A/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH : I/ Kiến thức :  ax  by c( D1 ) * Với hệ phương trình :  ta có số  a ' x  b ' y c '( D ) nghiệm : Số nghiệm Nghiệm Vị trí đồ thị D1 cắt D2 Vơ nghiệm D1 // D2 Vô số nghiệm D1  D2 ĐK hệ số a b  a' b' a b c   a' b' c' a b c   a' b' c' II/ Các dạng tập : Dạng : Giải hệ phương trình (PP cộng ) * Phương pháp cộng : - Biến đổi hệ pt dạng có hệ số ẩn đối - Cộng (trừ) vế pt => PT bậc I ẩn - Giải PT ẩn vừa tìm tìm giá trị ẩn lại 2 x  y 6(1) 4 x  y 12(3)  1)   x  y 3(2)  3x  y 9(4) Cộng vế (3) (4) ta : 7x = 21 => x = Thay x = vào (1) => + 3y = => y = Vậy ( x = 3; y = 0) nghiệm hệ PT * Phương pháp : - Từ PT hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo x) - Thay x (hoặc y) vào PT lại => PT bậc ẩn số - Giải PT ẩn vừa tìm tìm giá trị ẩn cịn lại 7 x  y 1(1) 2)  3 x  y 6(2) Từ (2) => y = – 3x (3) Thế y = – 3x vào phương trình (1) ta : 7x – 2.(6 – 3x) = => 13x = 13 => x = Thay x = vào (3) => y = – = Vậy ( x = 1; y = 3) nghiệm hệ phương trình B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : I/ Kiến thức : 1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu gọn Với phương trình : ax2 + bx + c = ( a 0 ) ta có : Dạng : Tìm tham số để hệ PT thoả đk đề  x  my 5 1) Cho hệ phương trình:   mx  y  10 Với giá trị m hệ phương trình : - Vô nghiệm - Vô số nghiệm Giải : 5 ♣ Với m = hệ (*) có nghiệm (x =5; y= ♣ Với m 0 ta có : - Để hệ phương trình (*) vơ nghiệm : m   m  10  m 4  m 2   m 2 (thoả)  m    10m 20 Vậy m = hệ phương trình vơ nghiệm - Để hệ phương trình (*) có vơ số nghiệm : m   m  10  m 4 m 2   m  (thoả)  m    10m 20 Vậy m = - hệ phương trình có vơ số nghiệm 2) Xác định hệ số a; b để hệ phương trình :  x  by  (I) có nghiệm (x = 1; y = -2)   bx  ay  Giải : Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta :   2b    2b   b 3    b  2a  2a  b  2a    b 3  Vậy a = -4 ; b = hệ có nghiệm (1;-2) a  III/ Bài tập tự giải : 1) Giải hệ phương trình : 1 1  x  y 4 7 x  y 10 10 x  y 3  a)  b)  c)  3 x  y 7 5 x  y 9 10  1  x y  x  y 1 2) Cho hệ PT :   mx  y m a) Với m = giải hệ PT b) Tìm m để hệ PT có nghiệm nhất, có VSN 2) 2x  2 (*) x  x 1 - TXĐ : x 1 Công thức nghiện thu b Công thức nghiệm gọn (b chẳn; b’= ) 2  b  4ac  ' b '  ac -   : PTVN -  '  : PTVN -  0 : PT có n0 kép -  ' 0 : PT có n0 kép b  b' x1 x2  x1  x2  2a a -   : PT có n0 -  '  : PT có n0  b    b '  ' x1 ; x2  x1 ; x2  2a a * Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt ☺Nếu a + b + c = => PT có hai nghiệm : c x1 1; x2  a ☺Nếu a – b + c = => PT có hai nghiệm : c x1  1; x2  a 2) Hệ thức Viét : * Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a 0 ) tổng tích hai b c nghiệm : x1  x2  ; x1.x2  a a II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Giải phương trình - Tìm ĐKXĐ phương trình (nếu có) - Biến đổi dạng PT bậc ẩn số - Giải PT công thức nghiệm - Nhận nghiệm trả lời 1) 4x2 – 11x + = (a = 4; b = – 11; c = 7) * Cách : Sử dụng công thức nghiệm  b  4ac ( 11)  4.4.7 9    3 Vì   nên phương trình có nghiệm :  b   11   b   11  x1    ; x2   1 2a 2a * Cách : Trường hợp đặc biệt Vì a + b + c = + (-11) + = Nên phương trình có nghiệm : c x1 1; x2   a ☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có nghiệm x = a cho trước : - Thay x = a vào PT cho => PT ẩn m - Giải PT ẩn m vừa tìm 2 VD : Cho PT (m – 1)x – 2m x – 3(1 + m) = a) Với giá trị m PT có nghiệm x = - ? b) Khi tìm nghiệm cịn lại PT (*)  2x 1.( x  1) 2.( x  1).( x  1)   x  ( x 1).( x  1) 1.( x  1).( x  1)  x  x  2 x   x  x  0 Vì a – b + c = – (– 1) – = Nên phương trình có nghiệm : c x1  1; x2   a 3) 3x – 5x – = (**) Đặt X = x2 ( X  0) (**)  X  X  0 1  X1 = (nhận) X2 = (loại) Với X = => x2 = x =  ♣ Dạng : Phương trình có chứa tham số ☺ Loại : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước - Tính  theo tham số m - Biện luận  theo ĐK đề ; VD : Cho PT : x2 – 4x + 2m – = Tìm m để phương trình : - Vơ nghiệm - Có nghiệm kép - Có nghiệm phân biệt Giải : Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m –   ' ( 2)2  1.(2m  1) 3  2m * Để phương trình vơ nghiệm     2m    2m    m  * Để phương trình có nghiệm kép  0   2m 0   2m   m  * Để PT có nghiệm phân biệt     2m    2m    m    (Lưu ý : Để PT có nghiệm ) b) Khi x1  x2 10  ( x1  x2 ) 100  ( x1  x2 )  x1 x2 100  22  4( m  4) 100   4m  16 100  m 20  m 2 Vậy m = 2 PT có nghiệm x1  x2 10 Giải : a) Vì x = -1 nghiệm phương trình, :  (m  1).( 1)  2m (  1)  3.(1  m) 0 * Ghi nhớ : Một số hệ thức x1; x2 thường gặp *x12  x22  x1  x2   x1 x2  m   2m   3m 0 *  x1  x2   x1  x2   x1 x2  m  m  0  m1  1; m2 2 Vậy m1 = - 1; m2 = phương trình có nghiệm x = -1 b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình  c 3(1  m)  Vì PT có nghiệm x1 = - => x2 = a m + Với m = => x2 = + Với m = -1 => x2 = Vậy : Khi m = nghiệm lại PT x2 = Và m = -1 nghiệm cịn lại PT x2 = *x12  x22  x1  x2   x1  x2  ☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có n m n0 thoả ĐK cho trước  x1   x2  … : - Tìm ĐK m để PT có nghiệm - Sử dụng Viét để tính S P n0 theo m n m - Biến đổi biểu thức  x1   x2  dạng S; P => PT hệ PT ẩn tham số m 2 *x13  x23  x1  x2   x1 x2 ( x1  x2 ) * 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 III/ Bài tập tự giải : Dạng : Giải phương trình sau : 1) x  10 x  21 0 2) 3x  19 x  22 0 3) (2 x  3) 11x  19 x x   4) x 1 x  x  x  21 26   5) x x2 6) x  13x  36 0 VD : Cho PT : x2 – 2x – m2 – = Tìm m cho phương trình có nghiệm x1; x2 thoả : 2 a) x1  x2 20 b) x1  x2 10 Giải : Vì a.c < nên phương trình ln có nghiệm với m Theo hệ thức Viét ta có : S x1  x2 2 P  x1.x2  m2  2 a) Khi x1  x2 20  ( x1  x2 )  x1 x2 20  22  2(  m  4) 20 1 1   7)  x    4,5  x    0 x x   Dạng : Tìm tham số m thoả ĐK đề 1) Cho phương trình : mx2 + 2x + = a) Với m = -3 giải phương trình b) Tìm m để phương trình có : - Nghiệm kép - Vơ nghiệm - Hai nghiệm phân biệt 2) Cho phương trình : 2x2 – (m + 4)x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi tìm nghiệm cịn lại phương trình 3) Cho phương trình : x2 + 3x + m = a) Với m = -4 giải phương trình b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1; x2 2 thoả điều kiện x1  x2 34  m 4  m 2 2 Vậy m = 2 PT có nghiệm thoả x1  x2 20 C/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ : I/ Kiến thức : Dạng : Xác định hàm số 1) Điểm A(xA; yA) & đồ thị (C) hàm số y = VD1 : Cho hàm số : y = ax2 Xác định hàm số (x): biết đồ thị (C) qua điểm A( -1;2) - Nếu f(xA) = yA điểm A thuộc đồ thị (C) Giải - Nếu f(xA)  yA điểm A khơng thuộc đồ thị Thay toạ độ A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm (C) số 2) Sự tương giao hai đồ thị : Ta : = a.( -1) => a = - Với (C) & (L) theo thứ tự đồ thị hai hàm Vậy y = -2x2 hàm số cần tìm số : VD x : Cho Parabol (P) : y = y = f(x) y = g(x) Khi ta có : * Phương trình hồnh độ giao điểm (C) & a) Vẽ đồ thị hàm số (L) : f(x) = g(x) (1) - Nếu (1) vơ nghiệm => (C) & (L) k./có điểm chung - Nếu (1) có n0 kép => (C) & (L) tiếp xúc - Nếu (1) có 1n0 n0 => (C) & (L) có điểm chung II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Vẽ đồ thị - Đồ thị h/s y = ax + b có dạng đường thẳng, nên vẽ ta cần tìm điểm thuộc đồ thị - Đồ thị h/số y = ax2 có dạng đường cong parabol đối xứng qua Oy, nên vẽ ta cân tìm khoảng điểm thuộc đồ thị VD : Cho hàm số y = - x + y = 2x2 a) Hãy Vẽ đồ thị h/số lên mặt phẳng Oxy b) Dựa vào đồ thị tìm hồnh độ giao điểm kiểm tra lại PP đại số Giải : - Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị : x y=-x+1 b) Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2x + m tiếp xúc với (P) Giải : a) - Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị : x -2 -1 2 y = ½x ½ ½ - Vẽ đồ thị : y= x x b) Tacó PT hồnh độ giao điểm (P) & (D) : x 2 x  m  x  x  2m 0 (1) Để (P) (D) tiếp xúc (1) có nghiệm kép   ' ( 2)  1.(  2m) 0   2m 0  m  Vậy m = -2 đồ thị (P) (D) tiếp xúc III/ Bài tập tự giải : 1) Cho hai hàm số : x -1 -½ ½ - (D) : y = – 4x + y = 2x ½ ½ - (P) : y = – x2 - Vẽ đồ thị : a) Vẽ đồ thị (D) (P) lên mp toạ độ y = 2x2 b) Dựa vào đồ thị xác định toạ độ giao điểm (D) (P), kiểm tra lại phương pháp đại số 2) Cho hàm số (P) : y = ax2 ( a 0 ) a) Xác định hàm số (P) Biết đồ thị qua x điểm A(2; - 2) b) Lập phương trình đường thẳng (D) Biết đồ b) Hai đồ thị có hồnh độ giao điểm x1 = - thị song song với đường thẳng y = 2x tiếp xúc với (P) x2 = ½ Thật : Ta có PT hồnh độ giao điểm h/số là: x  x   x  x  0  x1  1; x2  A/ KIẾN THỨC : I) HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG : Hoàn thành hệ thức lượng tam giác vuông sau : 1) AB2 = BH.BC ; AC2 = HC.BC 2) AH2 = BH.HC 3) AB AC = BC.AH 1  2 4) AH AB AC 2 Hoàn thành định nghóa tỉ số lương giác góc nhọn sau : Cạnh kề Cạnh đối D K sin  cos  H H  D K tg  cot g  Huyền K D Một số tính chất tỉ số lượng giác : * Nếu   hai góc phụ : sin  cos  cos sin  tg  cotg  cot g tg  Caùc hệ thức cạnh góc * b a.sin B a.cos C b c.tgB c.cot gC * c = a.SinC = a CosB c = b tgC = b cotgB II) ĐƯỜNG TRÒN : 1) Quan hệ đường kính dây : 2) Quan hệ dây k/cách từ tâm đến dây : AB  CD I  IC ID ( CD < AB = 2R ) 3) Tieáp tuyeán : - AB = CD  OH = OK - AB > CD  OH < OK 4) Tính chất hai tiếp tuyến cắt MA; MB T.tuyến  MA MB   =>  M M     O1 O2 a ttuyến  a  OA A Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d & R Đường thẳng đường tròn cắt dR (OH = d) Đường thẳng đường tròn không giao (OH = d) 6.Vị trí tương đối hai đường tròn 1) Hai đường tròn cắt : OO’ trung trực AB Số điểm chung Hệ thức OO’ với R & r R – r < OO’ < R + r OO’ = R + r OO’ = R – r > 0 OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = 2) Hai đường tròn tiếp xúc : Ba điểm O; A; O’ thẳng hàng 3) Hai đường tròn không giao : Ngoài Đựng Đồng tâm III/ GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN : Góc tâm : Góc nội tiếp AOB sd AB AMB  sd AB Góc tạo tiếp tuyến dây cung Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn :  BAx  sd AB    sd AC ) BMD  ( sd BD Góc có đỉnh bên đường tròn : AID  sd AD  sd BC   Một số tính chất góc với đường trịn :  Tứ giác nội tiếp : * ĐN : Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp : ABCD tứ giác nội tiếp  A; B; C ; D  (O) * Tính chất : A  C  1800 => ABCD nội tiếp ADB 900 ; ACB 900 => A;B;C;D thuộc đ.trịn đ.kính AB => ABCD nội tiếp đ.trịn đ.kính AB A  C  1800  D  1800 B ABCD nội tiếp Một số hệ thức thường gặp : IA.IC = IB.ID  (do 10 Một số hệ thức thường gặp : MA2 = MB.MC    ABI DCI) MA.MB = MD.MC (do  MAD 11 Độ dài đường tròn & cung tròn : * Chu vi đường tròn : C 2R d R   ; xAD   xAD C  DAB 1800   1800  DAB C => ABCD nội tiếp (do MBA MAC) AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2  MCB) 12 Diện tích hình trịn & hình quạt trịn : * Diện tích hình trịn : S  R * Độ dài cung AB có số đo n0 :  R.n0 l AB  180 B/ BÀI TẬP : Bài : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính AOB, COD vng góc Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B D ), dây CM cắt AB N, tiếp tuyến đường tròn M cắt AB K, cắt CD F a) CMR : Tứ giác ONMD nội tiếp b) CM : MK2 = KA.KB   c) So sánh : DNM & DMF Bài : Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE H cắt DC K a) CMR : Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK c) CM : KH.KB = KC.KD * Diện tích hình quạt cung AB có số đo n0 : Squạt =  R n l.R  3600 Bài : Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC , điểm A thuộc nửa đường trịn, H hình chiếu A BC Vẽ phía với A BC nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự HB; HC chúng cắt AB, AC theo thứ tự D, E a) Tứ giác ADHE hình ? b) CMR : Tứ giác BDEC nội tiếp c) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn biết HB = 10cm; HC = 40cm Bài : Cho  ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC tia AB D E Chưng minh : a) BD2 = AD.CD b) Tứ giác BCDE nội tiếp c) BC // DE PHẦN BA : ĐỀ THAM KHẢO (PHẦN BÀI TẬP) Đề Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P= Rút gọn biểu thức P Tìm x để P < Bài 2: (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Bài 3: (1 điểm) Cho phương trình Giải phương trình b= -3 c=2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH 0) ta có phương trình nghiệm x=12(km/h) Giải ta có Bài 3: Khi b=-3, c= phương trình x 2-3x+2=0 có nghiệm x=1, x=2 EHA đồng dạng hay trịn đường kính góc BE, OM=AH Ta AE có Điều kiện cần tìm Bài 4: Vậy tứ M giác trung AHEK điểm chắn cung AE EB nên nội tiếp OM Do tam giác đường vuông ABH cạnh R Vậy AH= OM= Bài 5: Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2) Do đố OA=2 Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến đường thẳng d OA=2, xảy d vng góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d tức m-1 Đề Câu 1: (1, điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x2 – x+4=0 b) x4 – 29x2 + 100 = c) Câu 2: (1, điểm) Thu gọn biểu thức sau: a) b) Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675 m2 có chu vi 120 m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC Gợi ý phương án giải Câu 1: a) Ta có Δ’ = nên phương trình có nghiệm phân biệt x = – x2 = + b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = t = 25 hay t =2 * t = 25 x2 = 25 x = ± *t=4 x2 = x = ± Vậy phương trình cho có nghiệm ± 2; ±5 c) Câu 2: a) b) Câu 3: Gọi chiều dài x (m) chiều rộng y (m) (x > y > 0) Theo đề ta có: Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = x = 45 hay x = 15 Khi x = 45 y = 15 (nhận) Khi x = 15 y = 45 (loại) Vậy chiều dài 45(m) chiều rộng 15 (m) Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = (1) a) Khi m = (1) trở thành: x2 – 2x + = (x – 1)2 = x = b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Δ’ = m – > m > Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > c) Khi m > ta có: S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = m2 – m + Do đó: A = P – S = m2 – m + – 2m = m2 – 3m + = Dấu “=” xảy − ≥– m= (thỏa điều kiện m > 1) Vậy m = A đạt giá trị nhỏ GTNN A – Câu 5: a) * Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC * Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF, CE hai đường cao ΔABC H trực tâm Δ ABC AH vng góc với BC b) Xét Δ AEC Δ AFB có: chung Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có: mà Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC ) (do AEHF nội tiếp) Vậy d) d) Xét Δ EHB Δ FHC có: mà BC = 2KC nên (đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = * Khi HC = HE = (khơng thỏa HC > HE) * Khi HC = HE = (thỏa HC > HE) Vậy HC = (cm) HC = HC = () ... x1.x2  m2  2 a) Khi x1  x2 ? ?20  ( x1  x2 )  x1 x2 ? ?20  22  2(  m  4) ? ?20 1 1   7)  x    4,5  x    0 x x   Dạng : Tìm tham số m thoả ĐK đề 1) Cho phương trình : mx2 + 2x... biệt x = – x2 = + b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta phương trình trở thành t2 – 29 t + 100 = t = 25 hay t =2 * t = 25 x2 = 25 x = ± *t=4 x2 = x = ± Vậy phương trình cho có nghiệm ± 2; ±5 c) Câu 2: a) b) Câu...   2m    2m    m    (Lưu ý : Để PT có nghiệm ) b) Khi x1  x2 10  ( x1  x2 ) 100  ( x1  x2 )  x1 x2 100  22  4( m  4) 100   4m  16 100  m ? ?20  m ? ?2 Vậy m = ? ?2 PT