Trờng thpt trần nhân tông đề thi thử đại học - NĂM 2009 - LầN II. Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề). I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH . Câu I Cho hàm số 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II 1. Giải phơng trình: 2 cos.2sin 2sin x -2x 3sin = xx 2. Giải hệ phơng trình : =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx . Câu III 1.Tính tích phân sau: dx. .cos.sin. 3 2 0 sin 2 xxe x 2. Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 .Chứng minh rằng: 46253 4 + zxy + 415 4 + xyz + 4815 4 + yzx 45 5 xyz. Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc . Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất. II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn ) Câu Va 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 2 1 ; 0) . Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm . 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng )( 1 d và )( 2 d có phơng trình . Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và )( 2 d . .Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) . Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng ( ) và ( )' có phơng trình . ( ) ( ) += = += = += += 4t'2 t'2y t'2-2x : ; 4 2t-1y t3x : ' zz 3 3 9 1 6 4-x :)(d ; 1 2-z 3 1y 2 1 );( 21 = == + = zyx d đề chính thức Viết phơng trình đờng vuông góc chung của ( ) và ( )' Câu VIb Giải và biện luận phơng trình : 1 + mx ( .243)22 2322 +=++ xxxmxxm ******** Hết ******** Trờng THPT Trần Nhân Tông Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2009 (lần II) Hớng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R\{1} 2. Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) . Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị 0,25 . Tiệm cận: = + = 1 12 limlim 1 1 x x y x x += + = + + 1 12 limlim 1 1 x x y x x Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2 1 12 limlim = + = x x y x x Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang 0,25 * Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số. 0,5 I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1,00 Gọi M + 1 3 2; 0 0 x x (C) * Tiếp tuyến tại M có dạng: 1 3 2)( )1( 3 0 0 2 0 ++ = x xx x y Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 0,25 Câu Nội dung Điểm + 1 6 2;1 0 x B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2) * Ta có: S IAB = 2 1 . IA. IB= 63.212 1 6 2 1 0 0 == x x (đvdt) 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh). = += = 31 31 12 1 6 0 0 0 0 x x x x * Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1 ( 32;31 ++ ) M 2 ( 32;31 ) Khi đó chu vi AIB = 6234 + 0,5 II.1 Giải phơng trình: 2 cos.2sin sin22sin3 = xx xx 1,00 * Phơng trình 2 cos.2sin sin22sin3 = xx xx Điều kiện: sin2x 0 => 0cos 0sin x x * Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0 0,5 * 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 == == 0)1cos2(sin0sin2sin 0sin1cos xxxx xx * 2cosx -1 =0 (do sinx 0) 2 33 cos 2 1 cos kxx +=== (kZ) 0,5 II.2 Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với 1,00 (loại) Câu Nội dung Điểm 0,25 0,25 0,5 III.1 Tính tích phân 2/ 0 3sin cos.sin. 2 xdxxe x 1,00 Đặt sin 2 x= t => dt= 2sinx. cosxdx Đổi cận: x=0 => t=0; x= 1 2 = t Khi đó I= 1 0 )1( 2 1 dtte t 0,5 Đặt = = = = tt ev dtdu dvdte ut 2 1 2 1 1 Dùng tích phân từng phần ta có I= e 2 1 . 0,5 III.2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 . Chứng minh rằng: xy3 4625 4 + z + zx5 415481 44 +++ xyzy xyz545 1,00 Bất đẳng thức 2 2 4 x x + + 2 2 9 4 9 y y + + 2 2 25 4 25 z z + 45 VT +++++ 22 ) 5 2 3 22 ()53( zyx zyx 3 2 2 3 )5.3.( 36 )5.3.(.9 zyx zyx + . 0,5 Câu Nội dung Điểm Đặt t = 3 2 )5.3.( zyx ta có 1 3 53 )5.3.( 3 3 = ++ zyx zyx do đó t 1 Điều kiện . 0 < t 1. Xét hàm số f(t)= t9 + t 36 27 36 .36227 36 36 += t tt t t =45 Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= 3 1 ; z= 5 1 . 0,5 IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc . Tính để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất. 1,00 * Tính V= 32 3 )tan2( tan . 3 4 + a . * Ta có = + 32 2 )tan2( tan 2 2 tan2 tan + . 2 tan2 1 + . 2 tan2 1 + 27 1 V max 27 34 3 a = khi đó tan 2 =1 = 45 o 0,5 0,5 Va.1 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 0; 2 1 ; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm 1,00 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH= 2 5 Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA. đờng tròn (C) có phơng trình là: 4 25 2 1 2 2 =+ yx A(-2; 0); B(2; 2). Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0) Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2) 0, 5 0, 5 Va.2 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 )có phơng trình: d 1 : += += += tz ty tx 2 31 21 ; d 2 : 3 3 9 1 6 4 = = zyx Hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d 2 ) 1,00 + Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc) 0,25 Câu Nội dung Điểm Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: )1;3;2( 1 u và 21 MM (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là: [ ] )5;1;1(, 211 == MMun Mặt phẳng (P) qua M 1 (1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0 0,25 0, 5 VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: m( 2x+1). 1 2 + x =10x 48 2 ++ x 1,00 Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: 5 12 4 < m hoặc -5 < 4 < m 0,25 0,75 Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên. 1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là );( ban (a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: );( 1 abn .Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0 ax + by -2a-b =0 BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) 0,5 Hay = = + + = + ab ab ba ab ba b 2 43 2222 Tr ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Tr ờng hợp 2 : b= -a . Khi đó AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0 AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0 0,25 0,25 Vb 2 Cho (): = += += 4 21 3 z ty tx ; ( ) += = += uz uy ux 42 2 22 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và ( ) 1,0 0 + Gọi đờng vuông góc chung của () và ( ) là d 0,25 Câu Nội dung Điểm Khi đó [ ] )1;2;4(', 2 1 == uuu d + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến: [ ] )10;1;2(, 1 == d uun Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0 + Gọi () là mặt phẳng chứa ( ) và (d) thì ( ) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến: [ ] )12;18;6(,' 2 == d uun Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0 Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm) 0,25 0,25 0,25 VI.b Giải và biện luận: 243)22(1 2322 +=+++ xxxmxxmmx 1,0 0 * Phơng trình tơng đơng với: )1()1(1)1( 33 +=+++ xxmxmx Xét hàm số: f(t)= tt + 3 , hàm số này đồng biến trên R. )1()1( =+ xfmxf 11 =+ xmx * Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm. + 11 << m phơng trình có nghiệm x= 1 2 m +m=-1 phơng trình nghiệm 1 x Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm 0,5 0,5 Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa . 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thu c đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại. sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R{1} 2. Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch