Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". Tự nhiên mò mò thấy trang WEB của THPT Đặng Thúc Hứa, tui thấy có thằng bạn của tui hồi học Thanh Chương 1- Thầy NPK (Phân bón tốt cho lúa)- Dạy Hoá, tui gửi tặng các bác Tổ Toán bài viết này. Các Bác Tổ Toán có chuyên đề nào về "Phương trình hàm", "dãy số" không thì cho tui với. Các bác muốn tìm chuyên đề nào tui có thể chia sẻ. Tui cũng có khá nhiều. E.mail: hieucqt@gmail.com Thân chào ! CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: 0a b a b≥ ⇔ − ≥ • a b a c b c ≥  ⇒ ≥  ≥  • a b a c b c≥ ⇔ + ≥ + • a b a c b d c d ≥  ⇒ + ≥ +  ≥  • 1 1 0a b a b ≥ > ⇒ ≤ b) Một số bất đẳng thức cơ bản • Bất đẳng thức AM-GM. Cho n số thực không âm 1 2 , , ., ( 2) n a a a n ≥ ta luôn có 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n + + + ≥ L . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a= = =L . • Một vài hệ quả quan trọng: (t/c này quan trọng) 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, n i n a a a n a i n a a a   + + + + + + ≥ ∀ > =  ÷   L L 2 1 2 1 2 1 1 1 vôùi 0, 1, i n n n a i n a a a a a a + + + ≥ ∀ > = + + + L L • Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( , 2n Z n∈ ≥ ): 1 2 1 2 , , ., , , , ., n n a a a b b b ta có: Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 1 Tr ng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu "ó 10 nm xa quờ nhng nhng k nim v tui th vn trng tn". 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +L L L Du = xy ra 1 2 1 2 (quy ửụực neỏu 0 0) n i i n aa a b a b b b = = = = =L II. Giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht Cho 1 2 ( , , ., ) n f x x x l mt hm n bin thc trờn : : n n D f D Ă Ă Ă 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 ( , , ., ) ( , , ., ) Max ( , , ., ) : ( , , ., ) n n D n n f x x x M x x x D f M x x x D f x x x M = = 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 ( , , ., ) ( , , ., ) Min ( , , ., ) : ( , , ., ) n n D n n f x x x m x x x D f m x x x D f x x x M = = Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. III. B i t p: Bài tập 1: 1. Với hai số dơng x và y ta có: ) 11 ( 4 11 yxyx + + . Đẳng thức xảy ra khi x=y. 2. Cho ba số dơng a, b, c, ta có: ) 111 ( 2 1111 cbaaccbba ++ + + + + + . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 3. Cho ba số dơng a, b, c, ta có: ) 111 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 accbbabacacbcba + + + + + ++ + ++ + ++ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. 4. Với a, b, c là các số dơng: ) 111 ( 4 1 2 1 2 1 2 1 cbabacacbcba ++ ++ + ++ + ++ . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu thêm giả thiết 4 111 =++ cba thì bài toán là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005. 5. Chứng minh rằng với a, b, c dơng: accbbabacacbcba 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + ++ + ++ + ++ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c. 6. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0,x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 1 1 4 x y z Q x y z = + + + + + 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x t t y y z z x A t y y z z x x t = + + + + + + + . Với x, y, z, t là các số dơng. 8. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh các bất đẳng thức: + + + + + ++ + ++ + ++ + + + + + ++ + ++ + ++ bcabcabacacbcba accbbabacacbcba 2 1 2 1 2 1 2 1 32 1 32 1 32 1 /2 4 1 . 111 )(32 1 )(32 1 )(32 1 /1 Tui ngi ng Vn Gi li thm thy Khỏng2 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa q nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". 9. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n ®iỊu kiƯn abc = ab + bc + ca th×: 96 17 32 1 32 1 32 1 < ++ + ++ + ++ bacacbcba 10. Cho x > 0, y > 0 tháa m·n x + y 1 ≤ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa: xy xy yx A 4 21 22 ++ + = 11. Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p=a+b+c (a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh). Chøng minh r»ng:       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 12. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = x xx 2 562 2 +− trong đó x > 0. 13. Cho 0 ≥ x , tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q = ( ) 12 172 2 + ++ x xx 14. Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức N = x x 2000 3 + 15. Cho x > 0 ; y > 0 và 6 ≥+ yx . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: yx yxP 1612 35 +++= 16. Cho x > 1, tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = 1 25 4 − + x x 17. Cho 10 << x , tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B = xx 4 1 3 + − 18. Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện azyx =++ a) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = zxyzxy ++ b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B = 222 zyx ++ 19. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 12 ≥++ zyx . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức P = x z z y y x ++ 20. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện azyx =++ . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q =       +         +       + z a y a x a 111 21. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện 1=++ cba . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = ( )( )( ) ( )( )( ) cba cba −−− +++ 111 111 22. Cho x, y thỏa mãn điều kiện 1 =+ yx và x > 0. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: B = 32 yx . 23. Tìm GTNN của 2 2 16 y x x = + ; 2 1 y x x = + − với x>1; 2 2 2 1 x y x + = + 24. Tìm GTNN của hàm số a ) 1 1 1 y x x = + − với 0 1x < < 25. 1 2 1 y x x = + − ( Viết ( ) 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 x x x x x x x x x x x x − + − + − + = + = + + − − − ) 26. 4 9 1 y x x = + − : ( Viết ( ) ( ) ( ) 4 1 9 1 4 1 4 9 9 4 9 1 1 1 x x x x x x x x x x x x − + − + − + = + = + + + − − − ) 27. Chứng minh: a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b với a, b, c > 0 Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 3 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". b) 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c b c c a a b 28.Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: a) ( ) 1 1 4   + + ≥  ÷   a b a b b) ( ) 1 1 1 9   + + + + ≥  ÷   a b c a b c c) 2 2 2 + + ≥ + +a b c ab bc ca d) ( ) ( ) 2 2 2 9+ + + + ≥a b c a b c abc e) + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c f) 4 4 4 9 2 2 2 + + ≥ + + + + + + + +a b c a b c a b c a b c g) 1 1 1 + + ≥ + + a b c bc ca ab a b c 29. Cho 1 2 , , ., n a a a là các số thực dương thoả 1 2 . . 1= n a a a . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 . 1 2+ + + ≥ n n a a a 30. Cho x, y, z > 0. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + x y z x y z y z x y z x 31. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 8 . 729 x y y z z x xyz+ + + ≤ 32. Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 6+ + + + + ≤a b b c c a 33. Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh 1 1 1 3 2 2 2 + + +       + + ≥  ÷  ÷  ÷       n n n x y z 34. Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx 35. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + a b c a b c 36. Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 + + + ≥ + + + a b c d b c d a a b c d 37. Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 + + ≥ + +x y z x y z 38. Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3 3 2 3 17 18+ ≥x y xy 39. Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 3 6 1 4 + + − − ≤ + + + a b c d a b c d với 5, 4, 3, 6a b c d> − > − > > 40. Cho a, b, c > 0. Chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2   + + + + ≥ + +  ÷ + + +   a b c a b c a b b c c a 41. Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1 1 1 8      + + + ≥  ÷ ÷ ÷      x y z y z x 42. Chứng minh 2 2 3 2 2 x x x + ≥ ∀ ∈ + ¡ 43. Chứng minh 8 6 >1 1 x x x + ≥ ∀ − Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng4 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". 44. Cho n số 1 2 , , ., n a a a không âm thoả 1 2 . 1+ + + = n a a a . Chứng minh 1 2 1 3 1 1 . . . . 2 − − + + + ≤ n n n a a a a a a 45. Cho 3 số thực x, y, z thỏa 3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x . Chứng minh 2 3 4 2 3 2 2 6 4 6 − + − + − + + ≤ xy z yz x zx y xyz 46. Cho ( ) ( ) ( ) 4 5= + −f x x x với 4 5− ≤ ≤x . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN 47.Tìm GTNN của các hàm số sau: a) 3 ( ) = +f x x x với x > 0 b) 1 ( ) 1 = + − f x x x với x > 1 48. Cho 0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x . Tìm GTLN của ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3= − − +A y x y x 49. Tìm GTLN của biểu thức: 2 3 4− + − + − = ab c bc a ca b F abc với 3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a 50. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của 1 1 1 = + + + + + x y z P x y z (ĐHNT-1999) 51. Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + bc ca ab P a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000) 52. Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , , 0a b c > : a/ 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + b/ 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + c/ 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + d/ 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + e/ 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + f/ 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + g/ 3 3 3 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + 53. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + (ĐH 2005) 54. Cho , ,x y z là các số dương. Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3 1 ( ) 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + (ĐH 2006) 55. Giả sử ,x y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5 4 x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức 4 1 4 S x y = + (ĐH 2002) Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 5 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". 56. Cho , ,x y z là các số dương và 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (ĐH 2003) 57. Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + (ĐH 2005) 58. Chứng minh rằng với mọi x∈ ¡ thì 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       (ĐH 2005) 59. Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ (ĐH 2005) 60. Chứng minh rằng với mọi , 0x y > thì 2 9 (1 ) 1 1 256 y x x y     + + + ≥  ÷  ÷  ÷     (ĐH 2005) 61. Cho , ,x y z thỏa mãn 0x y z+ + = . Chứng minh 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ (ĐH 2005) 62. Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn 3 4 a b c+ + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (ĐH 2005) 63. Cho , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1 x y z− − − + + = . Chứng minh 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z y x z z x y+ + + + + + + ≥ + + + (ĐH 2006) 64. Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn điều kiện 4x y+ ≥ . Tìm GTNN của biểu thức 2 3 2 3 4 2 4 x y A x y + + = + (ĐH 2006) 65. Ba số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 3 a b c + + = . Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ (ĐH 2001) 66. Giả sử x và y là hai số dương và 1x y+ = . Tìm GTNN của 1 1 x y P x y = + − − (ĐH 2001) 67. Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thỏa mãn 2 2 ( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm GTLN của biểu thức 3 3 1 1 A x y = + (ĐH 2006) 68. Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì 1 4 x y y x− ≤ (ĐH 2006) 69. Cho , 0 1 a b a b >   + ≤  , tìm GTNN của 2 2 1 1 2 P ab a b = + + Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng6 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". 70. Cho , 0 1 a b a b >   + ≤  , tìm GTNN của 2 2 1 1 2 1 P ab a b = + + + 71. Cho , 0 1 a b a b >   + ≤  , tìm GTNN của biểu thức 2 2 1 1 4P ab ab a b = + + + . 72. Cho , 0 1 a b a b >   + ≤  , tìm GTNN của biểu thức 3 3 2 2 1 1 1 S a b a b ab = + + + . 73. Cho , , 0 3 a b c a b c >   + + =  . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 74. Cho , , 0 1 x y z xyz >   =  , chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + 75. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (ĐTK 2005) 76. Cho , , 0 1 a b c a b c >   + + ≤  , tìm GTNN của các biểu: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ab bc ca a b c S ab bc ca a b b c c a Q ab bc ca a bc b ca c ab = + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + 77. Cho 2 2 1u v+ = , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 25 2 u v u v     + + + ≥  ÷  ÷     . 78. Cho , ,a b c là các số dương. Tìm GTNN của: 3 3 3 3 3 3 a b c b c a Q a b c b c a + + = + + (ĐHQGHN 2001- 2002) 79. Cho , ,a b c dương thỏa 1abc = , tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) bc ca ab Q a b c b c a c a b = + + + + + (ĐH 2000 – 2001) 80. Cho , , 0 1 x y z x y >   + =  , tìm GTNN của 1 1 x y P x y = + − − (ĐHNT 2001 – 2002) 81. Cho , ,x y z là ba số dương và 1x y z+ + ≤ , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (ĐH 2003) 82. Cho , , .0 1 1 1 1 x y z x y z    + + ≤   , tìm GTLN của 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z = + + + + + + + + Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 7 Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn". 83. Cho , , 0 1 a b c abc >   =  ,chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 2 ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b + + ≥ + + + 84. Cho , , 0 1 a b c abc >   =  , tìm GTNN của 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) a b c P b c c a a b = + + + + + + + + 85. Cho , , , 0a b c d > , tìm GTNN của 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d P b c d c d a d a b a b c = + + + + + + + + + + + Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng8 . hieucqt@gmail.com Thân chào ! CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: 0a b a b≥. c d ≥  ⇒ + ≥ +  ≥  • 1 1 0a b a b ≥ > ⇒ ≤ b) Một số bất đẳng thức cơ bản • Bất đẳng thức AM-GM. Cho n số thực không âm 1 2 , , ., ( 2) n a a a n