CHUYÊN ĐỀ: CASIO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG THẦY HƯNG CMA SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN I NGUYÊN HÀM VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số : A f  x   e B f  x   x.e 2x ex C f  x   2x x2 D f  x   x 2e x  VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y  x.e2 x : 2x A 2e  x    C   2x  1 e x C  2 B 1 2 C 2e2 x  x    C D 2x e  x  2  C VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  : A  f  x  dx   2x  1 f  x  dx   C  2x   C B 2x   C D VD4- Một nguyên hàm hàm số f  x   A VD5 - Nguyên hàm hàm số f  x   A ln  x    2ln  x    C ln C x2 C x2 1|Page  f  x  dx  2x   C 2x   C x  3x  : x B x 3x   ln x 2 D x2  x x2 2x2  3x  2ln x x2  3x  ln x  C  f  x  dx   2x  1 : x 4 B 2ln  x    ln  x    C D ln x2 C x2 VD6-[Báo toán học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f  x   sin x.cos x tập số thực là: A cos x  C B  cos x  C D  sin x  C C  sin x.cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm A B tan x  C tan x  C sin x  cos4 x dx : C 3tan3 x  C D tan x  C x Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f  x   2016 : A 2016 x C ln 2016 B C x.2016 x.ln 2016  C D 2016x.ln 2016  C x.2016 x 1 C ln 2016 Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau nguyên hàm hàm số f  x  x  x  2  x  1 : x  x 1 x1 A x2  x  C x  x  x 1 x1 B D   Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm ngun hàm hàm số  x  A x3  3ln x  x C 3 B x3  3ln x  x C C 3 D x2 x1   x dc x  x3  3ln x  x C 3 x3  3ln x  x C 3 Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A x2  x   x  dx B  x2  x  2dx Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] 2|Page  C  sin 3xdx ln x dx : x D e 3x dx  B A  ln x   C  ln x  C C ln x C D   ln x  C  Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số f  x   e x  2017e2 x : A B e x  2017 e  x  C C ex  2017  x e C e x  2017 e  x  C D e x  2017 x e C Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm A ln x   ln x   C 3 2x  dx :  x 1  2x B  ln x   ln x   C 3 ln x   ln x   C C 3 D  ln x   ln x   C 3 II TÍCH PHÂN 1) LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN Để tính giá trị tích phân xác định ta sử dụng lệnh 2) VÍ DỤ MINH HỌA  VD1-[Câu 25 đề minh họa 2017] Tính giá trị tính phân I   cos3 x.sin xdx A I    4 B  ln VD2-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Tính tích phân I    e2  B ln  D  C e2 x e2 x  1 dx ln 2  D Cả đáp án sai a x  2x  dx có VD3-[THP Nguyễn Đình Chiểu – Bình Dương 2017] Giá trị a để tích phân  x  A a2  a  ln : A B C giá trị C VD4-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] So sánh tích phân  I   xdx, J   sin x cos xdx, K   x.e x Ta có kết sau 3|Page D A I  K  J B I  J  K D K  I  J C J  I  K VD 5-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân   3x   x  dx A  B C VD 6-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] 11 D  Cho biết cos x  sin x  cos x dx  a  ln b   a  1.1  b  3 Tích ab ? A B C D BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu  sin n x cos xdx  A B n : 64 C D Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân  3x x  : A ln Bài 3-[Group Nhóm Tốn 2107] Tích phân e x ln A ln B ln D 3 C 5 B dx :  2e x  C ln  a Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho D ln cos x   2sin x dx  ln Tìm giá trị a : A B C D a Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị a để   3x   dx  a  ?: A B C D x  2ln x Bài 6-[THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân I   dx : x e A I  e  B I  e2  C I  e  D I  e2 TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO dx VD1 Biết   a ln  b ln  c ln với a, b, c số nguyên Tính S  a  b  c x x A S  B S  C S  2 D S  (Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017) 4|Page VD2 Cho I  ln  x  1 dx  a ln  b ln  c   a, b, c  Z  Tính giá trị biểu thức A  abc A C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) B  VD3 Cho I  sin x  cos x  sin x  cos x dx   a  b  ln  c ln  a, b, c  Q  Tính giá trị biểu thức : A  a bc A B C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)   VD4 Cho I  sin xdx   a  b  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức A  a b A 11 32 B  32 D C (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)  VD5 Cho I  x 1  sin x  dx   2 a   a, b, c  Z  với b a phân số tối giản Tính biểu thức b A  a b A 20 B 40  VD6 Cho I  x3 ln xdx  C 60 D 10 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) ae4  b a b  a, b, c  Z  với ; phân số tối giản Tính biểu thức A  a  b c c c B 28 A 15 C 36 D 46 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)   VD7 Cho tích phân I  esin x sin xdx Nếu đổi biến số t  sin x :  A I   e t t.dt B I   e t t.dt C I   e t t.dt  D I   e t t.dt (Trích đề thi ĐH khối B năm 2005) 5|Page 4x 1 dx thành tích phân 2x 1  VD8 Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân I    f  t  dt Khi f  t  hàm hàm số sau ? 2t  A f  t   t2  2t  B f  t  2t  C f  t   t   D f  t    8t   t   t  2t    8t   t   2t (Trích đề thi ĐH khối D năm 2011) VD9 Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt t   ln x nguyên hàm ln x  ln x dx có dạng :  x A  3t t 3  1 dt B  t t 3  1 dt C  3t t 3  1 dt D  t t 3  1 dt BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài Cho tích phân  tan  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức xdx  a  b P  ab A P  B P  Bài Cho tích phân  a, b  Q  1 x x e dx  a.e  b.e  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức P  a  b x  B P  0.5 A P  1 11 D P  4 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) C P  C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)  cos 3x  2cos x   3sin x  cos x dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Tính P  a  b  c Bài Cho tích phân A P  3 B P  2 Bài Cho tích phân  2x P  a bc 6|Page C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) dx  a ln  b ln  c ln11  5x   a, b, c  Z  Tính giá trị biểu thức B P  3 A P  C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) x2  x  Bài Cho tích phân  dx  a ln  b ln  c x2  x  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu thức P  a bc A P  B P  2 C D 1 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x  đưa tích phân I  dx x x2 1 thành tích phân sau ? A  dt t 1 B  dt t 1 C  t t 3 dt 1  D  t t dt 1  3 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t   3cos x đưa nguyên hàm I   sin x  sin x dx  3cos x thành nguyên hàm sau ? A  2t  t dt B 2t  dt 9 t C  2t  dt D 2t  dt 9 t t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t   3cos x đưa nguyên hàm I   sin x  sin x dx  3cos x thành nguyên hàm sau ? A  2t  t dt B 2t  dt 9 t C  2t  dt D 2t  dt 9 t t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) III DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a, x  b tính theo cơng thức b S   f  x   g  x  dx (1) (Dạng 1) a Quy ước : Trong học ta gọi đường thẳng x  a cận thứ , x  b cận thứ hai 7|Page Chú ý : Khi đề khơng cho hai cận hai cận có dạng x  x1 , x  x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  hai cận y  a, y  b tính theo công thức : b S   f  y   g  y  dy (2) (Dạng 2) a Tổng hợp phương pháp (gồm bước) +)Bước 1: Xác định rõ hai hàm y  f  x  , y  g  x  x  f  y  , x  g  y  +)Bước 2: Xác định rõ cận x  a, x  b y  a, y  b +)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x đồ thị hàm số y  x  x A 37 12 B 81 C 12 D 13 VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miền  D  giới hạn đồ thị hàm số y  ln  x  1 , y  ln x , x  Diện tích miền phẳng  D  : A ln 16 ln   B  ln 2   3ln      3ln  16  ln  27 ln 16  ln 27 1 C D VD3-[Th thử website Vnmath.com lần năm 2017] Đường thẳng y  c chia hình phẳng giới hạn đường cong y  x đường thẳng y  thành hai phần Tìm c A B C 2 D 16 3 VD4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  trục Oy : A B C D VD5-[Sách tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  y , đường cong x  y  trục hoành A B 5 C D D 7 VD6 y2 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip có phương trình x  9 A  8|Page B 3 C VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB  2  m  , AD   m  Tính diện tích đất phần lại (đơn vị tính m ) A 4  C 4  B    1 D 4  VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  0, x  x  ln Đường thẳng x  k   k  ln  chia  H  thành hai phần có diện tích S1 , S2 hình vẽ bên Tìm k để S1  2S2 A k  ln B k  ln C k  ln D k  ln 3 VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng m Hổi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn) A 7.862.000 B 7.653.000 C 7.128.000 D 7.826.000 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x , đường thẳng y   x trục hoành miền x  : A B C D D 15 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  y  x  x  A 15 14 B 15 10 A 20 B C 15 Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y  x  : 40 C D 52 Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x đồ thị hàm số y   x trục tung 9|Page A  ln B  ln C 5 ln D  Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm tốn 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  , x   1 viết dạng S  a 1   Tìm khẳng định sai :  e A B C a2  3a   a  3a   a a20 D ln , x  e e 2a2  3a   Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  P  : y  x  x  tiếp tuyến với  P  qua điểm A  2; 2  : A B 16 64 C D 40 Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  ax  a   , trục hoành đường thẳng x  a ka Tính giá trị tham số k B k  3 IV THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY A k  C k 12 D k  1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Dạng : Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S  x  tạo mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ x  a  x  b  Giả sử S  x  hàm liên tục thể tích vật thể tích theo cơng thức : b V   S  x  dx a Dạng : Cho hình phẳng  H  tạo đường y  f  x  , y  g  x  đường thẳng x  a , x  b Khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox vật thể tròn xoay tích tính theo cơng thức : b V    f  x   g  x  dx a Dạng : Cho hình phẳng  H  tạo đường x  f  y  , x  g  y  đường thẳng y  a , y  b Khi quay hình phẳng  H  quanh trục Oy vật thể tròn xoay tích tính theo cơng thức : b V    f  y   g  y  dy a 10 | P a g e 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] x Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu hình  H  quay xung quanh trục Ox A V   2e B V    2e   C V  e    D V  e   VD2-[Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017] Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x ; y  quanh trục Ox A 4 B 3  C D  VD3-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho D miền hình phẳng giới hạn y  sin x ; y  0; x  0; x   Khi D quay quanh Ox tạo thành khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay thu : A B  C 2 D VD4-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x 2y đường thẳng y  0; y  y 1 A 2 B 3  C D  VD5-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đường thẳng y  0, y  : A  B  VD6-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] 11 | P a g e  C D  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn hình tròn tròn tâm I  2;0  bán kính R  : A B 4 C 5 2 D 52 VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x  , biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  1 tam giác có cạnh ln 1  x  A  2ln  1 C  2ln  1 B  2ln  1 D 16  2ln  1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Gọi  S  miền giới hạn đường cong y  x , trục Ox hai đường thẳng x  1; x  Tính thể tích vật thể tròn xoay  S  quay quanh trục Ox : A 31  B 31  C 31 D 31 1 Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] x Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox giới hạn đồ thị hàm số y    x  e hai trục tọa độ A 2e  10 B  C  2e  10 2e  10   D  2e  10  Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  sin x; x  0; x   Thể tích vật thể tròn xoay sinh mặt phẳng  H  quay quanh trục Ox : 2 C  2 A 2 B D  Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn y  x  x , y  Tính thể tích khối tròn xoay thu quay  H  xuong quanh trục Ox 12 | P a g e a   1 Khi b  ta V    A B a  1; b  15 C a  241; b  15 a  7; b  15 D a  16; b  15 Bài 5-[Câu 54b Sách tập giải tích nâng cao 12] Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  giới hạn đường y  x3 , trục tung hai đường thẳng y  1, y  quanh trục Oy Khẳng định ? A B V 5 C V  V 2 D Bài 6-Cho hình phẳng  S  giới hạn đường y  x  x V 3  C  , trục tung Khi quay hình  S  quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay tích ? 5 A V  9 B V  C V 11 D V  8 Bài 7-Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên cho hình tròn tâm I  2;1 bán kính R  quay quanh trục Oy A 11 B V   V  4 C V 112 D V  2 Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  1 , x  Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x A 17 B 16 C  1  x  1 hình vng có cạnh D  x2 Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x   Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x    tam giác có cạnh sin x A  13 | P a g e B 2 C D ... TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm A B tan x  C tan x  C sin x  cos4 x dx : C 3tan3 x  C D tan x  C x Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f ... y   x ; y  quanh trục Ox A 4 B 3  C D  VD3-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho D miền hình phẳng giới hạn y  sin x ; y  0; x  0; x   Khi D quay quanh Ox tạo thành... Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  sin x; x  0; x   Thể tích vật thể tròn xoay sinh mặt phẳng  H  quay quanh trục Ox : 2 C  2 A