BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP MỤC LỤC I BẤT ĐẲNG THỨC Bài a) c) e) g) Vấn đề Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc + ca b) a2 + b2 + c2 + ≥ 2(a + b + c) d) a4 + b4 + c2 + 1≥ 2a(ab2 − a + c + 1) f) a2(1+ b2) + b2(1+ c2) + c2(1+ a2) ≥ 6abc HD: a) ⇔ c) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ h) a2 + b2 + 1≥ ab + a + b a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc − ca) a2 2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) b) ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ d) ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ (a − b + c)2 ≥ e) ⇔ g) ⇔ (a2 − b2)2 + (a − c)2 + (a − 1)2 ≥ (a − bc)2 + (b − ca)2 + (c − ab)2 ≥ h) ⇔ Bài 2 c) e) Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau:  a + b a2 + b2 ab ≤  ≤ ÷   a4 + b4 ≥ a3b + ab3 a3 + b3 + c3 ≥ 3abc g) a  a  a  a   − b÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − e÷ ≥ 2  2  2  2  a) f) ⇔ a   − (b − c) ÷ ≥ 2  + 1+ a2 1+ b2 ≥ b) d) a3 + b3  a + b  ≥ ÷   a4 + ≥ 4a a4 + b4 ≤ , với a, b, c > f) 1+ ab ; với ab ≥ h) ; với a, b ≥ a6 b2 + b6 a2 ; với a, b ≠ (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a2 + b2) ; với ab > 2 HD: a) b) ⇔  a+ b (a − b)2 a2 + b2  a + b  (a − b)2 ≥0 − ≥0  ÷ − ab = ÷ =     ; (a + b)(a − b)2 ≥ e) Chú ý: BĐT ⇔ c) ⇔ (a3 − b3)(a − b) ≥ a3 + b3 = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 d) ⇔ (a − 1)2(a2 + 2a + 3) ≥ (a + b+ c)  a2 + b2 + c2 − (ab+ bc + ca) ≥ (b − a)2(ab − 1) f) ⇔ h) ⇔ Bài a) c) (1+ ab)(1+ a2)(1+ b2) ≥0 a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd a2 + b2 ≥ 2ab b) (1) Áp dụng chứng minh bất (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc (a2 + 4)(b2 + 4)(c2 + 4)(d2 + 4) ≥ 256abcd b) c) a4 + b4 ≥ 2a2b2; c2 + d2 ≥ 2c2d2 a2b2 + c2d2 ≥ 2abcd ; a2 + 1≥ a ; b2 + 1≥ b ; c2 + 1≥ c a2 + ≥ a ; b2 + ≥ b ; c2 + ≥ c ; d2 + ≥ d Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1< a b c + + a3 + b3 + c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b − c ⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b) Ta có: a2 > a2 − (b − c)2 ⇒ a2 > (a + b − c)(a − b + c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm c) ⇔ d) ⇔ Bài a) b) (a + b + c)(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 1 ; ; a + b b+ c c + a độ dài cạnh tam giác khác 1 1 1 + + > + + a + b− c b+ c − a c + a − b a b c HD: a) Sử dụng tính chất phân số BĐT cạnh tam giác Ta có: 1 1 + > + a + b b+ c a + b+ c a + b+ c > = c + a+ c + a c + a Tương tự, chứng minh BĐT lại b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: Ta có: 1 + ≥ x y x+ y 1 + ≥ = a + b − c b + c − a (a + b − c) + (b + c − a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm Vấn đề Phương pháp làm trội Bài a) Chứng minh với số tự nhiên 1 1 < + + + < n +1 n + n+n 1+ c) 22 + 32 + + HD: a) Ta có: n2 c) Ta có: d) Ta có: , ta có: 1+ b) = n + k n + n 2n , 1 1 + + + + = k +1 − k k k k + k +1 1 1 < = − k k ( k − 1) k − k 1 = − (k − 1).n k − k ( ) , với k = 1, 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n Vấn đề Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô-si Bài a) b) Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc bc ca ab + + ≥ a + b+ c a b c ; với a, b, c > ) 1 + + + > n +1 −1 n với k = 1, 2, 3, …, n –1 ( b) Ta có: n> c) d) ab bc ca a + b + c + + ≤ a + b b+ c c + a a b c + + ≥ b+ c c + a a + b HD: a) b) ; với a, b, c > a + b ≥ ab; b + c ≥ bc; c + a ≥ ca ⇒ đpcm bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c + ≥2 = 2c + ≥2 = 2a + ≥2 = 2b a b ab b c bc c a ac , c) Vì ⇒ ; với a, b, c > a + b ≥ ab nên , ab ab ab ≤ = a + b ab Tương tự: ab bc ca ab + bc + ca a + b+ c + + ≤ ≤ a + b b+ c c + a 2 d) VT = = ⇒đpcm bc bc ca ca ≤ ; ≤ b+ c c+ a (vì ab + bc + ca ≤ a + b+ c  a   b   c  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷−   b+ c   c + a   a + b  [ (a + b) + (b + c) + (c + a)]  + + ÷−  b+ c c + a a + b  ≥ − 3= 2 • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b Khi đó, VT = Bài a) b)  x  +  y y   z x   z y  ÷+  + ÷+  + ÷− 3 x  x z   y z  ≥ (2 + 2+ 2− 3) = 2 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 (a3 + b3 + c3) + + ÷ ≥ (a + b+ c)2  a b c 3(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b + c)(a2 + b2 + c2) HD: a) VT = Chú ý: c) 9(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b + c)3  a3 b3   b3 c3   c3 a3  a2 + b2 + c2 +  + ÷+  + ÷+  + ÷  b a  c b  a c  a3 b3 + ≥ a2b2 = 2ab b a Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm ) b) ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ ( a2b + b2a) + ( b2c + bc2 ) + ( c2a + ca2 ) Chú ý: a3 + b3 ≥ ab(a + b) c) Áp dụng b) ta có: a) b) 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 Cho a, b > Chứng minh 1 + ≥ a b a+ b ⇒ đpcm (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:  1 1 1  + + ≥ 2 + + ÷ a b c  a + b b+ c c + a  ; với a, b, c >   1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ a + b b+ c c + a  2a + b+ c a + 2b + c a + b + 2c  c) Cho a, b, c > thoả d) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 9(a3 + b3 + c3) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) Dễ chứng minh được: Bài 1 + + =4 a b c ab bc ca a + b + c + + ≤ a + b b+ c c + a e) Cho x, y, z > thoả Chứng minh: ; với a, b, c > 1 + + ≤1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ; với a, b, c > x + 2y + 4z = 12 Chứng minh: 2xy 8yz 4xz + + ≤6 x + 2y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:  1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p− a p− b p− c  a b c HD: (1) ⇔  1 (a + b) + ÷ ≥  a b Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a + b b c b+ c c a c + a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được:   1 1 1 + + ≥ 4 + + ÷ a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  d) Theo (1): 1 1 ≤  + ÷ a+ b 4 a b ⇔ ab ≤ (a + b) a+ b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm a + b + c = 12 e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z ⇒ đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a) + ( p − b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Bài a) Cho a, b, c > Chứng minh sau: 1 + + ≥ a b c a + b+ c  1  (a2 + b2 + c2) + + ÷ ≥ (a + b + c)  a + b b+ c c + a  b) Cho x, y, z > thoả c) Cho a, b, c > thoả x + y+ z = Tìm GTLN biểu thức: P = Tìm GTNN biểu thức: + + a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab d) Cho a, b, c > thoả HD: Ta có: (1) ⇔ Chú ý: a + b+ c = Chứng minh: 2 a +b +c  1 1 (a + b + c)  + + ÷ ≥  a b c a) Áp dụng (1) ta được: ⇒ VT ≥ x y z + + x + y + z+ a + b+ c ≤ 1 P= (1) Áp dụng chứng minh BĐT + 1 + + ≥ 30 ab bc ca Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si 1 + + ≥ a + b b + c c + a 2(a + b + c) 9(a2 + b2 + c2) 3(a2 + b2 + c2) = ≥ (a + b + c) 2(a + b + c) a + b+ c (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= Ta có: x + 1− y + 1− z + 1− + + x+ y+ z+ =  1  3−  + + ÷  x + y + z + 1 1 9 + + ≥ = x + y+ z+ x + y + z+ 3− Suy ra: P ≤ = 4 Chú ý: Bài tốn tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả biểu thức: P= x + y+ z = k số dương cho trước Tìm GTLN x y z + + kx + ky + kz+ c) Ta có: P ≥ a + 2bc + b + 2ca + c + 2ab d) VT ≥ = + a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 + ≥ Bài a) y= c) (a + b+ c)2 ≥9 ab + bc + ca ≥ + = 30 ab + bc + ca 1 1 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = 3 x 18 + ; x> x y= b) 3x + ; x > −1 x+ d) HD: a) Miny = x = x + ; x> 2x − y= f) x + 4x + ; x> x x + ; x>1 x−1 y= x y= + ; 0< x < 1− x x y= g) Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: y= e) =   1 +  2 2+ ÷+  a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca Chú ý: y = x2 + h) b) Miny = x3 + ; x> x2 x3 ; x> x = 3 6− c) Miny = e) Miny = −1 x = 5+ 5− x= 30 + d) Miny = x = 30 + 3 f) Miny = x = 5 g) Miny = x = Bài a) h) Miny = 27 x = Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: y = (x + 3)(5− x); − ≤ x ≤ 5 y = (x + 3)(5− 2x); − ≤ x ≤ c) y = (6x + 3)(5− 2x); − e) y = (2x + 5)(5− x); − d) ≤ x≤ 2 y= f) HD: a) Maxy = 16 x = c) Maxy = 121 − x = y = x(6 − x); ≤ x ≤ b) x x2 + ≤ x≤ ; x> b) Maxy = x = d) Maxy = 625 x = e) Maxy = x = f) Maxy = 2 x = 2 + x2 ≥ 2x ( II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bài a) c) e) Giải bất phương trình sau: 3(2x − 3) ≥ 4(2 − x) + 13 a) b) f) x≥ − c) 2(3− x) − 1,5(x − 4) < 3− x x≥ − d) 83 73 x< − e) Giải bất phương trình sau: 2x − x + < 2+ c) x≥ 17(x + 5) + 41x ≥ −15(x + 4) − d) 4(2 − 3x) − (5− x) > 11− x ĐS: a) Bài b) 8x + 17− 3(2x + 3) ≤ 10( x + 2) x≥ − 6x − 1− (3x+9) ≤ 8x − − (2x − 1) 3(x + 1) x−1 ≤ 3− b) d) 5(x − 1) 2(x + 1) − 1≥ 3x + x+ − 1≤ +x x> f) 18 ) e) 1 x− 2x − x− 5− 3< 5 ĐS: a) Bài a) c) e) x < 20 c) e) c) b) (x − 1)2 + (x − 3)2 > x2 + (x + 1)2 d) (x − 2)2 3(x − 1)2 x2 + + < 10 d) x ≤ −5 x> e) 14 19 x< f) x> − b) f) x< c) 5(x − 1) − x(7 − x) < x2 (2x − 1)2 (3− x)2 < x(1,5x + 1) (2 − x)2 5x − ≥ −2 10 x< d) x> e) f) x≤ Giải bất phương trình sau:  8x  8x − < 5 + 3÷   2x + b) x+ x−1 x+ + ≤ −1 x− d) 2x + 1 > 3x − 5x x x − 3> − 6 x + 2x x > − + 15 15 ĐS: a) x tuỳ ý Bài x ≥ 15 (2x + 3)(2x − 1) > 4x(x + 2) ĐS: a) a) x≤ Giải bất phương trình sau: x< − Bài b) f) 2x − 22 − 7x 5− 2x 5x + + > − x− 4 b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức b) Giá trị biểu thức c) Giá trị biểu thức − 3(x + 1) x+ − x+ (x + 1)2 − x− d) Giá trị biểu thức không nhỏ giá trị biểu thức x lớn giá trị biểu thức x+ không lớn giá trị biểu thức 1− 2(x − 3) − (x − 3)2 x +2 2− nhỏ giá trị biểu thức x≤ ĐS: a) Bài a) c) 14 b) x < −2 x≤ c) d) x< Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x + 1987 x + 1988 x + 1989 x + 1990 + > + 2002 2003 2004 2005 x-1987 x − 1988 x − 1989 x − 1990 + > + 2002 2003 2004 2005 ĐS: a) x > 15 b) b) d) x−1 x− x− x− x− x− + + < + + 99 97 95 98 96 94 x+ x+ x+ x+ x+ x+ + + < + + 99 97 95 98 96 94 x > 100 Bài a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x−1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x+ chia hết cho 5, 8, 10) III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài a) d) Giải phương trình sau: −4x = x + 2x − 6x − = − x + ĐS: a) Bài a) d) a)  2 S = − ;   3 a) d) ĐS: a) Bài a) d) c) 1− 5x = − 5x S = { 0} c) x+ x−1 x+ − = + f)  9 S=    7 d) 2x − = 5x − S= ∅ e)  19  S=    20 f)  1 S=    8 b) 2x2 − 5x + = −2x2 + c) x2 + 4x − = x2 − 3x2 − 7x + = − x2 + 5x − S = { 0;1;3} b)  1 S = 1;   4 c) S = { −3;1} d) S = { 2} Giải phương trình sau: 3x − = x− 1− 2x 5x2 − 7x + ĐS: a) Bài b) x2 − 2x = x x2 − 4x + d) e) − x = − 3x Giải phương trình sau: ĐS: a) Bài b) −2x + = b) = x− e) S = { 2} b)   S = − ;4   x2 − 6x + x+ −2x2 + 7x − = 4− x 2x + c)  13 S = −   2 d) x −6 c) x2 − 36 =2 x2 + 5x + x2 + 3x + f) 3  S =  ;3 5  e) = x+ S = { 4} f) S = { −4} Giải phương trình sau: 2x + = x − b) 2x2 + 5x − 10 = 2x2 + S = { −2;0} b)  3 S=  ;   2 e) c) − 5x = 3x + x− + = 1  S =  ;1 11  d) c) x2 − 3x = x2 + f)  9 S = − ;1;   5 1+ 4x − 7x − = e) S = { 1;5} f)  1 S = 1;   2 Giải phương trình sau: 2x + − 5x − = x+ − x−1 = x b) e) x − x + − 1= 2x + − x + x − 1= c) f) x− + x− = x−1 + x+ = ĐS: a) S= ∅ b) S = { 4} c) 2≤ x ≤ d)  3 S=  ;   2 e)  1 S = −   2 f) S= ∅ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG Bài a) d) Giải bất phương trình sau: 3x − ≥ 5x+12 b) x+ x+ x+ + ≥ 1− ĐS: a) x ≤ −10 b) x< e) c) −4x + 15 < 24 − 7x c) 2x − − 2x ≤ −(2x + 1) x≥ x≥ − d) 11 f) x + 1≥ − 2x x−1 x− x− − ≤ x− x≤ − e) Bài 2 f) x ≥ −1 11x − < 8x + a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 + 2x + x2 − x + x2 + x + x + − > − c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: ĐS: a) Bài a) c) d) { −3; −2; −1} x − x − 15 x − 2005 x − 1995 + < + 2005 1995 15 b) 1987 − x 1988− x 27 + x 28+ x + + + >4 15 16 1999 2000  1  1 + + + + + +  ÷x ≥ 10.110  1.11 2.12 100.110  1.101 2.102 c) a) b) 2(3− x) − 1,5(x − 4) < 3− x Giải bất phương trình sau: ĐS: a) Bài { 1;2} 4(2 − 3x) − (5− x) > 11− x x > 2010 x ≥ 10 Trừ vế cho Biến đổi b) x < 1972 Trừ vế cho 1 1  1 1  = =  −  − ÷ ÷ k(100 + k) 100  k 100 + k  k(k + 10) 10  k k + 10  , Giải phương trình sau: x − − 5x = 7 − 4x 4x − + =9 4x − b) e) x − = 2x − 7x2 − 9x + = − 7x 5x + c) 2x − 11 − x = x2 − 8x + 15 f) 2x2 − 9x − = 3x − ĐS: a)  5 S=    3 b)  14 S = 4;   3 c) S = { 1;19} d)  15 S = − ;   4 e)  2 S = − ;   7 f) S = { 3} ... biểu thức x≤ ĐS: a) Bài a) c) 14 b) x < −2 x≤ c) d) x< Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x + 1 987 x + 1 988 x + 1 989 x + 1990 + > + 2002 2003 2004 2005 x-1 987 x − 1 988 x − 1 989 ... ( II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bài a) c) e) Giải bất phương trình sau: 3(2x − 3) ≥ 4(2 − x) + 13 a) b) f) x≥ − c) 2(3− x) − 1,5(x − 4) < 3− x x≥ − d) 83 73 x< − e) Giải bất phương trình. .. 11x − < 8x + a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 + 2x + x2 − x + x2 + x + x + − > − c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d)