K THI CHN HC SINH GII CC TRNG CHUYấN VNG DUYấN HI BC B NM 2009 HNG DN CHM Mụn: TON Lp 11 Bi 1: T iu kin x v y>0 v phng trỡnh th nht suy ra x v y<1 (0.5 im) Xột hm s f(x)=xlnx trờn (0,1), dựng o hm ta c f(x)-1/e vi mi x thuc (0,1) (1 im) Vy ta cú xlnx -1/e v ylny-1/e, do ú ( ) 2 /1lnln + eyyxx eee (*) (1 im) Mt khỏc ( ) ( ) 22 22 2 =++ yxyx (**) (0,5 im) Nh vy du bng (*) v (**) phi xy ra, tc l x=y=1/e v 1 22 =+ yx , khụng tn ti x v y nh vy (1 im) Vy h phng trỡnh vụ nghim. Bi 2 Giả sử tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và 2 2 2 A B C trùng nhau tại O. Khi đó: ã ã ã ( ) à à ã ã ( ) à ã 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 180 1 180 2 2 B OC B A C BIC B C A OB C B OC IAC = = = + = = = Do đó 2 2 OB AC OB là trung trực của AC, nên 1 1 , , ,A A C C nằm trên đờng tròn tâm 2 B . ã ã à ã à 1 1 1 1 1 , 2 2 A C AC I A AC C A I = = = Tơng tự ã à ã ã à à à 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 2 2 B A B C B A I AC I C A B A B IC + + = + = = Tơng tự suy ra I là trực tâm của tam giác 1 1 1 A B C . Ngợc lại giả sử I là trực tâm của tam giác 1 1 1 A B C . ã ã à à ã ã à 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 180 90 2 2 B C A B AC B IC AC I B AC + = = = = Do đó 1 1 , , ,A A C C nội tiếp và từ đó 2 B nằm trên trung trực của AC. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do O nằm trên trung trực của AC nên ã ã à 2 2 2 A OB C CAI= = . B 2 C 2 A 2 B 1 A 1 C 1 I O A B C Tơng tự ã ã à 2 2 2 2 2 A OC B BAI OB OC= = = . Tơng tự suy ra O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A B C . Bi 3: a) 1+ 2 1 a 2a 1 > 0 a 2 2.2 1 2 1 = Ta chứng minh a n n2 1 (1), n 2 bằng phơng pháp quy nạp toán học Mệnh đề (1) đúng với n = 2. Giả sử (1) đúng với n = k 2 a k k2 1 Xét hàm f(x) = 2 1 x x + ( ) 10 << x Ta có f'(x) = )1,0(,0 )1( 1 22 2 > + x x x f(x) đồng biến trên (0,1) Vì 0 < a k k2 1 < 1 f(a k ) f ( k2 1 ) = 12 2 + k k < )1(2 1 + k a k+1 < )1(2 1 + k Vậy mệnh đề (1) đúng với n = k+1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1) đúng với n 2 Xét n 3. Ta có: 2 11111 2 2 22 11 ++= += += ++ n n n n nn n n a a a a aa a a 2 11 2 1 2 1 2 2 ++= a a a 2 11 2 2 2 2 2 3 ++= a a a . 2 11 2 2 2 1 ++= + n n n a a a n n a an aaaa a a nn 2 2 11 . 3 1 2 11 2 1 . 1111 2 1 2 1 22 3 2 2 2 1 2 1 2 1 + ++++++ +++++= + Ta có +++< +++ +++ nn nn n n ).1( 1 . 3.2 1 2.1 1 )1()1( 1 . 3 1 2 11 . 3 1 2 1 222 2 = (n-1) ( ) n n n nn < = +++ 1 11 1 1 1 . 3 1 2 1 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 n n a a a n +++< + ⇒ 2 ≤ 1 2 )1(2 1 1 1 )1( 1 2 1 2 1 2 1 + + + +         + + < + + n n n n a a n an n , ∀n ≥ 3 V× 2 1 2 )1(2 1 1 1 lim 2 1 2 1 =         + + + +         + + +∞→ n n n n a a n n ⇒ +∞→ n lim =>= + + 2 )1( 1 2 1n an +∞→ n lim 2 1 n na = 2 ⇒ +∞→ n lim (n 2 n a )= 2 1 Bài 4: ¸p dông c«ng thøc néi suy Lagrange: ( )( 1) ( 1)( 1) ( )( 1) ( ) ( 1) ( ) (1) 2( 1) ( 1)( 1) 2(1 ) x x x x x x f x f f f α α α α α α α − − − + − + = − + + + − + − Suy ra víi [ ] ;1x α ∈ ta cã: ( )(1 ) (1 )( 1) ( )( 1) ( ) 2( 1) (1 )( 1) 2(1 ) x x x x x x f x α α α α α α − − − + − + ≤ + + + − + − 2 1 ( 1) 1 1 x x α α   = − + + +   + 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x α α α + +   = + − −   +   2 2 1 1 2 5 1 ( ) 1 2 4( 1) α α α α α + + +   ≤ + =   + +   §¼ng thøc x¶y ra ( ) (1) 1 ( 1) 1 1 2 f f f x α α   = = −  ⇔ − =   +  =  hoÆc ( ) (1) 1 ( 1) 1 1 2 f f f x α α   = =  − = −   +  =  Mµ 2 [ ;1] 2 5 ( ) 4( 1) Max f x α α α α + + = + ( ) (1) 1 ( 1) 1 f f f α = = −  ⇒  − =  hoÆc ( ) (1) 1 ( 1) 1 f f f α = =   − = −  2 1 ( ) 1 1 x f x x α α ⇒ = − + + + + hoÆc 2 1 ( ) 1 1 x f x x α α = − − + + Bài 5: Giả sử m, n tơng ứng là số điểm màu xanh và số điểm màu đỏ đã cho (m, n N * ). Ta gọi một điểm màu xanh là điểm xanh loại 1, nếu nó đợc nối với đúng một điểm màu đỏ và là điểm xanh loại 2 nếu nó đợc nối với đúng hai điểm màu đỏ. Giả sử x là số điểm xanh loại 1 và y là số điểm xanh loại 2 ( x,y N; x+y = m ), đặt = 2 n k . Ta gọi một phơng án xoá các điểm là phơng án tốt nếu với các điểm còn lại, mỗi điểm màu xanh đợc nối với đúng một điểm màu đỏ và trong các điểm bị xoá có đúng k điểm màu đỏ. Xét phơng án xoá điểm sau: Xoá k điểm màu đỏ tuỳ ý và xoá các điểm màu xanh sau đây: - Tất cả các điểm xanh loại 1 mà mỗi điểm đều đợc nối với điểm đỏ trong số k điểm đã bị xoá. - Tất cả các điểm xanh loại 2 mà mỗi điểm đều không nối với điểm màu đỏ nào trong số k điểm đã bị xoá. Dễ thấy, phơng án xoá điểm nêu trên là một phơng án tốt. Ngợc lại, trong mỗi ph- ơng án xoá tốt, cùng với k điểm màu đỏ đã bị xoá ta phải xoá tất cả các điểm màu xanh có tính chất nh đã mô tả ở trên. Từ đó suy ra, có tất cả k n C phơng án tốt và: + Mỗi điểm màu xanh loại 1 sẽ bị xoá trong 1 1 k n C phơng án. + Mỗi điểm màu xanh loại 2 sẽ bị xoá trong )( 2 2 2 k n k n CC + phơng án . Do đó, tổng số điểm xanh (kể cả lặp) bị xoá trong tất cả k n C phơng án tốt là: ( ) k n k n k n CCyxCS 2 2 2 1 1 ++= suy ra theo nguyên lý Dirichlet, phải tồn tại một phơng án tốt mà trong đó số điểm xanh bị xoá không vợt quá k n C S t = . Để ý rằng: k n k n CC 2 1 1 1 và ( ) k n k n k n CCC 2 1 2 2 2 + . Ta có 22 myx t = + , kết hợp điều này với 2 n k ta đợc 2 nm kt + + nghĩa là ph- ơng án tốt này thoả mãn điều kiện đề bài. 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 . Ta có: 2 111 11 2 2 22 11 ++= += += ++ n n n n nn n n a a a a aa a a 2 11 2 1 2 1 2 2 ++= a a a 2 11 2 2 2 2 2 3 ++= a a a . 2 11 2 2 2. 3 ++= a a a . 2 11 2 2 2 1 ++= + n n n a a a n n a an aaaa a a nn 2 2 11 . 3 1 2 11 2 1 . 111 1 2 1 2 1 22 3 2 2 2 1 2 1 2 1 + ++++++