Đang tải... (xem toàn văn)
1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PT BẬC NHẤT VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Phương trình sinx = sinα a) x= α + k 2π sin x = sin α ⇔ (k ∈ Z ) x = π − α + k 2π sin x a Điều kiện : − ≤ a ≤ = b) x arcsin a + k 2π = sin x = (k ∈ Z ) a ⇔ π − arcsin a + k 2π x = c) sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(− v) d) π sin u = cos v ⇔ sin u = sin − v 2 e) π sin u = − cos v ⇔ sin u = sin v − 2 Các trường hợp đặc biệt: sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) sin x = ⇔ x = sin x =− ⇔ x =− π π + k 2π (k ∈ Z ) + k 2π (k ∈ Z ) π sin x =± ⇔ sin2 x =1 ⇔ cos2 x =0 ⇔ cos x =0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) 2 Phương trình cosx = cosα a) cos x =cos α ⇔ x =± α + k 2π (k ∈ Z ) = cos x a Điều kiện : − ≤ a ≤ b) cos x = a ⇔ x= ± arccos a + k 2π (k ∈ Z ) c) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v) d) π cos u = sin v ⇔ cos u = cos − v 2 e) π cos u = − sin v ⇔ cos u = cos + v 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chuyên đề Phương trình lượng giác Các trường hợp đặc biệt: π cos x = ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) cos x = ⇔ x = k 2π (k ∈ Z ) cos x =− ⇔ x =π + k 2π (k ∈ Z ) cos x =± ⇔ cos2 x = ⇔ sin x =0 ⇔ sin x =0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) Phương trình tanx = tanα a) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z ) b) tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z ) c) tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(− v) d) π tan u = cot v ⇔ tan u = tan − v 2 π e) tan u = tan + v − cot v ⇔ tan u = 2 Các trường hợp đặc biệt: tan x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) tan x =± ⇔ x =± π + kπ (k ∈ Z ) Phương trình cotx = cotα cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z ) cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z ) Các trường hợp đặc biệt: cot x = ⇔ x = cot x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ (k ∈ Z ) π + kπ (k ∈ Z ) Phương trình bậc hàm số lượng giác với a, b ∈ , a ≠ với t hàm số lượng giác Có dạng at + b = Cách giải: at + b =0 ⇔ t =− b đưa phương trình lượng giác a Một số điều cần ý: a) Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định π + kπ (k ∈ Z ) * Phương trình chứa tanx điều kiện: x ≠ * Phương trình chứa cotx điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z ) * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x ≠ k π (k ∈ Z ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chuyên đề Phương trình lượng giác Phương trình có mẫu số: * • sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z ) π • cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ (k ∈ Z ) • tan x ≠ ⇔ x ≠ k • cot x ≠ ⇔ x ≠ k π π (k ∈ Z ) (k ∈ Z ) b) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm Giải phương trình vơ định c) Sử dụng MTCT để thử lại đáp án trắc nghiệm Học sinh không lệ thuộc vào việc sử dụng mtct để thử lại đáp án trắc nghiệm Học sinh cần nắm mấu chốt việc giải tự luận Các câu hỏi hạn chế mtct chẳng hạn: + số nghiệm phương trình đoạn hay khoảng + số điểm biểu diễn đường tròn lượng giác + tổng nghiệm đoạn hay khoảng + tổng, hiệu, tích…của nghiệm dương âm nhỏ (lớn nhất)… Câu 1: Chọn khẳng định khẳng định sau x= y + kπ sin y ⇔ A sin x = (k ∈ ) x = π − y + kπ x= y + k 2π sin y ⇔ B sin x = (k ∈ ) x π y k π = − + x= y + k 2π sin y ⇔ C sin x = (k ∈ ) x =− y + k 2π x= y + kπ sin y ⇔ D sin x = (k ∈ ) x = − y + k π Câu 2: Phương trình s inx = sin α có nghiệm x= α + k 2π ;k ∈ A x = π − α + k 2π Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học x= α + kπ ;k ∈ B x = π − α + kπ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác x= α + kπ ;k ∈ C x =−α + kπ x= α + k 2π ;k ∈ D x =−α + k 2π Câu 3: Chọn đáp án câu sau: π A sin x =1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ B sin x =1 ⇔ x =π + k 2π , k ∈ C sin x =1 ⇔ x =k 2π , k ∈ D sin x =1 ⇔ x = + kπ , k ∈ π Câu 4: Nghiệm phương trình sin x = −1 là: π − + kπ A x = − B x = π + k 2π C x = kπ x D = 3π + kπ C x = k 2π D x= π + kπ Câu 5: Phương trình sin x = có nghiệm là: A x= π + k 2π B x = kπ Câu 6: Nghiệm đặc biệt sau sai A sin x =−1 ⇔ x =− π + k 2π B sin x = ⇔ x = kπ π C sin x = ⇔ x = k 2π D sin x =1 ⇔ x = + k 2π 2x π − = (với k ∈ ) có nghiệm Câu 7: Phương trình sin 3 A x = kπ C x= π + kπ Câu 8: Nghiệm phương trình sin x = A x= π + k 2π B x= Câu 9: Phương trình sin x = x A = 5π + k 2π 2π k 3π + D x= π k 3π + 2 là: π + kπ C x = kπ D x= π + k 2π π π có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ : 2 B x = π (k ∈ ) C x= Câu 10: Nghiệm phương trình sin x = π x= + k 2π A 3π = + k 2π x x B.= π + k 2π D x = π là: π x= + kπ B 3π = + kπ x (k ∈ ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 π x= + kπ C 3π = + kπ x Chuyên đề Phương trình lượng giác π x= + k 2π D 3π = + k 2π x (k ∈ ) (k ∈ ) Câu 11: Nghiệm phương trình sin ( x + 10° ) =−1 A x = −100° + k 360° B x = −80° + k180° x 100° + k 360° C = D x = −100° + k180° x +π Câu 12: Phương trình sin = − có tập nghiệm 11π = + k10π x A ( k ∈ ) 29π x = − + k10π 11π − + k10π x = B (k ∈ ) 29π = + k10π x 11π − + k10π x = C (k ∈ ) 29π x = − + k10π 11π = + k10π x D (k ∈ ) 29π = x + k10π Câu 13: Số nghiệm phương trình sin x = khoảng ( 0;3π ) C B 2 A D π Câu 14: Nghiệm phương trình sin x + = 2 A x= π + k 2π − B x = π + k 2π C x = kπ D x = k 2π có nghiệm là: Câu 15: Phương trình: + sin x = − A x = π + k 2π − B x = π + kπ − C x = π + k 2π − D x = π + kπ π với π ≤ x ≤ 5π Câu 16: Số nghiệm phương trình: sin x + = 4 A B C D π Câu 17: Nghiệm phương trình 2sin x − –1 = là: 3 7π π π π A x =+ k ; x =+ k 24 C x= kπ ; x= π + k 2π Câu 18: Phương trình π π + k 2π π π + k 2π ; x = k D x = B x= k 2π ; x= + 2sin x = có nghiệm là: π − + k 2π A x = + k 2π ∨ x = 3 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học − B x = π 2π + k 2π ∨ x = + k 2π 3 Tổng ơn Tốn 11 π 2π + k 2π ∨ x = + k 2π 3 Câu 19: Nghiệm phương trình sin x = sin x là: π + kπ A x= C x = Chuyên đề Phương trình lượng giác − D x = π 4π + k 2π ∨ x = + k 2π 3 B x= kπ ; x= π π +k π C x = k 2π k 2π D x =+ kπ ; k = Câu 20: Phương trình sin x = − có nghiệm thõa < x < π B A C D π Câu 21: Số nghiệm phương trình sin x + = với π ≤ x ≤ 3π : 4 B A D C π Câu 22: Nghiệm phương trình 2sin x − − =0 là: 3 π 7π π π x +k + k ;= 24 π D x= π + k 2π ; x = k A x = kπ ; x= π + k 2π C x = k 2π ; x= B x= π + k 2π x +π Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 11π = + k10π x A x −29π + k10π = 11π − + k10π x = C 29π x = − + k10π = − (k ∈ ) 11π − + k10π x = B x 29π + k10π = (k ∈ ) 11π = + k10π x D x 29π + k10π = ( ) ( (k ∈ ) (k ∈ ) ) có số nghiệm thuộc −180ο ;180ο là: Câu 24: Phương trình 2sin x − 40ο = A C B D ) ( π Câu 25: Tìm sơ nghiệm ngun dương phương trình sau sin x − x − 16 x − 80 = 4 A B C D Câu 26: Nghiệm phương trình sin x = là: A x = k 2π B x= π + kπ C x= π + k 2π D x= π + k 2π Câu 27: Với giá trị m phương trình sin x = m có nghiệm: A m ≤ B m ≥ −1 C −1 ≤ m ≤ D m ≤ −1 vô nghiệm m Câu 28: Phương trình 2sin x − m = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 A −2 ≤ m ≤ B m < −1 Chuyên đề Phương trình lượng giác C m > D m < −2 m > C x = k 2π D x= Câu 29: Nghiệm phương trình cos x = là: A x = kπ B x= π + k 2π π + kπ Câu 30: Giá trị đặc biệt sau π + kπ π C cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π Câu 31: Phương trình: cos x = có nghiệm là: π + k 2π A x= B x = kπ Câu 32: Nghiệm phương trình cos x = −1 là: π − + k 2π A x= π + kπ B x = A cos x ≠ ⇔ x ≠ Câu 33: Nghiệm phương trình cos x = π x = + k 2π A 5π = + k 2π x π x= + k 2π C 2π = + k 2π x π + kπ π D cos x ≠ ⇔ x ≠ + k 2π B cos x ≠ ⇔ x ≠ C x = k 2π D x= π + kπ C x= π + k 2π x D = 3π + kπ là: (k ∈ ) π x = + k 2π B π x = − + k 2π (k ∈ ) (k ∈ ) π x= + k 2π D π x = − + k 2π (k ∈ ) là: Câu 34: Nghiệm phương trình cos x + = 2π π + k 2π ; x = + k 2π π π − + kπ D x = + kπ ; x = 3 π π + k 2π ; x = + k 2π 3 2π 2π − + k 2π C x = + k 2π ; x = 3 − A x = − B x = π có nghiệm Câu 35: Phương trình cos x − = 2 A x= π kπ + 2 B x= π + kπ C x = kπ D x = k 2π C x = kπ D x = k 2π π là: Câu 36: Nghiệm phương trình cos x + = 2 A x= π + k 2π − B x = π + k 2π Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ôn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác có nghiệm Câu 37: Phương trình lượng giác: cos x + = 3π + k 2π x = B −3π = + k 2π x π x= + k 2π A 3π = + k 2π x Câu 38: Nghiệm phương trình: cos x = 5π + k 2π x = C −5π = + k 2π x π x= + k 2π A π x = − + k 2π π x= + kπ B π x = − + kπ π x= + kπ C π x = − + kπ π x= + k 2π D π x = − + k 2π Câu 39: Nghiệm phương trình cos x = − ± A x = π + k 2π ± B x = π 5π + kπ − B x = π 2π ± + k 2π C x = π ± + kπ D x = = là: + k 2π C x= 2π ± + k 2π D x = π + k 2π π cos x + = với ≤ x ≤ 2π 3 Câu 41: Số nghiệm phương trình: A là: + k 2π Câu 40: Nghiệm phương trình cos x + x A = π x= + k 2π D −π = + k 2π x B D C có họ nghiệm Câu 42: Phương trình 2cos x − = π + kπ ( k ∈ ) π ± + k 2π ( k ∈ ) C x = ± B x = ± A x = ± D x = π + k 2π ( k ∈ ) π + kπ ( k ∈ ) có nghiệm Câu 43: Giải phương trình lượng giác : cos x − = ± A x = π + k 2π π ± + k 2π B x = 12 π ± + kπ C x = 12 ± D x = π + k 2π x có nghiệm Câu 44: Giải phương trình lượng giác: cos + = 5π ± + k 4π A x = 5π ± + k 4π B x = Câu 45: Giải phương trình cos x = cos 5π ± + k 2π C x = 5π ± + k 2π D x = 3 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác ± + k 2π ; k ∈ A x = ± arccos C x = ± arccos B x = π + k 2π ; k ∈ ± D x = Câu 46: Nghiệm phương trình cos ± + kπ A x = + k 2π ; k ∈ π + k 2π ; k ∈ x = cos (với k ∈ ) x + k 6π B.= ` ±3 + k 6π D x = ± + k 4π C x = Câu 47: Nghiệm phương trình cos x = cos x là: π + k 2π π + k 2π D x= kπ ; x= A x = k 2π C x = k B x= k 2π ; x= π có nghiệm là: Câu 48: Phương trình 2 cos x + = 5π ± + k 2π ( k ∈ ) A x = ± B x = 5π ± + k 2π ( k ∈ ) C x = ± D x = Câu 49: Phương trình cos x = cos π π + k 2π ( k ∈ ) + k 2π ( k ∈ ) π có nghiệm π = + k 2π x A ( k ∈ ) π x = − + k 2π π = x + k 2π 20 B ( k ∈ ) π x = − + k 2π 20 π π x= + k C ( k ∈ ) π π x = − +k 5 π π +k x = 20 D ( k ∈ ) π π x = − +k 20 x có nghiệm là: Câu 50: Giải phương trình lượng giác cos + = 2 5π x + k 2π = A 5π x = − + k 2π 5π x + k 4π = C 5π x = − + k 4π (k ∈ ) 5π x + k 2π = B 5π x = − + k 2π (k ∈ ) (k ∈ ) 5π x + k 4π = D 5π x = − + k 4π (k ∈ ) Câu 51: Số nghiệm phương trình A π cos x + = với ≤ x ≤ 2π 3 B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C D Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác x π Câu 52: Số nghiệm phương trình cos + = thuộc khoảng (π ,8π ) 2 4 A C B D π π − ; π khoảng 2 Câu 53: Nghiệm phương trình cos x − − = 3 −π −7π A ; 12 12 π C 12 7π B 12 π 7π D ; 12 12 Câu 54: Phương trình cos x = có nghiệm A x = k π ± B x = π + kπ C x = k π D vơ nghiệm π Câu 55: Tìm tổng nghiệm phương trình: cos( x − ) = ( −π; π) A 2π B π C 4π D 7π Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: cos π(3 − + x − x ) = −1 A B Câu 57: Giải phương trình cos 2 x = C D π 2π π π ± + kπ , x = ± + kπ ; k ∈ + k 2π , x = ± + kπ ; k ∈ B x = 6 π π π π ± + kπ , x = ± + kπ ; k ∈ ± + kπ , x = ± + kπ ; k ∈ C x = D x = 6 vô nghiệm m là: Câu 58: Phương trình cos x − m = ± A x = m < −1 A m > B m > C −1 ≤ m ≤ D m < −1 Câu 59: Cho phương trình: √3 cos 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − = Với giá trị m phương trình có nghiệm: A m < − B m > + C − ≤ m ≤ + D − ≤ m ≤ Câu 60: Phương trình m cos x + =0 có nghiệm m thỏa điều kiện m ≤ −1 A m ≥ B m ≥ C m ≥ −1 m ≤ D m ≥ −1 Câu 61: Phương trình cos x= m + có nghiệm m A −1 ≤ m ≤ Câu 62: Cho x= A sin x = B m ≤ π + kπ nghiệm phương trình sau đây: B sin x = C cos x = Câu 63: Cho phương trình: 10 C m ≥ −2 D −2 ≤ m ≤ D cos x = −1 cos x + m − =0 Với giá trị m phương trình có nghiệm Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 π π x k ≠ + cos x ≠ Điều kiện: , k ∈ ⇔ sin x ≠ k π x ≠ Chuyên đề Phương trình lượng giác kπ Phương trình tan x.cot x = ⇔ tan x = ⇔ tan x = tan x ⇔ x = x + kπ ⇔ x = loại cot x kπ Câu 106: Phương trình sau vơ nghiệm điều kiện x ≠ A tan x = B cot x = C cos x = D sin x = Hướng dẫn giải: Chọn D Áp dụng điều kiện nghiệm phương trình lượng giác bản, dễ thấy phương trình sin x = nghiệm vơ > π π Câu 107: Phương trình: tan − x + tan x + = có nghiệm là: 2 2 π + k 2π ( k ∈ ) A x = π π C x =+ k ( k ∈ ) π B x =+ kπ ( k ∈ ) ± D x = π + kπ ( k ∈ ) Hướng dẫn giải: Chọn B − tan x π π = 1 ⇔ cot x − cot x = Ta có : tan − x + tan x + = ⇔ cot x − 2 tan x 2 2 ⇔ tan x = ⇔ cot x − (cot x − tan x) = 1⇔ x= Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học π + kπ ( k ∈ ) 49 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ( ) có nghiệm là: Câu 1: Phương trình ( sin x + 1) sin x − = − A x = C x= π + k 2π ( k ∈ ) ± B x = π + k 2π ± D x = π π + k 2π , x = − + kπ ( k ∈ ) π + k 2π Hướng dẫn giải: Chọn A ( sin x + 1) ( sin x − sin x = −1 π ⇔x= − + k 2π ( k ∈ ) = 0⇔ sin x = ( L ) ) ( ) có nghiệm Câu 2: Phương trình s in2x 2sin x − = π x = k π A x= + k 2π 3π = x + k 2π π x = k π B x= + kπ 3π = + kπ x x = kπ π + k 2π C x= 3π = x + k 2π π x = k π D x= + k 2π π x = − + k 2π Hướng dẫn giải: Chọn A kπ x = s in2x = π π ⇔ x = + k 2π x = + k π s in2x 2sin x − =0 ⇔ , ( k ∈ ) 2sin x − = 3π = + k 2π x ( ) Câu 3: Nghiệm phương trình 2.sin x.cos x = là: A x = k 2π B x= π + kπ C x = k π D x = kπ Hướng dẫn giải: Chọn B π π ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ) Ta có 2.sin x.cos x = ⇔ sin x = Câu 4: Giải phương trình 4sin x cos x cos x + = π + k 2π ; k ∈ π π − + k ;k ∈ C x = − A x = π + kπ ; k ∈ π π − + k ;k ∈ D x = − B x = Hướng dẫn giải: Chọn D 50 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác 4sin x cos x cos x + =0 ⇔ 2sin2xcos2x =−1 ⇔ sin4x =−1 ⇔ x =− π π + k ;k ∈ Câu 5: Giải phương trình cos x(2 cos x + 3) = π 5π ± + kπ ; k ∈ A x =+ kπ , x = π 5π B x =+ kπ , x = + k 2π ; k ∈ π 5π ± + k 2π ; k ∈ C x =+ kπ , x = π 2π ± + k 2π ; k ∈ D x =+ kπ , x = Hướng dẫn giải: Chọn C π x= + kπ cos x = 5π Ta có cos x cos x + =0 ⇔ ⇔ x = + k 2π ; k ∈ cos x = − 5π x = − + k 2π ( ) Câu 6: Nghiệm phương trình sin x − cos x = − A x = π + kπ B x= π π +k x C = 3π + k 2π ± D x = π + k 2π Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: sin x − cos x = ⇔ cos x − sin x = ⇔ cos x = ⇔ x = π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ) Cách 2: π sin x = sin sin x = ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x = ⇔ π sin = x sin − sin x = − 4 π x= + k 2π 3π = x + k 2π π π ⇔ x = + k ( k ∈ ) ⇔ π x = − + k 2π 5π x + k 2π = Câu 7: Phương trình tương đương với phương trình sin x − cos x − =0 A cos x = B cos x = −1 C cos x − =0 D (sin x − cos x) = Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có sin x − cos x − = ⇔ − cos x − = ⇔ cos x = −1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 51 Tổng ơn Tốn 11 Câu 8: Chun đề Phương trình lượng giác tương đương với phương trình sau đây? Phương trình − cos x = Hướng dẫn giải: Chọn A B cos x = − A cos x = C sin x = D sin x = − + cos x Ta có − cos x = ⇔ − = ⇔ − cos x = ⇔ cos x = 2 ) ( : Câu 9: Nghiệm phương trình sin x cos x − = x = kπ A (k ∈ ) π x = ± + k 2π x = kπ B (k ∈ ) π x = ± + kπ x = k 2π C (k ∈ ) π x = ± + k 2π ± D x = π + k 2π ( k ∈ ) Hướng dẫn giải: Chọn A sin x = x = kπ ⇔ sin x cos x − = ⇔ (k ∈ ) π cos x = x = ± + k 2π ( ) Câu 10: Phương trình (sin x + 1)(2 cos x − 2) = có nghiệm − A x = π + k 2π , k ∈ − B x = π C x =+ kπ , k ∈ π + kπ , k ∈ D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: Chọn D π π sin x = −1 x= − + k 2π x= − + k 2π 2 (sin x + 1)(2 cos x − 2) =⇔ ( k ∈ ) ⇔ ⇔ cos x = π π x= ± + kπ 2x = ± + k 2π Câu 11: Nghiệm phương trình sin x.cos x.cos x = là: A x = kπ B x = k π C x = k π D x = k π Hướng dẫn giải: Chọn D sin x.cos x.cos x = ⇔ sin x.cos x =0 ⇔ sin x =0 ⇔ sin x =0 ⇔ x =kπ ⇔= x k π (k ∈ ) Câu 12: Cho phương trình cos x.cos x = cos x.cos x (1) 52 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác Phương trình sau tương đương với phương trình (1) A sin x = B cos x = C sin x = D cos x = Hướng dẫn giải: Chọn C cos x.cos x= cos 3x.cos x ⇔ 1 ( cos x + cos8 x )= ( cos x + cos8 x ) 2 sin x = ⇔ cos x − cos x = ⇔ −2sin x.sin x =0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = ( Do sin x = 2sin x cos x ) Câu 13: Số nghiệm phương trình sin 3x = thuộc đoạn [2π ; 4π ] cos x + B A C D Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: cos x + ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π Trên [ 2π , 4π ] , điều kiện x ≠ 3π Ta có π sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k ; k ∈ cos x + π < 4π ⇔ < k < 12; k ∈ ⇒ k = 7;8;9;10;11 7π 8π 10π 11π x = 2π , , , 3π , , , 4π 3 3 7π 8π 10π 11π , , , , 4π So với điều kiện, ta x = 2π , 3 3 sin x − = Câu 14: Tất nghiệm phương trình 2.cos x − Vì x ∈ [ 2π , 4π ] nên 2π < k 3π − + k 2π , k ∈ A x = π C x =+ kπ , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn A Điều kiện cos x ≠ Ta có π + k 2π , k ∈ x= B 3π x = + k 2π , k ∈ π + k 2π , k ∈ D x = π ⇔ x ≠ ± + k 2π sin x − π π = ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + kπ 2.cos x − 3π − + k 2π , k ∈ Kết hợp điều kiện, suy x = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 53 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác ) ) ( ( − cos 2 x Câu 15: Giải phương trình sin x + cos x + sin x + cos x = x ± A.= x ± C.= π + kπ , k ∈ π kπ + , k ∈ 24 π kπ x ± + D.= , k ∈ x ± B.= π kπ + , k ∈ 12 Hướng dẫn giải: Chọn C ( ) ( x ) + (1 − 2sin ) − cos 2 x Ta có: sin x + cos x + sin x + cos x = ⇔ (1 − 3sin x cos 2 x cos x ) =− cos 2 x ⇔ − 4sin 2 x = − cos 2 x ⇔ cos x = Câu 16: ìm số nghiệm x ∈ 0;14 nghiệm phương trình : cos x − cos x + cos x − = A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ cos x − cos x − 4(2 cos x − 1) + cos x − = ⇔ cos x − cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ 3π 5π 7π π Vì x ∈ 0;14 = ,x = ,x = ,x ⇒x = 2 2 Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = A Vô nghiệm B x = k 2π , k ∈ C x = kπ D x = kπ , k ∈ , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn A sin x ≠ π ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k Điều kiện: cos x ≠ sin x + cos x sin x + cos x pt ⇔ sin x.cos x = cos x sin x ⇔ ( sin x + cos x ) = ⇔ sin x = (loại) Phương trình vơ nghiệm π 69π là: Câu 18: Số nghiệm thuộc ; phương trình 2sin x − 4sin x = 14 10 ( A 40 B 32 C 41 ) D 46 Hướng dẫn giải: Chọn C 2sin x (1 − 4sin x ) =1 ⇔ 2sin 3x ( cos x − 3) =1 54 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ( Chun đề Phương trình lượng giác ) ⇒ sin x = PT có dạng: TH1: cos x = 2sin x ( cos x − 3) =1 ⇔ ( 3sin x − 4sin x.1)( 4.0 − 3) =1 ⇔ s inx =− Vô lý sin x = TH2: cos x ≠ PT có dạng: 2π π x = +k 2sin x ( cos x − 3= ) ⇔ 2sin 3x.cos 3x= cos x ⇔ sin x= cos x ⇔ 14π 72π x = +k 104 2π 69π 2863 π π ≤ +k < − ≤k< π 69π 14 12 10 24 120 ⇔ Vì x ∈ ; ⇔ π π 14 10 ≤ + h 2π < 69π − ≤ h < 17 14 10 14 10 Có 24 giá trị k có 17 giá trị h ⇔ x= ± π kπ + 12 π 2π Câu 19: Phương trình tan x + tan x + + tan x + = 3 tương đương với phương trình: 3 B cot x = A cot x = C tan x = D tan x = Hướng dẫn giải: Chọn C = 3a 3sin a − 4sin a ; = cos 3a cos3 a − 3cos a ; Trước hết, ta lưu ý công thức nhân ba: sin tan 3a = tan a − tan a − tan a 2π + =3 ⇔ tan x + tan x + + tan x − =3 PT ⇔ tan x + 2π π − tan x + tan x − tan x tan − tan x tan 3 tan x + tan ⇔ π ( tan x + tan )( ) ( )( tan x (1 − tan x ) + tan x + + tan x + tan x − − tan x − tan x )= 3 ⇔ tan x − tan x + tan x + tan x + + tan x + tan x − tan x − + tan x = 3 − tan x ⇔ tan x − tan x tan x − tan x = 3 ⇔ =3 ⇔ tan x =3 − tan x − tan x Câu 20: Giải phương trình : sin x + cos x = A x= π ± C x = +k π , k ∈ π + k 2π , k ∈ π + kπ , k ∈ π D x = k , k ∈ − B x = Hướng dẫn giải: Chọn D Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 55 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác sin x + cos x = ⇔ ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x = ⇔ − sin 2 x = π (1 − cos x ) = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π ⇔ x = k Câu 21: Giải phương trình sin x cos x cos x = ⇔ 1− A kπ B k π C k π D k π Hướng dẫn giải: Chọn C kπ ⇔ sin x = ⇔ x = Ta có : sin x cos x cos x = ⇔ sin x cos x = (k ∈ ) Câu 22: Nghiệm phương trình cos x cos5 x = A x= π + kπ B x = cos x (với k ∈ ) kπ C x = kπ D x= π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : cos x cos5 x = π kπ 1 cos x ⇔ cos x = ⇔ x = + cos x ⇔ ( cos x + cos x ) = 2 (k ∈ ) Câu 23: Phương trình sin x + cos6 x = có nghiệm là: 16 ± A x = π π +k ± B x = π π +k ± C x = π π +k ± D x = π π +k Hướng dẫn giải: Chọn D 7 ⇔ − sin 2 x = 16 16 −1 π π ⇔ sin 2 x = ⇔ cos x = ⇔ x =± + k , k ∈ sin x + cos6 x = = x cos4 Câu 24: Phương trình sin x= A x= π π +k 2π + k 2π x= B x= x x − sin có nghiệm là; 2 π π +k π + kπ π x= + kπ C π = x + k 2π π π x +k = 12 D 3π = x + kπ Hướng dẫn giải: Chọn A Phương trình ⇔ sin x = cos4 56 x x − sin ⇔ sin x = cos x 2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 π x= − x =x + k 2π π ⇔ ⇔ cos − x = cos x ⇔ 2 x= π − x =− x + k 2π π π Chuyên đề Phương trình lượng giác −k 2π − k 2π , ( k ∈ ) π Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; phương trình sin x.cos 3x + cos3 x.sin 3x = là: 2 A π 5π , 6 B π 5π , 8 C π 5π , 12 12 D π 5π , 24 24 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ sin x.cos 3x + cos3 x.sin 3x = ⇔ sin x ( cos3 x − 3cos x ) + cos3 x ( 3sin x − 4sin x ) = ⇔ 3sin x.cos3 x − 3cos x.sin x = ⇔ sin x.cos3 x − cos x.sin x = 8 x = 2 ⇔ 4sin x.cos x = ⇔ sin x = ⇔ 8sin x cos x ( cos x − sin x ) = ⇔ = x π Do x ∈ 0; nên nghiệm thuộc khoảng 2 π 5π 9π ; ; 6 Hướng dẫn giải: Chọn B ; B kπ 24 , k ( ∈ ) 5π kπ + 24 + π 5π π , 0; phương trình 24 24 2 Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) phương trình: sin A π π 2π 4π 5π ; ; ; 3 3 C x x + cos4 = là: 2 π π 3π ; ; 2 D π 3π 5π 7π ; ; ; 8 8 π x= + kπ 5 x x sin + cos = ⇔ − sin x = ⇔ 4sin x = ⇔ cos x = − ⇔ , (k ∈ ) π 2 8 x = − + kπ Do x ∈ ( 0;2π ) nên nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) phương trình π 2π 4π 5π ; ; ; 3 3 π Câu 27: Phương trình 2sin 3x + = + 8sin x.cos2 x có nghiệm là: 4 π x = + kπ A 5π = x + kπ x = B = x π + kπ 12 5π + kπ 12 x = C = x π + kπ 18 5π + kπ 18 x = D = x π + kπ 24 5π + kπ 24 Hướng dẫn giải: Chọn B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 57 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác Điều kiện + 8sin x.cos2 x ≥ π π 2sin 3x + = + 8sin x.cos2 x ⇔ 4sin 3x + =+ 8sin x.cos2 x 4 4 π ⇔ 1 − cos x + = + 8sin x.cos2 x ⇔ 8sin x.cos2 x − 2sin x − = ⇔ 8sin x (1 − sin 2 x ) − ( 3sin x − 4sin x ) − = ⇔ 2sin x − = x = ⇔ sin x = ⇔ = x π + kπ 12 , k ∈ 5π + kπ 12 π x = Thử lại điều kiện, = x + kπ 12 , k ∈ thoả 5π + kπ 12 Câu 28: Phương trình sin 3x cos 3x + = có nghiệm là: cos x sin x sin 3x A x= π π +k B x= π π +k π π +k C x= D x= π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn B cos x ≠ kπ x≠ 2 x ≠ Điều kiện sin x ≠ ⇔ ⇔ sin 3x ≠ x ≠ 3x ≠ kπ kπ kπ ⇔ sin 3x.sin x + cos x.cos 3x = sin x.cos x sin 3x ⇔ cosx sin x =⇔ sin 3x cos x = sin x ⇔ ( sin x + s in4x ) = sin x sin 3x x = −kπ x x + k 2π 2= ⇔ ⇔ sin x = sin x ⇔ π kπ x= + x =π − x + k 2π So sánh với điều kiện, ta nhận x= π π +k 3 3 2sin x có nghiệm là: Câu 29: Phương trình sin x + cos x + sin x.cot x + cos x tan x = A x= π + kπ B x= π + kπ C x= π + k 2π x D = 3π + k 2π Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: sin x > (do có điều kiện tan x, cot x ) sin x + cos3 x + sin x.cot x + cos3 x tan x = 2sin x 58 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ⇔ sin x + cos3 x + sin x cos x + cos2 x.sin x = 2sin x Chuyên đề Phương trình lượng giác 2sin x ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) + sin x cos x ( sin x + cos x ) = sin x ⇔ sin x + cos x = π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ) π So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x =+ kπ , ( k ∈ ) ⇒ ( sin x + cos x ) = 2sin x ⇒ = sin x ⇔ x = Câu 30: Phương trình sin x + cos4 x = ( tan x + cot x ) có nghiệm là: sin x π + kπ A x= B x= π + k 2π C x= π π +k D Vô nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ k π sin x + cos4 x = ( tan x + cot x ) sin x (sin ⇔ x + cos2 x ) − 2sin x cos2 x 2sin x cos x = 2sin x cos x ⇔ sin x = ⇔ x = k ⇔ − ( sin x cos x ) = ⇔ sin x cos x = π , (k ∈ ) So sánh điều kiện ta có phương trình vơ nghiệm Câu 31: Cho phương trình cos x.cos x + sin x.cos x =sin x sin x − sin x cos x họ số thực: I x= π + kπ , k ∈ − II x = π + k 2π , k ∈ π 2π 4π π − +k +k III x = , k ∈ IV x= , k ∈ 14 7 Chọn trả lời đúng: Nghiệm phương trình A I, II B I, III C II, III D II, IV Hướng dẫn giải: Chọn C cos x.cos x + sin x.cos 3x =sin x sin x − sin 3x cos x ( cos x.cos x − sin x sin x ) + ( sin x.cos 3x + sin 3x cos x ) = π ⇔ cos 3x + sin x = − cos 3x ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin 3x − 2 π π x= − + k 2π x = x − + k 2π 2 , k ∈ ⇔ sin 4= x sin x − ⇔ ⇔ 3π k 2π 2 = x = π − x + π + k 2π x + 14 π − Từ x = π + k 2π nên ( I ) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 59 Tổng ơn Tốn 11 x Từ = Chun đề Phương trình lượng giác π 2π l 3π k 2π − + + , so sánh với nghiệm x = sau: 14 14 π 2π l − + + Ta thấy x = họ nghiệm biểu diễn đường tròn lượng giác điểm 14 + Cho 3π k 2π π 2π l + =− + ⇔ k − l =−1 Điều có nghĩa, ứng với số ngun k ln có số 14 14 nguyên l x Do họ nghiệm = π 2π l 3π k 2π + − + x = 14 14 Chú ý: π π x = − − k 2π π x x k = + + π 2 cos x = cos + x ⇔ − sin x ⇔ cos x = ⇔ π k 2π π 2 x = 3 x = − + − − x + k 2π 14 ( ) ( ) ( ) Câu 32: Cho phương trình cos x − 300 − sin x − 300 = sin x + 600 tập hợp số thực: x 300 + k1200 , k ∈ I.= x 600 + k1200 , k ∈ II.= x 300 + k 3600 , k ∈ IV.= x 600 + k 3600 , k ∈ III.= Chọn trả lời nghiệm phương trình A Chỉ I B Chỉ II C I, III D I, IV Hướng dẫn giải: Chọn C cos ( x − 300 ) − sin ( x − 300 ) = sin ( x + 600 ) ⇔ cos ( x − 600 ) = sin ( x + 600 ) ⇔ cos ( x − 600= ) cos ( 300 − x ) x 300 + k1200 = ⇔ (k ∈ ) 0 = + x k 30 360 π x x Câu 33: Phương trình sin x − sin x + = 4sin cos cos x có nghiệm 2 2 x A = 3π + kπ , k ∈ 3π + kπ , k ∈ 12 Hướng dẫn giải: Chọn B x C = x B = 3π π + k , k ∈ x D = 3π π + k , k ∈ 16 π x x 2sin x cos x sin x − sin x + = 4sin cos cos x ⇔ sin x − cos x = 2 2 ⇔ sin x − cos x = sin x ⇔ sin x + cos x = π π π − + k (k ∈ ) ⇔ sin x + = ⇔x= 4 60 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 34: Phương trình sin x + cos x = có nghiệm là: 16 π π + k , k ∈ π π ± + k , k ∈ C x = Chuyên đề Phương trình lượng giác π π + k , k ∈ π π ± + k , k ∈ D x = ± A x = ± B x = Hướng dẫn giải: Chọn D 7 − Phương trình ⇔ − sin 2 x = ⇔ + cos x = ⇔ cos x = 8 16 16 2π π π ± + k ,(k ∈ ) ⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 + tan x)(1 + cot x) = A Vô nghiệm B x = k 2π , k ∈ C x = kπ , k ∈ D x = kπ , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn A sin x ≠ kπ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ Điều kiện: , k ∈ cos x ≠ Phương trình đề ⇔ cos x(1 + tan x).sin x(1 + cot x) = ⇔ (cos x + sin x)(sin x + cos x) = ⇔ sin x = (vơ nghiệm) có số nghiệm là: Câu 36: Trong nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình sin x + sin x = A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A k 2π x= x =− x + k 2π ⇔ sin ( − x ) ⇔ Phương trình đề ⇔ sin x = , k ∈ x = π + x + k 2π x= π + k 2π + Với x = k 2π k 2π 0;1; (vì k ∈ ) < 2π ⇔ ≤ k < ⇒ k = Vì x ∈ [ 0; 2π ) ⇒ ≤ 3 1 + Với x= π + k 2π Vì x ∈ [ 0; 2π ) ⇒ ≤ π + k 2π < 2π ⇔ − ≤ k < ⇒ k =0 (vì k ∈ ) 2 Vậy nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình có nghiệm là: x = ; x = 2π 4π ; x= ; x =π 3 sin x + cos x = m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: Câu 37: Để phương trình π π tan x + tan x − 4 4 A −1 ≤ m < − Hướng dẫn giải: B −2 ≤ m ≤ −1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ 61 Tổng ôn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác Chọn A π sin x + ≠ π π kπ cos x + ≠ x + ≠ 4 π kπ ĐK: ⇔ ⇔x≠± + sin x − π ≠ x − π ≠ kπ 4 cos x − π ≠ 4 sin x + cos x )( sin x − sin x cos x + cos x ) ( sin x + cos x = m⇔ = m tan x + tan x − π π tan x + tan x − − tan x + tan x 4 4 ( sin ⇔ x + cos x ) − 3sin x cos x −1 Phương trình có nghiệm 4m + =m ⇔ − sin 2 x =−m ⇔ sin 2 x = π kπ π kπ ≠ ± + x sin ± + ⇔ ⇔ + 4 m sin 2 x = 0 ≤ m + ≤ có nghiệm 4m + 4m + ≠ 1 ≠ ⇔ 0 ≤ m + ≤ m≠− 3 ≠ 4m + ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m < − −4 ≤ 4m ≤ −1 −1 ≤ m ≤ − π π Câu 38: Để phương trình: 4sin x + cos x − =a + sin x − cos x có nghiệm, tham số a phải 3 6 thỏa điều kiện: A −1 ≤ a ≤ B −2 ≤ a ≤ C − 1 ≤a≤ 2 D −3 ≤ a ≤ Hướng dẫn giải: Chọn B π π Phương trình ⇔ 4sin x + cos x − =a + sin x − cos x 3 6 π π sin x − cos x ⇔ sin + sin x + = a2 + 2 π π π π π ⇔ 1 + sin x + =a + cos sin x − sin cos x ⇔ + 2sin x + = a + 2sin x − 6 6 6 π π π ⇔ sin x + − sin x − = a − ⇔ cos x.sin = a − ⇔ cos x = a − 6 6 Vì −1 ≤ cos x ≤ nên −1 ≤ 62 a − ≤ ⇔ ≤ a ≤ ⇔ ≤ a ≤ ⇔ −2 ≤ a ≤ 2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác CÁCH KHÁC: Chọn a =−3 ∈ [ −3;3] đáp án D π π Ta thấy phương trình 4sin x + cos x − = + sin x − cos x khơng có nghiệm qua chức 3 6 giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Chọn a =−2 ∈ [ −2;2] đáp án B π π + sin x − cos x có nghiệm qua chức giải Ta thấy phương trình 4sin x + cos x − = 3 6 nhanh SOLVE máy tính cầm tay Vậy đáp án B Câu 39: Để phương trình sin x + a − a2 có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: = − tan x cos x a >1 A a ≠ a > B a ≠ a >3 C a ≠ a > D a ≠ Hướng dẫn giải: Chọn A cos x ≠ a cos2 x sin x + a − Điều kiện: tan x ≠ ±1 (1) Phương trình cho tương đương: = cos2 x − sin x cos x cos x ≠ ⇔ a cos2 = x sin x + a − ⇔ ( a + 1) cos2 x = a − ⇔ cos2 x = a2 − a2 + 1 (2) Do đó, theo điều kiện (1) (2), phương trình có nghiệm Vì cos x ≠ nên cos2 x − ≠ ⇔ cos2 x ≠ a2 − < ≤1 a >1 a2 + ⇔ a ≠ a −1 ≠ a + Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 63 ... Phương trình bậc hàm số lượng giác với a, b ∈ , a ≠ với t hàm số lượng giác Có dạng at + b = Cách giải: at + b =0 ⇔ t =− b đưa phương trình lượng giác a Một số điều cần ý: a) Khi giải phương trình. .. + kπ ( k ∈ ) 15 Tổng ôn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ( ) có nghiệm là: Câu 1: Phương trình ( sin x + 1) sin x − = − A x = C x=... Nghiệm phương trình cos x + = 2 A x= π + k 2π − B x = π + k 2π Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình lượng giác có nghiệm Câu 37: Phương trình lượng giác: