Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP HÌNH HỌC NÂNG CAO MƠN TỐN 12 A LÝ THUYẾT Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz 2 Chú ý: i  j  k  i j  i.k  k j  Tọa độ vectơ: a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R  a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b    (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)  a phương b (b  0)  a  kb (k  R) a1  kb1 a a a   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a  kb   a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  a  b  a1b1  a2b2  a3b3   a  a12  a22  a32  a  a12  a22  a22  cos(a , b )  a.b  a1b1  a2b2  a3b3 (với a, b  ) a b a  a22  a32 b12  b22  b32 Tọa độ điểm: a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y =  M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB )  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  x  kxB y A  kyB z A  kz B  ; ;  Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  A  1 k 1 k   1 k  x  x y  yB z A  z B  ;  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A B ; A   2   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:  x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3    Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  zC  G A ; ;   4  Tích có hướng hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 )  a a3 a3 a1 a1 a2   a , b   a  b   ; ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2  Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: k , i   j  i , j   k ;  [a, b]  a; [a, b]  b  j , k   i ;  [a, b]  a b sin  a , b   a, b phương  [a, b]  c) Ứng dụng tích có hướng:  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c   Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:   AB, AD  S ABC   AB, AC  VABCD A ' B 'C ' D '  [ AB, AD] AA '  Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   Diện tích hình bình hành ABCD: S  Diện tích tam giác ABC: ABCD [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương a  b  a.b  a vaø b phương  a , b   a , b , c đồng phẳng  a , b  c  B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: toán tọa độ véc tơ, tọa độ điểm; nhau, phương hai véc tơ Bài 1:Trong không gian Oxyz cho a(1;2; 3), b(1;1;2), c(3;4;3) a) Tìm tọa độ véc tơ u  3a  b  2c b) Tìm y,z để véc tơ v  (2; y; z) phương với u Cho biết v, u hướng hay ngược hướng Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c) Chứng minh: a, b khơng phương Có tồn số thực m,n để c  ma  nb khơng? Có kết luận kết tìm Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3), B(2;1;2), C(-3;3;1) a) CMR: A,B,C ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm I hình bình hành Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho M(1;-1;2), N(2;0;1) a) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng MN với mp(Oxy) b) Điểm I chia đoạn MN theo tỉ số nào? c) Tìm tọa độ điểm P đối xứng với M qua N Bài 4: Trong không gian Oxyz cho A(1;2;3), B(0;4;-1), C(3;-2;-5), D(5;-6;3) a) Chứng minh: ABCD hình thang b) Gọi M,N,P,Q trung điểm đoạn AB, AD, CB CD Chứng minh: tam giác APQ CMN có trọng tâm Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(-2;2;2) trọng tâm G(-1;1;2) a) Tìm tọa dộ đỉnh A, B tam giác ABC biết A thuộc mp(Oxy), B thuộc Oz b) Gọi H trung điểm BC, E điểm đối xứng H qua A Tìm tọa độ điểm K đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng Dạng 2: Bài tốn tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng tích vơ hướng Những tốn tích vơ hướng xoay quanh chủ đề:  Tính tích vơ hướng  Tính độ dài véc tơ, độ dài đoạn thẳng  Tính góc tạo bới hai véc tơ, góc hai đường thẳng  Chứng minh tính vng góc hai véc tơ, hai đường thẳng  Các toán liên quan kết hợp dạng Bài 1: Trong không gian Oxyz cho a(2;2;1), b(1; 1;2), c(2; 4; 1) a) Tính (a  b)(c  3a) cos(a, b) b) Xác định k để d  a  kc vuông góc với véc tơ c c) Tìm tọa độ véc tơ u có độ dài hướng với v  a  b d) Tìm tọa độ véc tơ w biết a.w  1, b.w  7, c.w  Bài 2: Cho A(-4;2;1), B(1;-3;1), C(3;2;2) Tìm tọa độ tâm I mặt cầu qua điểm A, B, C biết I thuộc mp(Oyz) Tính bán kính mc Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(1;-1;2), C(2;3;1) a) Chứng minh tam giác ABC có A góc tù b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm M thuộc Oy cho tam giác MBC vuông M Bài 4: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(2;-1;3), B(1;2;-1), C(-4;7;5) Các đường phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D E Tìm tọa độ điểm D, E Dạng 3: Bài tốn tích có hướng hai véc tơ ứng dụng tích có hướng Những tốn tích có hướng xoay quanh chủ đề:  Tính tích có hướng  Xét đồng phẳng ba véc tơ  Phân tích véc tơ theo ba véc tơ khơng đồng phẳng  Tính diện tích tam giác, tứ giác  Tính thể tích tứ diện, hình chóp  Tìm tọa độ điểm đặc biệt tam giác  Các toán liên quan Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 1: Trong không gian Oxyz cho a(4;3;4), b(2; 1;1), c(1;2; z), d (3;1;2) a) Tính  a, b  tìm z để véc tơ a, b, c đồng phẳng b) Chứng minh véc tơ a, b, d không đồng phẳng c) Hãy biểu thị véc tơ u(13;14;15) theo véc tơ a, b, d Bài 2: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2) a) Chứng minh: A,B,C đỉnh tam giác b) Tính diện tích tam giác độ dài trung tuyến AM c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Bài 3: Cho điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0) a) Chứng minh: A,B,C,D đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD góc tạo hai đường thẳng AC BD c) Tính thể tích tứ diện ABCD khoảng cách từ A đến mp(BCD) Dạng 4: Các toán phương trình mặt cầu Những tốn mặt cầu xoay quanh chủ đề: 1) Lập phương trình mặt cầu: có hai cách a) Tìm tâm bán kính sử dụng pt ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R2 b) Áp dụng phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  2) Tìm tâm bán kính mặt cầu 3) Các tốn xét tương giao mặt cầu với mặt phẳng hay đường thẳng Bài 1: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) có tâm I(1;1;-2) qua điểm M(-3;2;4) b) Có đường kính AB biết A(2;2;4), B(0;-2;2) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Có tâm I thuộc Oz qua hai điểm M(1;-2;4), N(-1;2;2) b) Có tâm J thuộc mp(Oxy) qua điểm A,B,C với A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm Bài 1: Cho tam giác ABC có A(3;2;0), B(1;3;2), C (1;0;1) Tìm tập hợp điểm M khơng gian thỏa mãn điều kiện: a) MA.MB  AB b) MA  MB  MC  MA  MB  2MC C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD’ biết A trùng O, B(2;0;0), C(2;3;0) A’(0;0;4) a) Tìm tọa độ đỉnh lại hình hộp b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm tam giác A’BD Bài 2: Cho tứ diện OABC có A(3;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;5) a) Tìm tọa độ điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tìm tọa độ hình chiếu H O AB Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1;1;2), B(2;4;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxz) N thuộc (Oxy) để MA+MN+NB có giá trị bé Bài 4: Cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(0;1;0), C(1;-1;-4) a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình chữ nhật Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Tìm tọa độ điểm S thuộc mp(Oyz) cho SA  ( ABCD) c) Tính thể tích hình chóp SABCD Bài 5: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1;2) a) Biết A thuộc Ox, B thuộc Oy, C thuộc Oz Tìm tọa độ điểm A,B,C b) Gọi M N trung điểm AB OC Tìm tọa độ điểm E đường thẳng OM để ME  OG Bài 6: Cho A(1;0;0), B(2;1;2) a) Tìm tọa độ điểm C thuộc mp(Oxy) để tam giác ABC vuông cân A b) Gọi D trung điểm đoạn AB E điểm cạnh BC cho BC  3BE Chứng minh: AE  CD §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng  Vectơ n  VTPT () giá n vng góc với ()  Hai vectơ a, b không phương cặp VTCP () giá chúng song song nằm () Chú ý:  Nếu n VTPT () kn (k ≠ 0) VTPT ()  Nếu a, b cặp VTCP () n   a, b  VTPT () Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax  By  Cz  D  với A2  B  C   Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C ) VTPT ()  Phương trình mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  Các trường hợp riêng Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Ax  By  Cz  By  Cz  D  Ax  Cz  D  Ax  By  D  Cz  D  By  D  Ax  D  D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chú ý: Tính chất mặt phẳng () () qua gốc toạ độ O () // Ox ()  Ox () // Oy ()  Oy () // Oz ()  Oz () // (Oxy) ()  (Oxy) () // (Oxz) ()  (Oxz) () // (Oyz) ()  (Oyz)  Nếu phương trình () khơng chứa ẩn () song song chứa trục tương ứng x y z   1 a b c () cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A1 x  B1 y  C1 z  D1  (): A2 x  B2 y  C2 z  D2   (), () cắt  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn A1 B1 C1 D1 A B C D  ()  ()        A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2  ()  ()  A1 A2  B1B2  C1C2  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax0  By0  Cz0  D d  M , ( )   A2  B  C  () // ()  B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp: Nguyên tắc: tìm điểm véc tơ pháp tuyến Mp qua điểm A,B,C nhận véc tơ n   AB, AC  véc tơ pháp tuyến Nếu (P)//(Q) biết (Q): Ax+By+Cz+D=0 (P) có phương trình Ax+By+Cz+D’=0 với D khác D’ Bài 1:Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(1;2;1), B(3;-4;5) Viết phương trình mp(P) trường hợp sau: a) (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB b) (P) qua điểm B song song với mp(Q): 2x-y+4z+7=0 Bài 2: Viết phương trình mp(P) trường hợp sau: a) (P) chứa Oy qua điểm M(1;-1;3) b) (P) qua điểm A,B,C nằm trục Ox, Oy, Oz cho H(1;2;-2) trực tâm tam giác ABC Dạng 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài 1: Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x+my+4z-6+m=0 (m+2)x+4y+(3m+2)z-10=0 Với giá trị m để hai mặt phẳng đó: a) Cắt b) Vng góc c) Song song Bài 2: Xác định giá trị n, m để mp sau qua đường thẳng ( ) : x  ny  3z  m  , (  ) : x  y  z   , ( ) : x  y  z   Dạng 3: Các tốn ứng dụng cơng thức khoảng cách Bài 1:Trong không gian Oxyz cho hai mp (P): x+y-2z-3=0 (Q): 2x+2y-4z+7=0 a) Tính khoảng cách hai mp (P) (Q) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox cách hai mp (P) (Oyz) Bài 2:Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x-y-2z-6=0 hai điểm A(0;1;2), B(1;0;-2) a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu A mp(P) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA=MB d(M,(Ozx))=1 Bài 3: Tìm tập hợp điểm không gian cách hai mặt phẳng (P) (Q) trường hợp sau: a) (P): x+y-2z-3=0, (Q): x+y-2z+5=0 b) (P’): x+2y-2z-7=0, (Q’): 2x+y+2z+1=0 Bài 4: Cho mc (S): x  y  z  x  y  z   Lập phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện a) (P)//(Q): x+3y-z+2=0 tiếp xúc với (S) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) (P) qua điểm A(1;2;-1), B(0;2;1) tiếp xúc với (S) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Cho tứ diện ABCD biết A(-1;1;2), B(1;0;1), C(2;1;-1), D(3;2;1) a) Viết phương trình qua điểm A, B,C b) Viết phương trình mp(P) qua AB song song với CD Bài 2:Cho A(1;-2;0), B(2;-1;2), Viết phương trình mp a) qua điểm M,N,P hình chiếu C(1;-2;5) trục Ox, Oy, Oz b) chứa AB song song với Oy c) chứa Ox qua B Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : x  y  z   0,(  ) : x  y  z   Viết phương trình mp(P) qua giao tuyến hai mp thỏa mãn điều kiện sau: a) song song với Oz b) Qua K(1;2;3) c) Vng góc với mp: 2x-z+7=0 Bài 4: Cho mp(P) qua M(3;1;1) Viết phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện: a) Vng góc với hai mp ( ) : 3x  y  z  0,(  ) : x  y  3z   b) Cắt trục Ox, Oy, Oz A,B,C cho M trọng tâm tam giác ABC c) Cắt trục Ox,Oy, Oz điểm A,B,C cho tứ diện OABC tích bé §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT CƠ BẢN Phương trình tham số đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2t z  z  a t o  ( t  R) x  x0 y  y0 z  z0 đgl phương trình tắc d   a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số là:  x  x0  ta1  x  x0  t a1   d  :  y  y0  t a2 d :  y  y0  ta2  z  z   t a  z  z  ta 3   a , a phương   x0  ta1  x0  t a1   d // d    heä  y0  ta2  y0  t a2 (ẩn t , t ) vô nghiệm  z  ta  z   t a  3    Nếu a1a2 a3  (d ) :  a , a phương a , a phương  a, a    a , M M 0 không phương  M ( x0 ; y0 ; z0 )  d     a, M M 0    Gia sư Tài Năng Việt  d  d https://giasudaykem.com.vn  x0  ta1  x0  t a1   heä  y0  ta2  y0  t a2 (ẩn t , t ) có vô số nghiệm  z  ta  z   t a 3  a , a phương   a , a, M M 0 đôi phương  M ( x ; y ; z )  d  0 0   a , a   a , M M 0    x0  ta1  x0  t a1   d, d cắt  hệ  y0  ta2  y0  t a2 (ẩn t, t) có nghiệm  z  ta  z   t a 3   a , a  a , a không phương     a , a, M M 0 đồng phẳng  a , a M M 0  a , a không phương   x0  ta1  x0  t a1   d, d chéo    heä  y0  ta2  y0  t a2 (ẩn t , t ) vô nghiệm  z  ta  z   t a  3    a, a, M M 0 không đồng phẳng   a , a.M M 0   a  a  a.a   d  d Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x0  ta1  Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  đường thẳng d:  y  y0  ta2  z  z  ta  A( x0  ta1 )  B( y0  ta2 )  C ( z0  ta3 )  D  (ẩn t) Xét phương trình: (*)  d // ()  (*) vô nghiệm  d cắt ()  (*) có nghiệm  d  ()  (*) có vơ số nghiệm Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  x  x0  ta1  Cho đường thẳng d:  y  y0  ta2 (1) mặt cầu (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R (2)  z  z  ta  Để xét VTTĐ d (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*)  d (S) khơng có điểm chung  (*) vơ nghiệm  d(I, d) > R  d tiếp xúc với (S)  (*) có nghiệm  d(I, d) = R  d cắt (S) hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M  M M , a  a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (M , d )  Gia sư Tài Năng Việt d (d1 , d )  https://giasudaykem.com.vn  a1 , a2 .M 1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng () Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a1 , a2 a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () Aa1  Ba2  Ca3 sin  d , ( )   A  B  C a12  a22  a32 B CÁC DẠNG TOÁN cos  a1 , a2   Dạng 1: Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng Bài 1: Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a) Đi qua điểm M(2;0;-3) có véc tơ phương (-1;2;3) b) Đi qua hai điểm A(1;2;3), B(-1;3;5) Bài 2: Viết phương trình tắc đường thẳng d qua M(1;-2;2) trường hợp sau:  x   2t  a) d song song với đường thẳng  :  y  5t z   t  b) d vng góc với mp(P): x+2y-3z+4=0 Bài 3: Viết phương trình tắc đường thẳng d qua M(2;-1;3) vng góc với x x  y z 1 y 1 z  :      ' : 2 3 Dạng 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình sau: x 1 y  z  x  y 1 z    ,d ':   a) d : 2  x  9t x y z 3    b) d :  y  5t , d ' : 18 10  z  3  t  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x  t x  t '   c) d :  y   4t , d ' :  y   4t '  z  3  3t  z  3  3t '   x  1 t x2 y3 z    , d ' :  y  2  t d) d :  z   3t  Bài 2: Cho hai đường thẳng d d’ cho phương trình sau đây:  x   mt x 1 y z  d:   , d ' :  y  1  3t  z   (m  4)t  a) Xác định m để d vuông với d’ b) Xác định m để d d’ hai đường thẳng chéo Bài 3: Cho hai đường thẳng d d’ cho phương trình sau đây: x 1 y 1 z  x y 1 z  d:   ,d ':   2 1 a) Chứng minh d d’ cắt Tìm giao điểm d d’ b) Lập phương trình mp(P) chứa d d’ Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng mp Các toán hình chiếu điểm đường thẳng, mp, hình chiếu đường thẳng mp…  x   4t  Bài 1: Cho đường thẳng d :  y   t , ( P) : x  my  z  m    z   3t  a) Xác định m để d cắt (P), tìm tọa độ giao điểm I d (P) theo m Với giá trị m I có tọa độ số nguyên b) Xác định m để d//(P), d  ( P) Bài 2:Cho điểm M(2;-1;0) mp(P): x+2y-z+2=0 a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M (P) b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng M qua (S) x 1 y  z    Bài 3:Cho điểm M(1;2;0) đường thẳng d : 2 a) Viết phương trình đường thẳng  qua M, cắt d vng góc với d b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d Dạng 4: tốn góc, khoảng cách x 1 y  z  x  y 1 z    , d ':   2 1 a) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d b) Chứng minh: d d’ chéo Tính d(d,d’) Bài 2(KA-2004): Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; ) Gọi M trung điểm SC a) Tính góc khoảng cách hai dường thẳng SA BM b) Giả sử mp(ABM) cắt đường SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài 3: Cho điểm A(-2;0;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A, cắt trục Oy hợp với Oy góc 45o Bài 1:Cho M(1;2;3) hai đường thẳng d : 10 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Dạng 5: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo tốn có dạng tương tự  x  4  2t  x   2t '   Bài 1: Cho hai đường thẳng có phương trình: d :  y   t , d ' :  y  2 z   z  3t '   a) Chứng minh hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d d’ Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M(1;2;1) cắt hai đường thẳng: x y 1 z x 1 y z d:   , d ':   1 2 Bài 3: Viết phương trình đường thẳng  qua M(1;0;1) vng góc với đường thẳng d cắt d’ có x 1 y z x 1 y  z   ,d ':   phương trình sau: d : 1 1 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Cho tứ diện OABC có A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Tìm tọa độ H hình chiếu O mp(ABC) c) Tìm tọa độ K hình chiếu A đường thẳng BC Bài 2:Cho điểm A(4;-6;3), B(5;-7;3) a) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A vng góc với mp(P): 8x+11y+2z-3=0 b) Tìm d điểm C để tam giác ABC vuông B c) Tìm trục Oz điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bé x2 y2 z x5 y2 z    ' :   Bài 3: Cho  : 1 1 a) Chứng minh ,  ' chéo b) Viết phương trình mp(  ) chứa  song song với  ' x 1 y  z 1   Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mp(  ) đường d : (  ): x+y-2z-2=0, (d): 2 a) Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến mp (  ) với mp tọa độ b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A,B,C giao điểm mp(  ) với trục Ox, Oy, Oz, D giao điểm đường thẳng d với mp (Oxz) Bài 5: Cho tứ diện ABCD Tính góc khoảng cách hai cạnh AB CD biết A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) x 1 y  z    Bài 6: Cho d : mp(P): x+y+z-3=0 1 2 a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) b) Tính góc d (P) x2 y z2   Bài 7: Cho M(1;2;-1), đường thẳng d : mp(P): 2x+y-z+1=0 a) Tìm tọa độ K đối xứng M qua (P) b) Viết phương trình đường thẳng  qua M, cắt d song song với (P) x y2 z4 x 1 y  z   ,d ':   Bài 8: Cho hai đường thẳng d :  mp(P): x+y-2z=0 Viết 1 3 1 phương trình đường thẳng  nằm (P) cắt hai đường thẳng d d’ Bài 9: 11 Gia sư Tài Năng Việt Cho đường d mp(P): https://giasudaykem.com.vn x6 y 3 z 2   , x  y  z  Viết phương trình hình chiếu d 2 (P)  x   4t  x  3  6t '   Bài 10: Cho hai đường thẳng có phương trình: d :  y  4  t , d ' :  y  t ' z  1 t  z   2t '   a) Chứng minh hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d d’ x 1 y  z   Bài 11: Cho mp(P) đường thẳng d có phương trình: (P): 2x+y-z-5=0, d : 2 a) Tìm tọa độ giao điểm A d (P) b) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d nằm mp(P) x y2 z6 x  y  z 1  ,d ':   Bài 12: Cho hai đường thẳng d :  mp(P): 2x-y-z+3=0 1 2 1 a) Chứng minh: d d’chéo Tính khoảng cách d d’ b) Viết phương trình đường thẳng  vng với (P) cắt d d’ §4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A LÝ THUYẾT Phương trình mặt cầu: a) Mặt cầu tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R có phương trình ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R2 b) Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c  d  phương trình mặt cầu có tâm I (a; b; c) bán kính R  a  b  c  d Tương giao mặt cầu với đường thẳng, mp: Cho mc (S) tâm I, bán kính R a) Với dường thẳng: gọi d  d ( I , ) b) Với mặt phẳng: B CÁC DẠNG TỐN Những tốn mặt cầu xoay quanh chủ đề: 4) Lập phương trình mặt cầu: có hai cách c) Tìm tâm bán kính sử dụng pt ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R2 d) Áp dụng phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  5) Các toán xét tương giao mặt cầu với mặt phẳng hay đường thẳng Dạng 1: Các toán lập phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: 12 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI  xA  xB ; yI  yA  yB ; zI  zA  zB AB Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Bán kính R = IA = – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = với a2  b2  c2  d  a2  b2  c2  d Bài 1: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau: c) có tâm I(1;1;-2) qua điểm M(-3;2;4) d) Có đường kính AB biết A(2;2;4), B(0;-2;2) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau: c) Có tâm I thuộc Oz qua hai điểm M(1;-2;4), N(-1;2;2) d) Có tâm J thuộc mp(Oxy) qua điểm A,B,C với A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) Dạng 2: Các toán tương giao mặt cấu với mp, đường thẳng Bài 1: Cho mc (S) có phương trình x  y  z  x  y  z   điểm A(1;-1;2), B(2;0;1), C(-1;2;2) a) Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S) b) CMR đường thẳng AB cắt mặt cầu (S) c) CMR mp(OAC) cắt mặt cầu (S), tìm bán kính đường tròn thiết diện Bài 2:Cho mp (P) mc (S) có phương trình: (P): 2x-3y+4z-5=0 (S): x  y  z  3x  y  z   CMR: (P) cắt mặt cầu (S) Tính bán kính r xác định tọa độ tâm H đường tròn thiết diện Bài 3:Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z   Lập phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện: a) (P) tiếp xúc với mc (S) M(4;3;0) b) (P) tiếp xúc với mc(S) biết (P)//(Q): x+3y-z+2=0 Bài 4: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với hai mp: x+2y-2z-3=0 x+2y-2z-5=0 Bài 5:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB với A(0;0;1), B(2;2;3) tiếp xúc với mc: x  y  z  x  y  z  15  Bài 6: Xét phương trình x  y  z  2(sin t ) x  4(cos t ) y  m  (*) a) Tìm m để (*) phương trình mặt cầu với t thuộc R Tìm tâm bán kính mc b) Tìm tập hợp tâm mc t thay đổi C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn §5 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A LÝ THUYẾT CƠ BẢN * PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :  Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vng góc  Bài tốn cực trị, quỹ tích B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Hình lập phương, lăng trụ đứng Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có cạnh a Gọi M, N, P, Q trung điểm BB1, CD, A1D1, AB a) Tính góc C1N MP b) Tính góc hai mp: (A1BC) (A1CD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng A1C QN Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB DD’ a) CMR: MN//(BDC’) Tính MN khoảng cách MN với mp(BDC’) b) Gọi P trung điểm C’D’ Tính VC.MNP góc MN BD c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD · Bài: (KB – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Dạng 2: Hình chóp 2.1 Chóp tam giác: 14 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA=3, OB=OC=4.Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) Bài 2: (KD – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài 3: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi a , b, g góc mp: (OAB), (OBC), (OCA) với mp(ABC) Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm D ABC 1 1 Chứng minh = + + OH OA OB OC Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = Chứng minh cos a + cos b + cos g £ Bài 4:Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Bài 5:Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S  abc a  b  c (Dự bị – Đại học khối D – 2003 Bài 6:(KA – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) 2.2: Chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác mp vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, SC, CD CMR: AM vuông với BP Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE, BC a) Chứng minh: MN  BD b) Tìm khoảng cách MN AC theo a Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang, ABC  BAD  90o Biết BA=BC=a, AD=2a Giả sử SA vng góc với đáy ABCD SA  a Gọi H hình chiếu A lên SB a) Chứng minh SCD tam giác vng b) Tính khoảng cách từ H đến mp(SCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a AS=a, SB  a (SAB)  ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc SM DN Bài 16: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SC  ( ABCD) SA tạo với đáy góc 300 a Chứng minh Các mặt bên hình chóp tam giác vng b Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  a 18 Bài 17: Cho h/chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a H tâm đáy a Chứng minh SH  (ABCD) b Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  15 a3 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy a mặt bên tạo với đáy góc 45 Tính a3 thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  Bài 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  a 6 Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  a3 4b2  2a2 Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA  ( ABCD) Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  a 3 Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với đáy ABCD Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  a3 a3 Bài 24: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm Bài 23: Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Đs: V  a3 11 cạnh BC a SA  BC b Tính thể tích khối chóp S.ABI Đs: VS ABI  24 Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng đỉnh B Cạnh bên SA  ( ABCD) SA = AC Biết a3 Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA  ( ABCD) SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABCD  a3 Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, Cạnh bên SA  ( ABCD) SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  SB= a a3 b Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang, BAD  ABC  900 AB=BC = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD a3 a CMR: BCNM hình chữ nhật b Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Đs: VS.BCNM  Bài 29: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, C  600 Đường chéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) góc 300 a Tính độ dài đoạn AC’ b Tính V khối lăng trụ Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng ABCD vng A B, AB = BC = 2a ; đường cao hình chóp SA = 2a a Xác định tính đoạn vng góc chung AD SC b Tính V hình chóp C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 17 ... lăng trụ Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng ABCD vuông A B, AB = BC = 2a ; đường cao hình chóp SA = 2a a Xác định tính đoạn vng góc chung AD SC b Tính V hình chóp C BÀI TẬP TỰ... 5: Bài toán tập hợp điểm Bài 1: Cho tam giác ABC có A(3;2;0), B(1;3;2), C (1;0;1) Tìm tập hợp điểm M không gian thỏa mãn điều kiện: a) MA.MB  AB b) MA  MB  MC  MA  MB  2MC C BÀI TẬP... Đs: VS ABCD  a 6 Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  a3 4b2  2a2 Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a,