Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 7 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2 điểm) a/ Tìm x biết: 1 1 7 4,7 6 9 15 x x x− + = b/ Tính nhanh: 2 1 5 1 : : 9 14 9 7 + . Bài 2 (2 điểm) a/ Tìm x,y, z biết: x = 4y = 9 125 z − và x + y + z = 2029. b/ Cho các đơn thức M = xy 2 z 3 ; N = yz 2 t 3 ; P = zt 2 x 3 ; Q = tx 2 y 3 . Chứng tỏ rằng với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu. Bài 3 (2 điểm) a/ Tìm số nguyên n để biểu thức P = 2 7 n n + − có giá trị lớn nhất. b/ Chứng tỏ rằng: 3 3 3 3 1 1 1 1 1 . 3 5 7 2009 12 + + + + < Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm M và N sao cho BM = CN. Gọi I là giao điểm của MC và BN. a/ Chứng minh rằng: MI = NI. b/ Tia phân giác của · AMC cắt AI và AN thứ tự tại O và K. Chứng minh rằng MO > 2 MC . c/ BO cắt AN tại Q. Chứng minh rằng ∆ OKQ cân. ================Hết================ Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 7 Năm học 2008 - 2009 Bài Nội dung Điểm 1 (2đ) a 1 1 7 4,7 6 9 15 x + = ữ 0.25 47 47 90 10 x = 0.25 47 47 : 10 90 x = 0.25 x = 9 0.25 b = 2 1 5 1 : : 9 14 9 7 + 0.25 = 2 5 .14 .7 9 9 + 0.25 = 4 5 .7 .7 9 9 + 0.25 = 4 5 .7 9 9 + ữ = 7 0.25 2 (2đ) a Từ giả thiết suy ra 9 4 500 x z y = = 0.25 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 9 9 4 500 4 1 500 x z x y z y + + = = = + + 0.25 = 2029 9 505 = 2020 505 = 4 0.25 Từ đó suy ra x = 16; y = 4; z = 2009 0.25 b M.N.P.Q = xy 2 z 3 .yz 2 t 3 . zt 2 x 3 . tx 2 y 3 = x 6 y 6 z 6 t 6 0 với mọi x,y,z,t. 0.25 Giả sử tại giá trị nào đó của các biến làm cho 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu, không mất tính tổng quát giả sử đó là các đơn thức M và N. Ta có MN < 0. 0.25 xyzt 0 MNPQ 0 MNPQ > 0 0.25 PQ < 0 hay P và Q có giá trị khác dấu. Vậy với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu. 0.25 3 (2đ) a P = 1+ 9 7n 0.25 Khi n < 7 thì P < 1; n = 7 thì P không xác định; n > 7 thì P >1 do đó để tìm giá trị lớn nhất của P ta chỉ xét trờng hợp n >7. 0.25 Khi n > 7, P có giá trị lớn nhất 9 7n có giá trị lớn nhất n - 7 có giá trị nhỏ nhất n nhỏ nhất 0.25 n là số nguyên lớn hơn 7 nên n = 8. Vậy với số nguyên n = 8 thì P có giá trị lớn nhất. 0.25 b Chứng minh đợc với mọi số nguyên n >2 ta luôn có ( ) ( ) 3 1 1 1 1n n n n < + 0.25 Từ đó suy ra 3 3 3 3 1 1 1 1 . 3 5 7 2009 + + + + < 1 1 1 . 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010 + + + 0.25 = 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2.3 3.4 3.4 4.5 2008.2009 2009.2010 + + + ữ = 1 1 1 2 2.3 2009.2010 ữ 0.25 < 1 1 . 2 6 = 1 12 . Vậy 3 3 3 3 1 1 1 1 1 . 3 5 7 2009 12 + + + + < 0.25 4 (4đ) a C/m đợc AMC = ANB 0.5 Suy ra MBI = NCI (gcg) do đó MI = NI 0.5 b C/m đợc AMI = ANI 0.25 AI là phân giác của ã MAC CO là phân giác của ã ACM 0.25 Dễ thấy ã ã ACM AMC> ã ã OCM OMC> MO > OC 0.25 Mà MO + OC > CM Nên 2.MO > MC MO > 2 MC . 0.25 c Gọi giao điểm của CO với AM là P.Chứng minh đợc ABO = ACO 0.25 Suy ra ABQ = ACP nên ã ã APC AQB= 0.25 Tính đợc ã MOC = 120 O . 0.5 ã POM = 60 O ã ã APC PMO= + 60 O 0.25 Có ã ã OKQ PMO= + 60 O 0.25 ã ã APC OKQ= 0.25 ã ã AQB OKQ= hay ã ã KQO OKQ= Tam giác OKQ cân tại O 0.25 Tổng 10.0 L u ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó. - Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm. Q P O K I M A B C N ================HÕt================ . Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 7 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120. 3 3 3 1 1 1 1 1 . 3 5 7 2009 12 + + + + < Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm M và N sao