§3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tập hợp • Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa • Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp • Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu  Tập hợp – Tập hợp • A Ì B Û (" x ẻ A ị x ẻ B) Cỏc tớnh chất: + A Ì A, " A A Ì B, B è C ị A è C + ặè A, " A + • A = B Û ( A Ì B B Ì A) Û (" x , x Ỵ A Û x Ỵ B) Một số tập tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn | Tập số thực (- ¥ ; + ¥ ) ¡ a /////[ Đoạn éëa ; bùû ]//// { x Ỵ ¡ | a £ x £ b} a /////( Khoảng (a ; b) { x Ỵ ¡ | x < a} )//// )////// /////( a /////[ Khoảng ( a ; + ¥ ) b a { x Ï ¡ | a < x < b} a Khoảng (- ¥ ; a) b b )//// { x Ỵ ¡ | a < x} http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word a b /////( a ]//// { x Î ¡ | a £ x < b} Nửa khoảng éëa ; b) Nửa khoảng (a ; bùû { x Î ¡ | a < x £ b} Nửa khoảng (- Ơ ; a] { x ẻ Ă | x £ a} Nửa khoảng [a ; + ¥ ) { x Ỵ ¡ | x ³ a} Các phép tốn tập hợp • Giao hai tập hợp: A Ç B Û {x | x Ỵ A x Î B} • Hợp hai tập hợp: A È B {x|x ẻ A hoc x ẻ B} ã Hiệu hai tập hợp: A \ B Û {x| x Ỵ A x Ï B} Phần bù: Cho B Ì A C A B = A \ B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {1; 2; 4; 8;16} A A = {x Ỵ N | x £ 4} B B = {x Ỵ N | xM x £ 16} C C = {2n | n £ n Ỵ N } D.Cả A, B, C Lời giải: Ta có tập hợp A, B, C viết dạng nêu tính chất đặc trưng A = {x Ỵ N | x £ 4} B = { x Ỵ N | xM x £ 16} http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word C = {2n | n £ n Ỵ N } ìï ü ï x2 + Ví dụ 2: Cho tập hợp A = ùớ x ẻ Z| ẻ Zùý ùùợ ùùỵ x a) Hãy xác định tập A cách liệt kê phần tử A A = {- 2; ; 0;1; 2} B A = {- 2; - 1; 0; 2} C A = {- 2; - 1;1; 2} D A = {- 2; - 1; 0;1; 2} b) có tập tập hợp A mà số phần tử nhỏ A.16 B.12 C.15 D.10 Lời giải: a) Ta có x2 + 2 = x + Ỵ Z với x Ỵ Z x ước hay x Î {- 2; - 1; 0;1; 2} x x Vậy A = {- 2; - 1; 0;1; 2} b) Tất tập tập hợp A mà số phần tử nhỏ Tập khơng có phần tử nào: Ỉ Tập có phần tử: {- 2}, {- 1}, {0}, {1}, {2} Tập có hai phần thử: {- 2; - 1}, {- 2; 0}, {- 2;1}, {- 2; 2}, {- 1; 0} {- 1;1}, {- 1; 2}, {0;1}, {0; 2}, {1; 2} Ví dụ 3: Cho A = {- 4; - 2; - 1; 2; 3; 4} B = {x Ỵ Z| x £ 4} Tìm số tập hợp X cho a) X Ì B\ A A.7 B.8 C.6 D.5 B.8 C.6 D.5 C.6 D.5 b) A Ì X Ì B A.7 c) A È X = B với X có bốn phần tử A.7 B.8 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ìï x £ Ta có ïí Û ïï x Ỵ Z ỵ ìï - £ x £ Û x Ỵ {- 4; - 3; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4} ớù ùùợ x ẻ Z Suy B = {- 4; - 3; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4} a) Ta có B\ A = {- 3; 0;1} Suy X Ì B\ A tập hợp X Ỉ, {- 3}, {0}, {1}, {- 3; 0}, {- 3;1}, {0;1}, {- 3; 0;1} b) Ta có {- 4; - 2; - 1; 2; 3; 4}Ì X Ì {- 4; - 3; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4}suy tập hợp X {- 4; - 2; - 1; 2; 3; 4}, {- 4; - 2; - 3; - 1; 2; 3; 4}, {- 4; - 2; - 1; 0; 2; 3; 4} {- 4; - 2; - 1;1; 2; 3; 4}, {- 4; - 2; - 3; - 1; 0; 2; 3; 4}, {- 4; - 2; - 3; - 1;1; 2; 3; 4} {- 4; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4}, {- 4; - 3; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4} c) Ta có A È X = B với X có bốn phần tử tập hợp X {- 4; - 3; 0;1}, {- 3; - 2; 0;1}, {- 3; - 1; 0;1}, {- 3; 0;1; 2}, {- 3; 0;1; 3}, {- 3; 0;1; 4} Ví dụ 4: Cho tập hợp: { } A = x Ỵ R|(x + x + 6)(x - 4) = B = {x Ỵ N |2 x £ 8} C = {2x + 1|x Ỵ Z - £ x £ 4} a) Hãy viết lại tập hợp A, B, C dạng liệt kê phần tử A A = {- 6; - 2; - 1; 2} B B = {0;1; 2; 3; 4} C C = {- 3; - 1;1; 3; 5;7; 9} D.Cả A, B, C b) Tìm A È B, A Ç B, B\C , C AÈ B (B \C ) A A È B = {- 6; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4}, A Ç B = {2} B B\C = {0; 2; 4} C C AÈ B (B \C ) = {- 6; - 2; - 1;1; 3} D Cả A, B, C http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word c) Tìm ( A È C )\ B A ( A È C)\ B = {- 3; - 1; 5;7; 9} B ( A È C)\B = {- 6; - 3; - 2; - 1; 5} C ( A È C)\ B = {- 6; - 3; - 2; - 1; 5;7; 9} D ( A È C)\ B = {- 6; - 3; 5;7; 9} Lời giải: a) · Ta có: (x2 + x + 6)(x2 - 4) = éx + x + = éx = - éx = - Û êê Û ê ê êx = - êx= êëx - = ë ë Vậy A = {- 6; - 2; - 1; 2} ïì x Ỵ N · Ta có ïí Û ïỵï x £ ïìï x Ỵ N Û x Ỵ {0,1, 2, 3, 4} í ïỵï x £ Vậy B = {0;1; 2; 3; 4} ìï x Ỵ Z · Ta có ïí Û x Ỵ {- 2, - 1,0,1, 2, 3, 4} ïïỵ - £ x £ Suy C = {- 3; - 1;1; 3; 5;7; 9} b) Ta có: A È B = {- 6; - 2; - 1; 0;1; 2; 3; 4}, A Ç B = {2}, B\C = {0; 2; 4} C AÈ B (B \C ) = (A È B)\(B \C ) = {- 6; - 2; - 1;1; 3} c) Ta có: A È C = {- 6; - 3; - 2; - 1;1; 2; 3; 5;7; 9} Suy ( A È C)\ B = {- 6; - 3; - 2; - 1; 5;7; 9} Bài tập luyện tập Bài 1.27: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng A = {- 4; - 3; - 2; - 1; ; 1; 2; 3; 4}, B = {1 ; 3; 5; 7; 9}, C = {0;1; 4; 9;16; 25} http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word A A = {x Ỵ N | x £ 4} B B = {x Ỵ N|x số lẻ nhỏ 10}, C C = {n2 | n số tự nhiên nhỏ 6} D Cả A, B, C Lời giải: Bài 1.27: Ta có tập hợp A, B, C viết dạng nêu tính chất đặc trưng A = {x Ỵ N | x £ 4}, B = {x Ỵ N|x số lẻ nhỏ 10}, C = {n2 | n số tự nhiên nhỏ 6} Bài 1.28: a) Trong tập sau đây, tập tập tập A = {1; 2; 3} B = {n Ỵ N n < 4} C = (0; + ¥ D = x Ỵ R 2x2 - + = ) { } A A Ì B, B A Ì C C D Ì C D Cả A, B, C b) Tìm số tập X thoả mãn bao hàm thức sau; {1; 2}Ì A.8 X Ì {1; 2; 3; 4; 5} B.7 C.6 D.5 Lời giải: Bài 1.28: a) A Ì B, A Ì C , D Ì C b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5} ìï ü ï 14 Bài 1.29: Cho tập hợp A = ïí x Ỵ ¡ | Ỵ Zïý ùợù ùỵ x+ ù a) Hóy xỏc nh tập A cách liệt kê phần tử ìï 64 ü ï A A = ïí ; ïý ùùợ 9 ùùỵ ỡù 64 ỹ ù B A = ùớ ; ùý ùùợ 3 ùùỵ ùỡ 64 ïü C A = ïí ; ïý ïïỵ 5 ùùỵ b) Tỡm s ca hợp A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ìï 64 ü ï D A = ïí ; ïý ïïỵ 7 ùùỵ A.1 B.2 C.3 D.4 Li gii: Bi 1.29: a) Ta có Mặt khác Hay x = 14 x+ x ³ suy < Ỵ Z nên 14 x+ 14 x+ £ 14 14 = x+ = 64 x = 9 ìï 64 ü ï Vậy A = ïí ; ïý ïïỵ 9 ùùỵ ỡù ỹ ù ỡù 64 ỹ ï ìï 64 ü ï b) Tất tập tập hợp A Ỉ, ïí ïý , ïí ïý , ïí ; ïý ïïỵ ùùỵ ùùợ ùùỵ ùùợ 9 ùùỵ { } Bài 1.30: Cho A = x Ỵ ¡ |(x4 - 16)(x2 - 1) = B = {x Ỵ N |2x - £ 0} Tìm số tập hợp X cho a) X Ì B\ A A.8 B.7 C.6 D.5 C.2 D.1 b) A\ B = X Ç A với X có hai phần tử A.4 B.3 Lời giải: Bài 1.30:: Ta có A = {- 2; - 1;1; 2} B = {0;1; 2; 3; 4} a) Ta có A\ B = {0; 3; 4} Suy X Ì A\ B tập hợp X Ỉ, {0}, {3}, {4}, {0; 3}, {0; 4}, {3; 4}, {0; 3; 4} b) Ta có A\ B = {- 2; - 1} với X có hai phần tử X = {- 2; - 1} Bài 1.31: Cho tập A = {- 1;1; 5; 8}, B ="Gồm ước số nguyên dương 16" a) Viết tập A dạng tính chất đặc trưng phần tử http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Viết tập B dạng liệt kê phần tử { A A = x Ỵ ¡ (x + 1)(x - 1)(x - 5)(x - 8)= 0} B B = {1; 2; 4; 8; 16} C.Cả A, B sai D.Cả A, B b) Khẳng định sau nhất? A A Ç B = {1; 8} B A È B = { - 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16} C A\B = { - 1; 5} D Cả A, B, C Lời giải: { Bài 1.31: a) Ta có A = x Ỵ ¡ (x + 1)(x - 1)(x - 5)(x - 8)= 0} B = {1; 2; 4; 8; 16} b) Ta có A Ç B = {1; 8}, A È B = { - 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16}, A\B = { - 1; 5} Bài 1.32: Cho tập hợp E = { x Ỵ N |1 £ x < 7} A = { x Ỵ N |(x2 - 9)(x2 – 5x – 6) = 0} B = {x Î N | x số nguyên tố nhỏ 6} a) Chứng minh A Ì E B Ì E b) khẳng định sau nhất? C E A ; C E B ; C E ( A È B) A CE A = E\ A = {1; 2; 4; 5} B CE B = E\ B = {1; 4; 6} C CE ( A È B) = E \(A È B) = {1; 4} D.Cả A, B, C http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word c) Chứng minh : E \( A Ç B) = (E \ A)È ( E \ B) Lời giải: Bài 1.32: a) Ta có E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {3; 6} B = {2; 3; 5} Suy A Ì E B Ì E b) Ta có CE A = E\ A = {1; 2; 4; 5}; CE B = E\B = {1; 4; 6} A È B = {2; 3; 5; 6}Þ C E ( A È B) = E \(A È B) = {1; 4} c) Ta có A Ç B = {3}ị C E ( A ầ B) = E \(A Ç B) = {1; 2; 4; 5; 6} E \ A = {1; 2; 4; 5}; E \ B = {1; 4; 6}Þ (E \ A)È ( E \ B) = {1; 2; 4; 5; 6} Suy E \( A Ç B) = (E \ A)È ( E \ B) ➢ DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN Phương pháp giải · Chuyển tốn ngơn ngữ tập hợp · Sử dụng biểu đồ ven để minh họa tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ tìm kết tốn Trong dạng tốn ta kí hiệu n (X ) số phần tử tập X Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mỗi học sinh lớp 10A1 biết chơi đá cầu cầu lơng, biết có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi hai Hỏi lớp 10A1 có em biết đá cầu? A.10 B.40 C.15 D.25 Lời giải: Dựa vào biểu đồ ven ta suy số học sinh biết đá cầu 25 - 15 = 10 25 15 Số học sinh biết đánh cầu lông 30 - 15 = 15 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 30 Do ta có sĩ số học sinh lớp 10A1 10 + 15 + 15 = 40 Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn cịn 24 bạn khơng biết chơi mơn bóng Tìm số học sinh biết chơi mơn bóng Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh có 25 em thích mơn Văn, 20 em thích mơn Tốn, 18 em thích mơn Sử, em khơng thích mơn nào, em thích ba mơn Hỏi số em thích mơn ba mơn A.15 B.20 C.25 D.30 Lời giải: Gọi a , b , c theo thứ tự số học sinh thích mơn Văn, Sử, Tốn; x số học sịnh thích hai mơn văn tốn y số học sịnh thích hai mơn Sử tốn z số học sịnh thích hai mơn văn Sử Ta có số em thích môn 45 - = 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình ìï a + x + z + = ïï ïï b + y + z + = í ïï c + x + y + = ïï ïïỵ x + y + z + a + 25 (1) 18 (2) 20 (3) b + c + = 39 (4) c 20(T) x 25(V) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có y a z b 18(S) a + b + c + (x + y + z)+ 15 = 63 (5) Từ (4) (5) ta có a + b + c + (39 - - a - b - c)+ 15 = 63 Û a + b + c = 20 Vậy có 20 em thích mơn ba mơn Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi mơn Lý 11 học sinh giỏi mơn Hóa Biết có học sinh vừa giỏi Tốn Lý, học sinh vừa giỏi Lý Hóa, học sinh vừa giỏi Hóa Tốn, có 11 học sinh giỏi hai mơn Hỏi có học sinh lớp http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 10 a) Viết tập A, B, C dạng tính chất đặc trưng phần tử A A = [- 1; 2) = { x - £ x < 2} B B = (- 3; 1) = { x - < x < 1} C C = (1; 4] = { x < x £ 4} D.Cả A, B, C b) Xác định phép tốn A Ç B, B È C , A\B A A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 2; 4)\{1}, A\B = [1; 2) B A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 3) C A Ç B = [ - 2;1), B È C = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 2) D A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 2) Lời giải: Bài 1.41: a) Ta có: A = [- 1; 2) = { x - £ x < 2} , B = (- 3; 1) = { x - < x < 1} C = (1; 4] = { x < x £ 4} b) Ta có A Ç B = [ - 1;1), B È C = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 2) Bài 1.42: Cho hai tập hợp A = éë0; 4), B = {x Ỵ ¡ / x £ 2}.Hãy xác định khẳng định A A È B = éë- 2; 4) B A Ç B = éë0; 2ùû C A \ B = (2; 4) D.Cả A, B, C Lời giải: é é ù Bài 1.42: A = éë0; 4), B = éë- 2; 2ù û, A È B = ë- 2; 4), A Ç B = ë0; 2û, A \ B = (2; 4) Bài 1.43: a) Cho A = { x Ỵ R|- £ x < } B={ x Ỵ R|- < x < < x £ } C={ x Ỵ R| x ³ } Tìm A Ç B, A È C , B\C ? A A Ç B = éë- 1; 2)È (2; 5) A È C = éë- 1; + ¥ ) B \C = (- 2; 0)È (1; 2) B A Ç B = éë- 1; 0)È (1; 5) A È C = éë- 2; + ¥ ) B \C = (- 3; 0)È (1; 2) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 25 C A Ç B = éë- 1; 2)È (1; 5) A È C = éë- 1; + ¥ ) B \C = (- 3; 0)È (1; 2) A È C = éë- 1; + ¥ ) B \C = (- 2; 0)È (1; 2) D A Ç B = éë- 1; 0)È (1; 5) b) Cho A = (- ¥ , - 2), B = [2m + 1, + ¥ ) Tìm m để A È B = R A m ³ - B m < - C m £ - D m > - Lời giải: Bài 1.43: a) A Ç B = éë- 1; 0)È (1; 5) A È C = éë- 1; + ¥ b) A È B = R Û 2m + < - Û m < - ) B \C = (- 2; 0)È (1; 2) Bài 1.44: a) Tìm m (1; mự ỷầ (2; + Ơ ) Æ A m < B m> C m £ D m ³ ìï x £ ïï b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + ³ dạng tập số ïï ïïỵ x < A A = éë0; 1) B A = éë- 1; 0) C A = éë- 1; 1) D A = éë1; 0) Lời giải: Bài 1.44: a) Để (1; mù ỷầ (2; + Ơ )ạ ặ thỡ m> ìï x £ ïï b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + ³ dạng tập số ïï ïïỵ x < ìï x £ ìï x £ ïï ïï Có ïí x + ³ Û ïí x ³ - Û ïï ïï ïïỵ x < ùùợ x < ỡù x ẻ (- Ơ ; 3] ùù ùớ x ẻ [ - 1; + ¥ ) (biểu diễn trục số) ïï ùùợ x ẻ (- Ơ ; 0) x ẻ (- Ơ ; 3] ầ[ - 1; + Ơ ) ầ (- Ơ ; 0) x ẻ [ - 1; 0) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 26 Vậy A = éë- 1; 0) é ù Bài 1.45: Cho A = éëm; m + 2ù û B = ën; n + 1û.Tìm điều kiện số m n để A ∩ B =  é2m - n < - A ê ê2m - n > ë ém - n < - B ê êm - 2n > ë ém - n < - C ê êm - n > ë ém - 2n < - D ê êm - n > ë Lời giải: ém - n < - Bài 1.45: ê êm - n > ë é m+ Bài 1.46: Cho tập hợp A = êm - 1; êë 1ù ú B = (- ¥ ; - 2)È é2; + ¥ ) Tìm m để ë ú û a) A Ì B A m ³ - B m £ - C m < - D m> - B - £ m < C - < m £ D - £ m £ b) A Ç B = Ỉ A - < m < Lời giải: Bài 1.46: Điều kiện để tồn tập hợp A m - < éA Ì (- ¥ ; - 2) éêm + < - Û ê Û a) A Ì B Û êê ê êë A Ì éë2; + ¥ ) êë m - ³ m+ Û m < (*) ém < - ê êm³ ë Kết hợp với điều kiện (*) ta có m < - giá trị cần tìm ìï - £ m - ï Û b) A Ç B = ặ ùớ m + ùù - ìï m < ïí Û - < m < (*) ïïỵ m > - Với điều kiện (*), ta cú : a) A ầ B ặ m – < 2m + Û m > - So sánh với (*) ta thấy giá tr m tha yờu cu A ầ B Æ –2 < m < ìï m - ³ - ìï m ³ - b) A Ì B Û ïí Û ïí Û m > So sánh (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn u ïïỵ 2m + > ïïỵ m > cầu A Ì B < m < ìï m - £ - ìï m £ - c) B Ì A Û ïí Û ïí Û m £ - So sánh với (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn u ïïỵ 2m + £ ïïỵ m £ cầu B Ì A - < m £ - ìï m - ³ - 1 d) ( A Ç B) Ì (- 1; 3) Û ïí (thỏa (*)) Û 0£ m£ ùùợ 2m + Ê Đ5 S GN ĐÚNG SAI SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số gần Trong nhiều trường hợp ta biết giá trị đại lượng mà ta biết số gần Ví dụ: giá trị gần p 3,14 hay 3,14159; 1,41 hay 1,414;… http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 28 Như có sai lệch giá trị xác đại lượng giá trị gần Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa khái niệm sai số tuyệt đối Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối số gần Nếu a số gần a D a = a - a gọi sai số tuyệt đối số gần a · Độ xác số gần Trong thực tế, nhiều ta a nên ta khơng tính D a Tuy nhiên ta đánh giá D a khơng vượt q số dương d Nếu D a £ d a - d £ a £ a + d , ta viết a = a ± d d gọi độ xác số gần b) Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a , kí hiệu da tỉ số sai số tuyệt đối a , tức da = Da | a| Nhận xét: Nếu a = a ± d D a £ d suy da £ d d nhỏ chất lượng phép | a| | a| đo đạc hay tính tốn cao Quy tròn số gần · Nguyên tắc quy tròn số sau: - Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải - Nếu chữ số sau hàng quy trịn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào số hàng vi tròn Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai sơ tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui trịn Như vậy, độ xác số qui tròn nửa đơn vị hàng qui tròn Chú ý: Các viết số quy tròn số gần vào độ xác cho trước: Cho số gần a với độ xác d Khi yêu cầu quy tròn a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng ta quy tròn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 29 Chữ số (đáng tin) Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a , chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Dạng chuẩn số gần - Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ chắn - Nếu số gần số nguyên dạng chuẩn A 10k A số nguyên , k hàng thấp có chữ số ( k Ỵ N ) (suy chữ số A chữ số chắn) Khi độ xác d = 0, 5.10 k Kí hiệu khoa học số Mọi số thập phân khác viết dạng a 10n , £ a < 10, n Ỵ Z (Quy ước 10- n = ) 10n dạng gọi kí hiệu khoa học số B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TỐN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG VIẾT SỐ QUY TRỊN Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Độ dài cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo 996m ± 0,5m Sai số tương đối tối đa phép đo A 0,07% B 0,06% C 0,05% D 0,03% Lời giải: Ta có độ dài gần cầu a = 996 với độ xác d = 0, Vì sai số tuyệt đối D a £ d = 0, nên sai số tương đối da = D a d 0,5 £ = » 0,05% a a 996 Vậy sai số tương đối tối đa phép đo 0,05% Ví dụ 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối số gần a, b biết sai số tương đối chúng a) a = 123456, da = 0, 2% http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 30 A D a = 146,954 B D a = 146,99 C D a = 146,912 D D a = 146,941 B D a = 0,0062179 C D a = 0,1262179 D D a = 0, 5062179 b) a = 1, 24358, da = 0, 5% A D a = 0,0012179 Lời giải: Ta có da = Da Û D a = a da a a) Với a = 123456, da = 0, 2% ta có sai số tuyệt đối D a = 123456.0, 2% = 146,912 b) Với a = 1, 24358, da = 0, 5% ta có sai số tuyệt đối D a = 1, 24358.0, 5% = 0,0062179 Ví dụ 3: Làm trịn số sau với độ xác cho trước a) a = 2,235 với độ xác d = 0,002 A a » 2, 23 B a » 2, 24 C a » 2, 22 D a » 2, 25 C a » 23746000 D a » 23747000 b) a = 23748023 với độ xác d = 101 A a » 23749000 B a » 23748000 Lời giải: a) Ta có 0,001 < 0,002 < 0,01 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng phần trăm Do ta phải quy trịn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy a » 2, 24 b) Ta có 100 < 101 < 1000 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng nghìn Do ta phải quy trịn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy a » 23748000 Ví dụ 4: a) Hãy viết giá trị gần biết xác đến hàng phần trăm hàng phần nghìn = 2,8284 Ước lượng sai số tuyệt đối trường hợp A 2,826 B 2,829 C 2,828 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 31 D 2,827 b) Hãy viết giá trị gần 3 20154 xác đến hàng chục hàng trăm biết 20154 = 25450,71 Ước lượng sai số tuyệt đối trường hợp A 25449 B 25452 C 25450 D 25451 Lời giải: a) Ta có = 2,8284 giá trị gần - 2,83 = 2,83 - Ta có đến hàng phần trăm 2,83 £ 2,83 - 2,8284 = 0,0016 Suy sai số tuyệt đối số gần 2,83 khơng vượt q 0,0016 đến hàng phần nghìn 2,828 Giá trị gần - 2,828 = Ta có - 2,828 £ 2,8284 - 2,828 = 0,0004 Suy sai số tuyệt đối số gần 2,828 không vượt 0,0004 b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có Do giá trị gần Ta có 20154 - 25450 = 3 20154 = 25450,71966 20154 đến hàng chục 25450 20154 - 25450 £ 25450,72 - 25450 = 0,72 Suy sai số tuyệt đối số gần 25450 không vượt 0,72 Giá trị gần Ta có 3 20154 đến hàng trăm 25500 20154 - 25500 = 25500 - 20154 £ 25500 - 25450,71 = 49, 29 Suy sai số tuyệt đối số gần 25500 khơng vượt q 49, 29 Ví dụ 5: Một ruộng hình chữ nhật có chiều dài x = 23m ± 0,01m chiều rộng y = 15m ± 0,01m Chứng minh a) Chu vi ruộng P = 76m ± 0,04m b) Diện tích ruộng S = 345m ± 0,3801m Lời giải: a) Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với - 0,01 £ a, b £ 0,01 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 32 Ta có chu vi ruộng P = (x + y) = (38 + a + b) = 76 + (a + b) Vì - 0,01 £ a, b £ 0,01 nên - 0,04 £ (a + b) £ 0,04 Do P - 76 = (a + b) £ 0,04 Vậy P = 76m ± 0,04m b) Diện tích ruộng S = x.y = (23 + a)(15 + b) = 345 + 23b + 15a + ab Vì - 0,01 £ a, b £ 0,01 nên 23b + 15a + ab £ 23.0,01 + 15.0,01 + 0,01.0,01 hay 23b + 15a + ab £ 0, 3801 suy S- 345 £ 0, 3801 Vậy S = 345m ± 0,3801m Bài tập luyện tập Bài 1.48: Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ 10000 Hãy viết quy tròn số A 79720000 B 79715000 C 79725000 D 79710000 Lời giải: Bài 1.48: Kq: 79720000 Bài 1.49: Đo độ cao núi h = 1372,5m ± 0,1m Hãy viết số quy tròn số 1372,5 A 1374 B 1371 C 1372 D 1373 Lời giải: Bài 1.49: Kq: 1373 Bài 1.50: Đo độ cao h = 347,13m ± 0,2m Hãy viết số quy tròn số 347,13 A 345 B 347 C 348 D 346 Lời giải: Bài 1.50: Kq: 347 Bài 1.51: Cho giá trị gần  a = 3,141592653589 với độ xác 10-10 Hãy viết số quy trịn a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 33 A 3,141592654 B 3,141592652 C 3,141592656 D 3,141592653 Lời giải: Bài 1.51: Kq : 3,141592654 Bài 1.52 Sử dụng máy tính bỏ túi, viết giá trị gần số sau, xác đến hàng phần nghìn : a) ; A 1,7320 B 1,732 C 1,733 D 1,731 B 9,870 C 9,872 D 9,871 b) p A 9,873 Lời giải: Bài 1.52 a) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có = 1,732050808 Do : Giá trị gần xác đến hàng phần trăm 1,73 Giá trị gần 3 xác đến hàng phần nghìn 1,732 b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị p 9,8696044 Do : Giá trị gần p xác đến hàng phần trăm 9,87 Giá trị gần p xác đến hàng phần nghìn 9,870 Bài 1.53: Hãy viết số quy trịn số a với độ xác d cho sau : a) a = 17658 ± 16 ; A 17780 B 17720 C 17500 D 17600 B 15,3 C 15,2 D 15,4 b) a = 15, 318 ± 0,056 A 15,5 Lời giải: Bài 1.53 a) Vì 10 < 16 < 100 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng trăm Nên ta phải quy trịn số 17638 đến hàng trăm Vậy số quy tròn 17700 (hay viết a » 17700 ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 34 b) Ta có 0,01 < 0,056 < 0,1 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng phần chục Do phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục Vậy số quy tròn 15,3 (hay viết a » 15, ) Bài 1.54: Cho a = 15 ± 0,002 , b = 0,123 ± 0,001 , c = 13 ± 0,05 Chứng minh rằng: a) a + b = 15,123 ± 0,003 b) 20a - 10b + c = 311,77 ± 0,1 c) a + bc = 16,599 ± 0,02115 Bài 1.55: Cho số x = Cho giá trị gần x : 0,28 ; 0,29 ; 0,286 Hãy xác định sai số tuyệt đối trường hợp ? A D a = B D b = C D c = 7 - 0, 28 = - 0, 29 = 175 700 - 0, 286 = ; 3500 D Cả A, B, C Lời giải: Bài 1.55: Ta có sai số tuyệt đối : Da = - 0, 28 = 175 ; Db = - 0, 29 = 700 ; Vì c < b < a nên c = 0,286 số gần tốt Bài 1.56: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m ± 0,5m chiều dài y = 63m ± 0,5m chu vi P miếng đất A P = 212m ± 4m B P = 212m ± 2m C P = 212m ± 0,5m D P = 212m ± 1m Lời giải: Bài 1.56: Giả sử x = 43 + u, y = 63 + v Ta có P = x + y = (43 + 63)+ 2u + 2v = 212 + (u + v) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 35 Theo giả thiết - 0,5 £ u£ 0,5 - 0,5 £ v £ 0,5 nên - £ (u + v) £ Do P = 212m ± 2m Bài 1.57: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo sau : a = 12 cm ± 0,2 cm ; b = 10,2 cm ± 0,2 cm ; c = cm ± 0,1cm Tính chu vi P tam giác? A P = 30,2 cm ± 0,2 cm B P = 30,2 cm ± cm C P = 30,2 cm ± 0,5 cm D P = 30,2 cm ± cm Lời giải: Bài 1.57: Giả sử a = 12 + d1 , b = 10, + d2 , c = + d3 Ta có P = a + b + c + d1 + d2 + d3 = 30, + d1 + d2 + d3 theo giả thiết : - 0, £ d1 £ 0, ; - 0, £ d2 £ 0, ; - 0,1 £ d3 £ 0,1 Suy –0, £ d1 + d2 + d3 £ 0, Do : P = 30,2 cm ± 0,5 cm Sai số tuyệt đối : D P £ 0, Sai số tương đối : dP £ d » 1,66% P ➢ DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: viết dạng chuẩn số gần a biết a) Số người dân tỉnh Nghệ An a = 3214056 người với độ xác d = 100 người A 3216.103 B 3214.103 C 3215.103 D 321.103 C 1,3 D 1,4 b) a = 1,3462 sai số tương đối a 1% A 1,5 B 1,34 Lời giải: 100 1000 = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm(số 0) khơng số chắc, cịn chữ số hàng 2 nghìn(số 4) chữ số a) Vì http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 36 Vậy chữ số 1, 2, 3, Cách viết dạng chuẩn 3214.103 b) Ta có da = Da Þ D a = da a = 1%.1, 3462 = 0,013462 a Suy độ xác số gần a khơng vượt q 0,013462 nên ta xem độ xác d = 0,013462 0,01 0,1 = 0,005 < 0,013462 < = 0,05 nên chữ số hàng phần trăm(số 4) khơng số chắc, 2 cịn chữ số hàng phần chục(số 3) chữ số Ta có Vậy chữ số Cách viết dạng chuẩn 1,3 Ví dụ 2: Viết số gần sau dạng chuẩn a) a = 467346 ± 12 A 4671.102 B 4674.102 C 4673.102 D 4672.102 B 2, C 2, 46 D 2, b) b = 2,4653245 ± 0,006 A 2, 47 Lời giải: a) Ta có 10 100 = < 12 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở chữ số chữ số số gần 2 viết dạng chuẩn 4673.102 0,01 0,1 = 0,005 < 0,006 < = 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở chữ số chữ số 2 số gần viết dạng chuẩn 2, b) Ta có Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ nghiên cứu liệu máy bay có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng Với máy bay năm(giả sử năm có 365 ngày) bay bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng 300 nghìn km/s Viết kết dạng kí hiệu khoa học Lời giải: Ta có năm có 365 ngày, ngày có 24 giờ, có 60 phút phút có 60 giây Vậy năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 37 Vì vận tốc ánh sáng 300 nghìn km/s nên vịng năm 31536000.300 = 9,4608.109 km Bài tập luyện tập Bài 1.58: Một hình lập phương tích V = 180,57cm3 ± 0,05cm3 Xác định chữ số chắn V A 1, 2, 3, B 1,8,0, C 1, 2,0, D 1,8,0, Lời giải: Bài 1.58: Kq : 0,01 0,1 £ 0,05 £ Þ 1,8,0,5 chữ số chắn 2 Bài 1.59: Số dân tỉnh A = 1034258 ± 300 (người) Hãy tìm chữ số viết A dạng chuẩn A A » 1032.103 B A » 1034.103 C A » 1035.103 D A » 1033.103 Lời giải: 100 1000 nên chữ số (hàng đơn vị), (hàng chục) ( = 50 < 300 < 500 = 2 hàng trăm ) chữ số không Các chữ số lại 1, 0, 3, chữ số Bài 1.59: Ta có : Do cách viết chuẩn số A A » 1034.103 (người) Bài 1.60: Người ta đo chu vi khu vườn P = 213,7 m ± 1,2m Hãy đánh giá sai số tương đối phép đo viết kết tìm dạng khoa học Lời giải: ìï a = 213,7 d 1, = 5,62.10- Bài 1.60: R = 213,7 m ± 1,2m Þ ïí nên d £ = ïïỵ d = 1,2 a 213,7 Bài 1.61: Khi xây hồ cá hình trịn người ta đo đường kính hồ 8,52m với độ xác đến 1cm Hãy đánh giá sai số tương đối phép đo viết kết tìm dạng khoa học Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 38 ìï a = 852cm d Bài 1.61: R = 8, 52m ± 0,01m Þ ïí nên d £ = = 1,174.10- ïïỵ d = 1cm a 852 Bài 1.62: Đo chiều dài dốc, ta số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối khơng vượt q 0,3% Hãy tìm chữ số d nêu cách viết chuẩn giá trị gần a Lời giải: Bài 1.62: Ta có sai số tuyệt đối số đo chiều dài dốc : D a = a.da £ 192, 55.0, 2% = 0, 3851 Vì 0,05 < D a < 0, Do chữ số d 1, 9, Vậy cách viết chuẩn a 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị) Bài 1.63: Cho 3,141592 < p < 3,141593 Hãy viết giá trị gần số p dạng chuẩn đánh giá sai số tuyệt đối giá trị gần trường hợp sau : a) Giá trị gần p có chữ số ; b) Giá trị gần p có chữ số ; c) Giá trị gần p có chữ số Lời giải: Bài 1.63: a) Vì có chữ số nên số gần p viết dạng chuẩn 3,1416 (hay p » 3,1416 ) Sai số tuyệt đối số gần D p = 3,1416 - p £ 0,000008 b) Vì có chữ số nên p » 3,14159 sai số tuyệt đối số gần D p = 3,14159 - p £ 0,000003 c) Vì có chữ số nên p » 3,14 D p 3,14 - p £ 0,001593 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 39 ... + ïï ïï c + í ïï a + ïï ïï a + ïï ïỵ b + ìï a = ïï ïï b = y + = 37 ïï ïc = z + = 42 Û ïí ïï x = x + y + z = 71 ïï x + y + z = 72 ïï y = ïï x + y + z = 62 ïỵ z = x + z + = 48 28 x+ 18 y+ b+ c+... văn Sử Ta có số em thích mơn 45 - = 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình ìï a + x + z + = ïï ïï b + y + z + = í ïï c + x + y + = ïï ïïỵ x + y + z + a + 25 (1) 18 (2) 20 (3) b + c + = 39... (3) ta có y a z b 18(S) a + b + c + (x + y + z )+ 15 = 63 (5) Từ (4) (5) ta có a + b + c + (39 - - a - b - c )+ 15 = 63 Û a + b + c = 20 Vậy có 20 em thích mơn ba mơn Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16