Đang tải... (xem toàn văn)
Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi 1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi 1.3.2 Định lý 1.3.3 Hệ Không gian phức taut 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý Kiernan 10 1.4.3 Định nghĩa 10 1.4.4 Bổ đề 10 1.4.5 Ví dụ 11 Các hàm peak antipeak đa điều hòa 12 1.5.1 Định nghĩa 12 1.5.2 Mệnh đề 13 i 1.5.3 Bổ đề 13 1.5.4 Định lý 14 1.5.5 Định lý 14 Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach 2.1 2.2 Một số kiến thức ban đầu 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Định nghĩa 17 2.1.3 Định lý 18 2.1.4 Định nghĩa 19 2.1.5 Định nghĩa 19 2.1.6 Định nghĩa 19 2.1.7 Định nghĩa 20 2.1.8 Định nghĩa 20 Tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach 20 2.2.1 2.3 17 Định lý 21 Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach 24 2.3.1 Định lý 24 2.3.2 Bổ đề 25 2.3.3 Định lý 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Một tốn quan trọng Giải tích phức hyperbolic tìm đặc trưng khác cho tính hyperbolic không gian phức Như ta biết khơng gian phức taut hyperbolic Do ta nghiên cứu tính hyperbolic khơng gian phức thơng qua việc tìm hiểu tính taut khơng gian Điều cho thấy tính taut cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp không gian phức hyperbolic hữu hạn chiều Tuy nhiên khái niệm taut không tồn hồn cảnh miền khơng gian Banach Bằng cách đưa khái niệm taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach, Lê Mậu Hải Phạm Khắc Ban [4] thiết lập mối liên hệ tính taut yếu với tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh mối liên hệ tính taut yếu địa phương với tính taut yếu miền khơng bị chặn khơng gian Banach Mục đích luận văn trình bày tường minh kết nói Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic, không gian phức taut số kết liên quan đến chương sau trường hợp hữu hạn chiều Chương 2: Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach Nội dung chương bao gồm số khái niệm ban đầu giải tích hyperbolic khơng gian Banach; mối liên hệ tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach Cuối chương số tiêu chuẩn cho tính taut yếu miền không bị chặn không gian Banach Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dự hướng dẫn khoa học PGS TS Phạm Việt Đức Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán K20a, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Kim Dung Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tính hyperbolic tính taut trường hợp hữu hạn chiều 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức Với < r < ∞ ta đặt ∆r = {z ∈ C, |z| < r}, ∆1 = ∆, gọi ∆r đĩa bán kính r, ∆ đĩa đơn vị C 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X Hol(∆, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , trang bị tơpơ compact mở Xét dãy điểm p0 = x, p1 , , pk = y X , dãy điểm a1 , a2 , , ak ∆ dãy ánh xạ f1 , , fk Hol(∆, X) thỏa mãn fi (0) = pi - , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k Tập hợp α = {p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , fk } thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình (hay đĩa chỉnh hình) nối x y X Ta định nghĩa k dX (x, y) = inf { α ρD (0, ), α ∈ Ωx, y }, i=1 Ωx, y tập hợp dây chuyền chỉnh hình nối x y X Khi dX : X × X → R giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách Kobayashi khơng gian phức X 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi 1.1.2.1 Nếu f : X → Y ánh xạ chỉnh hình hai khơng gian phức f làm giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)), ∀x, y ∈ X Hơn nữa, dX giả khoảng cách lớn X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X giảm khoảng cách 1.1.2.2 d∆ = ρ∆ metric Bergman - Poincaré đĩa đơn vị ∆ 1.1.2.3 dCn ≡ 1.1.2.4 Giả sử X khơng gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R hàm liên tục Trong trường hợp X đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản tính liên tục dX sau: 1.1.2.5 Định lý Giả sử X đa tạp phức Khi đó, giả khoảng cách kobayashi hàm liên tục Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y), với xn , yn , x, y ∈ X Do để chứng minh tính liên tục dX ta cần chứng minh dX (yn , y) → yn → y Gọi U lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n , n = dimX Ta có d∆n ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, , n} Vì U song chỉnh hình với ∆n nên theo tính chất giả khoảng cách Kobayashi ta có dU = d∆n liên tục Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → yn → y Vậy dX liên tục 1.2 1.2.1 Không gian phức hyperbolic Định nghĩa Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách X , tức dX (p, q) = ⇔ p = q ∀p,q ∈ X Không gian phức X gọi hyperbolic đầy X hyperbolic đầy khoảng cách Kobayashi dX , tức dãy khoảng cách dX hội tụ Nhận xét Từ định nghĩa tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic khơng gian phức bất biến song chỉnh hình 1.2.2 Một số tính chất 1.2.2.1 Nếu X, Y không gian phức, X × Y khơng gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic 1.2.2.2 Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, khơng gian không gian hyperbolic hyperbolic 1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X không gian phức liên thơng Nếu X hyperbolic dX sinh tô pô tự nhiên X Chứng minh Ta có khơng gian phức X compact địa phương với tơ pơ đếm được, metric hóa định lý metric hóa Urưxơn Vì có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên X Ta phải chứng minh dX ρ so sánh được, tức với {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → ⇔ dX (xn , x) → n → ∞ Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → suy dX (xn , x) → n → ∞ Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → mà ρ(xn , x) → n → ∞ Khi tồn s > cho có dãy (vẫn ký hiệu {xn }) mà xn nằm ngồi ρ−cầu tâm x, bán kính s Nối xn với x dây chuyền chỉnh hình Gọi γ ảnh trắc địa đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X Xét hàm t → ρ(γ(t), x), hàm liên tục tồn t0 ∈ [a, b] cho ρ(γ(t0 ), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ) Từ theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → n → ∞ Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy {ynk } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ) Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, n→∞ mà y = x Điều mâu thuẫn với giả thiết X không gian hyperbolic Định lý chứng minh 1.2.3.4 Ví dụ +) Đĩa ∆r đa đĩa ∆m r hyperbolic +) Một miền bị chặn Cm hyperbolic, tập mở tích đa đĩa +) Cm khơng hyperbolic, dCm ≡ ... SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... niệm taut khơng tồn hồn cảnh miền khơng gian Banach Bằng cách đưa khái niệm taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach, Lê Mậu Hải Phạm Khắc Ban [4] thiết lập mối liên hệ tính taut yếu. .. chiều Chương 2: Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach Nội dung chương bao gồm số khái niệm ban đầu giải tích hyperbolic khơng gian Banach; mối liên hệ tính taut yếu tính hyperbolic