CHƯƠNG II.ỨNG DỤNG HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Các toán hàm số luỹ thừa hàm số mũ hàm số logarit tốn hay có nhiều ứng dụng thực tế Các ứng dụng kinh tế: Bài toán lãi suất gửi tiền vào ngân hàng, tốn vay – mua trả góp… Các ứng dụng lĩnh vực đời sống xã hội: Bài toán tăng trưởng dân số… Các ứng dụng lĩnh vực khoa học kỹ thuật: Bài toán liên quan đến phóng xạ, tính tốn dư chấn động đất, cường độ mức cường độ âm …………… Trước đọc phần tài liệu, em thử lần nhớ lại có ta đitheo bố (mẹ) vào ngân hàng: để gửi tiền tiết kiệm, vay tiền ngân hàng, làm thẻ ATM mới… em thấy bảng thông báo lãi suất tiền gửi, lãi suất cho vay, em nghe nhân viên ngân hàng tư vấn hình thức gửi tiền (vay tiền ) cách tính lãi suất Liệu có em thắc mắc tự hỏi lãi suất gì?có hình thức tính lãi suất thường gặp? Câu trả lời có phần tài liệu Trong tài liệu nhỏ em tìm câu trả lời cho câu hỏi như: Dân số quốc gia dự báo tăng hay giảm cách nào? Độ to (nhỏ) âm tính tốn nào? …… Qua nội dung này, biết vận dụng kiến thức học hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số logarit vào để giải số toán thực tế liên quan chủ đề nêu Các chủ đề toán, thể qua phần sau: • Phần A: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan • Phần B: Các tốn ứng dụng thực tế • Phần C: Các tốn trắc nghiệm khách quan • Phần D: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm CHỦ ĐỀ 1: BÀI TỐN LÃI ĐƠN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Trước hết tìm hiểu số khái niệm đơn giản sau http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 1/48 Tiền lãilà khái niệm xem xét hai góc độ khác người cho vay người vay Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi số tiền tăng thêm số vốn đầu tư ban đầu giai đoạn thời gian định Khi nhà đầu tư đem đầu tư khoản vốn, họ mong muốn thu giá trị tương lai, giá trị bỏ ban đầu khoản tiền chênh lệnh gọi tiền lãi Ở góc độ người vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi số tiền mà người vay phải trả cho người vay (là người chủ sở hữu vốn) để sử dụng vốn thời gian định Lãi suất:Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay đơn vị thời gian Đơn vị thời gian năm, quý, tháng, ngày Lãi suất tính tỷ lệ phần trăm số lẻ thập phân Ví dụ: Một ngân hàng A có lãi suất cho tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn tháng 0,65%một tháng Nghĩa ta hiểu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền 100 triệu đồng sau tháng số tiền lãi ta nhận 100.106  0,65% = 650.000 đồng Bây ta tìm hiểu số loại lãi suất hay sử dụng ngân hàng dịch vụ tài chính: lãi đơn, lãi kép, lãi kép liên tục Trong chủ đề ta tìm hiểu lãi đơn 3.Lãi đơn số tiền lãi tính sốvốn gốc mà khơng tính số tiền lãi số vốn gốc sinh khoảng thời gian cố định (Chỉ có vốn gốc phát sinh tiền lãi) Bây giờ, tưởng tượng ta cầm khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng, sau tháng ta nhận 0,5% số tiền vốn 10.000.000 đồng Q trình tích vốn sinh lãi quan sát bảng sau: Tháng Tổng vốn Tổng Lãi (nếu không rút)(Đồng) (Đồng) 10.000.000 0, 5%.10.000.000 = 50.000 10.000.000 50.000 + 0, 5%.10.000.000 = 100.000 10.000.000 100.000 + 0, 5%.10.000.000 = 150.000 Như vậy, ta thấy rõ suốt trình tiền lãi ta có thêm hàng tháng số, ngồi tiền vốn từ đầu chí cuối khơng đổi http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 2/48 Bây ta xét toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn đạt lãi suất r mỗikìtheo hình thức lãi đơntrong thời gian n kì Vào cuối kì ta rút tiền lãi để lại vốn Tính tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kì ➢ Chú ý:Đơn vị thời gian kì năm, q, tháng, ngày Ta theo dõi bảng sau: Ở cuối Vốn gốc Tiền lãi Tổng vốn lãicộng dồn cuối kì kì P0 P0 r P0 + P0 r = P0 (1 + r ) P0 P0 r P0 + P0 r + P0 r = P0 (1 + 2r ) P0 P0 r P0 + P0 r + 2P0 r = P0 (1 + 3r ) P0 P0 r P0 + P0 r + 3P0 r = P0 (1 + 4r ) … … … … n P0 P0 r P0 + P0 r + ( n − 1) P0 r = P0 (1 + nr ) Do đó, ta tóm gọn lại cơng thức tính tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kì sau: Pn = P0 (1 + nr), (1) Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kì P0 vốn gốc r lãi suất kì Bây để hiểu rõ cơng thức (1) tốn lãi đơn, em qua phần : Các toán thực tế hay gặp http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 3/48 B CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CĨ ĐƯỢC SAU N KỲ Phương pháp ▪ Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0 , lãi suất r , số kỳ n ▪ Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr), (1) ▪ Qua toán cụ thể, minh họa rõ cho phương pháp _ Bài toán 1: Anh Lâm gửi ngân hàng với số tiền 120.000.000 đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 5% năm Hỏi anh giữ nguyên số tiền vốn sau năm tổng số tiền anh Lâm rút từ ngân hàng bao nhiêu?(Giả sử lãi suất hàng năm không đổi) Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 120.000.000 đồng, hình thức gửi lãi đơn với lãi suất r = 5% năm gửi thời gian n = năm Đề yêu câu tìm tổng số tiền anh Lâm rút từ ngân hàng sau năm, lúc ta sử dụng trực tiếp công thức Pn = P0 (1 + nr), (1) Hướng dẫn giải • Áp dụng cơng thức (1) ta tính tổng số tiền anh Lâm rút từ ngân hàng sau năm là: P2 = 120000000  (1 +  5%) = 132000000 đồng • Cũng sau hai năm số tiền lãi mà anh Lâm thu là: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 4/48 132.000.000 − 120.000.000 = 12.000.000 đồng ◼ Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, tính tốn yếu tố toán gửi tiền vào ngân hàng em cần lưu ý kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác… từ xác định cơng thức tính toán cho trường hợp Hai là, lãi suất thời hạn gửi không đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng thời gian áp dụng công thức (1) Để hiểu rõ vấn đề em qua toán Bài tốn 2: Ơng Bbỏ vốn 450.000.000 đồng,đầu tư vào công ty bất động sản với lãi suất đầu tư 12% năm (theo hình thức lãi đơn) vòng năm tháng Xác định giá trị đạt vào cuối đợt đầu tư ◼ Phân tích tốn Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 450.000.000 đồng, hình thức đầu tư lãi đơn với lãi suất r = 12% = 0,12 năm đầu tư thời gian n = năm tháng Như ta thời gian đầu tư chưa đơn vị với lãi suất nên ta phải đổi chúng đơn vị thời gian Trong ta đưa đơn vị thời gian năm tháng Đề yêu câu tìm tổng số tiền ông B đạt sau năm tháng, lúc ta sử dụng trực tiếp công thức Pn = P0 (1 + nr), (1) Hướng dẫn giải Do n = năm tháng = 27 tháng = 27 năm Ta tính giá trị đạt theo2 cách 12 Cách 1:Đưa đơn vị thời gian năm • Áp dụng cơng thức (1) ta tính tổng số tiền ông B đạt sau năm tháng  là: Pn = 450000000   +   27  12%  = 571.500.000 đồng 12  Cách 2:Đưa đơn vị thời gian tháng http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 5/48 • Qui đổi lãi suất tháng: r' = • r = 1% tháng 12 Áp dụng cơng thức (1) ta tính tổng số tiền ông B đạt sau năm tháng là: Pn = 450000000  (1 + 27  1%) = 571.500.000 đồng ◼ Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, tính tốn yếu tố toán đầu tư em cần lưu ý kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác… từ xác định cơng thức tính tốn cho trường hợp Hai là, lãi suất thời hạn gửi không đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng thời gian áp dụng công thức (1) Bây em qua tìm hiểu dạng tốn thứ DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CĨ ĐƯỢC SAU N KỲ TÌM N Phương pháp ▪ Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0 , lãi suất r , tổng số tiền có sau n kì ▪ Áp dụng cơng thức Pn = P0 (1 + nr)  Pn = P0 + P0 nr  n = ▪ Qua toán cụ thể, minh họa rõ cho phương pháp Pn − P0 P0 r _ Bài toán 3: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25triệu đồng, nhà đầu tư A mong muốn thu 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư Vậy phải đầu tư để đạt giá trị trên? (Giả sử lãi suất hàng năm khơng đổi) ◼ Phân tích toán ▪ Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 25000000 đồng, hình thức gửi lãi đơn với lãi suất r = 10% năm giá trị đạt vào cuối đợt đầu tư 32125000 đồng http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 6/48 ▪ Để tìm thời gian đầu tư bao lâu, xuất phát từ công thức (1) Pn = P0 (1 + nr)  n = Pn − P0 P0 r Hướng dẫn giải • Áp dụng cơng thức (1): Pn = P0 (1 + nr)  n = Pn − P0 32125000 − 25000000 = = , 85 năm = năm 10 tháng ngày P0 r 25000000  10% • Vậy phải đầu tư số vốn thời gian năm 10 tháng ngày để đạt giá trị mong muốn DẠNG 3: CHO BIẾT VỐN, TỔNG SỐ TIỀN CĨ ĐƯỢC SAU N KỲ TÌM LÃI SUẤT Phương pháp ▪ Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0 , tổng số tiền có sau n kì, số kỳ n ▪ Để tính lãi suất r Pn = P0 (1 + nr)  Pn = P0 + P0 nr  r = ▪ Từ cơng thức (1) ta có: Pn − P0 P0 n Qua toán cụ thể, minh họa rõ cho phương pháp _ Bài toán 4: Bà Cúc gửi ngân hàng 60 triệu đồng năm tháng với lãi suất r% năm đạt kết cuối 75.210.000 đồng Xác định r? (Biết hình thức lãi suất lãi đơn lãi suất hàng năm không thay đổi) ◼ Phân tích tốn Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 60.000.000 đồng,tổng số tiền có sau năm tháng 75210000 đồng Đề yêu câu tìm tìm lãi suất ta áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr), (1) Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 7/48 10 năm = 3 • năm tháng = + • Áp dụng cơng thức (1): Pn = P0 (1 + nr)  r = Pn − P0 75210000 − 60000000 = = , 605% năm 10 P0 n 60000000  • Vậy lãi suất tiền gửi , 605% năm để đạt giá trị mong muốn DẠNG 4: CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ TÌM VỐN BAN ĐẦU Phương pháp ▪ Xác định rõ giá trị ban đầu: tổng số tiền có sau n kì , lãi suất r , số kỳ n ▪ Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr)  P0 = ▪ Qua toán cụ thể, minh họa rõ cho phương pháp Pn + nr _ Bài toán 5: Với lãi suất đầu tư 14% năm (theo hình thức lãi đơn) nhà đầu tư anh Tuấn phải bỏ số vốn ban đầu để thu 244 triệu đồng thời gian năm tháng.(Giả sử lãi suất hàng năm không đổi) ◼ Phân tích tốn Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền thu Pn = 244.000.000 đồng, hình thức đầu tư theo lãi đơn với lãi suất r = 14% năm đầu tư thời gian n = năm tháng Đề yêu câu tìm vốn đầu tư ban đầu anh Tuấn,ta sử dụng công thức Pn = P0 (1 + nr) Hướng dẫn giải 15 năm = 12 • năm tháng = + • Từ dụng công thức (1): http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 8/48 Pn = P0 (1 + nr)  P0 = Pn 244000000 = = 160000000 đồng 15 + nr +  14% • Vậy phải đầu tư 160000000 đồng để đạt giá trị mong muốn ◼ Bình luận: Qua tốn em biết Một là,hình thức lãi đơn gì, từ có kiến thức hiểu biết định để sau áp dụng sống hàng ngày Hai là,biết tính tốn qua lại yếu tố công thức liên quan toán lãi đơn Để hiểu rõ vấn đề nêu trên, em làm tập trắc nghiệm CHỦ ĐỀ 2: BÀI TOÁN LÃI KÉP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong chủ đề ta tìm hiểu lãi kép 2.1 Lãi kép phương pháp tính lãi mà lãi kỳ nhập vào vốn để tính lãi kì sau Trong khái niệm này, số tiền lãi khơng tính số vốn gốc mà tính số tiền lãi số vốn gốc sinh  Thuật ngữ lãi kép đồng nghĩa với thuật ngữ lãi gộp vốn, lãi ghép vốn lãi nhập vốn 2.2 Cơng thức tính lãi kép  Trong khái niệm lãi kép, khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư kì tính gộp vào vốn ban đầu thân lại tiếp tục phát sinh lãi suốt thời gian đầu tư  Bây ta xét toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn đạt lãi suất r kì theo hình thức lãi kép thời gian n kì Vào cuối kì ta rút tiền lãi để lại vốn Tính Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kì Chú ý:Đơn vị thời gian kì năm, q, tháng, ngày o Ở cuối kì thứ ta có: ▪ Tiền lãi nhận được: P0 r ▪ Tổng giá trị đạt (vốn lãi) cuối kì thứ nhất: P1 = P0 + P0 r = P0 (1 + r ) o Do lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 9/48 ▪ Tiền lãi nhận được: P1 r ▪ Tổng giá trị đạt (vốn lãi) cuối kì thứ là: P2 = P1 + P1 r = P1 (1 + r ) = P0 (1 + r )(1 + r ) = P0 (1 + r ) ………… o Một cách tổng quát, sau n kì, tổng giá trị đạt Pn = P0 (1 + r ) , ( ) n Trong Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi)sau n kì P0 vốn gốc r lãi suất kì o Ta tính đượcsố tiền lãithu sau n kì : Pn − P0 Bây để hiểu rõ cơng thức ( ) tốn lãi kép, em qua phần : Các tốn thực tế hay gặp B CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CĨ ĐƯỢC SAU N KỲ Phương pháp ▪ Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0 , lãi suất r , số kỳ n ▪ Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + r ) , ( ) ▪ Qua toán cụ thể, minh họa rõ cho phương pháp n _ Bài tốn 1: Ơng A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép a) Nếu theo kì hạn năm với lãi suất 7,56% năm sau năm người thu số tiền bao nhiêu? b) Nếu theo kì hạn tháng với lãi suất 1,65% quý sau năm người thu số tiền bao nhiêu? ◼ Phân tích tốn http://dethithpt.com – Website chun đê thi, tài liệu file word Trang 10/48 Vài kỷ sau, người Ý phát minh địa chấn kế dựa chuyển động nước sau này, thuỷ ngân Năm 1885, Luigi Palmieri (Ý) phát minh địa chấn kế gồm ống thuỷ tinh hình chữ U có nhánh đựng thuỷ ngân đầy ngang nhành Kim loại lỏng linh động nên nhạy cảm với chấn động Khi động đất xảy ra, giọt thuỷ ngân lăn ngồi, khiến dòng điện nối lại, làm ngừng đồng hồ điện ghi dao động sóng địa chấn trống quay Từ sơ đồ này, biết thời gian độ manh trận động đất Còn ngày nay, địa chấn kế dụng cụ phức tạp, tinh vi kết hợp học (con lắc) điện tử học, có độ xác cao để đo độ rung mặt đất mức độ nhẹ, từ khoảng cách xa, vừa để dự báo, vừa ghi lại rung chấn trình trận động đất xảy cấp độ Có loại theo dõi chuyển dịch thạch quyển, va chạm mảng kiến tạo nằm sâu lòng đất để dự báo dài hạn khả động đất vùng Địa chấn kế ghi lại vụ thử hạt nhân nước, xác định sức nổ vũ khí giết người hàng loạt Ngồi có loại chun dụng, dùng thăm dò địa chất quặng mỏ, dầu khí… Các địa chấn kế đại thuộc nhiều loại khác đo chuyển động theo chiều ngang chiều dọc đặt trạm quan trắc Hiện có tới vài trăm trạm quan trắc khắp giới Thông số trạm thu thập thường xuyên so sánh, đối chiếu Từ liệu tính tâm động đất lượng trận động đất gây Theo Song Hà( Nguồn : http://vietnamnet.vn/vn/khoa-hoc/cac-cap-do-dong-dat14267.html) Các trận động đất xảy lịch sử Mỗi năm có hàng ngàn trận động đất xảy trái đất, nhiên số gây thiệt hại nghiêm trọng Mỗi trận động đất đo theo cường độ, theo quy mô từ nhỏ đến lớn Một trận động đất có cường độ 6,0 độ Richter cao xếp động đất mạnh gây thiệt hại nghiêm trọng, giống trận động đấtChristchurch New Zealand Trận động đất mạnh ghi lại năm gần trận động đất Sumatra vào năm 2004, với cường độ 9,3 độ Richter gây sóng thần tàn phá châu Á Những số nhằm đo lường cường độ trận động đất lượng mà phát Những thơng số dùng để phân chia đo trận động đất khác Ví dụ, khác biệt cường độ trận động đất mạnh độ với trận động đất độ rõ rệt không đơn khác biệt số http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 33/48 Trên thực tế, theo kết mà nhà địa chấn học đo thảm họa thiên nhiên này, trận động đất mạnh độ sở hữu lượng nhiều 32 lần so với trận động đất độ Richter Điều có nghĩa khoảng cách từ đến độ tương ứng với trận động đất mạnh gần 1.000 lần Những trận động đất gây phá hủy nghiêm trọng thường có cường độ 7,0 độ Richter cao (Hình minh họa: BBC) Trận động đất năm 2004 gây sóng thần châu Á trận động đất lớn thứ kể từ năm 1900, với cường độ 9,3 độ Richter Mỗi năm có khoảng 20 trận động đất lớn giới ghi lại theo khảo sát Cơ quan Theo dõi địa chấn Mỹ Trận động đất năm 2010 Haiti đo lại với cường độ 7,0 độ Richter, tâm chấn gần với thủ đô Port-au-Price, nên gây thiệt hại nghiêm trọng, khiến cho 200.000 người chết Số người chết Haiti trái ngược với số người chết trận động đất mạnh 8,8 độ Richter Chile vào tháng 2/2010, có gần 1.000 người chết Bởi Chile đất nước diễn trận động đất mạnh lịch sử Trận động đất lớn ghi lại diễn vào năm 1960, với cường độ 9,5 độ Richter, gây sóng thần Nhưng có khoảng 1.655 người chết - số thương vong tương đối thấp, nhờ có cảnh báo khiến người chạy khỏi nhà họ trước động đất diễn Nguồn:http://www.vietnamplus.vn/cuong-do-dong-dat-duoc-do-va-xep-loai-thenao/83511.vnp 2 Ứng dụng hàm logarit việc tính độ chấn động lượng giải toả trận động đất http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 34/48 • Độ chấn động M địa chấn biên độ I đo thang độ Richte xác định công thức: M = ln I M = log I − logI I0 Trong I biên độ dao động bé 1 m máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100 km I lấy làm chuẩn • Ở M = độ Richte, địa chấn có ảnh hưởng vùng diện tích nhỏ, đến độ Richte, địa chấn gây thiệt hại nhỏ, đến độ Richte, địa chấn gây số thiệt hại lớn, độ Richte, địa chấn gây thiệt hại lớn cực lớn • Năng lượng giải toả E tâm địa chấn M độ Richte xác định xấp xỉ công thức log E  11, + 1, 5M Âm • Để đặc trưng cho độ to nhỏ âm, người ta đưa khái niệm mức cường độ âm Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm đềxinben (viết tắt dB) Khi mức cường độ L âm tính theo cơng thức: L ( dB ) = 10 log I I0 I cường độ âm thời điểm xét(cường độ âm tức lượng truyền sóng âm đơn vị thời gian qua đơn vị diện tích bề mặt vng góc với phương sóng truyền (đơn vị đo w / m )) I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Nhận xét: Khi cường độ âm tăng lên 102 ,103 , cảm giác độ to âm tăng lên gấp 2,3, lần • Độ to âm: Gắn liền với mức cường độ âm I = I − I với I ngưỡng nghe.(Đơn vị độ to âm phôn) Khi I =  I   = 1dB  I  phôn (độ to tối thiểu mà tai người bình thường phân biệt được) 10 log  Trên số ứng dụng hay gặp, để hiểu vấn đề em đọc ví dụ phía dưới, qua thấy thêm ứng dụng khác hàm số mũ, hàm số logarit B CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ Ví dụ 1:Cường độ trận động đất M Richte) cho công thức M = log A − log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A0 biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ độ Richte Trong http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 35/48 năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp lần Hỏi cường độ trận động đất Nam Mỹ bao nhiêu? Ảnh minh hoạ hậu trận động đất: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn ▪ Để tính cường độ trận động đất Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề cho M = log A − log A0 Trong A0 số, muốn tính M em phải tính biên độ A Các em coi kỹ lời giải phía ▪ Qua tốn em thấy ứng dụng hàm logarit tốn khoa học kĩ thuật Hướng dẫn giải • Trận động đất San Francisco có cường độ độ Richte áp dụng cơng thức M1 = log A − log A0  = log A − log A0 với • Trận động đất Nam Mỹ có biên độ là: A , cường độ trận động đất Nam Mỹ là: M = log ( A) − log A0  M = log + log A − log A0  M = log +  8, độ Richte Ví dụ 2:Cường độ trận động đất M (Richte) cho công thức M = log A − log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A0 biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nhật có cường độ đo độ Richte Hỏi trận động đất San Francisco có biên độ gấp lần biên độ trận động đất Nhật http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 36/48 Bản đồ khu vực ảnh hưởng động đất Nhật Bản Nguồn: USGS ◼ Phân tích tốn ▪ Để so sánh biên độ hai trận động đất cơng thức M = log A − log A0  log A = M + log A0  A = 10M +log A = 10M 10log A Từ ta đưa kết luận ▪ Kiến thức sử dụng tốn kiến thức giải phương trình logarit kiến thức tính chất hàm mũ Hướng dẫn giải • Trận động đất San Francisco có cường độ độ Richte áp dụng công thức M = log A1 − log A0  = log A1 − log A0  log A1 = + logA  A1 = 108+logA0 = 10log A0 108 với A1 biên độ trận động đất San Francisco • Trận động đất Nhật có cường độ độ Richte áp dụng cơng thức M = log A2 − log A0  = log A2 − log A0  log A2 = + logA  A2 = 106+logA0 = 10log A0 106 với A2 biên độ trận động đất Nhật • Khi ta có A1 108 = = 102  A1 = 100A A 106 • Vậy trận động đất San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất Nhật Ví dụ 3:Để đặc trưng cho độ to nhỏ âm, người ta đưa khái niệm mức cường độ âm Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm đềxinben (viết tắt dB) Khi mức cường độ L âm tính theo công thức: L ( dB ) = 10 log I I0 đó, I cường độ âm thời điểm xét, I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Một trò chuyện bình thường lớp học có mức cường độ âm trung bình 68dB Hãy tính cường độ âm tương ứng đơn vị w / m http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 37/48 Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn ▪ Đề cho biết mức cường độ âm nói chuyện lớp L ( dB) = 68dB yêu cầu ta tính cường độ âm I ? Ở em biết cường độ âm ngưỡng nghe bình thường I = 10−12 w / m2 ▪ Từ phân tích ta cần áp dung công thức L ( dB ) = 10 log I sử dụng I0 kiến thức giải phương trình logarit tìm câu trả lời cho toán Các em tham khảo lời giải phía Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có L ( dB) = 68dB,I0 = 10−12 w / m2 Tính I Áp dụng cơng thức ta có L ( dB ) = 10 log  I I I I  68 = 10 log  log = ,  = 106 ,8 I0 I0 I0 I0 I  , 3.106  I  , 3.106 10 −12  , 3.10 −6 w / m2 I0 Ví dụ4:Để đặc trưng cho độ to nhỏ âm, người ta đưa khái niệm mức cường độ âm Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm đềxinben (viết tắt dB) Khi mức cường độ L âm tính theo cơng thức: L ( dB ) = 10 log I I0 đó, I cường độ âm thời điểm xét, I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Hai đàn ghita giống nhau, hoà tấu nhạc.Mỗi đàn phát âm có mức cường độ âm trung bình 60dB Hỏi mức cường độ âm tổng cộng hai đàn phát bao nhiêu? http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 38/48 Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích toán ▪ Trong toán ta biết mức cường độ trung bình phát từ đàn ghita Đề yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát từ đàn ghita Như muốn xử lý toán em phải ý dùng đàn có cường độ âm I ta dùng hai đàn lúc cường độ âm I1 Nếu ta nắm chi tiết tốn hố giải khơng khó Các em coi lời giải ▪ Bài toán mặt tính tốn khơng có phức tạp, ý nghĩa thực tế lớn Ví dụ trung tâm dạy đàn ghita, phòng học dạy trung bình 15 học viên, tương ứng 15 đàn Trung tâm phải đảm bảo âm phát từ đàn không ảnh hưởng đến nhà xung quanh, phải lắp cửa cách âm Khi chuyện tính mức cường độ âm (độ to) tổng cộng 15 đàn cần thiết nhà thầu xây dựng Hướng dẫn giải o Mức cường độ âm đàn ghita phát là: L1 = 10 log o Mức cường độ âm hai L2 = 10 log o I1 = 60dB I0 đàn ghita phát là: I1 I = 10 log + 10 log = 10.log + 60  63dB I0 I0 Vậy có thêm đàn (phát âm lúc) mức cường độ âm tăng thêm dB Ví dụ5:Để đặc trưng cho độ to nhỏ âm, người ta đưa khái niệm mức cường độ âm Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm đềxinben (viết tắt dB) Khi mức cường độ L âm tính theo cơng thức: L ( dB ) = 10 log http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word I I0 Trang 39/48 đó, I cường độ âm thời điểm xét, I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Tiếng ồn phát từ xưởng cưa, mức cường độ âm đo 93 dB, cưa máy giống hoạt động gây Giả sử có cưa máy đột ngột ngừng hoạt động mức cường độ âm xưởng lúc bao nhiêu? Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn ▪ Trong tốn ta biết mức cường độ đo phát từ cưa máy Đề yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát từ cưa máy Như muốn xử lý toán em phải ý dùng cưa máy có cường độ âm I ta dùng (hay 4) cưa máy lúc cường độ âm I1 ( hay 4I1 ) Nếu ta nắm chi tiết tốn hố giải khơng khó Các em coi lời giải ▪ Việc tính tốn em sử dụng trực tiếp tính chất logarit xử lý gọn gàng toán Hướng dẫn giải o Gọi cường độ âm cưa phát là: I o Lúc đầu mức cường độ âm là: L ( dB) = 10 log o (7 cưa máy hoạt động) I1 I I = 93dB  10 log + 10 log = 93  l og = , − 10 log = , 45 I0 I0 I0 Lúc sau mức cường độ âm là: (3 cưa máy hỏng nên cưa máy hoạt động) L1 ( dB) = 10 log I1 I = 10 log + 10 log = 10 log + 10.8 , 45  90 , 5dB I0 I0 Ví dụ 6:Để đặc trưng cho độ to nhỏ âm, người ta đưa khái niệm mức cường độ âm Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm đềxinben (viết tắt http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 40/48 dB) Khi mức cường độ L âm tính theo cơng thức: L ( dB ) = 10 log I I0 đó, I cường độ âm thời điểm xét, I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Tiếng ồn phát từ tiếng gõ phím liên tục bàn phím máy vi tính, có cường độ âm đo 10−5 w / m2 Giả sử phòng làm việc cơng ti có hai nhân viên văn phòng thực thao tác gõ phím hai bàn phím máy vi tính giống mức cường độ âm tổng cộng hai bàn phím phát lúc bao nhiêu? Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn Trong tốn ta biết cường độ đo từ tiếng gõ phím liên tục bàn phím máy vi tính, có cường độ âm đo 10−5 w / m2 I cường độ âm ngưỡng nghe ( I = 10−12 w / m2 ) Đề yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát từ tiếng gõ phím liên tục hai bàn phím máy vi tính Các em theo dõi lời giải phía Hướng dẫn giải • Nếu có bàn phím gõ L1 = 10 log • Cả hai bàn phìm gõ: L2 = 10 log I1 10−5 = 10 log −12 = 70dB I0 10 I1 I = 10 log + 10 log = 10.log + 70  73dB I0 I0 • Vậy có thêm bàn phím gõ mức cường độ âm tăng thêm dB Ví dụ7:Cho biết chu kì bán huỷ chất phóng xạ plutônium Pu239 24360 năm(tức lượng Pu239 sau 24360 năm phân huỷ lại nửa) Sự phân huỷ tính cơng thức S = Ae rt , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân huỷ http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 41/48 hàng năm ( r  ), t thời gian phân huỷ, S lượng lại sau thời gian phân huỷ t Hỏi 10 gam Pu239 sau năm phân huỷ gam? Ảnh minh hoạ: phát plutonium khuôn viên nhà máy điện hạt nhân Fukushima số I ◼ Phân tích tốn Đây tốn chất phóng xạ, từ cơng thức S = Ae rt ta thấy có đại lượng Yêu cầu tốn tìm t cho Pu239 phân huỷ lại 1gam, đọc đề em thấy ta phải tìm tỉ lệ phân huỷ hàng năm Pu239 ? Để tìm tỉ lệ phân huỷ em phải biết cách khai thác giả thiết sau : chu kì bán huỷ chất phóng xạ plutơnium Pu239 24360 năm (tức lượng Pu239 sau 24360 năm phân huỷ lại nửa) Trong em hiểu sau: sau thời gian t = 24360 năm, lượng Pu239 từ A = 10 gam lại S = 5gam , từ em tính tỉ lệ phân huỷ r dễ dàng Các em theo dõi lời giải phía Hướng dẫn giải • Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân huỷ hàng năm Pu239 • Pu239 cóchu kì bán huỷ chất phóng xạ plutơnium Pu239 24360 năm, ta có = 10.e r.24360 10  r = ln − ln 10  −2 , 84543.10 −5  −0 , 000028 r= 24360 24360 ln • Vậy phân huỷ Pu239 tính cơng thức S = Ae −0 ,000028t S, A tính gam, t tính năm • Theo đề cho ta có: = 10.e−0 ,000028t  t = − ln 10  82235 năm −0 , 000028 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 42/48 • Vậy sau khoảng 82235 năm 10 gam Pu239 phân huỷ lại gam ◼ Bình luận: Qua tốn em biết Một là, lượng chất phóng xạ nhỏ, mà thời gian để phân huỷ phải cần tới ngàn năm Hai là, mức độ nguy hiểm chất phóng xạ, để biết rõ em đọc viết phía dưới: Tác hại của chất phóng xạ plutonium  Bài đọc thêm Tác hại của chất phóng xạ plutonium Ơng Takahashi Sentaro, phó giám đốc Viện nghiên cứu lò phản ứng trường Đại học Kyoto, NHK, phân tích về tác hại của của plutonium nhân việc phát plutonium khuôn viên nhà máy điện hạt nhân Fukushima số I Một ảnh chụp nhà máy điện hạt nhân Fukushima từ trực thăng hôm 11/3 Ảnh: AP Plutonium chất phóng xạ uranium 239 235 sinh ra, phát tia phóng xạ có tên gọi tia alpha Đặc tính tia alpha dù có bám vào da người khơng xâm nhập trực tiếp vào thể người mà xâm nhập gián tiếp qua loại thực phẩm bị nhiễm xạ qua đường thở Ví dụ, trường hợp chất plutonium 239 chu kỳ bán rã chất dài, khoảng 20.000 năm Vì nhiễm vào thể người tiếp tục phát xạ nơi mà xâm nhập vào mà khả bị ung thư cao Cơ thể người có khả loại thải plutonium, bị nhiễm xạ vòng vài tháng lượng plutonium thể giảm xuống nửa Tuy nhiên người ta cho plutonium thường thể người lâu so với chất phóng xạ iodine cesium http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 43/48 Nếu tương lai không xảy vụ tai nạn hạt nhân lớn lượng phóng xạ không gây nguy hiểm tới sức khoẻ người cho môi trường Nhưng cần phải nhắc lại chất phóng xạ plutonium phát từ vụ thử hạt nhân Mỹ tiến hành đảo san hô Bikini trước kia, phát vùng biển ngồi khơi Nhật Bản Vì plutonium bị rò rỉ nước biển cần phải tiến hành giám sát lượng phóng xạ hải sản thời gian dài Hơn nữa, plutonium không phát tán diện rộng dễ có khả nồng độ plutonium khuôn viên nhà máy điện hạt nhân Fukushima số I cao Vì cần phải giám sát liên tục, chặt chẽ lượng phóng xạ đây, đồng thời phải đảm bảo an tồn cho cơng nhân làm việc nhiều biện pháp, ví dụ cho họ đeo mặt nạ phòng hộ, tránh khơng ăn uống khu vực lân cận (Nguồn:http://vnexpress.net/tin-tuc/khoa-hoc/ta-c-ha-i-cu-a-chat-phong-xa-plutonium2191312.html) Ví dụ 8: Các loại xanh trình quang hợp nhận lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon ) Khi phận xanh bị chết tượng quang hợp dừng không nhận thêm cacbon 14 nữa.Lượng cacbon 14 phận phân hủy cách chậm chạp chuyển hóa thành nitơ 14.Biết gọi P ( t ) số phần trăm cacbon 14 lại phận sinh trưởng từ t năm trước P ( t ) tính theo cơng thức t P ( t ) = 100 ( 0, 5) 500 ( % ) Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 lại mẫu gỗ 65% Hãy xác định niên đại cơng trình Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn ● Đây tốn có ý nghĩa khảo cổ học, nghiên cứu lịch sử thời xưa Bằng kiến thức toán học nhà khảo cổ học hồn tồn biết cơng trình kiến trúc xây dựng từ năm nào, để từ có kết luận xác http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 44/48 ● Trong toán để xác định niên đại cơng trình kiến trúc t , em sử dụng t công thức đề cho P ( t ) = 100 ( 0, 5) 500 ( % ) ta biết P ( t ) = 65 , từ sử dụng kiến thức giải phương trình mũ em tìm t dễ dáng Các em coi lời giải o Hướng dẫn giải Theo đề ta có P ( t ) = 65 Vậy ta có phương trình t t 100 ( 0, 5) 5750 = 65  ( 0, ) 5750 =  t = 5750 log 0,5 o 65 t 65  = log 0,5 100 5750 100 65 100 Vậy tuổi công trình kiến trúc khoảng 3574 năm Ví dụ : Trên radio có vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn sóng radio cần tìm Biết vạch chia vị trí cách vạch tận bên trái khoảng d ( cm ) ứng với tần số F = ka d ( kHz ) , k a hai số chọn cho vạch tận bên trái ứng với tần số 53kHz , vạch tận bên phải ứng với tần số 160kHz hai vạch cách 12cm a) Tính k a (tính a xác đến hàng phần nghìn) b) Tìm d ( cm ) biết vạch chương trình ca nhạc có tần số F = 120kHz Ảnh minh hoạ: Nguồn internet ◼ Phân tích tốn ● Đây tốn có ý nghĩa mặt thiết kế tính tốn thiết bị điện tử, cụ thể thiết kế vạch chia tần số để dễ ràng dò chương trình cần nghe Các nhà thiết kế phải http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 45/48 tính tốn phân chia thiết kế vạch chia tần số cho hợp lí, để người tiêu dùng dễ sử dụng ●Để tìm số k a , ta áp dụng công thức đề cho F = ka d ( kHz ) biết d = F = 53 d = 12 F = 160 , từ sử dụng kiến thức giải phương trình mũ hệ phương trình em tìm k a dễ dáng Các em coi lời giải Hướng dẫn giải a) Khi d = F = 53 d = 12 F = 160 ,  k = 53  k = 53  53 = ka   ta có hệ phương trình    12 160   160 12 a = a = 12  1, 096    160 = ka 53  53  Vậy k = 53, a = 1, 096 b) Chương trình ca nhạc có tần số F = 120kHz , ta có phương trình 120 = ka d  a d = 120 120 120  d = log a  d = log1,096 = 8, 91 ( cm ) k k 53 Vậy muốn mở tới chương trình ca nhạc, ta chỉnh đến vạch chia cách vạch ban đầu khoảng 8,91 cm Ví dụ10: Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp Clô – zi – ut (R Clausius) Clay –pay – rông (E Claypeyron) thấy áp suất p nước (tính milimét thuỷ ngân, viết tắt mmHg) gây chiếm khoảng trống phía mặt nước chứa bình kín (coi hình vẽ bên dưới) tính theo cơng thức p = a.10 k t +237 Trong t nhiệt độ C nước, a k Hơi nước số Cho biết k  −2258, 624 a) Tính a biết nhiệt độ nước 1000 C -Nước Nước áp suất nước 760mmHg (tính xác đến hàng phần trục) b) Tính áp suất nước nhiệt độ nước 400 C (tính xác đến hàng phần trục) ◼ Phân tích tốn: http://dethithpt.com – Website chun đê thi, tài liệu file word Trang 46/48 ● Đây tốn có ý nghĩa mặt thiết kế tính tốn bình kín đựng nước, nước ngọt, loại dung dịch lỏng Qua toán giúp ta tính tốn tính áp suất p nước gây chiếm khoảng trống phía mặt nước chứa bình kín, từ có thiết kế vỏ chai, vỏ bình đựng cho hợp lí để khơng bị bể … k ●Để tìm số a , ta áp dụng công thức đề cho p = a.10t +237 biết t = 1000 C p = 760 , từ sử dụng kiến thức giải phương trình a dễ dáng Các em coi lời giải Hướng dẫn giải a)Khi t = 1000 C 760 = a.10 −2258,624 373 p = 760 Do ta có phương trình (ẩn a)  a  863188841, b)Áp suất nước nhiệt độ nước 400 C là: p = 863188841, 4.10 −2258,624 40+237  p  52,5mmHg http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 47/48 ... ) CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG MŨ - ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bài tốn lãi kép liên tục Ta biết: đem gửi ngân hàng số vốn ban đầu... đượcsố tiền lãithu sau n kì : Pn − P0 Bây để hiểu rõ công thức ( ) toán lãi kép, em qua phần : Các toán thực tế hay gặp B CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN... phần : Các toán thực tế hay gặp http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 3/48 B CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU