta tiếp tục nén lò xo từ 16(cm) xuống 14(cm) A 3600(N/m) B 3700(N/m) C 3800(N/m) D 3900(N/m) Giải: Ta có số lò xo (theo đơn vị cm): F  kx 1200  k   � k  600(N/ cm) Vậy Vậy trường hợp này, ta có: F  600 x Vậy cơng sinh xác định bởi: 4 600 xdx  300 x  3600 N � Công = Chọn A Bài 58: số lượng vi khuẩn HP (Helicobacter Pylori) có dày người bệnh sau thời � f�  1000 2t  Một người bị đau dày vi khuẩn HP gây Khi f t gian t (ngày)   , khám lần thứ nhất, cách xét nghiệm biết người có 2550 vi khuẩn HP dày lúc thể chưa phát bệnh Biết dày người bện có 50000 vi khuẩn người bệnh tình trạng nguy hiểm Hỏi sau 15 ngày khám lại dày bệnh nhân có vi khuẩn bệnh nhân có tình trạng nguy hiểm khơng? Nếu có số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn khoảng con? A Khơng B Có; 433 C Có; 733 D Có; 533 Giải: 1000 dt  500ln  2t  3  C , C �� � Ta có: 2t  Vì lúc đầu người có 2550 vi khuẩn HP dày nên: 500ln   2.0  3  C  2550 C 2000,7 Số lượng Vi khuẩn HP sau 15 ngày: 15  500ln  2t  3  2000,7  dt �50532,72  50000 � Số lượng vi khuẩn vượt: 50532,72-50000=532,72~ 533 Kết luận: người tình trạng nguy hiểm cần nhập viện gấp để điều trị Chọn D Bài 59: Một vật thể di chuyển xuống mặt phẳng nghiêng có phương trình biểu diễn t� dv 20  v lực tỉ lệ Tìm vận tốc v hàm số theo t vật bắt đầu di chuyển từ trạng thái nghỉ A v  20   e t  B v  15   e t  C v  10   e t  Giải: t  � dv 20  v Ta có: Đặt u  20  v � du  dv 1 t  � dv   �du   ln  u   K   ln  20  v   K 20  v u Vậy Với t  � v  D v    et    ln  20   K � K  ln 20 Vậy Từ ta được: 20 20  v � 20 � t t  ln 20  ln  20  v  � t  ln � � et  �� e  20  v 20 �20  v � � 20e  t  20  v � v  20  20e  t � v  20   e  t  Chọn A sin( t ) p  3� dt  cos(  t ) Bài 60: Công suất điện p tạo từ điện trở xác định với t thời gian Hãy biểu diễn p hàm số theo t 3 p   ln   cos  t    K p    ln   cos  t    K   A B C p  ln   cos  t    K  Giải: D p  ln   cos  t    K  sin   t  p  3� dt  cos   t  Ta có: Đặt u   cos t � du   sin  t Vậy ta có: sin   t   sin  t p  3� dt   � dt   K  cos   t    cos   t   ln   cos   t    p Vậy Chọn C,   ln   cos t    K  t2  v  t   1,  (m/ s) t 3 Bài 61: Một vật chuyển động với vận tốc Quãng đường vật giây bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm) A 18,82m B 11,81m C 4,06m D 7,28m Giải: Quãng đường vật giây là: S� 1,  t2  dt  11,81m t 3 chonjB Bài 62: Bạn Nam ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay v  t   3t  5(m/ s) Quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 là: A 36m B 252m C 1134m D 966m Giải: Quãng đường vật giây thứ đến giây thứ 10 là: 10 S�  3t  5 dt  966m Chọn D ... vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là: v� a.dt  � 9,8dt  9,8t  C Ở đây, với t  0, v  15m / s � C  15 Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng: v  9,8t  15 , Lấy tích phân biểu thức vận. .. 78.69 (đvdt) Giải: Ta có: phần tơn cắt hỏng biểu diễn sau đây: b Theo kiến thức tích phân học, Ta có: Diện tích Áp dụng, Ta có: a 4 Ston f ( x)dx � �x � � x  x  dx    �4  x  x �  81,75(dvdt)... thời điểm t1 t  t1 (s) với vận tốc v(t ) m/ s Được tính theo cơng thức ngun hàm gia tốc a(t) Chọn B s� v  t  dx t0 , vận tốc v(t) F x  2x 1 Bài 16: Người ta tác dụng lực có độ lớn   vào
- Xem thêm -

Xem thêm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Từ khóa liên quan