Lời giải bình luận số tốn hình học thi vào 10 Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khoá 1518-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Như kì thi vào 10-năm học 2016-2017 gần kết thúc, trường chuyên nước hoàn tất khâu tuyển sinh đầu vào Tơi muốn bình luận số tốn hình học hay trường chun kì thi năm Cá nhân tơi thấy có số tốn hình học sâu sắc hay Tuy nhiên có số lại "tệ"-bài tốn khó chất tốn khơng nằm bậc học cấp THCS, điều đánh đố học sinh điều khơng cần thiết Trước vào bình luận đề thi tơi buộc lòng phải trình bày bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tam giác ABC điểm D, E, F thuộc BC, CA, AB SB DB = cho AD, BE, CF đồng quy Giả sử EF ∩ BC = S Chứng minh rằng: DC SC Chứng minh(Bạn đọc tự vẽ hình): Áp dụng định lí Ceva cho AD, BE, CF đồng DB EA F B quy thì: = Áp dụng định lí M enelaus cho cát tuyến S, E, F DC EC F A SC EA F B = Chia vế cho vế dĩ nhiên ta đpcm tam giác ABC thì: SB EC F A Bổ đề 2: Cho điểm I, F, E, K nằm đường thẳng theo thứ tự cho thoả mãn ba hệ thức sau đây: 1) IF FE = IK EK 2) Gọi M trung điểm IE Khi đó: M E = M I = M F.M K(Hệ thức N ewton) 3) Gọi N trung điểm F K Khi đó: EI.EN = EF.EK(Hệ thức M aclaurin) Cũng cần ý hệ thức sau gọi hệ thức M aclaurin: IE.IN = IF.IK Chứng minh: Ta chứng minh hệ thức tương đương Giả sử ta có hệ thức M aclaurin, thì: M E = M F.M K ⇔ M E = (EF −M E)(EK −M E) ⇔ EI EI M E = EF.EK+M E −M E(EF +EK) ⇔ EF.EK = (EF +EK) = 2EN = 2 EN.EI(đúng) Do có hệ thức M aclaurin ta có hệ thức N ewton Ta quay IF lại hệ thức thứ nhất, giả sử ta có sẵn hệ thức M aclaurin thì: = IK FE ⇔ IK.EF = EK.IF ⇔ (EK − EI)EF = (IK + EI)IF ⇔ EI.EN − EI.EF = EK EI.IF + IK.IF ⇔ EI(EN − EF − IF ) = IK.IF ⇔ IE.IN = IF.IK(đúng theo hệ thức M aclaurin) Như ba hệ thức tương đương miễn có sẵn hệ thức Bài tốn 1(Trích đề thi tuyển sinh vào 10 chun Tốn ĐHSP-Vòng 2): Cho M nằm ngồi đường tròn (O; R) M A, M B tiếp tuyến đến (O) Lấy C điểm nằm AB, I, K trung điểm M A, M C KA ∩ (O) = A, D Lấy M D ∩ (O) = D, E KE ∩ (O) = E, F J trung điểm F E a) Chứng minh rằng: OK − M K = R2 b) Chứng minh rằng: M CDB tứ giác nội tiếp c) Chứng minh rằng: IAJF tứ giác nội tiếp Lời giải: a) Gọi OM ∩IK = S Chú ý rằng: OM ⊥ IK nên theo định lí P ythagoras ta dễ có: KO2 −KM = SO2 −SM = IO2 −IM = IA2 +OA2 −IM = R2 (đpcm) b) M K = KD.KA ∠KM D = ∠DAM = ∠CBD M DCB nội tiếp c) Từ b) ta có: ∠M CA = 180◦ − ∠M CB = 180◦ − ∠M DB = ∠BDE = ∠CAE suy M C AE Gọi N trung điểm KA Ta thấy I, N, J thẳng hàng ∠IJF = ∠AEF = ∠IAF nên IAJF nội tiếp hay ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Bài tốn đơn giản nhìn cấu hình trục đẳng phương đường tròn điểm Cách khai thác câu b) c) tự nhiên tạo điểm phụ trung điểm KA Bài tốn 2(Trích đề thi vào 10 THPT TPHCM): Cho tam giác ABC vng A có đường cao AD Lấy O trung điểm AB CO ∩ (O; OA) = I cho I nằm O, C Đường thẳng qua A vng góc CO cắt CO H cắt BC M K trung điểm BD a) Chứng minh rằng: HM phân giác ∠BHD b) OK ∩ AM = E, IM ∩ (O; OA) = I, J Chứng minh rằng: EJ cắt CO (O) Lời giải: a) Ta có: OA2 = OB = OH.OC suy OBH ∼ OCB suy ∠OHB = ∠OBC Lại có tứ giác DHAC nội tiếp nên ∠DAC = ∠DHC = ∠OBC M H phân giác góc ∠BHD b) Do HC ⊥ HM nên ta có: HM, HC phân giác ∠BHD ta MB CB thu được: = Do K trung điểm BD nên theo hệ thức M aclaurin(xem MD CD bổ đề ) thì: M J.M I = M B.M D = M K.M C tứ giác JKIC nội tiếp suy ra: ∠KJM = ∠ICB = ∠HBO Ta để ý rằng: CH.CO = CA2 = CB.CD suy OHDB nội tiếp Do HM phân giác ∠BHD OK trung trực BD nên suy E nằm (OHDB) vậy: ∠KEM = ∠OBH = ∠KJM suy KM EJ nội tiếp ∠IJE = ∠DKE = 90◦ Gọi CD cắt (O) L khác I Ta thấy: ∠LJI + ∠IJE = 90◦ + 90◦ = 180◦ L, J, E thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Đề ban đầu có câu chất câu Theo đề để thi tệ, việc sử dụng kiến thức cấp chất toán nên học sinh cấp 2(học sinh khơng thi chun Tốn) khơng xử lí điều hiển nhiên Bài tốn 3(Trích đề thi tuyển sinh vào 10-THPT chuyên TPHCM): Cho tam giác ABC có AB < AC < BC Lấy điểm M, N BC, CA cho BM = AB = AM BN ∩ AM = K Kẻ KH ⊥ AB(H ∈ AB) a) Chứng minh rằng: tâm nội tiếp tam giác ABC nằm HK b) Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác AHC tiếp xúc BHC Lời giải: a) Gọi I trực tâm tam giác AKB Ta thấy ABN, ABM tam giác cân A, B nên AI, BI phân giác góc A, B hay ta suy I tâm nội tiếp tam giác ABC(đpcm) b) Gọi (I1 ), (I2 ) đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB, AHC Lấy (I1 ) tiếp xúc CH E Lấy (I2 ) tiếp xúc CB, CH D, E Theo tính chất tiếp điểm đường tròn nội tiếp thì: 2CE = CA + CH − AH, 2CE = CH − HB + BC Điều phải chứng minh tương đương: CA+HC −AH = CH −HB+BC ⇔ CA−BC = AH −HB(đúng H tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB) Nhận xét: Bài toán hay chỗ tận dụng biến đổi với đường tròn nội tiếp mà vốn xưa nhàm chán Bài toán 4((Trích đề thi tuyển sinh vào 10-THPT chuyên TPHCM): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) có góc B tù (O) tiếp xúc BC, CA, AB J, H, L Đường thẳng qua O vng góc AJ cắt AJ trung trực BC D, F Chứng minh rằng: BDF C nội tiếp Lời giải: Gọi AJ cắt (O) P J Ta biết tính chất quen thuộc tiếp tuyến P, J (O) LH đồng quy điểm S Ta lại có: DJM F tứ giác nội tiếp SD.SF = SJ.SM Để ý AJ, BH, CL đồng quy(theo định lí SB JB Ceva) ta có theo bổ đề : = suy rằng: SB.SC = SJ.SM (hệ thức SC JC M aclaurin) BCF D nội tiếp(đpcm) Nhận xét: Đề theo tơi lại phù hợp với bạn thi chuyên, chủ đề hàng điểm điều hoà dạy lớp Toán đặc biệt cấp 2, việc kiểm tra kiến thức với bạn lớp thi chun Tốn hợp lí Bài tốn 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy P, Q cung BC không chứa A cho AP, AQ đẳng giác góc ∠BAC AJ đường kính (O) JB ∩ AP = M, JC ∩ AQ = N Khi đó: CP, BQ cắt trung điểm M N Chứng minh: Ta chứng minh theo trường hợp hình vẽ trường hợp khác ta chứng minh tương tự Theo định lí P ascal CP, BQ, M N đồng quy điểm BM SM SN S Theo định lí hàm số sin thì: = đồng thời = sin ∠BSM sin ∠JBQ sin ∠BQA NQ Ta có: ∠M JP = ∠N JQ nên M JP ∼ N JQ(g.g) suy ABM ∼ sin ∠N SQ AB BM BM CN JQN (g.g) = hay tương đương = Vậy từ JQ NQ sin ∠AQB sin ∠JBQ ý ∠BSM = ∠QSN ta thu được: SM = SN (điều phải chứng minh) Nhận xét: Đây bổ đề đẹp mà vơ tình tìm giải tốn thi vào 10 lạ Chứng minh định lí P ascal(bằng kiến thức THCS) khơng khó, bạn đọc tìm đọc nhiều tài liệu Bài tốn 6(Trích đề thi vào 10 chuyên Toán Quảng Ngãi): Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn qua B, C cắt AB, AC E, D Lấy M, N trung điểm BD, CE Kẻ M H ⊥ AB(H ∈ AB), M K ⊥ AC(K ∈ AC) Lấy I trung điểm M N Chứng minh rằng: IH = IK Lời giải: Quay trở lại tốn, ta có: ∠ADB = 180◦ − ∠BDC = ∠AEC ADB ∼ AEC(g.g) suy ABM ∼ ACN (c.g.c) ∠M AB = ∠N AC AM H ∼ AN K(g.g) suy ∠M AH = ∠N AK Gọi AM ∩ (AHK) = A, P AN ∩ (AHK) = A, Q Do ∠M HA = ∠N KA = 90◦ nên HM cắt N K (AHK) điểm J Theo định lí P ascal cho điểm A, H, P, J, Q, K HQ, P K, M N đồng quy I Do AJ đường kính (AKH) nên suy theo tốn I trung điểm M N Do ta thu I ≡ I ý HKQP hình thang cân nên ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Ta tổng quát toán sau: "Cho tam giác ABC, lấy hai điểm P, Q tam giác ABC cho AP, AQ đẳng giác góc ∠BAC Kẻ P M ⊥ AB(M ∈ AB), P N ⊥ AC(N ∈ AC) Gọi I trung điểm P Q Chứng minh rằng: IM = IN " Bài tốn 7(Trích đề thi vào 10 Hà Nội): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC AI, CI cắt (O) điểm thứ hai N, M Lấy M N ∩ AB, BC = H, K a) Chứng minh rằng: HIBK hình thoi b) P, Q tâm (M BK), (M KC) Chứng minh rằng: P Q chia đôi DK a) Dễ chứng minh tứ giác KICN nội tiếp đó: ∠HKI = ∠M CN = (N B+M A) = ∠KHB BH KI Tương tự thì: HI BK Chú ý HK phân giác góc ∠BHI nên HIKB hình thoi Trước giải câu b) ta chứng minh bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có K thuộc đoạn BC X, Y tâm ngoại tiếp tam giác KAB, KAC Chứng minh rằng: BX cắt CY (O) Chứng minh: Ta chứng minh trường hợp hình vẽ này, trường hợp khác ta chứng minh tương tự Gọi CY ∩ (O) = J, C Ta có: ∠JBA = ∠JCA = 90◦ − 180◦ − (360◦ − 2∠AKC) ∠AY C = = ∠AKC − 90◦ = 90◦ − ∠AKB = ∠XBA 2 B, X, J thẳng hàng hay bổ đề chứng minh b) Ta quy toán chứng minh DP KQ hình bình hành Áp dụng bổ đề ∠BP K BP cắt CQ D (O), mà ∠D BC = 90◦ − = 90◦ − ∠KM B = 90◦ − ∠KM C = ∠D CB D ≡ D Thế nên: ∠DP K = ∠DQK Vậy mà: ∠P KQ = 180◦ − ∠P KB − ∠QKC = 180◦ − 2(90◦ − ∠KM C) = ∠BM C = ∠BDC DP KQ hình bình hành nên DK qua trung điểm P Q(điều phải chứng minh) Nhận xét: Câu hình vừa phải tơi lược câu a) b) chúng khơng phải ý chứng minh khó Câu d) toán chất trường hợp đặc biệt bổ đề nêu Bài toán 8: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến B, C (O) cắt P Kẻ AJ song song BC(J thuộc (O)) M trung điểm BC AP ∩ (O) = A, K Chứng minh rằng: J, K, M thẳng hàng 10 Bổ đề cát tuyến: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có giao đường chéo I Khi đó: BA DA IA = IC BC DC AD.ID.sin∠ADB IA SIAD AD sin ∠ADB Chứng minh: Ta có: = = = = IC SICD CD sin ∠CDB CD.ID.sin∠CDB AD.AB hay đpcm CD.BC Quay trở lại toán, gọi AH đường cao tam giác ABC Ta có tính chất quen thuộc là: ∠HAB = ∠OAC Theo tính chất hệ thức lượng tam giác vng ta có: OA2 = OC = OM.OP OAM ∼ OP A(c.g.c) suy ∠OP M = ∠OAM = ∠DAH suy ∠P AB = ∠M AC hay ∠KAB = ∠M AC Gọi JM ∩ (O) = J, K Gọi DB AB K B D = AK ∩ BC Theo bổ đề cát tuyến thì: = Mà theo bổ đề cát DC AC K C MB JB K B KB JC AB DB AB tuyến thì: = = Suy ra: = = suy = MC JC K C KC JB AC DC AC DB AB Gọi AP ∩ BC = D ta dễ chứng minh được: = nên D ≡ D ta DC AC 11 thu K ≡ K dẫn tới J, M, K thẳng hàng(điều phải chứng minh) Nhận xét: Bổ đề cát tuyến cho thấy ứng dụng tuyệt vời toán liên quan tới chia tỉ lệ đoạn thẳng Các bạn tham khảo viết tơi blog bổ đề Bài toán 9: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) nhọn(AB < AC) I tâm nội tiếp (O) D hình chiếu I lên BC AD ∩ (O) = G, A, lấy F trung điểm cung lớn BC (O) Gọi ID ∩ F G = H a) Chứng minh rằng: H ∈ (IBC) b) Gọi AI ∩ (BIC) = I, J Chứng minh rằng: BH = CJ c) HF ∩ (BIC) = N Chứng minh rằng: N J chia đơi BC Lời giải: a) Ta có: ID F E ∠IHG = ∠GF E = ∠EAF IAHG nội tiếp DA.DG = DI.DH = DB.DC suy IBHC nội tiếp b) Gọi AI cắt (O) điểm thứ hai E Ta có tính chất quen thuộc là: E tâm (BIC) IJ đường kính (BIC) HJ ⊥ ID nên HJ BC suy BCJH 12 hình thang cân nên BH = CJ c) Do EF đường kính (O) nên F B ⊥ BE, F C ⊥ CE F B, F C tiếp tuyến đến (BIC) Ta quy câu c) toán nhỏ sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến B, C (O) cắt P Kẻ AJ song song BC(J thuộc (O)) M trung điểm BC AP ∩ (O) = A, K Chứng minh rằng: J, K, M thẳng hàng" Đây nội dung tốn ta thu điều phải chứng minh Nhận xét: Bài toán toán thi vào 10 chuyên Tốn thành phố Hà Nội Đề khơng khó xong cách diễn đạt ý tưởng theo cấp THCS khó khăn Bài tốn 10(Thi vào 10 chun Tốn Hồng Văn Thụ-Hồ Bình): Cho A nằm ngồi (O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O), BD đường kính (O) Đường thẳng qua A vng AB cắt OC E, F trung điểm OB Chứng minh rằng: EF ⊥ AD Lời giải: Ta có: AE BD ∠EAO = ∠AOB = ∠AOE suy AEO cân IE IE E Gọi I trung điểm OA, J = EF ∩ AD Ta có: = Do ∠EOI = OA 2IO 13 IF IE OA IE = Vậy = Lại có: IO OF IF OD ∠AOD = 90◦ + ∠OAD = 90◦ + ∠F IO = ∠EIF EIF ∼ AOD(c.g.c) suy ∠JEI = ∠JAI nên tứ giác AIJE nội tiếp nên F E ⊥ AD ∠IOF suy EIO ∼ IF O(g.g) suy Nhận xét: Ý tưởng chứng minh tam giác đồng dạng thật tự nhiên biến đổi góc tinh tế Điểm đáng ý toán xuất đề thi chọn HSG quân Ba Đình, Hà Nội năm học 2016-2017 Như thơng qua tốn ta thấy xu hướng đề thi chuyên Toán hướng tới kì thi lớn VMO,IMO Các cấu hình xuất đa dạng cho có toán chưa thật phù hợp với học sinh cấp THCS chúng tốn đẹp mắt có phát biểu ngắn gọn Ở lời giải tôi, chúng lời giải ngắn xong phần rõ chất tốn, việc trình bày bổ đề điều bắt buộc, mong bạn thông cảm 14 ... hay ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Bài toán đơn giản nhìn cấu hình trục đẳng phương đường tròn điểm Cách khai thác câu b) c) tự nhiên tạo điểm phụ trung điểm KA Bài tốn 2(Trích đề thi vào. .. điều phải chứng minh Nhận xét: Bài toán toán thi vào 10 chun Tốn thành phố Hà Nội Đề khơng khó xong cách diễn đạt ý tưởng theo cấp THCS khó khăn Bài tốn 10 (Thi vào 10 chun Tốn Hồng Văn Thụ-Hồ... tròn nội tiếp tam giác ABC AB) Nhận xét: Bài toán hay chỗ tận dụng biến đổi với đường tròn nội tiếp mà vốn xưa nhàm chán Bài tốn 4((Trích đề thi tuyển sinh vào 10-THPT chun TPHCM): Cho tam giác