PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1. Cho x > 2 và + = a Tính giá trị của biểu thức A = theo a Bài 2. Cho hàm số y = + m có đồ thị (D m ) và hàm số y = có đồ thị (D). a) Khi m = 1, vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ (D 1 ) và (D). Xác định tọa độ các giao điểm của chúng . b) Xác định m để khi vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ thì (D m ) không cắt (D). c) Chứng minh rằng (D m ) không thể cắt (D) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đối nhau. Bài 3. Một người đi ô tô xuất phát từ A, khi đến B thì quay lại ngay. Người thứ hai đi mô tô xuất phát tại B, khi đến A thì cũng quay lại ngay. Trên đường đi hai người gặp nhau hai lần, lần đầu tại điểm cách B một khoảng 50 km. Tìm khoảng cách giữa 2 điểm gặp nhau. Biết rằng hai người khởi hành cùng một lúc và đi với vận tốc không đổi, hai điểm A, B cách nhau 120 km. Bài 4. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD tại M và cắt AC tại N. Cho MB = a ; NA = b. Tính diện tích của hình thoi ABCD theo a và b. Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cố định. Gọi C là trung điểm của OA. Điểm M di động trên đường tròn, tia vuông góc với CM tại C cắt đường tròn tại N, gọi K là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn thì: a) (KO 2 + KC 2 ) không đổi . b) K di động trên một đường tròn cố định có tâm I là trung điểm của CO. ----------------------------- ĐÁP ÁN TOÁN Bài 1: A = = = = = Vì x > 2 nên 2 x > 4 ⇒ x > 4 – x ⇒ > ⇒ A = nhân tử và mẫu với + ⇒ A = thay + = a ⇒ A = = Bài 2. a) M = 1 → (D m ) trở thành (D 1 ) : y = +1 (D 1 ) qua các điểm đặc biệt (0,1) và (0 , – 3) (D) qua các điểm đặc biệt (1, )) ; (0, 1) và (2 , 1) Hoành độ giao điểm của (D 1 ) và (D) cho bởi phương trình + 1 = Giải ra được x < 1 → x = 0 ; x > 1 → x = 3 ⇒ Tọa độ các giao điểm là (0 , 1) và (3 , 2) b) Đường (Dm) có hệ số góc = nên luôn song song song với (D 1 ) va (Dm) luôn cắt Oy tại điểm (0, m) (D m ) đi qua điểm (1, 0) ⇔ 0 = + m ⇒ m = - (D m ) không cắt (D) ⇔ m < - c) Hoành độ giao điểm của (Dm) và (D) thỏa : ⇒ { m > - và (1 – m) } hoặc { m > - và x = (m+1) } Nếu hoành độ 2 giao điểm đối nhau thì ( m> - và m = -3 ) vô lí Vậy (Dm) không thể cắt (D) ở 2 điểm có hoành độ đối nhau Bài 3. v 1 v 2 A /-------------------------K----------------------I---------------------/B I là điểm gặp lần đầu, K là điểm gặp lần sau Gọi v 1 , v 2 lần lượt là vận tốc của ô tô (đi từ A) và mô tô (đi từ B) t 1 , t 2 lần lượt là thời gian từ lúc khởi hành đến khi gặp lần 1 và lần 2. ⇒ khoảng đường ô tô đi từ khi khởi hành đến gặp nhau lần sau là AB + BK = 120 + BK khoảng đường mô tô đi từ khi khởi hành đến gặp nhau lần sau là BA + AK = 120 + AK Ta có các phương trình: v 1 .t 1 + v 1 .t 2 = 120 ⇔ t 1 (v 1 + v 2 ) = 120 (1) ⇒ t 2 .(v 1 + v 2 ) = 360 (2) Từ (1)và (2) ⇒ 3 t 1 . (v 1 + v 2 ) = t 2 .(v 1 + v 2 ) ⇒ t 2 = 3t 1 ⇒ v 1. t 2 = 3.v 1 .t 1 AB + BK = 3.AI ⇔ AB + BI + IK = 3.(AB – BI) ⇔ 120 + 50 + IK = 3.(120 – 50) ⇒ IK = 40 (km) Bài 4. B ∆AHN ~ ∆MHB ⇒ = = N ⇒ HN = HB= HA A H O C ∆AHN ~ ∆AOB ⇒ = ⇔ = = ⇒ OB = OA M ∆AHB vuông ⇒ AH 2 + HN 2 = AN 2 ⇒ AH 2 =AN 2 – HN 2 = ⇒ AB 2 = ∆AOB vuông ⇒ OA 2 = AB 2 – OB 2 = – (OA) 2 ⇒ OA = S ABCD = 2 OA.OB = Bài 5. a) ⇒ CK = = KM M K là trung điểm của MN ⇒ OK ⊥ MN N ∆OKM vuông tại K ⇒ OK 2 + KM 2 = OM 2 = R 2 (không đổi) A ! B b) Vẽ KH vuông góc với CO C O ∆CKH ⇒ CK 2 = KH 2 + CH2 ∆KOH ⇒ KO 2 = KH 2 + HO 2 ⇒ CK 2 + KO 2 = 2 KH 2 +CH 2 + OH 2 CK 2 + KO 2 = R 2 2 KH 2 +CH 2 + OH 2 = 2(KI 2 – HI 2 ) + (CI – HI) 2 + (OI + IH) 2 = 2 KI 2 + ⇒ KI = (không đổi) mà I cố định ⇒ K ∈ (I) bán kính ---------------------- . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ Năm học 2008-20 09 Môn TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài. ----------------------------- ĐÁP ÁN TOÁN Bài 1: A = = = = = Vì x > 2 nên 2 x > 4 ⇒ x > 4 – x ⇒ > ⇒ A = nhân tử và mẫu với + ⇒ A = thay + =