HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu 1: Đáp án B Ta loại phương án (IV) khối tứ diện S.ACD S.ABD có điểm chung (phần chung khối tứ diện S.AOD) Câu 2: Đáp án A x Nhận xét: chiều dài nhà chiều cao lăng trụ Đặt x (cm) chiều dài ngơi nhà Theo vẽ, ta có: + x + + x = 22  x = ( cm ) Tiếp theo, ta xét đến mặt trước nhà Tương tự tập 3.40, ta dễ dàng có diện tích phần mặt trước: ( SABCDE = SBCDE + SABE = 5.3 + 3.( − ) = 18 cm 2 ) Vậy thể tích mơ hình nhà là: V = SABCDE x = 18.8 = 144 cm3 ( ) Câu 3: Đáp án C Số lần rót nước vào bình tỉ số thể tích V1 , V2 bình gáo V1 .42.25 = = 9,375 suy số lần cần rót nước 10 lần V2 .43 Câu 4: Đáp án B Phân tích: Đọc giả nhầm tưởng số bút chì xếp vào hộp tỉ số thể tích hộp bút, thực chất xếp bút chì vào hộp, tùy cách xếp cho ta số lượng khác http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 3/15 y x Nhận xét: độ dài x y hình cho ta biết xếp bút chì theo chiều ngang chiều dọc Để tìm x y, ta cần xác định độ dài cạnh lục giác Cây bút chì có hình dạng khối lăng trụ lục giác với thể tích 1875 mm chiều dài 10 cm (thực chất chiều cao khối lăng trụ) Từ ta xác định 1875 V 75 = diện tích đáy: B = = h 100 ( mm ) Gọi a (mm) độ dài cạnh đáy bút chì, ta có cơng thức diện tích đáy bút chì ( ) 3 a mm (tham khảo 3.35) Từ đây, ta tìm độ dài cạnh lục giác đều: Suy ra: x = 2a = ( mm ) ; y = a = 3 75 a =  a = = 2,5 ( mm ) ( mm ) (tham khảo 3.39) Dựa kích thước hộp, ta có số viết xếp theo chiều ngang 60 60 = 12 (cây bút) theo chiều dọc =  13,86 hay nói cách khác 13 bút x y (dù kết 13,86 xếp tối đa 13 bút) Vậy tổng số bút chưa hộp là: 12.13=156 bút Câu 5: Đáp án B Các em biết cách tính diện tích lục giác đều, với ngũ giác ta làm hoàn toàn tương tự Một ngũ giác chia thành tam giác cân với góc đỉnh 360o = 72o Từ ta tính diện tích miếng da thành phần 4,5 1  405 tan 54o cm Diện tích miếng da ngũ giác đều: S1 =  4,5 .tan 54o  = 2  16 ( Diện tích miếng da lục giác đều: S2 = 3 243 4,52 = ) ( cm ) Diện tích bề mặt bóng tổng diện tích 12 miếng da ngũ giác 20 1215 1215 tan 54o + Giá thành sản xuất miếng da: S.150  220545 (đồng) Câu 6: Đáp án C miếng da lục giác đều: S = 12S1 + 20S2 = ( cm ) Nhận xét: Độ dài cạnh hộp đường kính bóng http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 4/15 Gọi d (cm) độ dài cạnh hộp, ta có cơng thức tính diện tích bóng: d S = 4   = d 2 Vì diện tích bóng hình cầu diện tích bóng da câu nên ta có: 1215 1215 tan 54o +  d  10,82 ( cm ) Câu 7: Đáp án D d = ( ) Thể tích tăng lên thể tích khối nước đá hình lập phương: 4.33 = 108 cm3 Để biết nước có tràn hay khơng ta cần tìm phần thể tích mà bình chứa trước thêm đá: .52.(13,5 − 12 ) = ( ) ( ) 75  cm3  108 cm3 Suy nước khơng tràn khỏi bình Để xác định độ tăng chiều cao mực nước, ta cần lấy độ tăng thể tích chia cho diện tích đáy bình: h = 108  1,38 ( cm ) .25 Câu 8: Đáp án B Sự chênh lệch thể tích buồng đốt thể tích khối trụ có chiều cao 2r bán kính đáy d/2 (xem hình b c) ( ) Do ta có: V1 − V2 = .32.( 2.2 ) = 36 cm3 Câu 9: Đáp án C Nhận xét: Về chiều cao thùng: Dù gò theo cách chiều cao (đều 50cm, chiều rộng miếng tơn hình chữ nhật) Về chu vi đáy: gò theo cách rõ ràng chu vi đáy nửa chu vi đáy gò theo cách 1, từ dẫn tới bán kính đáy cách nửa bán kính đáy cách (do chu vi bán kính tỉ lệ thuận) Từ ta có diện tích đáy thùng gò theo cách ¼ gò theo cách thể tích Với việc V2 tổng thể tích thùng gò theo cách ta có V1 =2 V2 Câu 10: Đáp án A Đổi số đo: 10 ft = m; ft = 1,5 m Gọi V1 , V2 , V3 m3 thể tích phần hình nón phần hình trụ ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 5/15 ( ) Thể tích phần dạng khối nón: V1 = V2 = .1,52.1,5 =  m3 ( ) = 9 ( m ) Thể tích phần khối trụ: V3 = .1,52.3 = Tổng thể tích bồn chứa: V1 + V2 + V3 27  m3 Câu 11: Đáp án D Nhận xét: Chiều cao khối nửa cầu bán kính Vì chiều cao khối nên chiều cao chúng bán kính đáy R Thể tích khối trụ: V1 = .R3 Thể tích khối nón: V2 = R 3 Thể tích khối nửa cầu: V3 = R = R Suy V2  V3  V1 Câu 12: Đáp án A Nhận xét: Trong khối có khối nửa cầu ta biết rõ chiều cao (cũng bán kính) Từ ta suy thể tích chung khối 3 Đặt R bán kính đáy khối, thể tích khối là: V = R = R Diện tích bề mặt gáo hình nửa cầu diện tích xung quanh khối nửa cầu: S3 = 4.R = 2R Ta xét đến khối trụ, để xác định diện tích bề mặt gáo khối trụ, ta cần biết chiều cao h1 nó: R h1 = V  h1 = V = R R Diện tích bề mặt gáo khối trụ diện tích xung quanh diện tích đáy khối trụ tương ứng: S1 = 2Rh1 + R = R Tiếp theo, ta xét đến khối nón Để tính diện tích bề mặt khối nón ta cần biết độ dài đường sinh k, trước hết chiều cao h khối: 3V R h = V  h = = 2R R Độ dài đường sinh k: k = h 22 + R = 5R Diện tích bề mặt gáo khối nón diện tích xung quanh khối nón tương ứng: S2 = Rk = 5R Nhận xét: S3  S2  S1 Câu 13: Đáp án B Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ a = b = c = V = 330  6,91 ( cm ) Câu 14: Đáp án A Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ R = V ; h = 2V Câu 15: Đáp án C http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 6/15 Ta chia tủ bếp thành khối lập phương khối hộp chữ nhật có kích thước 6m x 5m x 1m Như vậy, thể tích tủ bếp tổng thể tích khối này: ( ) 13 + 6.5.1 = 31 m3 Câu 16: Đáp án D Nhận xét • Hình chiếu ống khói gồm hình chữ nhật có chiều dài 3x, chiều rộng x hình thang cân có độ dài đáy x 2x • Do khối chóp cụt tứ giác có đáy hình vng nên ta thấy mặt khối hộp chữ nhật hình vng cạnh x (mặt tiếp xúc khối) Từ ta có kích thước khối hộp chữ nhật x, x, 3x • Đối với khối chóp cụt tứ giác đều, đáy có độ dài h cạnh x 3x Nếu ta gọi h chiều cao hình thang cân hình h đồng thời chiều cao khối chóp cụt Giải Thể tích phần ống dạng khối hộp chữ nhật: V2 = x.x.3x = 3x3 Dựa theo cơng thức 3.37, ta tính thể tích phần khối chóp cụt: ( ) 1 x 3  V1 = h x + x.2x + ( 2x ) =  tan 60o  7x = x 3 2  Vậy tỉ số thể tích: V1 = V2 18 Câu 17: Đáp án B ( ) Thể tích phần khối trụ bị khoét: V = .52.3 − 4.15, 75 = 12 cm3 Bán kính phần khối trụ bị khoét: r = V = ( m) .3 Suy đường kính phần khối trụ bị khoét m Câu 18: Đáp án C Nhận xét: Khối tứ diện tạo thành có độ dài cạnh cm Từ ta tìm chiều cao diện tích đáy khối tứ diện (tham khảo 3.56), có thể tích khối tứ diện 3 ( cm ) Câu 19: Đáp án B Nhận xét: Các mặt bên tam giác đều, tất cạnh khối chóp tứ giác Gọi a (cm) độ dài cạnh, S diện tích mặt bên S’ diện tích đáy Ta có: 4S + S' = +  a + a = +  a = ( cm ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 7/15 Thể tích khối chóp tứ giác có cạnh (cm) ( cm ) (tham khảo 3.57) Câu 20: Đáp án C Với độ dài cạnh khối chóp tứ giác a = (cm), gọi m, n (cm) chiều dài chiều rộng miếng bìa hình chữ nhật Chiều rộng miếng bìa lần độ dài cạnh khối chóp: n = 2a = (cm) Chiều dài miếng bìa tổng lần độ dài đường cao mặt bên độ dài  cạnh khối chóp: m =  22  3  + = + ( cm )  ( ) Diện tích miếng bìa hình chữ nhật: m.n = + 16 cm2 Câu 21: Đáp án D Câu 22: Đáp án A Chỉ có hình (I) ghép thành khối lập phương Câu 23: Đáp án C Tham khảo 3.16 Câu 24: Đáp án B Nhận xét: Khi đổ nước vào bể nước dâng đầy phần nón trước sau đến phần trụ Như ta xét hai giai đoạn: (I) Từ lúc bắt đầu đổ nước đến nước dâng đầy phần khối nón (II) Từ lúc nước bắt đầu dâng vào phần khối trụ đến lúc đầy bể Ta xét trình (I): Khi nước dâng phần khối nón, giây trôi qua, lượng nước bể lại tạo thành khối nón nhỏ có bán kính đáy r(t) chiều cao (cũng chiều cao mực nước) h(t) (t thời gian, tính theo giây) Dễ thấy: h r h = r= 1,5 0,5 3 Ở thời điểm t, ta có: V ( t ) = r 2h  t = 27t (mỗi giây lượng nước h  h = 27  bơm vào lít nên t (giây) t (lít)) Vậy thay đổi chiều cao mực nước giai đoạn (I) cho hàm: h (t) = 27t  Hàm hiển nhiên khơng có đồ thị đường thẳng, ta loại bỏ hai câu A C Lẽ ta phải làm thêm bước tìm tập xác định biến t đến thời điểm xác định, chuyển sang giai đoạn (II) thay đổi chiều cao mực nước khơng biểu diễn hàm số vừa nêu Ta xét đến trình (II): Dễ dàng nhận thấy lúc mực nước tăng theo hàm bậc nhất, đồ thị từ đường thẳng Vậy đáp án B Câu 25: Đáp án A Hình quạt có bán kính cm độ dài cung  cm http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 8/15 Độ dài cung hình quạt chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) bán kính đáy nón, ta có: 2r =   r = ( cm ) Bán kính hình quạt độ dài đường sinh hình nón Gọi h (cm) chiều 7 35 cao hình nón, ta có: h = 72 − r = 72 −   = ( cm ) (tham khảo 3.58) 6 ( ) Vậy thể tích khối nón là: V = r h = ( ) 343 35   9,84 cm3 648 Câu 26: Đáp án C Bán kính miếng bìa độ dài đường sinh l nón, l = 20 (cm) Độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r (cm) bán kính đáy nón: 2r = 2l 2.20 =  r = ( cm ) 4 Gọi h (cm) chiều cao nón: h = l2 − r = 15 ( cm ) 3 Thể tích nón là: V = r h = .52.5 15 = Tổng thể tích nón là: 4V = ( ( ) 125 15  cm3 ) 500 15  cm3  2, 03 (lít) Câu 27: Đáp án A Cách giải 1: Ta tìm thể tích V1, V2 , V, V ' cách nhanh chóng Phương án 1: chia hình tròn thành phần Độ dài đường sinh nón bán kính hình tròn ban đầu, tức 16 cm Bán kính nón 1/3 bán kính ban đầu, tức 16 ( cm ) Ta tìm chiều cao nón: 162 −  16  32 ( cm )  =  3 Thể tích V1 nón:   16   32 8192 V1 =      =  cm3  449,33 cm3     3  81 ( ) ( ) ( ) Tổng thể tích V nón: V = 3V1 = 1348, 00 cm3 Phương án 2: chia hình tròn thành phần Bán kính nón 1/6 bán kính ban đầu, tức 8   Ta tìm chiều cao nón: 162 −   = ( cm ) 35 ( cm ) Thể tích V2 nón:     35 512 35 V2 =      =  cm3  117, 48 cm3     3  81 ( ) ( ) ( ) Tổng thể tích V’ nón: V ' = 6V2 = 704,89 cm3 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 9/15 Cách giải 2: Tổng quát hóa tốn Chia hình tròn bán kính R thành x hình quạt ( x  * , x > 1), sau cuộn hình quạt lại tạo thành hình nón tích V, tổng thể tích hình nón V’ Đối với khối nón, bán kính hình tròn ban đầu độ dài đường sinh khối nón, độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r bán kính đáy nón: 2r = 2R R r= x x R Chiều cao nón: h = R −   x 2 R 3 Thể tích khối nón: V =    R −   = x x Dễ dàng khảo sát thấy hàm số V ( x ) = R R x2 −1 x3 R 3 x − nghịch biến khoảng ( 2; + ) , x3 với giá trị x  * , x > ta ln có V(x) > V(x+1) Hay nói cách khác, chia nhỏ hình tròn thể tích khối nón tạo thành bé Tổng thể tích khối nón: V ' = x.V = Khảo sát hàm số V ' ( x ) = R 3 x − a x2 R 3 x − , ta có kết tương tự trên, nghĩa x2 chia nhỏ hình tròn tổng thể tích khối nón tạo thành bé Câu 28: Đáp án C ( ) Đặt  0o    360o số đo cung tròn dùng làm nón Ta dễ dàng xác định bán kính đáy nón: r =  R ; 360   R R = 3602 −  360  360  Và chiều cao nón: h = R −  Thể tích nón: V = r h = ( ) R 2 3602 − 2 3.360 Thể tích nón đạt giá trị lớn hàm số f ( x ) = x 3602 − x (  x  360 ) đạt giá trị lớn Khảo sát hàm này, ta tìm hàm số đạt giá trị lớn x  294 , hay nói cách khác, thể tích nón đạt giá trị lớn   294o Vậy số đo cung tròn bị cắt là: 360o −  = 66o Câu 29: Đáp án B Xét kích thước x y hình, y độ dài đường sinh khối nón cụt Bán kính đáy nhỏ đáy lớn khối nón cụt r = cm r’ = cm Để tính thể tích khối nón, ta cần tìm chiều cao khối nón cụt Như biết, khối nón cụt tạo cách xoay hình thang vng quanh cạnh góc vng http://dethithpt.com – Website chun đê thi, tài liệu file word Trang 10/15 Vì vậy, độ dài cạnh góc vng chiều cao h khối nón cụt Như ta thấy, muốn tìm h, ta cần tìm y trước Dễ dàng chứng minh x 4 = , suy x = cm y = cm 6 Từ đây, ta tìm chiều cao khối nón cụt: h = y2 − ( − ) = 2 ( cm ) Vậy ta tích khối nón cụt với bán kính đáy r = 2cm; r’ = 3cm ( ) chiều cao h = 2 cm : V = h r + rr '+ r '2 = ( ) 38  cm3 (tham khảo công thức 3.48) Câu 30: Đáp án A Gọi r1, r2 , r3 (cm) bán kính đường tròn màu cam, màu đỏ màu xanh Dễ dàng tính r1 = 4+3 = ( cm ) ; r2 = = 2 ( cm ) ; r3 = 4+3+ = 2 ( cm ) Gọi h1, h , h3 ( cm ) chiều cao khối nón có đáy đường tròn bán kính r1, r2 , r3 với đường sinh tương ứng 4cm, 7cm, 9cm Dựa theo hệ thức đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón, ta có: Từ đây, ta tính thể tích V1 , V2 , V3 h1 = 42 − r12 = ( cm ) ; h = − r22 = ( cm ) ; h = Thể tích V1 khối nón có bán kính đáy r1 : V1 = r12 h1 = Thể tích V khối nón có bán kính đáy r2 : V = r22 h = 92 − r32 = ( ( cm ) )  cm3 ( ) 343  cm3 24 ( ) ( ) Thể tích V2 khối nón cụt hiệu thể tích V V1 : V2 = V − V1 = 93  cm3 Tương tự, ta tìm thể tích V3 khối nón cụt cùng: V3 = 193  cm3 12 Câu 31: Đáp án C Gọi h, r (m) chiều cao bán kính đáy bể Theo đề bài, ta có: r h = 150  r h = 150  Tổng chi phí sản xuất: A = 100000.r + 90000 ( 2r ) h + 120000.r = 220000r + 180000rh (đồng) Áp dựng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 220000r , 90000rh, 90000rh : http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 11/15 ( ) 220000r + 90000rh + 90000rh  1782.1012.3.r h = 30000 1782 r h A 2   30000 1782 150     15038388     675 (m) r = 22 11  Đẳng thức xảy  220000r = 90000rh  h = r   h = 22 675 m ( )  11 Câu 32: Đáp án B Trong giây, thể tích nước tăng thêm 10 lít 10 t 1000 Chiều cao mực nước tăng lên giây là: = t ( m ) , t thời 10.5 5000 gian, đo giây Dựa thơng tin ban đầu hồ có sẵn 200 lít nước, tức mực nước ban đầu 250 (m) Như ta có hàm số thể chiều cao mực nước thời điểm sau: 1 t+ (m) 5000 250 Câu 33: Đáp án A h (t) = Chiều cao cánh cửa chiều cao buồng cửa hình trụ Chiều rộng cánh cửa bán kính đáy buồng cửa hình trụ Theo cơng thức tính thể tích khối trụ, ta tích buồng cửa: V = .1, 52.2, = 45 (m ) Câu 34: Đáp án D Thể tích khối nón cụt: 1 695 V1 = h r + rR + R = .10 52 + 5.1, + 1, 52 = cm3 3 27  cm3 Thể tích khối trụ: V2 = .r h = .1, 52.3 = 1471 Tổng thể tích bình: V = V1 + V2 = ( ml ) 12 1471 − 1200 Thể tích sỏi cần bỏ vào: V − 100 = ( ml ) 12 V − 100  24 (viên) Số viên sỏi cần bỏ vào: 12 Câu 35: Đáp án C ( ) ( ) ( ( ) ) Nhận xét: cần biết thể tích hồ bơi, ta tìm thời gian cần để bơm nước đầy hồ Thể tích hồ bơi diện tích phần mặt bên dạng ngũ giác chiều rộng hồ 10m ( ) Diện tích mặt bên: S = ( − ) + 25.2 = 57 m http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 12/15 ( ) Thể tích hồ bơi: V = S.10 = 570 m3 = 570 000 (lít) Thời gian cần thiết để bơm nước đầy hồ: 570000 = 5700 (giây) = 35 phút 100 Câu 36: Đáp án B Nhận xét: để lon trà đặt vừa khít hộp đáy hộp tiếp giáp với đáy lon phải có dạng hình vng Hơn nữa, hình vng có độ dài cạnh a đường kính đáy lon 2R Gọi V, V’ thể tích lon trà thể tích hộp q, ta có: V R h R R  = = = =  78,54% (trong h chiều cao hộp, chiều V ' a 2h a 4R cao lon) Câu 37: Đáp án A Nhận xét: ta cần tìm chiều cao bồn nước (A) thơng qua chiều cao thiết bị (B) Dựa vào hình vẽ, ta thấy thể tích nước (B) gồm thể tích cột nước hình hộp chữ nhật đứng có đáy hình vng cạnh cm khối hộp chữ nhật ngang có kích thước 4cm  2cm  2cm Từ ta tìm chiều cao cột nước h = Bán kính đáy bồn: R = 616 − 4.2.2 = 150 ( cm ) 2.2 375000 = 50 ( cm ) 150. Câu 38: Đáp án C Nhận xét: Thể tích bồn nước tích chiều cao bồn (bằng 2m) diện tích phần hình tròn đáy, mà cụ thể hình viên phân Bởi lẽ diện tích hình viên phân tính theo cách khác dựa vào số đo cung tương ứng nên ta cần đánh giá số liệu đề cách cẩn thận Ở đây, chiều cao h mực nước 0,25 m, nước dâng lên chưa nửa bồn Từ ta thấy diện tích hình viên phân hiệu diện tích hình quạt hình tam giác tương ứng hình Gọi số đo cung hình quạt  , ta có: h = R − R.cos      = R 1 − cos  2   Suy ra: 0, 25 = 0,5 1 − cos    = 120o  Ta tìm diện tích hình viên phân: Svp = Squat − S =  R sin    3 2  R − =  −  m o 4 360   ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 13/15 1 2 Thể tích nước bồn là: V = Svp =  − 3   307, 09 (lít)  Câu 39: Đáp án B ( ) 1, 264 = 0, 632 m  m  0, 632 m Diện tích S’ nửa hình tròn đáy: S' = R = Diện tích hình viên phân đáy: Svp = ( ) Như vậy, nước dâng nửa bồn Ta đưa tốn lại dạng 38 cách tính diện tích hình viên phân nhỏ lại: Svp2 = R − Svp = 125 − 316 500 (m ) Theo 38, gọi số đo cung hình viên phân nhỏ  (tính theo radian), ta có:  R sin  R − = (  − sin  ) 2 125 − 316 Giải phương trình: (  − sin  ) = (1) 500 Svp = Squat − S = Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tìm nghiệm   2,09 ( rad )  120o Như phần không gian trống bồn có độ cao 0,25m, hay nói cách khác, độ cao mực nước 0,75 m Câu 40: Đáp án B Xét khối nón cụt có chiều cao h, bán kính đáy R r (R>r)  ( ) Thể tích V khối nón cụt tính theo cơng thức: V = h R + R.r + r Gọi r (cm) bán kính phần đáy tiếp xúc  30 + 5.r + r = ( ) 555  r = 0,5 ( cm ) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 14/15 ... Cách giải 2: Tổng qt hóa tốn Chia hình tròn bán kính R thành x hình quạt ( x  * , x > 1), sau cuộn hình quạt lại tạo thành hình nón tích V, tổng thể tích hình nón V’ Đối với khối nón, bán kính hình. .. dài 3x, chiều rộng x hình thang cân có độ dài đáy x 2x • Do khối chóp cụt tứ giác có đáy hình vng nên ta thấy mặt khối hộp chữ nhật hình vng cạnh x (mặt tiếp xúc khối) Từ ta có kích thước khối... nước dâng lên chưa nửa bồn Từ ta thấy diện tích hình viên phân hiệu diện tích hình quạt hình tam giác tương ứng hình Gọi số đo cung hình quạt  , ta có: h = R − R.cos      = R 1 − cos  2