Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức Môn: toán lớp 9 - bảng B Nội dung Điểm Bài 1 4,0 a, 2.0 abc + + + + M M 100a 10b c 11 (2) a b c 11 (3) c chẵn (4) Gọi số cần tìm là (a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1) Theo bài ra ta có: 0,5 MM Từ (2) , (3) 101a + 11b + 2c 11 2(a + c) 11 mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11 0,5 Từ (3) , (5) b = 0 0,5 do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) Vậy các số cần tìm là 902; 704; 506; 308 0,5 b 2,0 3 3 7 50 7 50 + + Đặt X = X 3 = 14 3X 0.5 X 3 + 3X 4 = 0 (X-2)(X 2 + 2X + 7) = 0 0.5 Do: X 2 + 2X + 7 >0 X-2 = 0 X=2 0.5 3 3 7 50 7 50 + + 3 3 7 50 7 50 + + Nên: =2 hay là số tự nhiên 0.5 Bài 2: 4.0 a 2.0 1 x 4 2 2 4x 5x 1 a, (a 0) 2 x x 1 b, (b 0) + + = + = 2 2 2 2 4x 5x 1 a 4x 4x 4 b + + = + = Điều kiện xác định: {x -1 hoặc } Đặt 0.5 2 4x 4x 4 + 3 a 2 b 2 = a - b (a-b)(a+b-1) =0 Do b = b a + b 1 > 0 a b =0 0.5 1 x 3 = Từ a b =0 9x 3 = 0 0.5 1 x 3 = 1 x 3 = Với thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là: 0.5 b 2.0 Từ phơng trình xy 2x 3y = -6 (x - 3)(y 2) =0 do y > 2 x 3 =0 x= 3 0.5 { 2 2 y z 20 yz 8 + = = { 2 (y z) 4 yz 8 + = = { y z 2 yz 8 + = = Thay x = 3 vào các phơng trình đầu và phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc 0.5 { y 4 z 2 = = Với y + z =-2 mà yz = -8 y=2 hoặc y =-4 (loại) Với y + z =2 mà yz = -8 do đó x = 3 0.5 Vậy nghiệm của hệ phuơng trình là: (x,y,z) = (3, 4, -2) 0.5 Bài 3 4.0 a 2.0 Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y) 2 2(x 2 + y 2 ) 0.5 2 1 2 Nên a, b 0 và a 2 + b 2 =1 (a+b) 2 2 a+b (dấu = khi a=b=) 0.5 Mặt khác (a+b) 2 = a 2 + b 2 +2ab = 1+ 2ab a + b 1 0.5 2 Vậy ta luôn có 1 a+b 0.5 b 2.0 1 2(a b) 4ab + + + 2 1 2 1 2 Xét P 2 = 2 + 2(a +b) +2 do a+b , ab (a 2 + b 2 ) ab 0.5 2 1 2 2 2+ + 2 2 (1 2) + 2 Nên P 2 2+ 2+2 P 2 2+ 2+2 P 2 4 + 4 0.5 1 2 + P 2 dấu = xẩy ra khi a =b = Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 0.5 1 2 1 2 + 1 2 + 3 Mặt khác ta cũng có a + b 1 và ab 0 nên P 2 2 + 2 + 2 P 2 4 + 2 0,5 3 3 P 1 + , dấu = xảy ra khi ( a = 0, b = 1) hoặc ( a = 1, b = 0). Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 + 0,5 Bài 4 3,0 1 1 1 x y z Xét tích (x 1) (y - 1)(z 1) = xyz xy yz zx + x + y + z 1 = x + y + z - 0,5 . GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức Môn: toán lớp 9 - bảng B Nội dung Điểm Bài 1. , (5) b = 0 0,5 do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) Vậy các số cần tìm là 90 2; 704; 506; 308 0,5 b 2,0 3 3 7 50 7 50 + + Đặt