Đang tải... (xem toàn văn)
Trong , phương trình 2 2 10 x x + += có nghiệm là:A. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4x ix i = −− = −+ B. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4x ix i =+ =−C. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4x ix i = −+ = − D. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4x ix i = + = −−Hướng dẫn giải:Ta có: 2 2 2 ∆= − = − =−
TÁN ĐỔ TỐN PLUS VIP CHỦ ĐỀ 15 TÍCH PHÂN Câu HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a b b a a ∫ a a C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Câu b B D a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx Cho hàm số f liên tục số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a a A ∫ f ( x)dx = B a ∫ a f ( x)dx = C a ∫ a f ( x)dx = −1 a D ∫ f ( x)dx = f (a) a Câu Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 Câu B Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C D dx= e − , a có giá trị −1 B −1 A C D Hướng dẫn giải a Ta có x +1 dx e x +1= e a +1 − e Vậy yêu cầu toán tương đương −1 ∫e = a −1 e a +1 − = e − ⇔ a = Câu Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π C = f ( x) cos + 4 2 x π D = f ( x) sin + 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho hàm số đáp án: π • π • π = xdx = sin x 0, ∫0 cos π − cos x = 2, ∫0 sin 3xdx = π • π x π x π ∫0 cos + dx = 4sin + = ( − ) , Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 π π x π x π −4 cos + = 2 ∫0 sin + dx = 4 0 • Vậy chọn f ( x) = cos x Câu Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? e2 A π ∫ ln xdx B ∫ 2dx C ∫ sin xdx D ∫ xdx Hướng dẫn giải Dù giải máy tính hay làm tay, ta khơng nên thử tính đáp án từ A đến D, mà nên chọn tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ • dx ∫ 2= 2= x0 2, 2 • • x2 xdx = = ∫0 π − cos x ∫ sin xdx = π 2, = nên nhận e2 ∫ ln xdx Câu Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn ∫ f ( x)dx = −1 A f ( x) = e x B f ( x) = cos x ∫ f ( x)dx ? −2 C f ( x) = sin x D f ( x)= x + Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận Tính tích phân (cho đến nhận kết đúng), ta được: • − cos x −1 = 0= ∫ sin xdx = ∫ sin xdx nhận, −1 −2 • = = xdx sin x −1 2sin1 , ∫ cos −1 • x x −1 ∫ e dx= e −1= e − e , −1 • = xdx ∫ cos = x −2 2sin loại, sin −2 ∫ e dx= x e x −= e − e −2 loại, −2 ( x + 1) ( 1) x + = dx = , ∫ −1 −1 2 ( x + 1) + = = loại ( x 1) dx ∫ −2 −2 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x Cách 2: Phương pháp tự luận Ta biết f hàm số lẻ liên tục a ∫ f ( x)dx = với số thực a Trong −a lựa chọn đây, có hàm số y f ( x) sin x lẻ, nên đáp án tốn Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Thực phép tính sau máy tính (đến thu kết ngưng) Phép tính −1 −2 −1 −2 Kết ∫ sin xdx − ∫ sin xdx ∫ cos xdx − ∫ cos xdx −1 −2 ≠0 x x ∫ e dx − ∫ e dx −1 −2 ≠0 ∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx ≠0 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x Câu dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln D ln Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 5 dx = ln x = ln − ln = ln x 2 I =∫ Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,91629 Bước 2: Lấy e0,91629 cho kết 5 chọn ln 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực phép tính sau máy tính (đến thu kết ngưng) Phép tính Kết 5 chọn ln Kết dx − 3ln x ≠0 dx ∫2 x − ln dx ∫2 x − ln Phép tính ∫ ≠0 dx − ln x ∫ ≠0 π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus 1 ln Hướng dẫn giải A B ln Giải chi tiết chủ đề 15 ln C D ln Cách 1: Phương pháp tự luận π x 2x cos + sin dx x x 2 2 = = I ∫= ∫ dx cot + tan dx ∫ x x 2π 2 π sin x π 2sin cos 3 2 π π 2 π x x2 = ln sin − ln cos 2π 2 3 = ln − ln − ln − ln 2 2 = ln Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,549306 Bước 2: Lấy e0,549306 cho kết 1, 732050808 ≈ chọn ln Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực phép tính sau máy tính (đến thu kết ngưng) Phép tính Kết π π 2 dx ∫π sin x − ln 3 π π 2 ≠0 dx ≠0 ≠0 − ln ∫ π sin x dx ∫π sin x − ln Kết Phép tính dx − ln ∫ π sin x ln Nhận xét: Ở cách làm máy tính nhanh chọn Câu 10 Nếu ∫ (4 − e − x /2 ) dx = K − 2e giá trị K −2 A 12,5 B C 11 D 10 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận K =∫ ( − e − x /2 ) dx + 2e =( x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 −2 Phương pháp trắc nghiệm Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Tốn Plus Dùng máy tính tính ∫ (4 − e − x /2 Giải chi tiết chủ đề 15 ) dx + 2e hình −2 bên, thu giá trị K = 10 Câu 11 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x −x−2 2 ln Hướng dẫn giải B − A ln C −2 ln D ln Phương pháp tự luận 1 1 ln [ ] = − = − − + = − dx dx x x ln ln ∫0 ( x − 2)( x + 1) ∫0 x − x + 1 3 1 dx ∫0 x − x − 2= Học sinh áp dụng công thức x−a + C để giảm bước ln a −b x −b dx ∫ ( x −= a )( x − b) tính: 1 I= ∫ dx = x x − − 1 x−2 ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = ln x + 1 = − ln Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị −0.4620981 Bước 2: Loại đáp án dương ln loại đáp án nhiễu “Không xác định” Bước 3: Chia giá trị −0.4620981 cho ln , nhận − chọn − ln Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho 5 1 ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx A −6 B D −2 C Hướng dẫn giải 5 1 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − =−6 Câu 13 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá trị Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus A B Giải chi tiết chủ đề 15 C D Hướng dẫn giải 3 0 − 2× = 2 ∫ [ x − f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx = Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx có giá trị B −5 A D −9 C Hướng dẫn giải 5 3 1 − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −5 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? −2 A ∫ e dx = ( e x ) x C −2 −3 −3 2π ∫ x dx = ( ln x ) B 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π x2 D ∫ ( x + 1) dx = + x 1 π Hướng dẫn giải −2 −2 Phép tính ∫ dx = ( ln x ) −3 sai Phép tính x −3 −2 −2 ) ( = dx ln x −3 ∫x −3 Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) b C ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Câu 17 Xét hàm số f liên tục số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A ∫ a C b b a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx c c b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B ∫ a D c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn [ a; b ] Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) Giải chi tiết chủ đề 15 a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a D Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) ” sai, mệnh đề phải a b “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) ” a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Xét khẳng định sau: I b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b II b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ a III a b f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx b b IV ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C D Hướng dẫn giải b Các công thức b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx sai a Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? A ∫ ( x + x − 3) dx 3π B ∫ sin xdx π ln 10 C ∫ e x dx D ∫ cos(3 x + π )dx Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Phương pháp tự luận Tính rõ phép tính tích phân để tìm kết (chỉ tính đến nhận kết dừng lại): ln 10 e2 x e 2ln 10 − , e dx = = = ∫0 2 ln 10 • • 2x 3π 3π ∫ sin xdx = −3cos x = 6, x3 x ( ) x + x − dx = + − x = + − =− , ∫0 0 • π • 1 π ( sin 4π − sin(3= sin π ) x +π) = 3 + π )dx ∫ cos(3x= Vậy chọn ln 10 ∫ e x dx Phương pháp trắc nghiệm Nhập phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Kết Phép tính ∫ x( x − 1)dx − ln 10 ∫ e x dx 0 3π ∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x Vậy chọn − + x − 3) dx 35 ∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx 0 π 0 ln 10 ∫ e x dx Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với hàm số f liên tục đoạn [−3;3] , ln có −3 C Với hàm số f liên tục , ta có b ∫ a a f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) D Với hàm số f liên tục đoạn [1;5] b ∫ [ f ( x)] f ( x)] [ dx = Hướng dẫn giải Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Tốn Plus b a ∫ Vì d (− x) =− ( 1)dx nên a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx= a ∫ b Giải chi tiết chủ đề 15 a f ( x)(−1)dx= b ∫ f ( x)d (− x) b Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn ∫ f ( x)dx = B Nếu ∫ f ( x)dx −1 ∫ −1 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx f hàm số chẵn đoạn [−1;1] ∫ f ( x)dx = C Nếu f hàm số lẻ đoạn [−1;1] −1 ∫ f ( x)dx = D Nếu f hàm số chẵn đoạn [−1;1] −1 Hướng dẫn giải Hàm số y = x − • x thỏa ∫ −1 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = , hàm lẻ −1 [−1;1] • Hàm số = y x − thỏa ∫ f ( x)dx = , làm hàm chẵn [−1;1] −1 • Còn f hàm chẵn f ( x= ) f (− x) với x ∈ Đặt t =− x ⇒ dt =−dx suy ∫ 1 0 −1 0 −1 f ( x)dx = d (− x) − ∫ f (− x)d (− x) = − ∫ f ( x)(= −1)dx − ∫ f ( x)= − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) D F (1) − F (2) C F (2) Hướng dẫn giải Áp dụng công thức b )dx ∫ f ( x= F (b) − F (a ) , F nguyên hàm f đoạn a [a; b] , ta có ∫x sin xdx = F (2) − F (1) Câu 24 Cho hàm số f liên tục hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a A α Hướng dẫn giải B 2α Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C α D 4α Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Phương pháp tự luận Đặt t = x ⇒ dt = 2dx x a b t a b α 1 Vậy ∫ = (2 x)2dx = f (2 x)dx f= f (t )dt ∫ ∫ 2a2 2a a b2 b2 b Phương pháp trắc nghiệm Phương pháp tự luận tốt cả, học sinh khơng nắm rõ, thay f hàm số đơn giản, xác định [0;1] tính tốn Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] Khi = α ∫ xdx ∫= )dx f ( x= 0 , suy 1/2 ∫ α = 1/2 f (2 x)dx= ∫ xdx= Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi tích phân ∫ 81x sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3) ] Hướng dẫn giải Đăt t = x ⇒ dt = 3dx đổi cận x t Vậy ∫ 81x sin 3= xdx C [ F (2) − F (1) ] B F (6) − F (3) ∫ (3x) (sin D F (2) − F (1) 6 x)3 dx = ∫t sin 5= tdt F (6) − F (3) Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx A −6 C −3 B D Hướng dẫn giải Đặt= t 2sin x ⇒ dt = cos xdx π Vậy ∫ f (2sin x)= cos xdx π t 2 f (t ) dt = f (t )dt ∫0= 2 ∫0 e Câu 27 Bài tốn tính tích phân I = ∫ 10 x ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Hướng dẫn giải Đặt = u 3x − 2π 2π 4π π π Khi x = u = , x = u = 3 3 du Ta có du = 3dx ⇒ dx = Do đó: 2π 4π 4π π 1 2π 1 4π 3 − sin =− − = − cos(3 x − )dx =∫ cos udu =sin u = sin π 3π 3 3 2 3 ∫ π 3 π Câu 125 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx A π B Hướng dẫn giải π π 2 π C π D π π 12 I= (1 + cos x) cos xdx =∫ (1 + cos x + cos x)dx ∫0 cos x cos xdx = ∫0 40 1 π = ( x + sin x + sin x) |π0 /2 = 4 π x sin x dx + cos2 x Câu 126 Giá trị tích phân: I = ∫ A π2 B Hướng dẫn giải π2 π x =π − t ⇒ dx =−dt ⇒ I =∫ C (π − t ) sin t dt =π π π π2 sin t ∫ + cos + cos t t D π2 dt − I π π2 d (cos t ) sin t π π = − = + ⇒ = π π dt I ∫0 + cos2 t 4 + cos t ⇒ 2I = π∫ π Câu 127 Giá trị tích phân = J ∫ ( sin x + 1) cos xdx Hướng dẫn giải A B π C D π 1 2 J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx = sin x + sin x = 5 0 π Câu 128 Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx + sin x Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 43 Tán đổ Toán Plus ln Hướng dẫn giải A ln B Giải chi tiết chủ đề 15 C ln D ln D ln Đặt t = + sin x ⇒ t =1 + sin x ⇒ 2tdt =2 cos xdx tdt ⇒= dx ⇒= I t ( cos x − s inx ) dt ∫ t= 1 ln t = ln( = 2) ln 2 π sin x dx 3cos x + Câu 129 Giá trị tích phân I = ∫ ln Hướng dẫn giải A B ln ln C ln t −dt 1 Đặt t =+ 3cos x ⇒ dt =−3sin xdx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ dt = = ln 3sin x 31t 3 Câu 130 Giá trị tích phân = I ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx 21 91 Hướng dẫn giải A B 12 91 21 19 C D 12 19 D D Đặt t =6 − cos3 x ⇔ t =1 − cos3 x ⇒ 6t dt =3cos x sin xdx t t13 12 2t dt 6 ⇒ dx = ⇒= = 2 − = I ∫ t (1 − t ) dt cos x sin x 13 91 π cos x dx (sin x + cos x)3 Câu 131 Giá trị tích phân I = ∫ Hướng dẫn giải A I = B π π 4 cos x dx ∫0= (sin x + cos x)3 C ∫ (tan x + 1) cos x dx Đặt t tan x + = π Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx ∫ ( sin x + cos x) Hướng dẫn giải A Đặt: x= 44 π B C − u ⇒ dx = −du Đổi cận: x = ⇒ u = π ;x= π ⇒ u = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Vậy I π sin − u du 2 ∫0= π π sin − u + cos − u π π 2 Giải chi tiết chủ đề 15 cos xdx ∫ ( sin x + cos x ) π tan x − π dx dx sin x + cos x 4 Vậy: 2I = ∫ = ∫= = dx = ∫ 2 π x x (sin + cos ) x x sin + cos ( ) 0 2cos x− 4 π π π 2 π Câu 133 Giá trị tích phân I = ∫ cos x sin xdx A I = π B I = 32 Hướng dẫn giải π π 16 C I = π π D I = π π π 12 12 2 I ∫= cos x sin xdx cos x sin xdx = = (1 − cos x ) dx + cos x sin 2 xdx ∫ ∫ ∫ 40 16 40 π x sin x π sin x + =− = 24 32 16 64 π 4 6 Câu 134 Giá trị tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx 32 π 128 Hướng dẫn giải A I = B I = 33 π 128 C I = 31 π 128 D I = 30 π 128 33 33 Ta có: (sin x + cos x)(sin x + cos x) = + cos x + cos8 x ⇒ I = π 64 16 64 128 π Câu 135 Giá trị tích phân I = ∫ Hướng dẫn giải A B sin x sin x + cos x I=∫ C π dx D 4 sin x t dt = dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫ − 3 t 1 − sin x 1 = π xdx sin x + Câu 136 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π Hướng dẫn giải B I = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ π C I = π D I = π 45 Tán đổ Toán Plus Đặt: x =π − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: x = ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 ⇒ I =− ∫ π π Giải chi tiết chủ đề 15 π π (π − t )dt t π dt dt π =∫ − = −= I⇒I dt π ∫ ∫ sin(π − t ) + sin t + sin t + sin t + sin t + t π d − π π π dt dt π π 4 t π = = = tan − = π π ∫0 π 2 ∫0 ∫0 2 t 2 t 2 0 t t cos − cos − sin + cos 2 4 2 4 2 π π Tổng quát: π π π π ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 0 π sin 2007 x dx sin 2007 x + cos 2007 x Câu 137 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = Hướng dẫn giải π π C I = π 3π D I = 5π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = Vậy 2 π π sin 2007 − t cos 2007 t I= −∫ dx = J (1) ∫0 sin 2007 t + cos2007 t dx = 2007 π 2007 π π sin − t + cos − t 2 2 π Mặt khác I + J= ∫ dx= π (2) Từ (1) (2) suy I = π Tổng quát: π π n sin x dx ∫0 sin n x + cosn x= π cos n x dx , n ∈ + ∫0 sin n x + cosn x= π Câu 138 Giá trị tích phân ∫ cos 11 xdx 250 693 Hướng dẫn giải A B 254 693 C 252 693 D 256 693 C 63π 512 D 65π 512 π ∫ cos 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 π Câu 139 Giá trị tích phân ∫ sin10 xdx 67π 512 Hướng dẫn giải A 46 B 61π 512 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 π xdx ∫ sin= 10 9!! π 1.3.5.7.9 π 63π = = 10!! 2.4.6.8.10 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): (n − 1)!! n !! , neáu n leû n n cos xdx ∫= sin xdx ∫0 = − π n ( 1)!! , n chẵn n !! π π 2 Trong đó: n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: = 0!! 1;= 1!! 1;= 2!! 2;= 3!! 1.3;= 4!! 2.4;= 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; = = = = = 10!! 2.4.6.8.10 dx + ex Câu 140 Giá trị tích phân I = ∫ e B ln e +1 2e A ln e +1 e C ln e +1 Hướng dẫn giải d (1 + e ex Vì = − ⇒ I =∫ dx − ∫ x x 1+ e 1+ e + ex 0 Câu 141 Giá trị tích phân I = ln ∫ ln Hướng dẫn giải B A Đặt t = e x dx ex −1 ) =1 − ln + e x 2e =1 − ln(1 + e) + ln =ln e +1 10 C 20 D t 20 2tdt 2 ⇒ I = t + dt = ( ) +t = ∫1 ex 1 e x − ⇔ t = e x − ⇒ dx = Câu 142 Giá trị tích phân I = x 2e D ln e +1 ln ∫ e x − 1dx B −π −π Hướng dẫn giải A Đặt t = C e x − ⇒ t = e x − ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = −π D −π 2tdt 2tdt = ex t +1 2t −π I ∫ dt ⇒= = ∫ 1 − dt = t +1 t +1 0 1 Câu 143 Giá trị tích phân I = ln ∫ A 2 − (e ex x B + 1) −1 dx C − D 2 − Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 47 Tán đổ Tốn Plus Giải chi tiết chủ đề 15 2tdt 12 tdt Đặt t = e + ⇔ t =e + ⇔ 2tdt =e dx ⇒ dx = x ⇒ I =2 ∫ =−2 = −1 e t t 2 x x Câu 144 Giá trị tích phân I = x e2 dx ∫ x ln x e A ln B ln C ln D ln Hướng dẫn giải Đặt t = ln x ; x = e ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = ⇒ I= 2 dt = ln t 1= ln t ∫ Câu 145 Giá trị tích phân: I = ln ∫e 2x e dx x ln A ln − −1 + ex − D ln − C ln − B 2ln3 – Hướng dẫn giải Đặt= t e x − , Khi x = ln ⇒ t = 0; x = ln3 ⇒ t = 1; e x = t + ⇒ e x dx = 2tdt d (t + t + 1) 2t + (t + 2)tdt I = 2∫ = ∫ (t − + )dt = ∫ (t − 1)dt + ∫ t + t +1 t + t +1 t + t +1 0 0 1 1 = (t − 2t ) + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 – 0 ln Câu 146 Cho M = ∫ 2e x + e x − dx Giá trị e M e3 x + e x − e x + Hướng dẫn giải A B 2e x + e x − = M ∫= dx e3 x + e x − e x + ln ln ln ∫ 11 C D 3e3 x + 2e x − e x − (e3 x + e x − e x + 1) dx e3 x + e x − e x + ln 3e + 2e − e 11 11 ln − 1dx = ln ( e3 x + e x − e x + 1) − x = ln ⇒ e M = x 3x 2x + e − e +1 4 ∫ e = 3x 2x x ln x + ln x dx x e Câu 147 I = ∫ 3 5 − 8 Hướng dẫn giải A B 3 − 8 3 − 8 C D 3 4 − 8 ln x + ln x 2 3 d + ln x I= dx = ln x + ln xd ln x = + ln x ( ) ( ) ( ) ∫1 ∫1 x ∫1 e = ( + ln x ) e e e = 34 − 24 8 ln(1 + x) dx + x Câu 148 Giá trị tích phân I = ∫ 48 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus A I = π B I = ln Hướng dẫn giải π C I = ln π ln Giải chi tiết chủ đề 15 Đặt x =tan t ⇒ dx =(1 + tan t )dt Đổi biến: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π π ln(1 + tan t ) ∫0 + tan t (1 + tan t ) dt= 4 ⇒= I D I = π ln π ∫ ln(1 + tan t )dt π π π Đặt t = − u ⇒ dt =−du ; Đổi cận: t = ⇒ u = , t = ⇒ u = 4 π π ⇒ I =∫ ln(1 + tan t )dt =− ∫ ln 1 + tan − u du 4 π 0 π π − tan u =+ ∫0 ln 1 + tan u du = ∫0 ln + tan u du = 4 Vậy I = π π 4 0 ∫ ln 2du − ∫ ln (1 + tan u ) du = π ln − I π ln Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục thỏa f (− x) + f ( x) = cos x Giá trị tích phân π I= ∫π − f ( x)dx Hướng dẫn giải A I = B I = C I = D I = π Xét tích phân= J ∫π − Đổi cận: x =− f (− x)dx Đặt x =−t ⇒ dx =−dt π π π π ⇒ t = , x = ⇒ t =− 2 2 π − π π 2 Suy ra: J = − ∫ f (t )dt = I ∫ f (− x )dx = ∫ f (t )dt = − π π 2 Do đó: 3I = J + I = − π π π π 2 ∫π [ f (− x ) + f ( x )] dx = ∫π cos xdx = 2∫ cos xdx = − − 2 II VẬN DỤNG CAO Vậy I = Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho = f ( x) A sin π x + B , biết f '(1) = ∫ f ( x)dx = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 49 Tán đổ Toán Plus A = B B = − π A = −2 A B = − π Giải chi tiết chủ đề 15 A = −2 C B = π A = − D π B = Hướng dẫn giải = f ( x) A sin π x + B ⇒ f= '( x) A cos π x f '(1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A =− π ∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = ⇒ − Câu 151 Giá trị a để đẳng thức A A π cos 2π + B + A π cos = ⇒ B = 2 ∫ a + (4 − 4a) x + x dx = ∫ xdx đẳng thức B C D Hướng dẫn giải ∫ a 12= 2 + (4 − 4a ) x + x dx= a x + (2 − 2a ) x + x ⇒ a= Câu 152 Giá trị = tích phân I a ∫x dx ( a > 0) + a2 A π B 4a Hướng dẫn giải π2 4a C − π2 4a π π Đặt x = a tan t ; t ∈ ; − ⇒ dx = a (1 + tan t )dt Đổi cận 2 2 π D − π 4a x = ⇒ t = π x = a ⇒ t = π 14 a (1 + tan t ) π dt = ∫0 a tan t + a a= ∫0 dt 4a Vậy I = π Câu 153 Giá trị tích phân I = ∫ A π B cos x dx + cos x π 2 4π C D −π Hướng dẫn giải x = ⇒ t = Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx Đổi cận : π ⇒t = x = π Vậy I = ∫ 50 cos x = dx + cos x dt ∫= − 2t 2 ∫ dt −t Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 π t =0→u = 3 − sin udu Đổi cận : Đặt t =cos u ⇒ dt = , suy 2 π t= → u= I = ∫ π 2 π∫ dt = −t π π sin udu = − cos u ) ( 2 du = π∫ π u = 4 π dt Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho 1+ t2 x Câu 154 Cho I = ∫ x x x dt 1+ t dt 1+ t dt 1+ t2 B ∫ A − ∫ x dt 1+ t C ∫ D − ∫ Hướng dẫn giải 1 1 Đặt u = ⇒ t = ⇒ dt =− du Đổi cận t = x ⇒ u = ; t =1 ⇒ u =1 t u u x 1 du 1 − x x dt − du du dt dt u = = = ⇒ = ∫x + t ∫1 ∫1 u + ∫1 u + ∫x + t ∫1 + t 1+ x x u π Câu 155 Giá trị tích phân I = ∫ π ln(sin x)dx sin x A − ln + + π C − ln − − π π B ln + − D − ln + − π Hướng dẫn giải u ln(sin x) ⇒= du cot xdx = dv = dx ⇒ v =− cot x sin x π π π 2 = − − I= x dx x x ln(s in ) cot ln(sin ) cot xdx π ∫π sin x ∫ π 6 π π π 2 = − − − ln + − x x ln cot π = π 6 Câu 156 Giá trị tích phân I = ∫ {1, x } dx A B C 3 D − Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 51 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Xét hiệu số − x đoạn [0; 2] để tìm {1, x } 2 x3 Vậy I = ∫ {1, x } dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 2 −3 ∫x Câu 157 Giá trị tích phân I = −8 A ln Hướng dẫn giải dx dx 1− x C − ln B D ln x =−8 ⇒ t =3 Đặt t = − x ⇒ x =− t ⇒ dx = −2tdt Đổi cận x =−3 ⇒ t =2 −3 dx Vậy I ∫ dx = = −8 x − x Câu 158 Biết I= tdt dt t +1 −2tdt 2∫ = 2= ln= ln ∫3 (1= ∫ 2 1− t t −1 − t )t (1 − t ) t 2 3 x3 − ln x ∫1 x dx= + ln Giá trị a a A C π B ln D Hướng dẫn giải a I= ∫ x3 − ln x ln x dx = + ln = xdx − ∫ dx = + ln 2 ∫ x x 1 a a a2 1 = − − ln a + − 1 = + ln ⇒ a = a 2 a HD casio: Nhập ∫ Câu = 159 Cho I1 x − ln x dx − − ln = nên a = x π π 2 sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin x + 2) ∫ cos x 3sin x + 1dx , I = ∫ 14 Hướng dẫn giải 3 B I 2 ln + = 2 B I1 > I A I1 = D = I 2 ln − π = I1 ∫ cos x ∫ 3sin x + 1dx = t 14 dt = π sin x 1 dx =2 ∫ − dt =2 ln − (sin x + 2) t t 2 I =∫ Câu 160 Tất giá trị tham số m thỏa mãn m ∫ ( x + 5) dx = A m = 1, m = −6 B m = −1, m = −6 C m = −1, m = D = m 1,= m Hướng dẫn giải 52 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus m ∫ ( x + 5) dx = ⇒ ( x Giải chi tiết chủ đề 15 m + x) = ⇒ m + 5m − = ⇒ m = 1, m = −6 0 Hướng dẫn casio: Thay m = m = −6 vào thấy thỏa mãn π sin x a cos x b cos x Câu 161 Cho hàm số h( x) = Tìm để h( x) tính I = ∫ h( x)dx = + (2 + sin x) (2 + sin x) 2 + sin x A a = −4, b = 2; I = + ln 2 B a =4, b =−2; I =− − ln 3 C a= 2, b= 4; = I − + ln Hướng dẫn giải Sử dụng đồng thức, ta thấy D a = 4; I = −2, b = + ln b a = −4 sin x a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x) =1 h( x)= + = = ⇒ 2 ⇒ 2 b=2 (2 + sin x) + sin x (2 + sin x) (2 + sin x) a + 2b = π π π −4 cos x cos x 2 Vậy ∫ h( x)dx = + + ln + sin x − dx = ∫ (2 + sin x) + sin x + sin x 0 0 2 =− + ln + − ln = + ln 3 Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) [ a; b ] , kí hiệu m ( f ) tính theo công thức m ( f ) = A b f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x [ 0; π ] b − a ∫a B π Hướng dẫn giải π C π D π π = m( f ) = sin xdx ∫ π −0 π π dx Câu 163 Cho ba tích phân I = ∫ = , J x + có giá trị A K 4 ∫ ( sin x − cos x ) dx K= ∫ (x + x + 1) dx Tích phân −1 21 ? B I C J D J K Hướng dẫn giải 1 dx 1 = I ∫ = ln x + 1= ln 3x + 0 π π 4 2 J= sin x cos x dx − = − ) ∫0 ( ∫0 ( cos x − sin x ) dx = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 53 Tán đổ Toán Plus ∫ (x K= + x + 1) dx= −1 Giải chi tiết chủ đề 15 21 Câu 164 Với < a < , giá trị tích phân sau a ∫x A ln a−2 2a − B ln dx dx là: − 3x + a−2 a −1 C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + D − Hướng dẫn giải dx x−2 a−2 ∫0 x − 3x + =∫0 x − − x − dx =ln x − =ln a − a a a x3 Khi giá trị 144m − dx = ( 2) x + Câu 165 Cho 3m − ∫ −2 Hướng dẫn giải B − A C d ( x + 2) 1 1 3.m − ∫ = ⇔ 3.m + = ⇔ 3m + − = ⇔ m = ( x + 2) ( x + 2) 12 −2 Vậy = 144m − 144 = −1 12 2 Câu 166 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm liên tục ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b A ∫ f '( x).e b f ( x) dx = ∫ f '( x).e B a ∫ f '( x).e dx = f ( x) dx = a b C f ( x) b f ( x) dx = −1 ∫ f '( x).e D a a Hướng dẫn giải b ∫e b f ( x) a f '( x)dx = ∫ e f ( x ) d ( f ( x)) = e f ( x ) = e f (b ) − e f ( a ) = b a a Câu 167 Kết phép tính tích phân I = ∫ dx có dạng = I a ln + b ln ( a, b ∈ ) Khi x 3x + a + ab + 3b có giá trị A B C D Hướng dẫn giải dx 1 Ta có I = 2∫ dt = − ln − ln , dt = ∫1 x 3x + = ∫ t −1 t −1 t +1 2 4 suy a = 2, b = −1 Vậy a + ab + 3b = − + = 54 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 π ∫ (1 − cos x ) Câu 168 Với n ∈ , n ≥ , tích phân= I n sin xdx có giá trị 2n Hướng dẫn giải A n −1 B C π n +1 D n 1 t n +1 cos sin I= x xdx t dt − = = = ) ∫0 ( ∫0 n +1 n +1 n n π ∫ Câu 169 Với n ∈ , n > , giá trị tích phân n n π A − B Hướng dẫn giải π sin x dx cos x + n sin x C 3π D − 3π π Đặt t = − x ⇒ dx =−dt π ∫ π π π − ∫ f sin − t dt = = f (sin x)dx = f t dt (cos ) ∫0 ∫0 f (cos x)dx π 2 π ∫ π n sin x dx = I = n cos x + n sin x Câu 170 Giá trị tích phân ∫ dx ⇒ I = π 2017π ∫ − cos 2xdx B −4043 A 3034 C 3043 D 4034 Hướng dẫn giải Do hàm số f ( x= ) − cos x hàm liên tục tuần hồn với chu kì T = π nên ta có T 2T 3T nT T 2T ( n −1)T f ( x)dx ∫= f ( x)dx ∫= f ( x= )dx ∫= ∫ nT ⇒ ∫ f (= x)dx 2017π ⇒ ∫ T 2T T ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx nT f ( x)dx + + ∫ ( n −1)T T f (= x)dx n ∫ f ( x)dx π π 0 − cos xdx = 2017 ∫ − cos xdx = 2017 ∫ sin xdx = 4034 π (1 + sin x)1+ cos x Câu 171 Giá trị tích phân ∫ ln dx + cos x A ln − B −2 ln − C ln − D −2 ln − Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 55 Tán đổ Toán Plus π π π 2 0 ∫ ln(1 + sin x) 1+ cos x Giải chi tiết chủ đề 15 − ln(1 + cos x) dx = ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + cos x)dx π π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 π π π π I = ∫ ln (1 + cos x )dx = − ∫ ln 1 + cos − t dt = ∫ ln (1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx π 0 0 2 π π π 2 0 ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx = ∫ cos x ln(1 + sin x)dx = ⇒ I= ln − b Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn ∫ (3 x − 12 x + 11)dx = A B C D Hướng dẫn giải b ∫ (3x − 12 x + 11)dx = ( x − x + 11x ) b 0 b Câu 173 Biết ∫ 6dx = A b = = b − 6b + 11b − = ⇔ b = b = 3 a ∫ xe dx = a Khi biểu thức b x + a + 3a + 2a có giá trị B C D Hướng dẫn giải b +Ta có ∫ 6dx = ⇒ b = a +Tính ∫ xe x dx = u x= du dx ⇒ Đặt Khi đó, x = dx v e x dv e= a x x ∫ xe dx = xe a a − ∫ e x dx = e a − e a + = a ⇒ a = Vậy b + a + 3a + 2a = Câu 174 Biết bπ a dx B ∫0 x + a = A , ∫0 2dx = B (với a, b > ) Khi giá trị biểu thức 4aA + 2b B π A 2π C 3π D 4π Hướng dẫn giải a +Tính ∫x dx + a2 π π Đặt t = a tan x; a ∈ ; − ⇒ dx = a (1 + tan t )dt 2 2 π π a (1 + tan t ) 14 π Đổi cận : x = ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = Vậy ∫ = dt = dt 2 ∫ a tan t + a a0 4a π 56 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus bπ +Tính: ∫ 2dx = 2bπ , suy Giải chi tiết chủ đề 15 B =π 2b Tài liệu thuộc Series TÁN ĐỔ TOÁN PLUS DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys \ Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/tritranbk Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 57 ... ∫ ln 0 ln x +1 π Câu 72 Tích phân Giải chi tiết chủ đề 15 π ∫ x cos x + dx có giá trị (π − ) (π − ) B − 2 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có A π π C (π +... x)dx = 12 Tích phân có giá trị 11 12 Hướng dẫn giải A B − Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 145 12 C − 11 12 D 145 12 29 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 Áp dụng cơng thức tích phân phần,... dưỡng ước mơ 15 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 15 π π x π x π −4 cos + = 2 ∫0 sin + dx = 4 0 • Vậy chọn f ( x) = cos x Câu 41 Tích phân tích phân sau có giá trị khác ? π e2