Đang tải... (xem toàn văn)
Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCCHƯƠNG 2HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự doMô hình đơn giản nhất của hệ một bậc tự do (Single Degree of Freedom system - SDOFs), gồm các đặc trưng vật lý tập trung (Concentrated Properties):Khối lượng: mĐộ cứng: kHệ số cản: cLực kích động: p(t)Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố về m, k, c, p(t) đều có thể đưa về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động 2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembertp(t) + fS + fI + fD =0hay )(tpkvvcvm =++ (2.1) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 9p(t)fffDSICác lực tác dụngckv(t)p(t)mMô hình SDOFs ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC2.1.2.2 Nguyên lý công khả dóCho khối lượng chuyển vò khả dó δv. Công khả dó: δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0hay 0)]([ =+−−− vtpkvvcvmδvì δv ≠ 0 nên thu được phương trình chuyển động giống như (2.1).2.1.2.3 Nguyên lý HamiltonĐộng năng của hệ: 221vmT=, biến phân động năng vvmTδδ=Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo: 221kvV =, biến phân vkvVδδ=Biến phân công của lực không bảo toàn p(t) và fD (tức là công khả dó của hai lực này trên chuyển vò khả dó δv): vvcvtpWncδδδ−= )(Theo nguyên lý Hamilton: 0])([21=+−∫ttncdtWVTδδ0])([21=+−−∫ttdtvtpvvcvkvvvmδδδδ (2.2) tích phân từng phần số hạng thứ nhất:∫∫−=2121210ttttttvdtvmvvmdtvvmδδδ (2.3) thế (2.3) vào (2.2) ta được: 0)]([21=∫+−−−ttvdttpkvvcvmδ (2.4) vì δv tùy ý nên biểu thức: 0)( =+−−− tpkvvcvm có dạng giống với (2.1) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 10Ovf = kvsLựcChuyển vò ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCNhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên đònh luật quán tính của Newton. Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý D’Alembert là đơn giản nhất. 2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực Hệ ở trên hình có phương trình chuyển động:W)t(pkvvcvm +=++trong đó W là trọng lượng của khối cứng.Chuyển vò v gồm tổng của chuyển vò tónh (Static Displacement) st∆ gây bởi trọng lượng W và chuyển vò động vvvst+∆=Thay biểu thức của lực đàn hồi vkkkvfsts+∆==vào phương trình chuyển động:Wtpvkkvcvmst+=+∆++ )(Mặt khác stkW ∆=nên phương trình cuối cùng thu được:)(tpvkvcvm =++Kết luận:Nếu lấy vò trí cân bằng tónh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để tính chuyển vò thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1). Như vậy, trọng lực không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 11ckmv(t)p(t)(W)SffDp(t)fI∆stnh hưởng của trọng lựcfSfDfIp(t)WWv(t)v(t)v(t) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình cân bằng lực:0=++SDIffftrong đó lực quán tính có giá trò:tIvmf= với gtvvv += là tổng của v là chuyển vò uốn và vg là chuyển vò gối tựa (mặt đất). Thay các giá trò lực vào phương trình cân bằng ta có:0=+++ kvvcvmvmghay:)(tPvmkvvcvmeffg≡−=++ (2.5)Kết luận: Trong phương trình trên geffvmtP−=)( là tải trọng do rung động gối tựa. Như vậy sự rung động của mặt đất tương đương như lực kích động effPtác dụng tại vật nặng.2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised SDOF System)Xét hệ có đặc trưng vật lý phân bố (m, EI…), thực chất có vô hạn bậc tự do. Nếu coi hệ chỉ dao động với một hàm dạng nào đó thì hệ trở thành 1 bậc tự do. Cần tìm các đặc trưng vật lý tập trung cho hệ 1 bậc tự do đó.Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 12lxxNvg(t)v (x,t) e(t)z(t)m(x)EI(x)v(x,t)chuyển vòOtvg(t)vvtfIfC0.5fS0.5fS ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCGiả sử hệ chòu rung động ngang vg(t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn). Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động. Đặt: v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6) trong đó:ψ(x) - Hàm dạng (Shape Function)Z(t) - Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate) Động năng của hệ:[ ]dxtxvxmTtl20),()(21∫=dxvtxvxmTttlδδ),()(0∫= (2.7) Thế năng uốn:[ ]dxtxvxEIVlf20),(")(21∫= dxvtxvxEIVlf"),(")(0δδ∫= (2.8) Độ co ngắn của thanh: [ ]dxtxvtel20),('21)(∫= (2.9) Thế năng lực dọc (chọn vò trí ban đầu của N có thế năng bằng 0 ):[ ]dxtxvNNeVlN20),('2∫−=−=hay dxvtxvNVlN∫−=0'),('δδ (2.10) Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực kích thích) nên:∫=−210)(ttdtVTδ (*), với V = Vf + VNThế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):0'),('),("),(")(),()(210 0 0=∫∫ ∫ ∫+− dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxmttl l lttδδδ(2.11) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 13 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCDùng các liên hệ:tv=v +gv và tvδ=vδ"v =z"ψ và Zvδψδ"" =v’ = ψ’Z và Zvδψδ'' =Zvψ= và vδ=ψZδ (2.12) Thế (2.12) vào (2.11) 0)'(")()()()(210 0 0 0222=∫∫ ∫ ∫ ∫+−+ dtdxZNZdxxEIZZdxxmtvZdxxmZZttl l l lgψδψδψδψδ (2.13) Chú ý rằng tích phân ∫ldxxf0)( không phụ thuộc t, nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích phân theo biến t. Để làm xuất hiện các thừa số δZ trong 2 số hạng đầu, ta tiến hành tích phân từng phần:∫∫∫ ∫∫−=−===212121212121)(ttttttttttttdtZZdtZZZZdtZdtdZdtdtdZZdtZZδδδδδδ(2.14) ∫∫−=212121)()()(ttgttttggZdttvZtvdtZtvδδδ(2.15) Thế (2.14) và (2.15), phương trình (2.13) trở thành:[ ]∫=−−+210)(****tttGZdttpZkZkZmδ(2.16) trong đó:∫=ldxxmm02*)(ψ : Khối lượng suy rộng∫=ldxxEIk02*)")((ψ : Độ cứng suy rộng∫=lGdxNk02*)'(ψ : Độ cứng hình học suy rộng Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 14zδzvtOvgδvv ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC ∫−=lgtdxxmtvtp0*)()()(ψ : Tải trọng tương đương suy rộng (2.17)Vì δZ bất kỳ nên lượng trong dấu ngoặc triệt tiêu. Ta thu được phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do suy rộng: )()()(***tptZktZmt=+ (2.18) với ***Gkkk −= : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19) Khi lực dọc N đạt trò số tới hạn N = Ncr thì 0*=k. Từ đó, suy ra công thức tính lực Ncr là: ∫∫=llcrdxdxxEIN0202)'()")((ψψ(2.20)Đây là công thức của phương pháp Rayleigh.Chú ý:Nếu thanh chòu lực kích thích phân bố p(x,t) và lực dọc N(x) thì công thức tính lực kích thích suy rộng (lực tập trung) p*(t) và độ cứng hình học k*G lần lượt là: ∫=ldxxtxptp0*)(),()(ψ (2.21) ∫=lGdxxxNk02*)](')[(ψ (2.22) ∫=ldxxxcC02*)]()[(ψ(2.23) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 15p(x,t)c(x) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCThí dụ: Example E8.3, page 144, [1]Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng với các đặt trưng vật lý (khối lượng, độ cứng ) phân bố đều theo chiều cao như trên hình vẽ. Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau: Lxx2cos1)(πψ−=(a)Giải:p dụng (2.17) ta có khối lượng và độ cứng suy rộng:( )LmdxLxmdxmmLL228.02cos10202*=∫−=∫=πψ(b)( )34022202*322cos4"LEIdxLxLEIdxEIkLLπππψ=∫=∫=(c)Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):)(364.02cos1)()()(00*tvLmdxLxtvmdxmtvtPgLgLg∫∫=−==πψ(d)Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng dao động:)(364.0)(32)(228.034tvLmtZLEItZLmg=+π(e)Nếu xét lực dọc trục N thì ta có độ cứng hình học suy rộng:Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 16LxxNvg(t)v (x,t) e(t)z(t)mEIv(x,t)chuyển vòOt ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC( )∫ ∫===L LGLNdxLxLNdxNk02022*82sin2'πππψ(f)Độ cứng suy rộng kết hợp:LNLEIkkkG832234***ππ−=−=(g)Vì vậy tải trọng tới hạn mất ổn đònh thu được khi cho độ cứng kết hợp bằng 0 là:322344832 LEILLEINcrπππ==(h)Đây là tải trọng mất ổn đònh thật sự cho cột consol chòu tải trọng phân bố đều, bởi vì hàm dạng được rút ra từ (a) là dạng mất ổn đònh thật của kết cấu. Thay (h) vào (f) ta có thể biểu diễn độ cứng hình học bởi:crGNNLEIk34*32π=(i)thay vào (e) ta có phương trình cân bằng bao gồm ảnh hưởng của lực dọc trục là:)(364.0)(132)(228.034tvLmtZNNLEItZLmgcr=−+π(j)Do đó, bất kỳ hình dạng nào thỏa mãn điều kiện biên hình học của kết cấu đều được rút ra từ hàm dạng )(xψ. Nếu hàm này được cho bởi dạng parabolic 22)(Lxx =ψKhi này độ cứng đàn hồi suy rộng trở thành:3022*42LEIdxLEIkL==∫và độ cứng hình học suy rộng:LNdxLxNkLG342022*==∫Trong trường hợp này, tải trọng tới hạn được rút ra từ **Gkk = là:233434LEILLEINcr==(l)giá trò này lớn hơn 21% so với giá trò từ (h).Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 17 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển độngPhương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:)()()( tpkvtvctvm =++Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì: 0)()( =++ kvtvctvm(a) Nghiệm có dạng: v(t) = GestThế vào (a) ta được: (ms2 + cs + k) Get = 0 (b) Đặt mk=2ω thì (b) dẫn tới: s2 + mc + ω2 = 0 (c) (c) là phương trình đặc trưng, nghiệm s của (c) tùy thuộc vào hệ số cản c.2.2.2 Dao động tự do không cản - c = 0Khi đó (c) có nghiệm: s = ± iω do đó nghiệm của (a) là: v(t) = G1eiωt + G2e-iωt hay viết lại dưới dạng thực: v(t) = Asinωt + Bcosωt (d) với A, B được xác đònh từ điều kiện ban đầu: B = v(0), A = ω)0(v nên:v(t) = ω)0(vsinωt + v(0)cosωt (2.24) Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 18Imaginary11RealeiωtωtOe = cosωt ± isinωt±iωtCông thức Euler: [...]... ) ( ) ( ) ( ) )(88.4 4. 02 4. 021 05.3 2 21 2 21 21 21 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 max cm TR T T vv vvv gogo gogo t p = × ×+ = + = + = = +− + == === ξ ξ ξ ξ βξβ ξβ ω ϖ β c. Biên độ toàn phần khi tốc độ v = 45mph = 72. 4km/h =20 .1m/s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 546.1 048.14. 020 48.11 48.104. 021 21 21 )(048.1 546.0 5 72. 0 )(546.0 1 .20 97.10 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 2 = ××+− ××+ = +− + = === === βξβ βξ β TR s T T s v L T p p )( 72. 4546.105.3 max cmTRv v go t =×== Chương. .. được xác định theo công thức: c = 2m ωξ (2. 34) - Cản nhiều (Overdamping) Khi ξ > 1 (c > c cr ) thì không có dao động, tương tự khi c = c cr ξ càng lớn thì chuyển động về vị trí cân bằng càng chậm. Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 21 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(009.5 944.04. 029 44.01 944.04 .21 05.3 21 21 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 max cmTR vvv gogo t = ××+− ××+ ×= +− + == ξββ βξ Nếu... ρ cos( ω t - θ ) (2. 24') Với biên độ 2 2 )0( )]0([ += ω ρ v v và pha ban đầu θ = tan -1 )0( )0( v v ω (2. 25) chu kỳ: T = f 12 = ω π (2. 26) 2. 2.3 Dao động tự do có cản- c ≠ 0 Nghiệm của (c): s = 2 2 22 ω − ±− m c m c (2. 27) Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số cản c (vào biểu thức dưới dấu căn có dấu dương, âm hay bằng không) - Cản tới hạn... cản: T = D ω π 2 Thế vào (2. 29): )2exp()exp( 1 Dn n T v v ω ω πξξω == + Độ giảm Loga: 2 1 1 22 ln ξω ω πξ ω ω πξδ − === + Dn n v v = 2 1 2 ξ πξ − ≈ 2 πξ , với ξ nhỏ. πξ πξ πξ πξδ 21 !2 )2( 21 2 2 1 +≈+++=== + ee v v n n Do đó: ξ = 1 1 2 + + − n nn v vv π (2. 32) Chính xác hơn: ξ = mn mnn vm vv + + − π 2 (từ mt mn n e v v ξω = + ) (2. 33) Công thức (2. 32) và (2. 33) dùng xác định tỉ số... (Critical damping) c = c cr c cr = 2m ω thì 0 2 2 2 =− ω m c cr s = ω −=− m c cr 2 Phương trình chuyển động: v(t) = (G 1 + G 2 t) e -i ω t = [ v(0)(1+ ω t) + )0(v t]e - ω t (2. 28) Đồ thị chuyển động có dạng như hình vẽ, không có dao động (Oscillation). Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 19 v(t) v(0) ρ T = ω v(0) θ 2 ω t v(0) v(0) v(t) t O ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC với ∫ = − p T tin p n dtetp T c 0 1 )( 1 ω (2. 54) là... tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời gian ngắn. Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là: 2 )( 1 1)( β − == st tp v tv MF (2. 38) 2. 3 .2 Hệ có cản Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 22 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC - Cản ít (Underdamping): c < c cr =2m ω . Đặt ξ = cr c c = ω m c 2 trong đó ξ là tỉ số cản (damping ratio). Thế vào (2. 27): với ω D = ω 2 1 ξ − :... (2. 62) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 32 p(t) O p 0 Phase I 1 t Phase II t t ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC 2. 1 .2. 2 Nguyên lý công khả dó Cho khối lượng chuyển vị khả dó δ v. Công khả dó: δ W = p(t) δ v + f S δ v + f I δ v + f D δ v = 0 hay 0)]([ =+−−− vtpkvvcvm δ vì δ v ≠ 0 nên thu được phương trình chuyển động giống như (2. 1). 2. 1 .2. 3 Nguyên lý Hamilton Động năng của hệ: 2 2 1 vmT = ,... nhất: ∫∫ −= 2 1 2 1 2 1 0 t t t t t t vdtvmvvmdtvvm δδδ (2. 3) thế (2. 3) vào (2. 2) ta được: 0)]([ 2 1 = ∫ +−−− t t vdttpkvvcvm δ (2. 4) vì δ v tùy ý nên biểu thức: 0)( =+−−− tpkvvcvm có dạng giống với (2. 1) Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 10 O v f = kv s Lực Chuyển vị ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC Chú ý: Nếu kết cấu chịu chuyển động của gối đỡ v g (t), thì sẽ tương đương với chịu lực. .. ∫∫ −= 2 1 2 1 2 1 )()()( t t g t t t t gg ZdttvZtvdtZtv δδδ (2. 15) Thế (2. 14) và (2. 15), phương trình (2. 13) trở thành: [ ] ∫ =−−+ 2 1 0)( **** t t tG ZdttpZkZkZm δ (2. 16) trong đó: ∫ = l dxxmm 0 2* )( ψ : Khối lượng suy rộng ∫ = l dxxEIk 0 2* )")(( ψ : Độ cứng suy rộng ∫ = l G dxNk 0 2* )'( ψ : Độ cứng hình học suy rộng Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 14 z δ z v t O v g δ v v ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC Trong kết cấu này,... v max thuộc Phase II: khi ωω > ( ω càng lớn thì ω π 2 1 =t càng nhỏ ) Dùng điều kiện ban đầu v(t 1 ) và v (t 1 ), ta có biên độ dao động tự do (2. 25) [ ] 2 1 2 2 1 2 1 cos 22 1 )( )( + − =+ = β π β β ω ρ k p tv tv o Hệ số động: )cos1 (2 1 2 0 β π β βρ + − == p k D hay β π β β 2 cos 1 2 2 − =D (2. 61) 2. 5.3 Xung chữ nhật + Phase I: 1 0 tt ≤≤ Tải trọng đặt . 12, 2mvtv=45miles/h= 72, 4km/h =20 ,1m/sW=4000lb=1816kG1,2in=3,05cmmặt cầu ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC( )( )( )( )( ) ( ))(009.5944.04. 029 44.01944.04 .21 05. 321 2 121 222 2 122 22maxcmTRvvvgogot=××+−××+×=+−+==ξβββξNếu. 10.97/0.5 72 = 19.18 m/s = 69km/h.b. Biên độ toàn phần tvmax của xe khi cộng hưởng:( )( )( )( )( )( )( ))(88.44. 024 . 021 05. 322 122 121 21 122 2 122 2 122 22maxcmTRTTvvvvvgogogogotp=××+=+=+==+−+=====ξξξξβξβξβωϖβc.