Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng động lực học
CHƯƠNG 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG3.1.1 Lựa chọn bậc tự do Ý nghóa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố, có vô hạn bậc tự do. Đưa về sơ đồ một bậc tự do chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất đònh. Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do. Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ thể.Các cách chọn bậc tự do: có hai cách- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: bao gồm phương pháp dồn khối lượng và phần tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số kiểu (pattern) biến dạng của hệ.3.1.2 Phương trình cân bằng độngĐể đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với các bậc tự do là chuyển vò tại các điểm 1, 2, 3, ., N. Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải trọng pi(t), lực quán tính fIi, lực cản fDi, và lực đàn hồi fSi. Phương trình cân bằng nút i:fIi + fDi + fSi = pi(t) , i = 1, 2, 3, ., NDạng ma trận:[fI] + [fD] + [fS] = [p(t)] (3.1)trong đó:[fI] = INIIfff21 , [fD]= DNDDfff21, [fS]= SNSSfff21, [p(t)] = )()()(21tptptpN- Lực đàn hồiDùng nguyên lí cộng tác dụng, ta có:fSi = ki1v1 + ki2v2 + + kiNvN với i = N,1v1(t)v2(t)vi(t)vN (t)12iΝp(x,t)m(x)EI(x)chiều dương chuyển vòchiều dương của lựcchuyển vòfDi fIimivi(t)pi(t)fSi với kij là lực tại nút i do chuyển vò vj = 1 gây ra.Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút).Dạng ma trận:SNSSfff21 = NNNNNNkkkkkkkkk212222111211 Nvvv21(3.2)hay: [fS] = [K][v] (3.3)[K] gọi là ma trận cứng (Stiffness Matrix).- Lực cản- kết quả tương tự như lực đàn hồi DNDDfff21 = NNNNNNccccccccc212222111211 Nvvv21(3.4)với cij là lực tại nút i do jv= 1 gây ra, gọi là hệ số ảnh hưởng cản.hay: [fD ]= [C][v] (3.5)trong đó: [C] là ma trận cản (Damping Matrix)- Lực quán tính INIIfff21 = NNNNNNmmmmmmmmm212222111211 Nvvv21(3.6)với mij : lực tại nút i do jv = 1 gây ra, là hệ số ảnh hưởng khối lượng,hay: [fI ]= [M][v] (3.7)trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix)Hệ N phương trình vi phân chuyển động: [M][v] + [C][v] + [K][v] = [p(t)] (3.8) Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát của bài toán động lực học. Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp phân tích động lực học của hệä: Phân tích dao động tự do, Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất, sóng biển .3.1.3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén)Lực dọc làm tăng thêm chuyển vò nút, nên sẽ có vai trò như lực nút tác dụng theo chiều của chuyển vò nút, ký hiệu bởi ma trận [fG]. Khi này phương trình cân bằng nút (3.1) trở thành: [fI] + [fD] + [fS] - [fG] = [p(t)] (3.9) Lực nút [fG] tương đương với vai trò của lực dọc, được biểu diễn bởi các hệ số cứng hình học (Geometric - Stiffness Coefficients) như sau:GNGGfff21 = GNNGNGNNGGGNGGGkkkkkkkkk212222111211 Nvvv21(3.10)với kGij là lực tại nút i do vj = 1 gây ra, có ảnh hưởng của lực dọc hay: [fG] = [KG][v] (3.11)trong đó: [KG] là ma trận cứng hình học (Geometric - Stiffness Matrix)Phương trình (3.9) trở thành: [M][v] + [C][v] + [K][ v] – [KG][v] = [p(t)] (3.12) hay: [M][v] + [C][v] + [K][ v] = [p(t)] (3.13) với: [K] = [K] – [KG] là ma trận độ cứng tổng hợp (Combined Stiffness Matrix) (3.14) Như vậy, lực dọc làm giảm độ cứng của kết cấu (làm cho kết cấu mềm đi). 3.2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT 3.2.1 Tính chất đàn hồi3.2.1.1 Độ mềm của kết cấuGọi: fij là chuyển vò tại i do pj = 1 gây ra. Tập hợp các fij (i = 1,N) tạo nên đường đàn hồi do pj = 1 gây ra (hình vẽ). Chiều dương của chuyển vò và lực theo chiều dương của trục tọa độ.Chuyển vò tại điểm i do các lực pj (j = 1,N) theo nguyên lý cộng tác dụng:vi = fi1p1 + fi2p2 + + fiN pN i = 1, NDạng ma trận:f 1j2jf ijf jjf Njf 1 2 3jΝjp Nvvv21 = NNNNNNfffffffff212222111211 Nppp21(3.15)hay: [v] = [f][p] (3.16)trong đó:[f] : Ma trận độ mềm của kết cấu (Flexibility Matrix)[p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương với chuyển vò nút. Lực đàn hồi cân bằng lực nút [p] = [fS], (3.16) trở thành: [v] = [f][fS] (3.17)p1p2p3S1f S2f S3f 1v v2v31ijΝ1iΝjjv=11p=k1jp=ki ijp=kNNjp=kj jjk1jkijkjjkNjjv=1 3.2.1.2 Độ cứng của kết cấuHệ số cứng kij (được minh họa trên hình vẽ) là các lực nút do chuyển vò vj = 1 gây ra (các chuyển vò khác vi = 0, với i ≠ j). kij chính là phản lực tại nút nếu đặt thêm các liên kết.Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độ mềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực) ]][[21]][[21211pvvpvpUTTiNii==∑==(3.18) Theo (3.16) vào (3.18) ta được: ]][][[21pfpUT=(3.19) Hoặc thế (3.3) vào (3.18), với chú ý rằng [p] = [fS]: ]][][[21vKvUT=(3.20) Vì U > 0 nên suy ra: [vT][K][v] > 0 và [pT][f][p] > 0 (3.21) [K] và [f] thỏa (3.21) với mọi [v], [p] ≠ 0 nên là các ma trận xác đònh dương (Positive Definite), không suy biến và nghòch đảo được. Thiết lập quan hệ [K], [f], (3.3): [fs] = [K].[v] hay [K-1][fs] = [v]Mặt khác (3.17): [v] = [f].[fs] suy ra: [f] = [K-1] hoặc [K] = [f-1] (3.22) Thường xác đònh ma trận cứng thông qua ma trận mềm theo (3.22).- Đònh lý Betti: “Công khả dó của lực ở trạng thái (a) trên chuyển vò ở trạng thái (b) bằng công khả dó của lực ở trạng thái (b) trên chuyển vò ở trạng thái (a)” [paT] [vb] = [pbT] [va] (3.23) hay [paT][f][pb] = {[pbT][f][pa]}T = [paT] [fT] [pb] suy ra: [f] = [fT] Ma trận đối xứng (3.24) Một cách tương tự, ma trận cứng đối xứng: K = KT (3.25)a1pva1a2pa2va3pva3b1pb1vb2pb2vb3pb3v12 3Trạng thái (a)Trạng thái (b) 3.2.1.4 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)Hệ được quan niệm gồm nhiều phần tử nối với nhau tại một số hữu hạn nút. Tính chất của hệ được tìm bằng cách chồng chất các phần tử một cách thích hợp.Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ: Có hai bậc tự do mỗi nút: bao gồm chuyển vò thẳng và góc xoay.Hàm dạng ψi(x) chỉ chuyển vò vi = 1 gây ra, còn các chuyển vò nút khác đều bằng 0. Hàm ψi(x) phải thỏa mãn điều kiện biên, nhưng thường chọn hàm chuyển vò trong dầm có độ cứng EI = const do chuyển vò nút vi = 1 gây ra. Đó là các hàm đa thức Hermit bậc ba như sau:ψ1(x) = 1 - 3 2Lx+ 23Lx(a) ψ3(x) = x(1- Lx)2(b) ψ2(x) = 3 2Lx- 23Lx(c) ψ4(x) = −12LxLx(d) (3.26) EI(x)Lxabv(x)1vv32v4v1av =v =11θ =v =1a3ψ (x)13ψ (x) [...]... phương). Nếu phần tử có lực dọc N(x) = N = const, dùng các hàm nội suy trước đây, ta thu được ma trận cứng hình học phần tử: −− −− −−− − = 4 3 2 1 22 22 4 3 2 1 433 433 33 3 636 33 3 636 30 v v v v LLLL LLLL LL LL L N f f f f G G G G (3. 44) −− −− −−− − = 22 22 433 433 33 3 636 33 3 636 30 ][ LLLL LLLL LL LL L N K e G ... )6( 2 )2(2 )2( 42 )2( 2 2 3 2 3 2 3 2 233 L L EI Lx L EIx L L EI kk =+== )2( 2 )2( )2( 42 2 3 2 3 32 L L EI L L EIx k == = 3 2 1 22 22 3 3 2 1 6 23 2 63 331 2 2 v v v LLL LLL LL L EI f f f S S S Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán tónh, do ảnh hưởng của lực quán tính. Tuy nhiên, khi đã chọn các bậc tự do cho bài toán động rồi thì việc xây dựng... (3. 49) kể đến độ cứng hình học có dạng: )()( 33 xvxv ψ = (3. 33) Lực quán tính: )()()()()( 33 xvxmxvxmxf I ψ == (3. 34) Cho dầm chịu chuyển vị khả dó δ v(x) = ψ 1 (x) δ v 1 . Cân bằng công khả dó của lực nút và lực quán tính, ta có: p a δ v a = dxxvxf L I )()( 0 δ ∫ hay m 13 = dxxxxm L )()()( 3 0 1 ψψ ∫ KL suy roäng m ij = dxxxxm j L i )()()( 0 ψψ ∫ (3. 35) vì m ij = m ji , nên... trình vi phân chuyển động: [M][ v ] + [C][ v ] + [K][ v ] = [p(t)] (3. 8) Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát của bài toán động lực học. Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp phân tích động lực học của hệä: Phân tích dao động tự do, Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất, sóng biển 3. 1 .3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén) Lực dọc làm tăng... đa thức Hermit bậc ba như sau: ψ 1 (x) = 1 - 3 2 L x + 2 3 L x (a) ψ 3 (x) = x( 1- L x ) 2 (b) ψ 2 (x) = 3 2 L x - 2 3 L x (c) ψ 4 (x) = −1 2 L x L x (d) (3. 26) EI(x) L x a b v(x) 1 v v 3 2 v 4 v 1 a v =v =1 1 θ =v =1 a 3 ψ (x) 1 3 ψ (x) 3. 3 .3 Phân tích tần số theo ma trận mềm Nhiều bài toán dùng ma trận mềm [f] tiện hơn ma trận... xoay theo chuyển vị thẳng (3. 46): θ v = 3 2 v v = - EI L 32 − − − 31 13 3 2 L EI L L 3 3 1 v =- L8 3 1 1 1 v Ma trận cứng rút gọn theo (3. 48): 2L L EI EI 4EI v 1 v 2 v 3 ta có hệ gồm các khối lượng tập trung. Ma trận khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo: [M] = N m m m 00 0 0 00 2 1 (3. 32) trong đó: m ij = 0... = 2L L EI EI 4EI v 1 v 2 v 3 EI EI 4EI k 11 k 21 k 31 v 1 =1 EI EI 4EI k 12 k 22 k 32 v 2 =1 giảm xuống. Đó là ưu điểm lớn của phương pháp khối lượng thu gọn. Thí dụ: Trong thí dụ trên, ta có: 3 2 1 s s s f f f = 3 2 L EI 22 22 6 23 2 63 331 2 LLL LLL LL 3 2 1 v v v ][ θθ K = 3 2 L EI 22 22 62 26 LL LL = L EI4 31 13 1 ][ − θθ K = EI L 32 − − 31 13 Biểu diễn chuyển... G λ và tần số dao động 2 ω sẽ thỏa mãn phương trình trị riêng. Như vậy khi chịu tải trọng điều hoà ứng với một tần số nào đó thì hệ có thể mất ổn định ngay cả khi biên độ lực bằng 0. 3. 3.5 Điều kiện trực giao (Orthogonality) 3. 3.5.1 Các điều kiện cơ bản Phương trình dao động (3. 51) viết lại cho tần số n ω và m ω (giả thiết n ω ≠ m ω ) )6( 2 )2(2 )2( 42 )2( 2 2 3 2 3 2 3 2 233 L L EI Lx L EIx L L EI kk... dxxxxEI L )()()( '' 3 0 '' 1 ψψ ∫ (3. 28) Toång quát hóa: k ij = dxxxxEI j L i )()()( '' 0 '' ψψ ∫ : Độ cứng suy rộng (3. 29) vì k ij = k ji nên ma trận độ cứng đối xứng. Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có: 4 3 2 1 S S S S f f f f = 3 2 L EI − − −−− − 22 22 233 233 33 66 33 66 LLLL LLLL LL LL 4 3 2 1 v v v v (3. 30)... [f]. Phương trình (3. 51) được viết lại và biến đổi như sau: { } { } 0 ˆ ]][][[ 2 =− vMK ω (3. 51) Nhân 2 vế [f]: { } { } 0 ˆ ]]][[]][[ 1 [ 2 =− vMfKf ω vì 1 ][][ − = Kf nên ][]][[ IKf = , ta coù: { } { } 0 ˆ ]]][[][ 1 [ 2 =− vMfI ω (3. 58) do { } 0 ˆ ≠v , nên phương trình tần số: 0]]][[][ 1 [det 2 =− MfI ω (3. 59) 3. 3.4 Ảnh hưởng của lực học 3. 3.4.1 Dao động tự do Phương trình dao động (3. 49) kể đến . có: 432 1SSSSffff = 32 LEI −−−−−−2222 233 233 336 633 66LLLLLLLLLLLL 432 1vvvv (3. 30) Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3. 30) là. cứng kết cấu:)26( 231 1xLEIk = )3( 232 1LLEIk = )3( 233 1LLEIk =2LLEIEI4EIv1v2v3EIEI4EIk11k21k31v1=1EIEI4EIk12k22k32v2=1 )6(2)2(2)2(42)2(2 232 3 232 233 LLEILxLEIxLLEIkk