BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MINH CHÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MINH CHÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc cho tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa tốn, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 đợt chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Minh Chúc LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Minh Chúc MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1.1 Sai số 1.1.1 Làm tròn số sai số phép làm tròn số 1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số .4 1.1.3 Sai số tính tốn .4 1.1.4 Bài toán ngược sai số .5 1.2 Số gần .6 1.3 Sai phân tính chất 1.3.1 Các khái niệm 1.3.2 Tính chất sai phân 1.4 Một vài khái niệm phương trình vi phân 1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 10 1.5 Khai triển Taylor 11 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 15 2.1 Phương pháp đa bước 15 2.2 Phương pháp đa bước giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường 28 2.3 Phương pháp RUNGE - KUTTA 40 2.4 Phương pháp RUNGE - KUTTA phương pháp đa bước giải phương trình hệ phương trình bậc cao 46 CHƯƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHẦN MỀM MAPLE 54 3.1 Phương pháp đa bước 54 3.2 Phương pháp RUNGE - KUTTA 56 3.3 Phương pháp RUNGE - KUTTA giải hệ phương trình 58 KẾT LUẬN 60 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong thực tiễn, phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực kĩ thuật, vật lý, kinh tế… Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường việc tìm nghiệm phương trình vi phân khó khăn Người ta tìm nghiệm vài phương trình vi phân đặc biệt đa số tìm nghiệm xấp xỉ Cụ thể số tốn, ngồi việc cho dạng phương trình vi phân kèm theo số điều kiện gọi điều kiện ban đầu, toán gọi toán giá trị ban đầu phương trình vi phân, với định hướng tận tình bảo thầy giáo – TS Nguyễn Văn Hùng chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp đa bước, phương pháp Runge - Kutta giải tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nghiên cứu phương pháp đa bước phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình phương trình vi phân bậc cao Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích giải tích số Dự kiến đóng góp Cố gắng xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt đề tài giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số 1.1.1 Làm tròn số sai số phép làm tròn số Xét số thập phân dạng tổng quát :  a    p 10 p    i 10i    p s 10 p s  (1.1) Trong  j  , j ,  p  0,   j  Nếu p  s  a số nguyên Nếu p  s   k (k  0) a có phần lẻ gồm k chữ số Nếu s   a số thập phân vơ hạn Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a gọn gần với số a Quy tắc làm tròn: Xét a dạng (1.1) ta giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ   thì: a    p 10 p    i 1.10i 1    i 10i  i   ;    10  i  2l , l   i  Trong đó:  i    ;   10i   2l  1, l   i  i 1 Ta kí hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a   a , rõ ràng  a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a  a   a , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a 1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng (1.1) nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số chữ số bị kẹp hai số khác chữ số hàng giữ lại  Xét số a dạng (1.1) a    p 10 p    i 10i    p s 10 p s  Chữ số  j dạng (1.1) số a số nếu: a  .10 j ,  tham số cho trước Tham số  chọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chắc, rõ ràng chữ số 1 chữ số 1.1.3 Sai số tính tốn Giả sử phải tìm đại lượng y theo cơng thức y  f  x1, x2 , , xn    x*  x1* , x2* , , xn* , Gọi y *  f ( x* ) giá trị x   x1, x2 , , xn  ; y  f ( x) giá trị gần y* , xi  xi*  xi Giả sử y  f  x1, x2 , , xn  hàm khả  vi  liên tục n y  y  y*  f  x1, x2 , , xn   f x*1, x*2 , , x*n   f 'xi xi  xi* i 1 Với f 'xi đạo hàm tính điểm trung gian Vì f khả vi liên tục, xi bé nên: n y   f 'xi  x1, x2 , , xn  xi (1.2) i 1 Vậy  y  y n   ln f xi y i 1 xi a Sai số phép tốn cộng trừ (1.3) 47 Trong dạng vectơ, công thức Euler yn1  yn  hf ( xn , yn ) Trong T T yn   un ,  biểu thị số xấp xỉ y  x    u  x  , v  x   x  xn Ta có: un1  un  hf  xn , un ,  vn1   hg  xn , un ,  Ta áp dụng theo phương pháp giải đa bước, ví dụ minh họa sau: VÍ DỤ 2.11: Sử dụng phương pháp Euler, với độ dài bước h  0,05 Hãy tìm nghiệm hệ sau x  0,1: u '  u  2uv; u (0)  v '  xu  u sin v; v (0)  1 Với hệ này, công thức Euler là:   0,05  x u un1  un  0,05 un2  2unvn vn1  n n   un2 sin  Vì   0,05  x u    u1  u0  0,05 u02  2u0v0   0,05 12  2.1. 1  1,15 v1  v0 0   Tương tự u2  1,33596, v2  1,09629 Trong dạng vectơ, công thức hình thang là: yn1  yn    u02 sin v0   0,05 0.1  12.sin  1  1,04207 h  f  xn , yn   f  xn1, yn1   2 Công thức điều chỉnh tương ứng là: h m 1 m yn 1   yn   f  xn , yn   f xn1, yn 1    2   48 Sao cho: h m 1 m m un 1   un   f  xn , u n ,   f xn1, un 1 , vn 1    2 h m 1 m m vn 1     g  xn ,u n ,   g xn1, un 1 , vn 1        0 Các giá trị un 1 vn 1 tính cách sử dụng cơng thức Euler VÍ DỤ 2.12: Xét tốn cho ví dụ 2.11 sử dụng phương pháp hình thang với độ dài bước h  0,05 Các cơng thức Euler - hình thang là: un 1  un  0,05 un2  2unvn vn 1    0,05  x u n n   un2 sin   m 1 m m m  un 1   un  0,025 un2  2unvn  un 1  2un 1vn 1     m 1 m m m  vn 1    0,025  xnun  un2 sin  xn1un 1  un 1 sinvn1        0 Từ ví dụ 2.11, u1   1,15, v1   1,04207  m  u0  0,025 u02  2u0v0  u1    m m m   1,075  0,025  u1   2u1 v1     u1   m 1 m m   2u1 v1      v1  m m m   v0  0,025  x0u0  u02 sin v0  x1u1   u1  sin v1      m m m   1,02104  0,025 0,05u1   u1  sin v1       m 1   Nếu hai lần điều chỉnh áp dụng cho bước thì: 49 u1   1,075  0,025 1,15   2.1,15.(1,04207)   1,16798   v1   1,02104  0,025 0,05 1,15   1,152.sin( 1,04207)   1,04815 Và 2 u1   1,075  0,025 1,16798   2.1,16798.(1,04815)   1,17032   v1   1,02104  0,025 0,05 1,16798   1,167982.sin( 1,0481)   1,04913 Tức là: u1  1,17032, v2  1,04913 Tương tự: u2   1,36158, v2   1,10558 u2   1,38756, v2   1,11537 u2   1,39147, v2   1,11711 0 1 2 Tức là: u2  1,39147, v2  1,11711 Trong dạng vectơ, lớp phương pháp Runge - Kutta bước là: k1  f  xn , yn  1   k2  f  xn  h, yn  hk1  2   1   k3  f  xn  h, yn  hk2  2   k4  f  xn  h, yn  hk3  yn1  yn  h  k1  2k2  2k3  k4  T Nếu ki   ki , li  , dạng thành phần cho bởi: 50 k1  f ( xn , un , ) l1  g  xn , un ,  1   k2  f  xn  h, un  hk1,  hl1  2   1   l2  g  xn  h, un  hk1,  hl1  2   1   k3  f  xn  h, un  hk2 ,  hl2  2   1   l3  g  xn  h, un  hk2 ,  hl2  2   k4  f  xn  h, un  hk3 ,  hl3  l4  g  xn  h, un  hk3 ,  hl3  h  k1  2k2  2k3  k4  h vn1    l1  2l2  2l3  l4  un1  un  VÍ DỤ 2.13: Xét tốn ví dụ 2.11 sử dụng phương pháp Runge Kutta bước với độ dài bước h  0,05 Lấy n  k1  f  x0 , u0 , v0   f  0,1, 1  12  2.1.(1)  l1  g  x0 , u0 , v0   g  0,1, 1  0.1  12 sin  1  0,84147 1   k2  f  x0  h, u0  hk1, v0  hl1   f  0,025;1,075; 1,02104  2    1,0752  2.1,075. 1,02104   3,35086 1   l2  g  x0  h, u0  hk1, v0  hl1   g  0,025;1,075; 1,02104  2    0,025.1,075  1,0752 sin  1,02104   0,95847 Tiếp tục theo cách cho ta: k3  3,39403; l3  0,97618; k4  3,82178; l4  1,12751 51 Vì vậy: h  k1  2k2  2k3  k4   1,16926 h v1  v0   l1  2l2  2l3  l4   1,04865 u1  u0  Các giá trị u2  1,38830; v2  1,11562 tính theo cách tương tự Cuối cùng, chứng minh phương trình vi phân bậc cao viết giải hệ phương trình bậc Xét phương trình bậc p  p p 1 y    f x, y, y ' , , y    (2.23) Nghiệm tổng quát (2.23) chứa số p tùy ý cần thêm p điều kiện để giải Phương pháp sử dụng để giải toán bậc cao phụ thuộc chủ yếu vào dạng điều kiện Chúng ta xét điều kiện ban đầu: p 1 p 1 y  x0   y0 ; y '  x0   y '0 ; ; y    x0   y0  (2.24) Với số cho: x0 , y0 , y '0 , , y0 p 1 Bất kì phương trình bậc p đưa thành hệ p phương trình bậc cách đặt p 1 ẩn: y1  y; y2  y ' ; y3  y '' , , y p  y   Và sau đó: y1'  y2 y2'  y3 y 'p 1  y p Và từ (2.23), y 'p  f ( x, y1, y2 , , y p ) Thêm điều kiện (2.24) cho ta: 52 y1  x0   y0 y2  x0   y '0 p 1 y p  x0   y0  Ví dụ phương trình bậc hai y ''  y '  y  e x với điều kiện ban đầu: y    1; y '    chuyển thành hệ: y1'  y2 ; y1 (0)  y2'  e x  y1  y2 ; y2 (0)  Bài tốn giải sử dụng kĩ thuật chương MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm nghiệm xấp xỉ : u '  uv ; u    v '  v  e u ; v    Tại x  0,2 , sử dụng: a) Phương pháp Euler b) Phương pháp Euler - hình thang dự đốn - điều chỉnh áp dụng điều chỉnh cho bước c) Lớp phương pháp Runge - Kutta bước với độ dài bước h  0,1 Xây dựng đa thức Taylor bậc x  cho hàm u  x  v  x  thỏa mãn toán giá trị ban đầu cho câu hỏi Tìm u  0,  v  0,2  Chuyển phương trình bậc hai thành hệ hai phương trình bậc Từ tìm y (1) trường hợp điều kiện ban đầu là: a) y    1, y '    1 53 b) y    1,00001; y '    0,99999 Bằng cách áp dụng phương pháp Adams - Bashforth bậc 4, Adams Moulton, dự đoán - điều chỉnh với lần lặp cho bước Sử dụng lớp phương pháp Runge - Kutta bước phương pháp tìm giá trị ban đầu lấy h  0,1 Chuyển hệ hai phương trình bậc hai sau thành hệ phương trình bậc   y ''  y '  y  ln x; y 1  0; y ' (1)  0,5 z ''  y ' z '  z  0; z(1)  0; z' (1)  Tìm y (2) z   cách áp dụng phương pháp Euler với h  0,1 Xây dựng đa thức Taylor bậc x  cho hàm y ( x ) thỏa mãn y ''  y '  y  x; y (0)  0; y ' (0)  2 Tìm y (0,1) Sử dụng định nghĩa xấp xỉ sai phân hữu hạn y '  xn   yn1  yn1 y  yn  yn1 Và y ''  xn   n1 Dẫn 2h h2     hệ thức truy hồi: 1  h  yn1  2h  yn  1  h  yn1  h xn      Tìm y (0,2) cách lấy h  0,1  54 CHƯƠNG 3: GIẢI BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHẦN MỀM MAPLE 3.1 Phương pháp đa bước Xét toán sau: y '   y2 ; y (0)  Sử dụng công thức Euler, với độ dài 1 x bước h  0,05 để tính y (0,2) 55 > x0=0 x4=0.4 y0=1 y3=0.769457 x1=0.1 y1=0.9 x2=0.2 y2=0.826364 y4=0.723914 x3=0.3 56 3.2 Phương pháp RUNGE - KUTTA Xét toán sau: y '   y2 ; y (0)  Sử dụng phương pháp Runge - Kutta 1 x bước, với độ dài bước h  0,05 , n  để tính y (0,2) 57 > x0=0 x4=0.2 y0=1 y3=0.877376 x1=0.05 x2=0.1 y1=0.95348 y2=0.912983 y4=0.845794 x3=0.15 58 3.3 Phương pháp RUNGE - KUTTA giải hệ phương trình Sử dụng phương pháp Runge - Kutta bước, với độ dài bước h  0,05 Hãy tìm nghiệm hệ sau x  0,1: u '  u  2uv; u (0)  v '  xu  u sin v; v (0)  1 59 > 60 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau:  Một số kiến thức sai phân, phương trình vi phân  Bài tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường  Phương pháp đa bước phương pháp Runge - Kutta để giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường  Phương pháp đa bước phương pháp Runge - Kutta giải hệ hương trình phương trình vi phân bậc cao  Ứng dụng phần mềm Maple để giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn 61 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục B Tài liệu tiếng Anh [7] Ian Jacques and Colin Judd (1987), Numerical Analysis, Department of Mathematics, Coventry Lanchester Polytechnic, London New York chapman and hall [8] Lambert, J.D (1973), Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Wiley, New York ... TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 15 2.1 Phương pháp đa bước 15 2.2 Phương pháp đa bước giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường 28 2.3 Phương. .. kiện ban đầu, toán gọi toán giá trị ban đầu phương trình vi phân, với định hướng tận tình bảo thầy giáo – TS Nguyễn Văn Hùng chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình. .. trình vi phân thường Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải tốn giá trị ban đầu phương