BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỰC HAY) I Ý tưởng: Ta có hình chóp S.ABC việc tính thể tích khối chóp thực dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC)), ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE Vì thể hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm (S, A, B, C) đỉnh ta biết diện tích tam giác SAB khoảng cách cần tìm CE = Có thể gọi dùng thể tích lần * Chú ý: Khi áp dụng phương pháp ta cần nhớ cơng thức tính diện tích tam giác SABC = √ ( kích thước cạnh )( )( ) với p nửa chu vi a, b, c II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ̂ = 300; SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến (SAB) Giải Gọi E trung điểm BC SE (ABC) SE = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có BC = a VSABC = AB = √ √ √ ; AC = thể tích khối chóp = Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích SAB Ta có AB = √ SB = a; SA = √ = √( √ ) ( ) =a Áp dụng công thức Heron ta SSAB = √ ( Vậy d(C;(SAB) = )( )( = √ ) ; (p = )= √ a2 √ Nhận xét: Với cách tính khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đẹp So với cách tính tọa độ hóa cách tính đơn giản nhiều tính tốn trình bày khó khâu tính diện tích (nhưng máy tính đảm nhận), so với cách lùi E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ) với học sinh trung bình yếu nói lựa chọn tốt >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến (SCD) Giải Gọi E trung điểm AB SE (ABC) SE = Vì thể tích khối chóp cần tính VSABCD = √ √ √ a2 = Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SCD), ta quan sát khối chóp S.ACD tích VSACD = √ a2 = √ Vì để tính khoảng cách ta cần có diện tích tam giác SCD Ta có CD = a; SD = SC = √ √ = a√ Áp dụng công thức Heron ta SSCD = √ ( )( Vì d(A, SCD) = )( = √ ) ; (p = √ √ )= √ a2 a >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SD = ; hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD) Giải Gọi E trung điểm AB SE SB = a (ABC), dùng định lý Pitago ta tính Từ VSABCD = a3 Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) ta quan sát hình chóp S.ADB tích a3 a = a3 nên ta tìm diện tích tam giác SBD tốn giải Ta có BD = a√ ; SD = ; SB = √ a Áp dụng công thức Heron ta được: SSBD = √ ( )( )( ) ; (p = √ √ )= a2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vậy d(A,(SBD) = ⁄ = ⁄ = Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến (ACC’A’) Giải Gọi E trung điểm AB A’E Ta có CE = √ (ABC), 600 = (A’C,(ABC)) = ̂ ( đường cao tam giác đều) Vì A’E = tan600 CE = suy VABC.A’B’C’ = √ = √ Ta cần tính khoảng cách từ B đến (ACC’A) tức từ B đến (AA’C), ta quan sát khối √ chóp A’ABC tích VA’.ABC = = √ ta cần tìm diện tích A’AC (để dùng thể tích lần) Ta có AC = a; AA’ = √( ) A’C = ( ) = √ = a√ Áp dụng công thức heron ta được: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ SA’AC = √( )( )( ) ; (p = Vậy d(B, ACC’A’) = d(B,(A’AC) = = √ √ )= √ a2 a Qua bốn ví dụ ta thấy việc áp dụng cách tích thể tích lần tỏ hiệu khơng cần suy nghĩ q nhiều (vì người viết khơng khuyến khích bạn giỏi làm theo cách trừ bí) Trước ta xét mức độ áp dụng phương pháp với đề thi thử năm (2015) đề thi cũ, ta mở rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách hai đường chéo mà đoạn vuông góc chung khó tìm Các ví dụ áp dụng cách tính thể tích lần: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = HB Góc đường SC (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có 600 = ̂ ( ) = ̂ mà CH = √( ) Nên ta SH = tan 600 CH = ( √ ) = √ √ √ Do thể tích khối chóp VS.ABC = √ = √ Dựng hình bình hành ABCD (điều tự nhiên cách tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau), d(SA, BC) = d(B; (SAD)) Ta quan sát khối chóp S.ABD khối chóp tích với thể tích khối chóp √ S.ABC tức VS.ABD = để tính d(B;(SAD)) ta cần tính diện tích SAD Ta có AD = a; SA = √ = ; DH2 = AD2 + AH2 = 2AD.AH.cos1200 = Áp dụng công thức Heron ta SSAD = √ ( √ ;( p = )= Vậy d(B;(SAD)) = √ SD = )( √ )( ) a2 = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng, AB = BC =a Cạnh bên AA’ = a√ Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách AM B’C Giải Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân B thể tích khối lăng trụ VABC.A’B’C’ = a√ a2 = √ a3 Gọi D trung điểm BB’ d(AM; B’C) = d(C;(ADM)) = d (C;(ADM)) = d(B;(ADM)) Ta quan sát khối chóp D.ABM khối chóp tích VD.ABM = √ √ a = nên để tính khoảng cách từ B đến (ADM) ta cần tính diện tích ADM Ta có AD = √( AM = √ √ ) ( ) = = √ ; DM = √( √ ) ( ) = √ √ Do diện tích SAMD = √ ( )( )( √ √ √ ) ; (p = )= √ a2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vậy d(AM;B’C) = d(B;(ADM)) = = √ Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt phương pháp tốn khoảng cách trở nên dễ có nhiều lời giải hay Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy I thuộc AB cho BI = 2AI Góc mặt bên (SCD) mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách AD SC Giải )̂ ( Gọi E CD; CE = 2ED dễ dàng chứng minh 600 = (( từ ta tính SI = tan 600.EI = a√ Vì thể tích VS.ABCD = a√ a2 = )) = ̂ √ Ta thấy AD// BC d(AD; SC) = d(AD;(SBC))= d(D;(SBC)) Ta quan sát khối chop S.BCD tích VS.BCD = a√ = √ Vì để tìm khoảng cách d(D;(SBC)) ta cần tìm diện tích tam giác SBC Ta có BC = a; SB = √( ) SC = √ = ( √ ) = √ √ √ Do SSBC = √ ( )( Vậy d(AD;SC) = d(D;(SBC)) = )( ) ; (p = √ √ ) √ a2 a IV Vận dụng phương pháp vào đề thi thử 2015 Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp) Cho hình chop S.ABC có đáy tam giác vuông A; AB = 3a; BC = 5a; mặt phẳng (SAC) vng góc >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! với mặt phẳng (ABC) Biết SA = 2√ a ̂ = 300 Tính theo a thể tích khối chop S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Giải Gọi E chân đường vng góc kẻ từ S xuống BC dễ hấy SE = SA.sin300 = a√ AC = √ (ABC) Do SE = 4a Vậy thể tích VSABC = a√ 3a.4a = 2√ a3 Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta cần tính diện tích SBC Ta có BC = 5a; SB = √ =√ =√ SC = √ = 2a, diện tích SBC SSBC = √ ( )( Vậy d(A;(SBC)) = )( ) ;(p= √ √ )=√ a a2 a Bài tập (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AC = a√ BC = 3a; ̂ = 300 Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (A’BC) (ABC) Điểm H thuộc BC, BC = BH mặt >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 phẳng (A’AH) (ABC) Tính theo a thể tích khối lăng truh ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến (A’AC) Giải ( ( Ta có { ) ) ( ( ( ) ) A’H ( ) góc cạnh bên A’A ) mặt đáy (ABC) ̂ tức ̂ = 600 ( Ta lại có AH = √ =a Do A’H = AH tan 600 = a√ Thể tích khối lăng trụ VABC.A’B’C’ = a√ ( 3a√ a.sin300) = Ta quan sát khối chop A’ABC khối chop tích VA’ABC = VABC.A’B’C’ = Vậy nên để tính khoảng cách từ B đến (A’AC) ta cần tìm diện tích A’AC Ta có AC = a√ ; A’A = = 2a; A’C = √( ) ( √ ) = a√ Diện tích A’AC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 SA’AC = √ ( )( )( Vậy d (B;(A’AC)) = = √ ) ; (p= √ √ )= a3√ a Ví dụ (Chuyên ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ̂ = 1200; A’A = Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng (ABB’A’) Giải Gọi E = AC BD, ta có A’E (ABCD) A’E = √ = 2√ a Do thể tích khối hộp V = A’E AC.BD = 2√ a a √ a = 3a3 Ta có d(D’;(ABB’A’)) = d(C;(ABB’A’) ta quan sát khối chóp A’ABC, khối chóp tích VA’ABC = VABCD.A’B’C’D’ Ta có AB = a; A’A = ; A’B = √ = ta cần tính diện tích tam giác A’AB = √ ; Diện tích tam giác A’AB √ SA’AB = √ ( )( )( ) ; (p = )= √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 √ Vậy d(D’;(ABB’A’)) = d(C;(ABB’A’)) = Bài tập 4: (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I có AB = a; BC = a√ Gọi H trung điểm AI Biết SH (ABCD), tam giác SAC vng S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SBD) Giải Thể tích VSABCD = √ √ ( ) Ta có SE = AC = a SH = √ a √ = Ta quan sát khối chóp S.BCD tích VS.BCD = VS.ABCD = nên ta cần tính diện tích tam giác SBD √( Ta có BD =2a; SB = √ SD = √ √( √ ) ( √ ) √ ) ( √ ) √ √ Do diện tích tam giác SBD >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 √ SSBD = √ ( )( )( √ ) ; (p= )= √ √ Vậy d(C;(SBD)) = Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC; góc (ABB’A’) mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AB CC’ Giải Gọi D, E trung điểm AB; BC Dễ thấy 600 = (( Vậy VABC.A’B’C’ = ) = ̂ A’O = tan600 DO = ̂ ) ( √ √ Ta có d(AB;CC’) = d(CC’;(A’AB)) = d(C;(A’AB)) Ta quan sát khối chóp A’ABC khối chóp tích VA’ABC = VABC.A’B’C’ = √ nên nhiệm vụ cuối ta tính diện tích tam giác A”AB Ta có AB = a; A’A = A’B = √ √ nên diện tích A’AB >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 √ SA’AB = √ ( )( )( √ ) ; (p= Vậy d(AB;CC’) = d(C;(A’AB) = √ )= = Bài toán (Chun Võ Ngun Giáp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân (BC //AD) Biết đường cao SH = a với H trung điểm AD; AB = BC = CD = a; AD = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD Giải Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = SH.SABCD = a √ a2 = √ a3 Ta có d(SB;AD) = d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) Ta quan sát khối chóp S.ABC khối chóp tích VS.ABC = SH.SABC = a √ √ a= (đường cao hạ từ A xuống BC √ ) nên ta cần tính diện tích tam giác SBC Ta có BC = a; SC = SB = √ SSBC = √ ( )( )( Vậy d(SB;AD) = d(A;(SBC)) = = a√ diện tích tam giác SBC ) ; (p= = √ √ )= √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 V Bài tập đề nghị: 1,( Chun Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC; BC = a√ ; ̂ = 1200 Gọi I trung điểm cạnh AB, hình chiếu S lên mặt đáy trung điểm H CI Góc SA mặt phẳng đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến (SBC) Đáp số: VS.ABC = √ ;d= √ 2, (Đề minh họa BGD-ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B; AC = 2a; ̂ = 300 Hình chiếu vng góc H đỉnh S xuống mặt (ABC) trùng với trung điểm AC; SH = a√ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến (SAB) Đáp số: VS.ABC = √ ;d= √ (Chun Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; tam giác SAC vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy; SC = a√ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ B đến (SAD) Đáp số: VS.ABC = √ ;d= √ (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a√ ; ̂ = 1200 cạnh bên SA (ABCD) Biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách BD SC Đáp số: VS.ABCD = √ a3 ; d = √ 5, (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC =a; ̂ = 1200 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB’C) Đáp số: VABC.A’B’C’ = a3 ; d = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân C, cạnh AB = 6a góc ̂ = 300 Góc mặt phẳng (C’AB) mặt đáy 600 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng B’C AB Đáp số: VABC.A’B’C’ = √ a3 ; d = Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B; A’C = a√ ; AC = 2a Gọi M trung điểm A’C’ I tâm mặt bên ABB’A’ Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng IM A’C Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật; BA = a; AD = a√ Hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) Đáp số: VABC.A’B’C’ = ;d= √ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB = BC = 2a hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông với mặt đáy (ABC) M trung điểm AB , mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Góc (SBC) (ABC) 600 Tính theo a thể tịch S BCNM khoảng cách AB SN Đáp số: VS.ABC = √ a3; d = √ a 10 (Chuyện KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a; ̂ = 450 AA’ = √ √ ; O; O’ tâm ABCD A’B’C’D’ Tính theo a a Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ b Khoảng cách từ C đến (A’BD) khoảng cách hai đường thẳng AO’ B’O Đáp số: VABCD.A’B’C’D’ = √ √ ; d(C;(A’BD)) = √ ; d(AO;BO) = √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 ... rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách hai đường chéo mà đoạn vng góc chung khó tìm Các ví dụ áp dụng cách tính thể tích lần: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình. .. d(B;(ADM)) = = √ Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt phương pháp tốn khoảng cách trở nên dễ có nhiều lời giải hay Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, Hình chiếu vng góc S lên mặt... Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SD = ; hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A tới