ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ 1 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là − 4 và tổng là − 72 . Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) a. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n u n 7 3n 2= + − + b. Tìm giới hạn sau : 2 2 x 1 x 3x 2 lim 2x 2x →− + + + c. Xét tính liên tục của hàm số 2 o 2x x 1 f (x) 1 n 1  − + − − = = −  ≤ −  nÕu x > 1 t¹i x 2x + 3 Õu x . Câu III ( 3,0 điểm ) a. Tìm đạo hàm của hàm số sin x y x 1 = − . b. Cho hàm số 3 2 f (x) x 3x 9x 2009= − − + + . Hãy giải bất phương trình f '(x) 0≤ . c. Cho hàm số 2 y 1 x= + . Chứng minh rằng : 2 y.y'' (y') 1+ = Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . a. Chứng minh rằng : mp(SAB) ⊥ mp(SBC) . b. Chứng minh rằng : BD ⊥ mp(SAC) . c. Biết SA= a 6 3 . Tính góc giữa SC và mp(ABCD) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi n là số lượng số hạng , 1 u là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng . Áp dụng công thức : n 1 n S [2u (n 1)d] 2 = + − , ta có : 2 n 3 n 72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72 0 n 12 2 = −  − = + − − ⇔ − − = ⇔  =  ( lo¹i ) ( nhËn ) Vậy cấp số cộng này có 12 số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) a. ( 1đ ) Ta có : n 7 2 lim u lim n[ 1 3 ] n n = + − + Vì 7 2 lim n , lim[ 1 3 ] 1 3 0 n n = +∞ + − + = − < nên n lim u = −∞ Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 b. (1đ) 2 2 x 1 x 1 x 1 x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 2 1 lim lim lim 2x(x 1) 2x 2 2 2x 2x →− →− →− + + + + + − + = = = = − + − + c. (1đ) Tập xác định D = ¡ Ta có : f( − 1) = 3+2( − 1) = 1 2 2 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1 1 4 + + → − → − = − + − = − − − − = − x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim (2x 3) 3 2( 1) 1 − − → − → − = + = + − = Vì x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim f (x) + − → − → − ≠ nên không tồn tại x 1 lim f (x) →− Vậy hàm số đã cho không liên tục tại o x 1= − Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : 2 2 2 (sin x)'.(x 1) sin x.(x 1)' cos x.(x 1) sin x (x 1)cos x sin x y' (x 1) (x 1) (x 1) − − − − − − − = = = − − − b. (1đ) Ta có : 2 f '(x) 3x 6x 9= − − + Do đó : 2 2 f '(x) 0 3x 6x 9 0 x 2x 3 0 x 3 x 1≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ ≤ − ∨ ≥ c) (1đ) Ta có : 2 2 2 y 1 x y 1 x 2y.y' 2x y.y' x y '.y' y.y'' 1= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ + = Hay 2 2 (y ') y.y'' 1 y.y'' (y ') 1 pcm)+ = ⇔ + = (® Câu IV ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Vì SA (ABCD) SA BC⊥ ⇒ ⊥ (1) , do BC (ABCD)⊂ . Mặt khác : BC AB ⊥ (2) , do ABCD là hình vuông . Từ (1) , (2) suy ra BC (SAB) (SBC) (SAB)⊥ ⇒ ⊥ , Vì BC (SBC)⊂ b. (1đ) Ta có : AC BD⊥ (3) , do ABCD là hình vuông Vì SA (ABCD) SA BD⊥ ⇒ ⊥ (4) , do BD (ABCD)⊂ . Từ (3),(4) suy ra : BD (SAC)⊥ c. (1đ) Do (ABCD) (ABCD) SA (ABCD) A hc S AC hc SC⊥ ⇒ = ⇒ = Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là · SCA Tam giác SAC vuông tại A , ta có : · · a 6 SA 3 3 tanSCA SCA 30 AC 3 a 2 = = = ⇒ = o Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ 2 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 . Tính công bội q và tổng 9 S các số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) d. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n 2 1 3 5 . (2n 1) u n 1 + + + + − = + e. Tìm giới hạn sau : x 1 3 6 lim ( ) 1 x 1 x → − − − f. Xét tính liên tục của hàm số o 3x 1 f (x) 1 x 2 n 1 −   ≠ = =  −  − =  nÕu x 1 t¹i x 2 Õu x . Câu III ( 3,0 điểm ) c. Tìm đạo hàm của hàm số y x 6 x= − . d. Cho hàm số 2 f (x) x sin x cos x= + + . Hãy tính : f ''(1) , π f ''( ) . e. Cho hàm số x 3 f (x) x 3 − = + . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1 . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD . . c. Chứng minh rằng : Mp(ABC) ⊥ mp(ADI) . d. Chứng minh rằng : CD ⊥ mp(ABE) . c. Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Ta có n = 9 là số lượng số hạng , 1 u =5 là số hạng đầu tiên , 9 u =1280 là số hạng đầu tiên , q là công bội của cấp số nhân . Áp dụng công thức 8 8 8 8 8 9 1 u u .q 1280 5.q q 256 q 2 q 2= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± : , ta có : + q = 2 ⇒ 9 9 9 1 q 1 2 1 S u . 5. 2555 q 1 2 1 − − = = = − − + q = − 2 ⇒ 9 9 9 1 q 1 ( 2) 1 S u . 5. 855 q 1 ( 2) 1 − − − = = = − − − Câu II ( 3,0 điểm ) c. ( 1đ ) Ta có : ta có tổng n S 1 3 5 . (2n 1)= + + + + − là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có 1 n u 1,u 2n 1= = − , do đó : 2 n n(n 2n 1) S 1 3 5 . (2n 1) n 2 + − = + + + + − = = Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 3 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 Suy ra : 2 n 2 2 2 1 3 5 . (2n 1) n 1 lim u lim lim lim 1 1 n 1 n 1 1 n + + + + − = = = = + + + d. (1đ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 6 3 3 x 6 3( x 1) 3( x 1) 3 3 lim ( ) lim ( ) lim lim lim 1 x 1 x 1 x 2 1 x (1 x)(1 x ) 1 x → → → → → + − − − − − = = = = = − − − − − − + + c. (1đ) Ta có : f(1) = − 2 Vì x 1 x 1 3x 1 3.1 1 lim f (x) lim 2 f (1) x 2 1 2 → → − − = = = − = − − Vậy hàm số đã cho liên tục tại o x 1= Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : x.( 1) 12 3x y' 6 x x.( 6 x)' 6 x 2 6 x 2 6 x − − = − + − = − + = − − b. (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cosx= − + − − , f ''(x) = 2 cosx sinx Do đó : f ''(1) 2 sin1 cos1 0,983= − + ≈ π − π − π ; f ''( ) = 2 cos sin = 3 c) (1đ) Gọi o x là hoành độ tiếp điểm . Vì 2 6 f ' (x) (x 3) = + . Theo giả thiết , ta có : 2 o o o 2 o 6 f ' (x ) 1 1 (x 3) 3 x 3 6 (x 3) = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ± + Áp dụng công thức : o o o y y f ' (x )(x x )− = − o o x 3 6 y 1 6+ = − + ⇒ = − ⇒ tiếp tuyến 1 ( ): y x 4 2 6∆ = + − o o x 3 6 y 1 6+ = − − ⇒ = + ⇒ tiếp tuyến 2 ( ) : y x 4 2 6∆ = + + Câu IV ( 3,0 điểm ) d. (1đ) Vì AB (BCD) AB DI⊥ ⇒ ⊥ (1) , do DI (BCD)⊂ . Mặt khác : DI BC⊥ (2) , do DI là đường cao của tam giác BCD . Từ (1) , (2) suy ra DI (ABC) (ADI) (ABC)⊥ ⇒ ⊥ , vì DI (ADI)⊂ e. (1đ) Ta có : BE CD ⊥ (3) , do BE là đường cao của tam giác BCD . Vì (ABC) (ABC) AB (BCD),B (BCD) B hc A BE hc AE⊥ ∈ ⇒ = ⇒ = (4) Từ (3),(4) suy ra : CD AE⊥ (5) , do định lí 3 đường vuông góc . Từ (3),(5) suy ra : CD ⊥ (ABE) . f. (1đ) Do DI (ABC),I (ABC) d(D,(ABC)) DI⊥ ∈ ⇒ = = a 3 2 Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 4 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ 3 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết 5 9 u 19 u 35 =   =  Câu II ( 3,0 điểm ) g. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n 2n sin n u n + = h. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 2 x lim x 4x 4 → + + − + − i. Cho hàm số 3 2 x f (x) n 1  −  =  − ≥ −   nÕu x < 1 2x 3 Õu x . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) f. Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x= . g. Cho hàm số y sin 2x cos 2x= − . Hãy giải bất phương trình y '' 0= . c. Cho hàm số y 2x 1= + có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : 1 y x 1 3 = + . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC . e. Chứng minh rằng : AI ⊥ mp(MBC) . f. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) . c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng . Áp dụng công thức : n 1 u u (n 1)d= + − , ta có : 1 1 5 9 1 u 4d 19 u 3 u 19 u 35 u 8d 35 d 4 + = =   =  ⇔ ⇔    = + = =    Vậy cấp số cộng này có 1 u 3, d 4= = . Câu II ( 3,0 điểm ) e. ( 1đ ) Ta có : n n n sin n sin n sin n u 2 u 2 lim(u 2) lim n n n = + ⇒ − = ⇒ − = Vì sin n 1 1 sin n | | lim 0 n 0 n n n n ≤ = = , nª lim nên n limu 2= f. (1đ) 2 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x lim lim x 4x 4 (x 2) → → + + + + = = −∞ − + − − − Vì 2 2 x 2 x 2 lim ( x 2 x) 4 lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0 → → + + = − − = − − < , vµ c. (1đ) Tập xác định D = ¡ Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 5 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 + Nếu x 1< − thì 3 f (x) x= là hàm đa thức nên liên tục trên ( ; 1)−∞ − (1) + Nếu x 1> − thì 2 f (x) 2x 3= − là hàm đa thức nên liên tục trên ( 1; )− +∞ (2) + Tại x 1= − Ta có : f( − 1) = 2( 2 1)− − 3 = − 1 3 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim x 1 − − → − → − = = − 2 2 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim (2x 3) 2( 1) 3 1 + + → − → − = − = − − = − Vì x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim f (x) 1 + − → − → − = = − nên x 1 lim f (x) 1 f ( 1) →− = − = − Vậy hàm số đã cho không liên tục tại o x 1= − (3) Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : (cos3x)' 3sin3x 2cos3x 3x sin 3x y' cos3x x. cos3x x. 2 cos3x 2 cos3x 2 cos3x − − = + = + = b. (1đ) Ta có : y' 2cos 2x 2sin 2x y'' 4sin 2x 4cos2x= + ⇒ = − + Do đó : y'' 0 4sin 2x 4cos2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ;k 4 4 8 2 π π π π = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + ∈ ¢ c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là ( ∆ ) . Vì ( ∆ ) // (d) : 1 y x 1 3 = + nên ( ∆ ) có hệ số góc k = 1 3 . Gọi o o M(x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Ta có : 1 y' 2x 1 = + nên o o o o o 1 1 k y '(x ) 2x 1 3 x 4 (y 3) 3 2x 1 = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = = + Suy ra phương trình tiếp tuyến : 1 1 5 y (x 4) 3 y x 3 3 3 = − + ⇔ = + Câu IV ( 3,0 điểm ) g. (1đ) Ta có : MB (ABC) MB AI⊥ ⇒ ⊥ (gØa thiÕt) do AI ⊂ (ABC) (1) . Mặt khác : AI BC⊥ (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI . Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC)⊥ b. (1đ) Ta có : (ABC) (ABC) MB (ABC),M (ABC) B hc M BI hc MI⊥ ∈ ⇒ = ⇒ = (3) Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là · M I B . Vì tam giác MBI vuông góc nên · · MB tan MIB 4 MIB arctan 4 IB = = ⇒ = g. (1đ) Do AI (MBC)⊥ , suy ra : (MIA) (MBC)⊥ . Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI . Từ B kẻ BH ⊥ MI suy ra BH (M IA),H (M IA) d(B;(MIA)) BH⊥ ∈ ⇒ = . Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có : a BI ,MB 2a 2 = = nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 17 BH BI MB a 4a 4a 2a 17 4a BH BH 17 17 = + = + = ⇒ = ⇒ = Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 6 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ 4 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Cho cấp số nhân ( n u ) có 4 6 3 5 u u 120 u u 60 + = −   + =  .Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân . Câu II ( 3,0 điểm ) j. Chứng minh rằng dãy số ( n u ) với 2 n 2 n 1 u 2n + = là một dãy số giảm và bị chặn . k. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 5 3 lim x 2 → + − − c. Cho hàm số 2 ax 2 f (x) n 2  ≤ =  − >  nÕu x 2x 1 Õu x .Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) h. Tìm đạo hàm của hàm số 3 y tan x= . i. Tính gần đúng giá trị sin 29 o . c. Chứng minh rằng phương trình 2 cos x x− = 0 có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = a 2 2 . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ . g. Chứng minh rằng : AB ⊥ mp(COO’) . b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân . Áp dụng công thức : n 1 n 1 u u .q − = , ta có : 3 5 3 2 1 1 1 4 6 2 4 2 2 3 5 1 1 1 u .q u .q 120 u .q (1 q ) 120 (1) u u 120 u u 60 u .q u .q 60 u .q (1 q ) 60 (2)   + = − + = − + = −    ⇔ ⇔    + =    + = + =   Lấy (1) chia (2) , ta được : q 2= − . Thay q 2= − vào (2) : 2 1 1 u .q (1 4) 60 u 3+ = ⇔ = Vậy cấp số nhân này có 1 u 3, q 2= = − . Câu II ( 3,0 điểm ) a. ( 1đ ) Ta có : n 2 1 1 u 2 2n = + . Suy ra : + n 1 n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 u u ( ) ( ) 0, n 1 2 2 2(n 1) 2n 2(n 1) 2n + − = + − + = − < ∀ ≥ + + . Suy ra ( n u ) là dãy số giảm . + Vì n 1 u 1 2 < ≤ ∀ ≥ , n 1 nên ( n u ) là một dãy số bị chặn . b. (1đ ) 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 3 x 5 9 x 4 x 2 2 lim lim lim lim x 2 3 (x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3 → → → → + − + − − + = = = = − − + + − + + + + Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 7 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 c. (1đ) Tập xác định D = ¡ + Nếu x 2< thì 2 f (x) ax= là hàm số liên tục trên ( ;2)−∞ với a ∈ ¡ + Nếu x 2> thì f (x) 2x 1= − là hàm đa thức nên liên tục trên (2; )+∞ Do đó : hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a 4 + − + − → → → → ⇔ = = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy với 3 a 4 = hàm số đã cho liên tục ¡ Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : 3 3 2 2 2 2 3 3 3. tan x 1 1 1 1 1 y tan x y' .(tan x)' .3tan x. .3tan x. 2 tan x cos x cos x 2cos x 2 tan x 2 tan x = ⇒ = = = = b. (1,0đ) Áp dụng công thức : o o o f '(x x) f (x ) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆ Phân tích : 29 30 1 ( ) 6 180 π −π = − = + o o o . Chọn : o x , x = 6 180 π −π = ∆ Đặt f(x) = sinx , ta có : 1 3 f '(x) cos x , f( ) sin , f '( ) cos 6 6 2 6 6 2 π π π π = = = = = Suy ra : 1 3 sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) . 0,9954 6 180 6 180 6 6 180 2 2 180 π −π π −π π π −π −π = + = + ≈ + ≈ + ≈ o Vậy : sin 29 0,9954≈ o c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = 2 cos x x− liên tục khi x 0 ≥ . Ta có : f(0) = 1 , f( 2 π ) = 2 π − < 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) h. (1đ) Ta có : ∆ ABC đều nân AB ⊥ CO . Mặt khác : AB OO'⊥ . Vì OO’ // AA’ và AA’ ⊥ (ABC) Suy ra : AB (COO')⊥ i. (2đ) + Xác định : Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB . Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) . Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)] Ta có : AB (COO') ( câu 1) O'B' (COO') (CO'B') (COO') O'B' (COO') ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Do đó khi kẻ OH ⊥ O’C thì OH ⊥ (CO’B’) , H (COO')∈ + Tính khoảng cách : Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 10 OH OC OO' 3a a 3a a 30 3a OH OH 10 10 = + = + = ⇒ = ⇒ = Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30 10 Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 8 - . ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ 1 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công. vuông tại A , ta có : · · a 6 SA 3 3 tanSCA SCA 30 AC 3 a 2 = = = ⇒ = o Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009