Đang tải... (xem toàn văn)
Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c
TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 4.1 Thiết lập phương trình chuyển động 4.1.1 Dao động uốn dầm p(x,t) p(x,t) v(x,t) M x x dx Q fI M+ O EI(x), m(x) L dx Q+ ∂M dx ∂x ∂ Q dx ∂ x H.4.1 Dao động uốn dầm Xét dầm thẳng hình H.4.1 Tách phân tố xét cân baèng: ∑Y = Q + pdx − ( Q + với lực quán tính phân bố ∂Q dx ) − f i dx = ∂x f i dx = mdx Thế (4.2) vào (4.1) ta được: ∑M O =0 ∂ 2v ∂t ∂Q ∂ 2v = p−m ∂x ∂t (4.1) (4.2) (4.3) bỏ qua vô bé bậc cao p fi: M + Qdx − ( M + ∂M dx ) = ∂x ∂M =Q ∂x hay (4.4) (4.5) Đạo hàm riêng vế với x dẫn tới: hay ∂2M ∂ 2v +m = p ∂x ∂t ∂2 ∂ 2v ∂ 2v ( EI ) + m = p ∂x ∂x ∂t (4.6) (4.7) đại lượng EI m thay đổi theo x Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc: Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 78 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU ∂2 ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ( EI ) + N + m = p ∂x ∂x ∂x ∂t (4.8) 4.1.2 Dao động dọc Thanh có đặc trưng thay đổi, chịu lực kích động q(x,t) Xét cân lực phân tố: m( x ) N(0,t) N(L,t) x dx EA(x), m(x) ∂2 u ( x , t ) dx ∂t N+ N(x,t) x u(x,t) L ∂N dx ∂x q(x,t) dx H.4.2 Dao động dọc N ( x ,t ) + m( x ) Ta coù: ∂ u( x ,t ) ∂N ( x ,t ) dx − N ( x ,t ) + dx − q( x ,t )dx = ∂x ∂t N ( x ,t ) = σ ( x ,t ) A( x ) = ε ( x ,t )EA( x ) = Thế vào (4.9) ta được: m( x ) ∂u( x ,t ) EA( x ) ∂x ∂ u( x ,t ) ∂ ∂u( x ,t ) − EA( x ) = q( x ,t ) ∂x ∂x ∂t (4.9) (4.10) (4.11) 4.2 Phân tích dao động tự 4.2.1 Dao động uốn tự dầm Xét đại lượng EI, m = const, p(x,t) = Phương trình (4.7) trở thành: hay: ∂ v( x ,t ) ∂ v( x ,t ) EI +m =0 ∂x ∂t m v IV ( x ,t ) + v( x , t ) = EI (4.12) (4.13) Nghiệm chọn dạng phân ly biến số sau: v( x ,t ) = φ ( x )Y ( t ) với φ ( x ) - hàm dạng, Y ( t ) - biên độ (4.14) Thế (4.14) vào (4.13) ta được: Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 79 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU φ IV ( x )Y ( t ) + m φ ( x )Y( t ) = EI Chia hai vế φ ( x )Y ( t ) , (4.15) trở thành: φ IV ( x ) m Y( t ) + =0 φ ( x ) EI Y ( t ) φ IV ( x ) m Y( t ) =− hay φ( x ) EI Y ( t ) (4.15) (4.16) (4.17) Phương trình (4.17) chứng tỏ vế không phụ thuộc vào x t, tức số: φ IV ( x ) m Y( t ) =− = a4 (4.18) φ( x ) EI Y ( t ) Từ dẫn tới phương trình vi phân thường: Y( t ) + ω 2Y ( t ) = (4.19a) IV φ ( x ) − a φ( x ) = (4.19b) với ω2 = a EI m Phương trình (4.19a) có nghiệm: Y ( t ) = A cos ωt + B sin ωt hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu Y ( ) Y ( ) Y( ) Y ( t ) = Y ( ) cos ωt + sin ωt ω Phương trình (4.19b) giải cách chọn nghiệm dạng: φ ( x ) = Ge sx Thế vào (4.19b) dẫn tới: (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) ( s − a )Ge sx = Từ ta tìm được: (4.24) s1,2 = ±ia , s3 ,4 = ± a (4.25) Nghiệm tổng quát (4.19b) có dạng: φ ( x ) = G1e iax + G2 e −iax + G3 e ax + G4 e ax (4.26) với G1, G2, G3, G4 số phức Phương trình (4.26) viết lại dạng thực cho số hạng: φ ( x ) = A1 cos(ax ) + A2 sin(ax ) + A3 cosh(ax ) + A4 sinh( ax ) (4.27) số Ai tìm từ điều kiện biên dầm Thí dụ: E18.1, p 379-381 Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 80 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 4.2.2 Dao động dọc tự Xét có đặc trưng EA, m số Khi q(x,t) = phương trình (4.11) có dạng: Tách biến: ∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t ) m − EA =0 ∂t ∂x (4.28) u( x ,t ) = φ ( x )Y ( t ) (4.29) Phương trình (4.28) viết lại dạng: φ II ( x ) m Y( t ) = = −c φ( x ) EA Y ( t ) Từ dẫn tới hai phương trình: Y( t ) + ω 2Y ( t ) = φ II ( x ) + c 2φ ( x ) = với ω2 = c EA m (4.30) (4.31a) (4.31b) (4.32) Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21) Phương trình (4.31b) có nghiệm sau: φ ( x ) = C1 cos( cx ) + C sin( cx ) (4.33) Thí dụ: E 18.5, p 392-393 Chú ý: Các mode dao động φ m ( x ) φ n ( x ) có tính trực giao, tức thoả mãn điều kiện: L ∫φ m ( x )φ n ( x )m( x )dx = (4.34) 4.3 Phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct Stiffness Method DSM) 4.3.1 Ý nghóa Trong chương dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi dẫn tới phương pháp độ cứng tónh học (Static dirrect Stiffness Method) Phương pháp xác hàm dạng không kể đến lực quán tính Trên sở hàm dạng (4.27) nghiệm xác dầm dao động, dùng để làm hàm dạng, từ dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 81 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU coi xác Đặc điểm phương pháp hệ số cứng phụ thuộc vào tần số, phương pháp dùng toán ngược chẩn đoán công trình 4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực Xét dầm tiết diện đều, không chịu lực tác dụng, phương trình chuyển động cho (4.13): v IV ( x ,t ) + Chuyển vị cưỡng có dạng: m v( x , t ) = EI (a) v i = v i sin ω t (4.35) với vi biên độ chuyển vị biên vi Chuyển vị điểm dầm có daïng: v( x , t ) = φ ( x ) sin ω t (4.36) Phương trình (a) viết: φ IV ( x ) − a 4φ ( x ) = (4.37) mω a4 = đó: EI (4.38) Nghiệm phương trình (4.37) có dạng: φ ( x ) = A1 sin(a x ) + A2 cos(a x ) + A3 sinh( a x ) + A4 cosh(a x ) (4.39) a phụ thuộc vào tần số cưỡng ω , khác với a phụ thuộc vào tần số tự nhiên ω theo (4.20) mω mω Để cho tiện sau, ta kí hiệu đơn giản: a = tuỳ theo dạng dao động cưỡng tự xét tới EI EI Từ (4.27) ta rút phương trình ma trận: φ φ ′ sin ax cos ax sinh ax cosh ax A1 a′′ cos ax − sin ax cosh ax sinh ax A2 φ = − sin ax − cos ax sinh ax cosh ax A3 a2 φ ′′′ − cos ax sin ax cosh ax sinh ax A4 3 a (4.40) Biểu diễn chuyển vị thẳng xoay hai đầu thanh, ta có: Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 82 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU vi 1 L φ x =0 L L v c S j = φ x= L = s L L L L L ′ −a θ i − θ x =0 − a −θ ′ θ j x = L − ac as − aC đó: s ≡ sin aL c ≡ cos aL S ≡ sinh aL C ≡ cosh aL A L A C 2 L A3 A4 − aS (4.41) Phương trình ma trận (4.41) viết dạng kí hiệu ngắn gọn: v = Wη Chuyển vị nội lực hai đầu minh họa H.4.3 V i Mi θi Vj vi θj L i (4.42) Mj v j x j H.4.3 chuyển vị lực nút Mặt khác, nội lực đường đàn hồi đầu có quan heä: ′= Vi L aL A1 Lφ x′′ − aL V L − Lφ ′′′ acL − asL − aCL − aSL A x=L j = EI = EIa Mi φ x′=0 ′ −1 A3 ′ c −S − C A4 M j s − φ x′= L S = Uη hay: η =W v Từ (4.42) ta có: Thế (4.45) vào (4.44) nhận được: −1 (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) Ma trận độ cứng động lực đoạn dầm đóng vai trò trung gian lực nút chuyển vị nút, theo (4.46) ta có: K ( a ) = UW −1 (4.47) Độ cứng hàm tham số tần số a U W phụ thuộc vào a Thực phép tính theo (4.47) ta thu được: S = UW −1v Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 83 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU Vi L γ V L j = EI − γ M i L − β Mj − β −γ γ β β sC − cS λ d sS β = λ2 d sC + cS γ = λ d d = − cC α= đó: vi − β L β v j α L θ α i θ j S −s α = λ d C −c β = λ d S −s γ = λ d λ = aL −β β α α (4.48) (4.49) Trong trường hợp tónh học λ = ta có hệ số cứng sau: γ = γ = 12 , β = β = , α = α = Đồ thị hệ số cứng động lực theo tham số tần số λ cho treân H.4.4 γ = γ = 12 , β = β = , α = α = Thí dụ: E 20-1, p 350-353 10 20 18 β 16 14 12 10 6 -1 -2 -3 -4 β α -2 -4 β β γ -6 -8 -5 -10 -6 -7 -8 -9 -12 -14 -16 -18 -10 Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO λ -20 H.4.4 Hệ số độ cứng động lực λ 84 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU Thí dụ: Phân tích dao động dọc tự nhiên dầm công son khối lượng độ cứng phân bố hình veõ EA, m = const Mode x O L Mode Mode Nghiệm toán dao động dọc trục sau: φ ( x ) = C1 cos( cx ) + C sin( cx ) Hai điều kiện biên dầm công son là: φ ( 0) = Tại x = Chuyển vị không N (0) = AEφ ′( L ) = Tại x = L Lực dọc không Thay vào phương trình trên, nhận được: C1 = Từ ñaây hay N (0) = AEφ ′( L ) = AEC c cos(cL ) = cos(cL ) = 2n − cL = π 2n − 1 cn = π L Do phương trình dao động viết sau: Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 85 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU φ n ( x ) = C sin( Tần số dao động 2n − x πc ) L c n EA 2n − EA = π m mL2 ωn = Các dạng dao động thể hình vẽ Thí dụ: Phân tích dao động uốn tự nhiên dầm đơn giản khối lượng độ cứng phân bố hình vẽ Mode O EI, m = const x L Mode Mode Nghiệm toán dao động uốn sau: φ ( x ) = A1 cos(ax ) + A2 sin(ax ) + A3 cosh(ax ) + A4 sinh( ax ) Bốn điều kiện biên dầm đơn giản là: φ ( 0) = Tại x = Chuyển vị không M (0) = EIφ ′′(0) = Mô men không φ (L ) = Tại x = L Chuyển vị không M ( L ) = EIφ ′′( L ) = Moâ men không p dụng điều kiện biên x = vào phương trình trên, nhận được: A1 = A3 = Tương tự, x = L φ ( L ) = A2 sin(aL ) + A4 sinh( aL ) = φ ′′( L ) = a (− A2 sin(aL ) + A4 sinh( aL )) = A4 sinh( aL ) = Từ Vì hàm hyperbolic khác không nên A4 phải không Vậy phương trình dao động viết sau: φ n ( x ) = A2 sin(ax ) A2 sin( aL ) = aL = nπ Taïi x = L Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 86 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU hay a n = nπ L Do phương trình dao động viết sau: φ n ( x ) = A2 sin( nπ Tần số dao động laø x ) L ω n = nπ EI mL4 Các dạng dao động thể hình vẽ Thí dụ 3: Xét hệ khung chịu mô men tác dụng nút, đặc trưng độ cứng khối lượng a, b, c hình vẽ Bỏ qua ảnh hưởng dọc trục (xem hệ có bậc tự chuyển vị xoay nút) Dùng phương pháp độ cứng động lực học xác định chuyển vị xoay nút hệ M (t ) = M sin(ω t ) ; ω = (2.8) EI mL4 M(t) O EI, m a EI, m b c 16EI/25 25m/16 L L Độ cứng động hệ: k = ka + kb + kc = 1.5L EI EI 16 EI αa + αb + αc L 1.5L 25L với α a , α b,α c xác định phương trình (4.49) thông qua tần số lực kích sC − cS ω mL4 λ thích α = (aL ) a = d EI Cho phần tử a, b, c ta xác định được: (aL ) a = 2.8; ( aL ) b = 3.5; (aL ) c = 4.2 α a = 3.338; α b = 2.00; α c = −2.90 Từ H.4.4 suy (Có thể áp dụng công thức (4.49) để tính) Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 87 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU Thay vào phương trình trên, xác định độ cứng động hệ: k = 2.68 Chuyển vị nút là: v = k −1 M (t ) = M0 L sin ω t 2.68EI EI L Chú ý: EI (tần số lực kích thích tần số riêng hệ) mL4 (aL ) a = 2.89; ( aL ) b = 3.66; (aL ) c = 4.34 Độ cứng hệ lúc k = Nếu ω = (2.89) Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 88 ... dụ: E 2 0-1 , p 35 0-3 53 10 20 18 β 16 14 12 10 6 -1 -2 -3 -4 β α -2 -4 β β γ -6 -8 -5 -1 0 -6 -7 -8 -9 -1 2 -1 4 -1 6 -1 8 -1 0 Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO λ -2 0 H .4. 4 Hệ số độ cứng động lực λ 84 TS ĐỖ... ′ c −S − C A4 M j s − φ x′= L S = Uη hay: η =W v Từ (4. 42) ta có: Thế (4. 45) vào (4. 44) nhận được: −1 (4. 43) (4. 44) (4. 45) (4. 46) Ma trận độ cứng động lực đoạn dầm đóng vai... Trên sở hàm dạng (4. 27) nghiệm xác dầm dao động, dùng để làm hàm dạng, từ dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, Chương HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 81 TS ĐỖ KIẾN QUỐC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU coi xác Đặc