Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 CHƯƠNG I: HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết 1.1 Định nghĩa: y  f  x  : Đặt tương ứng số thực x với số thực y thông qua quy tắc f 1.2 Miền xác định: D  giá trị x đảm bảo biểu thức f(x) cã nghÜa 1.3 1.4 1.5 Miền giá trị: G  giá trị y có từ x thông qua quy t¾c f(x) Tính đơn điệu, bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn Hàm ngược: y  f  x   x  f 1  y f x đơn điệu Bi tập 2.1 2.2 x 1 ; y   ln  2e  e 2x  3x  Hàm số sau có hàm ngược khơng: y  x  ln x ; y  x  3x  ; y  x  3x  3x  Tìm MXĐ: y  ln  ln 1  x   ; f  x   CHƯƠNG I: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết 1.1 Giới hạn Kí hiệu: L  lim f  x  ; L  lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  x  x a x a x a Các phép tốn: có lim f  x   m ; lim g  x   n x a x a lim f  x   g  x    lim f  x   lim g  x   m  n x a x a x a lim f  x  g  x    lim f  x  lim g  x   m n x a lim x a x a x a f x  m f  x  lim  x a   n  0 g  x  lim g  x  n x a lim f  x   x a g x  lim g  x  x a   lim f  x    x a   mn  m  0 Giới hạn số hàm bản: lim a x   a  1 x  lim a x  x    a  1 lim arccos x  lim ln x   x  x  lim arccos x   lim ln x   x 0 lim arcsin x    lim arc cot x   x  x 1 lim cot x   lim tan x   x 0 lim arccotx  x 1 x  x 1 2 lim arctan x    x  Không tồn giới hạn x   hàm số: sin x ,cos x , tan x ,cot x Giới hạn vô định lim x 0 sin x x  lim x 0 ln 1  x  x e x 1  1; x 0 x  lim u  u  x   x  thì: lim x 0 sin u u  lim ln 1  u  x 0 u eu 1 1 x 0 u  lim Một số cách tính giới hạn thơng dụng   (*) Dùng vô bé tương đương: sin x ~ x ; ln 1  x  ~ x ; e x  ~ x ;tan x ~ x ;arcsin x ~ x Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 f x   lim L g  x  x a g   x  f x  L  (*) Lopitan: lim x a   (*) Định lý kẹp: lim f  x   g  x  bị chặn hay g  x   M lim f  x  g  x   x a x a 1.2 Hàm số liên tục Với f  x  xác định D , xét x  D :  lim f  x   f  x  x x (*) f  x  liên tục x   o  lim f  x   lim f  x   x x 0 x x 0 (*) f  x  liên tục D  f  x  liên tục điểm x  D Bài tập 2.1 Bài tập giới hạn Thay VCB tương đương  sin 2x  4x  L1  lim  ln x  26 x 3 L4  lim x 3 ln  cos3x   ln  tan x   L5  lim   x 0  L10  lim  cot x    x  L3  lim  tan  x   cos x   1  L6  lim ln 1  x tan x  x  sin x x 0  L9  lim L11  lim sin  x  ln   x  L12  lim L13  lim x sin x 3x   8x x 0 x sin t dt L14  lim x 0  x x 0  ln  cos 2t dt  ln   cos t dt ln 1  tan 3x   3x 2 x e L15  lim   tan  2x  x 0 Kẹp Lũy thừa mũ L16  lim x x   cos x L19  lim  2x  2 x  L22  lim  tan 3x  x  L20  lim e  cos x  x x L23  lim  x  cos3x  3x    dt 3x  sin 5x L18  lim x  e 2x x 0 L24  lim  x   x x sin2 x x   Nhân  5x sin x  L25  lim x  2x  x L26  lim liên x  x 0 tan  x  ln  cos3x  hợp 2.2 Bài tập liên tục hàm số L27  lim  2x  1 x     sin x (2) f  x     e3   t2 x 0   ;x  1  x  cos (1) f  x    x 1  ;x   x e L21  lim  x cot x  x x x  x 0    L17  lim sin x   sin x x  x  4x  x  x   x  3x x  1 cos3x    sin x  x L8  lim   cot 3x  x 0 x 3x   x 3 sin x x3 x 0 sin 3x  2x  x 2 L7  lim ln x ln 1  x  x 0 Ứng dụng đạo hàm 1 x ln 1  x  L2  lim x 0  x arcsin  x2 ;x  ;x 0 4x  x3 x Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 3 ;x    x sin (3) y   x 1  ;x   (4) f  x   x 2 1  e x    4x 1cos2 x ; x  (5) y    a ;x 0    Tìm a để hàm số 5 liên ;x 3   x  3 arctan (7) f  x    x 3 tục  a ;x 3  x  ;x    x  sin (6) y   x 2  a ;x   CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết f x   f x0  f x   f x0  ; f   x 0   lim x x x x x  x0 x  x0 dy df  x  n  1.2 Kí hiệu đạo hàm y  f  x  : y   f   x   ; y , y , y   , y   , , y   , dx dx 1.1 Định nghĩa đạo hàm: f   x   lim  0 1.3 Công thức đạo hàm hàm số 1.4 Đạo hàm theo quy tắc Nếu có u  u  x  ; v  v  x  cho tồn u   x  ; v   x  thì: Với C số C0 Cu   Cu  uv   u v v u u v   u  v   u  u v v u v   v   1.5.Đạo hàm hàm hợp Nếu có hàm số biến u f u  , u hàm số x , tức u  u  x  thì: f x  df u  df u  du   f  u  u   x  dx du dx 1.6 Khai triển Taylor, Mac Laurin Tay lor: f  x   f  x   f  x0  1! x  x0   f   x  2! x  x0  f n   x  n   x  x   r x  n! f   c  n 1 n x  x  với c nằm x x r  x   o  x  x   r  x       n  1! n 1 Mac Laurin: f  x   f    f  0 1! r  x   o  x n  r  x   x f    2! x2  f    3! x   f n  0 n x  r x  n! f  n 1 c  n 1 x với c nằm x  n  1! 1.7 Vi phân Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 Xét y  f  x  có đạo hàm x (còn gọi khả vi x ) Khi đó: f   x   lim x x f x   f x0   f x   f x   x  x  f x   o x  x  x  x0 Vi phân hàm f  x  điểm x là: df  x    x  x  f   x  x  x  x ; f  x   f  x   f  x  thì: df  x   x f   x  y  f  x   x f   x   o  x  Tổng quát ta có: dy  df  x   x f   x  y  dy  o  x  dy điều giúp ta tính toán xấp xỉ Bài tập 2.1.Đạo hàm Dùng định nghĩa tìm cơng thức đạo hàm của: sin x ; cos x ; tan x ; arcsin x ; a x ; ln x ; loga x Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau c , f  x   x  ln 5x  b , y  x  sin x  a, y  f  x   x   x   1 5 4 ; x  1 ;x    x   arctan   x  1 cos e, y   d,y   x 1 2x   0 ; x  1 ;x  Chứng minh hàm số sau liên tục khơng có đạo hàm x a, f  x   x x 1 1 b , y  x  1arctan  x  1 , x0  , x0  Chứng minh hàm số có hàm ngược tính a, y  f  x   x  3x  6x  b , y  f  x   2x  cos x ; TÝnh f 1         1   TÝnh f     1  3 ;x    x  3 sin y  3x  ;x    arctan ;x   x  c , f x      ;x    c , y  f  x   2x  ln x 1 TÝnh f   e , y  f  x   3x  3cos  x   6  d , y  f  x    2x  x TÝnh f 1 TÝnh f   2 f , y  f  x   x  3x  3x      TÝnh f 1 Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm (1) y   3x 3 5  x   3x  x   2t dt  (4) y        (2) f  x   e (5) y    x  4x  1 x (3) f  x   e x   e t t  1dt x2  x x  x arctan    x arctan  ln x     1     4   x2  3 x  x 2 t  (6) y    e 2t  3dt    (9) y  2 x  arccos 3x (7) y   x 1  t dt  2x x 4x2  Khai triển Taylor, Mac Laurin  3 (8) y   x2  9t dt  3x Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 (2) f  x   ln 1  x  (1) y  e 2x 3x  Mac Laurin cấp   x 1 Mac Laurin cấp (3) f  x   ln x  5x  Mac Laurin cấp (4) y  4xe x  x  , Taylor bậc x  (5) y  x 3x  , Mac Laurin bậc (6) f  x   (7) y   x  1 arcsin  x  1 , Taylor bậc 1 (8) y   x  1 arctan  x  1 ,Taylor bậc e 6 x (9) y  , Mac Laurin cấp x  15x  26 (10) y   e sin x dx , Mac Laurin cấp 3x  , Taylor bâc 1 x  5x  3 x Ứng dụng phân tích kinh tế 1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q D  100  p Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá p  10 nêu ý nghĩa 2) Hàm cầu hàm cung người tiêu dùng loại sản phẩm Qd  54  p ;Qs  p  10 Tính hệ số co dãn hàm cung hàm cầu mức giá cân giải thích ý nghĩa 3) Một cơng ty độc quyền có hàm doanh thuTR  200Q  Q Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá p  50 giải thích ý nghĩa 5Q 4) Biết hàm tổng chi phíTC  5000  , Q sản lượng Tính hệ số co giãn TC theo Q Q 3 Q = 17 giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận 5) Ước lượng hàm sản suất cơng ty có dạng Q  90L  L   Cho biết giá sản phẩm 3, giá thuê đơn vị lao động chi phí cố định 100 000 Xác định mức sử dụng lao động L để công ty tối đa lợi nhuận 6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR  300  Q hàm tổng chi phí TC  2Q  30 Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận 7) Hàm cầu đối sản phẩm nhà độc quyền Q  80  0,2 p Hàm chi phí biên nhà sản suất mức sản lượng MC  3Q  20Q  200 Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức doanh nghiệp tối da lợi nhuận nêu ý nghĩa kinh tế kết nhận 8) Hàm cầu thị trường sản phẩm hãng độc quyền có dạng p  1400  4Q : a Tính hệ số co dãn cầu theo giá p  80 ý nghĩa b Biết hàm chi phí sản xuất hãng TC  Q  7Q  80Q  844 , xác định mức sản lượng tối đa lợi nhuận 2.2.Vi phân (1) Viết biểu thức vi phân hàm số sau: a, y  e 2x   2x  b , y  ln  x  1 3x  x  2   c , y  ln  tan 2x    (2) Cho hàm số f  x   3x  4x Tính df 1 trường hợp a , x  b , x  0,2 c , x  0,05 CHƯƠNG III: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ Winner - 2016 Hồng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 Tóm tắt lý thuyết 1.1 Hàm biến: z  f  x ; y  , n biến: w  f  x ; x ; ; x n  w  f x  x ; y   f x x  2w  2w  2w   ; w xy     Đạo hàm cấp 2, hỗn hợp cấp 2: w x2  w xx ; w yx x x y y x 1.3 Công thức định nghĩa: f  x ; y  với  x ; y  thuộc miền xác định 1.2 Đạo hàm riêng: w  f  x ; y ; z  : w x  f x ; y   f x0 ; y  x  x0 Riêng cấp f x  x ; y   lim Hỗn hợp cấp f xy  x ; y   lim x x y y f x0; y   f x0; y  y y y  y0 f   x ; y   f y  x ; y  f yx  x ; y   lim y x x x  x0 f y  x ; y   lim f x  x ; y   f x  x ; y  y  y0 1.4 Vi phân toàn phần hàm w  w  x ; y ; z  Cấp dw  w x dx w y dy w zdz 1.5 Hàm ẩn Hàm Cấp d w  w x dx  w y dy  w z dz  2w xy dxdy  2w xz dxdz  2w yz dydz 2 2 2 Đạo hàm Phương trình xác định y  y x  F x ; y   y x    z  z x ; y  F x ; y ;z   z x     F F x ; y   x    y   x     x   F F y y    F x  F y  F x  F x    ; z   ; z x     ; z xy      F F z y F z  F z  x  y y 1.6.Cực trị w  w  x ; y ; z  Cực trị tự Hàm số w x ; y  w x ; y ;z  Điều kiện cần Đạo hàm bậc a11  w x2  w x   M  x ; y  a22  w y2   w   y   a12  a21  w xy w x   w y     w z   M x0; y 0;z  Điều kiện đủ Cực đại a11  a11  a a a a  a11a22  a12a21  11 22 12 21  a11 a12 a13  D1  0; D  0; H   a21 a22 a23  D  k a   31 a32 a33   1 D k   ; k  1,2,3 a11  w x2 ;a12  w xy Cực tiểu D1  0; D  0; D3  Dk  k  1,2,3 Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 Cực trị với điều kiện (*)Hàm Lagrange Hàm số (*)Điều kiện cần (*)L  w  x ; y   Đạo hàm bậc   b  g  x ; y  w x ; y   g1 g  H   g L11 L12  g L L22   21 g  g x ; g  g y Lx   (*) L y   M  x ; y     L  g x ; y   b Điều kiện đủ Cực đại Cực tiểu H 0 H 0 L11  Lx ; L12  Lxy víi   0 2 Bài tập 2.1.Đạo hàm riêng  3y   x  (2)w   x  y  f  x g   x y   4y  (3) Cho f  x  khả vi x f 1  1  1; f   1  Xét hàm số    (1)w  x  y f x  y Dạng  w   2x  3y  f  x  y  Hãy tính đạo hàm riêng cấp 2:  2w  0; 1 x y x y u u (5) u  f  ;tan  cmr: x y 0 x x y y (6) Cho f u ;v  thỏa mãn f 1;0   f u 1;0   2; fv 1;0   1 (4)w  e 3x y  5zx   y x Tính w  1;2;0  y y x  w  x y f  ;sin  Tính: w x  2;2  2x  y  x (1) f  x ; y   y  Tính f y 1;3 (2) f  x ; y   y 3  x Tính f x  2;1 x 2y 1  ; x ; y   : x  x y  arctan x (3) w   Tính f x  0;3 ; f y  0;3  ; x ; y   ;x     x  xy  y ;x  y   2 Dạng (4) f  x ; y    x  y  ;x  y     xy 2x  y  ;x  y  (5) f  x    x  y  ;x  y   Tính f xy  0;0  Tính f x  0;0  , f y  0;0   x  xy  y ;x  y   2 (6) f  x ; y    x  y  ;x  y   Tính f x  x ; y   x  2y ;x  y   2 (7) f  x ; y    y  3x  ;x  y   Tính f xy  x ; y  2.2.Vi phân toàn phần Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau 1) z   5x   3x  y  2)w  y  3arc cot x  y  5x  5z  3)w     2y  sin y Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 x z 4) z  z  x ; y  xác định  ln  z y 5) z  z  x ; y  xác định z  e y sin 6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp F  x ; y    3y  8x  4x  y x  2y z 7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp z  z  x ; y  xác định x  y  z  x  y  4z  0 2.3.Cực trị Cực trị tự a , u  3x  y  5z  4xz  6x  y  15 c, w  4x  y  5z  4xy  12 y  15z  e , z  y  8xy  4x  13 g , z  z  x ; y   z  1 xác định bởi: b , w  3x  3y  11z  6xz  12x  12 y  20z  d , u  x  y  9z  yz  6x  8z  f , z  y  12xy  6x  11 h , z  z  x ; y   z  1 xác định phương trình: x  3y  z  2x  12 y  15z  27  x  3y  z  2x  12 y  2z  14  Cực trị kèm điều kiện 1) w  x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x  y  656 1 1 3) z   điều kiện   x y x y 2) w  x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x  5y  280 4) z  2x  y  2xy  3x  y ; x  y  2.4.Ứng dụng phân tích kinh tế Hàm sản xuất Cực trị tự Mô ̣t doanh nghiê ̣p có hàm sản xuấ t Q  K L a Đánh giá hiệu theo quy mô doanh nghiệp b Hãy tính sản phẩ m hiê ̣n vâ ̣t câ ̣n biên của tư bản và lao đô ̣ng ta ̣i mức L  16; K  giải thích ý nghĩa 2 Cho hàm sản xuất Q  65K L3 a Tính sản phẩm vật cận biên theo vốn lao động mức K = 64, L = 125 cho biết ý nghĩa kinh tế b b Nếu giá đơn vị tư K 16$ giá đơn vị lao động L 7$ doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức k = 64, L = 125 doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị tư hay đơn vị lao động ngày? Vì sao? Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh là:TC  7Q12  2Q 22  5Q1Q Biết giá sản phẩm tương ứng p1  65, p  45 Hãy định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí: TC  Q12  2Q1Q  Q 22  40 Cầu thị trường xác sản phẩm sau Q1  35  0,5 p1 ; Q  40  p Hãy chọn mức sản lượng kết hợp giá bán cho lợi nhuận tối đa Tại điểm tối đa hóa lợi nhuận, giả sản phẩm tăng 3% cầu sản phẩm thay đổi nào? Một doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất kết hoạp loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợpTC  Q12  2Q 22  Q 32  Q1Q  2Q 2Q Hãy chọn kết hợp sản lượng cho lợi nhuận tối đa giá sản phẩm p1  20$; p  28$; p  26$ Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường khác (Được phép phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: Winner - 2016 Hồng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 MC  3,5  0,1Q ; Q  Q1  Q  Và cầu thị trường sản phẩm: p1  24  0,3Q1 p  18  0,15Q Xác định giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa Cho hàm lơ ̣i ích của hô ̣ gia đình tiêu dùng loa ̣i hàng hoá U  10x 0,6 y 0,4 đó x là lươ ̣ng hàng hoá thứ nhấ t, y là lươ ̣ng hàng hoá thứ Trong điề u kiê ̣n giá của hàng hoá thứ nhấ t là 10$, giá của hàng hoá thứ là 3$ và thu nhâ ̣p dành cho tiêu dùng là 3000$ Hãy xác định cấ u tiêu dùng tố i đa hoá lơ ̣i ić h và xác định mức lơ ̣i ić h tố i ưu tăng thêm lươ ̣ng tiề n dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và tăng 1%) Cực trị điều kiện Cho hàm lơ ̣i ích U  20x y với x,y lầ n lươ ̣t là lươ ̣ng cầ u của hàng hóa và Biế t giá mỗi đơn vi ̣hàng hóa lầ n lươ ̣t là $8 và $4 Hãy tìm lươ ̣ng cầ n x,y để người tiêu dùng tố i thiể u hóa chi tiêu của mình với lơ ̣i ić h không đổ i là 400 Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  120K 0,7 L0,4 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q  4000 đơn vị sản phẩm Cho biết giá thuê tư lao động w K  16 ; w L  14 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  20K 0,4 L0,4 Giả sử giá thuê đơn vị tư $10, giá thuê đơn vị lao động $8 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp có sản lượng cực đại Khi ngân sách sản xuất tăng 3% sản lượng cực đại thay đổi nào? CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN Tóm tắt lý thuyết b 1.1.Tích phân:  f  x  dx ;  f  x  dx a x 1.2.Hàm cận trên: có f  x   F   x  thì: F  x    f t  dt ; với u  u  x  F u   a b u x  a f t dt 1.3.Định lý giá trị trung bình:  f  x  dx  f  c b  a  c giá trị nằm a, b a 1.4.Bảng nguyên hàm  kdx  kx  C   x dx  u  u  x  ; du  u dx x  1  C   1  1   u du  u  1 C  1  du  u C u du  u  ln u  C au u a du  C  ln a  sin udu   cosu  C  cos xdx  sin x  C  tan xdx   ln cos x  cosudu  sin u  C  tan udu   ln cosu  C dx  x C x dx   ln x  C x ax C  a x dx  ln a  sin xdx   cos x  C  C Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312  cot xdx  ln sin x 10  11  dx 1 x dx  cot udu  ln sin u  C C  arcsin x  C   ln x  x  b  C  1u  arcsin u  C du  ln u  u  b  C u b du   u  arctanu  C x b dx 12   arctan x  C 1 x 2 du 1.5.Các dạng tích phân thơng dụng Cơng thức tích phân phần: Đặc điểm u  P  x  đa thức Bất định  b b b a udv  uv a  a vdu  udv  uv  vdu v  sin ax ; cos ax ; e ax ; ln ax ; arctan ax  Đổi biến: t  Xác định  ax  b ; ax  b ; b Công thức cận: F   x   f  x    f  x  dx  F  x  a b  F b   F a  a 1.6.Tích phân suy rộng, hội tụ, phân kì Bài tập Phân thức 1) Lượng giác 1) 1) Căn thức dx 4x  5x  dx cos x 2) dx  6x 1  3x  2) cos4 x dx x  4x  2x   x b ,   3x  1 cos  3x  dx d , e,  1) x2 dx x 4x  5x  x 4)  x 2e dx  7)  e 2 x cos 2xdx  x2 arctan x x dx dx  xdx 4x  20x  26  2)   5)  dx x  2  x   8)   3x   sin 5xdx 10 2sin x  cos x  dx x  x  2 a ,   7x  1 e 3x 1dx dx dx 1 5) ln  2x  5 3)  4) x  x dx Suy rộng Tính cho biết tích phân sau hội tụ hay phân kì 3) dx Từng phần xdx x  5x  3) dx 2) 5  4x  x dx 6) x 4x  c ,  e 3x sin 2xdx  f ,4 x    3)   x  e dx x x dx x  3x  4  6)  e  x cos 2xdx  9)  ln  5x   x2 dx Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312 CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tóm tắt lý thuyết 1.1.Phương trình vi phân : F  x ; y ; y ; y ;dy ;dx   1.2.Nghiệm tổng quát tích phân tổng quát y  y  x   C =>Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (Rút y theo x)   x ; y   C =>Tích phân tổng quát phương trình vi phân (Khơng rút y theo x) 1.3.Một số dạng phương trình vi phân cấp giải Phương trình Dạng Cách xử lý f  x  dx  g  y  dy Phân ly biến Lấy tích phân vế Đưa phân ly dy  f ax  by  dx dy  f x ; y   f dx dz dy  a b dx dx dy dz Đặt y  zx  z x dx dx M y  N x Đặt z  ax  by   y  1; x    Tích phân tổng quát:   x ; y   C với: y x   x ; y    M  x ; y  dx   N  x ; y  dx Vi phân toàn phần x0 M  x ; y  dx  N  x ; y  dy  y0 x y x0 y0   M  x ; y  dx   N  x ; y  dy M y  N x f  x dx  f x   p x   e  N  M y  N x  f  y dy  f y   p y  e  M Thừa số tích phân Tuyến tính y   p x  y  q x  Bernoulli y   p  x  y  y  q  x   1 Biến thiên số Đưa tuyến tính cách: y  p  x  y 1  q  x   y Rồi đặt z  z  x   y 1 Bài tập Phân ly biến (tách biến) xy  1 1)  y 2x  Đưa phân ly biến a , y   sin  2x  y  dy 2x  y  dx x  y g ,  3x  y  dx   x  y  dy  d, 2) y   3x y  4x y   3) x  3x  y   y  y  x  1 c ,  2x  y  3 dx   x  3y  1 dy  b , y   4x  y dy f ,  x  6xy  y   3y  5x  2xy e ,  8x  y  1 dx h ,  y  6x  3 dx   3x  y   dy  Phương trình vi phân tồn phần 11 Winner - 2016 Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312   x 1, xy  x y  dx   x y   y   dy    2 2x y  3x 3, dx  dy      2x  2,  2xy   dx   x   dy  y  y       4, 2xydx  x  y dy  thỏa y  1; x  y y 5,  y   x  y  ln  x  y   dx  x   x  y  ln  x  y   dy  Thừa số tích phân   2,  3x  1 y   4x  5y 1, ydx  x  y dy   4, 2xydx  y  x dy  5, dy  xy  dx x    y2 3,  2x   3x  dx   xy  y  dy    6, y cos xydx   y  xy cos xy dy  Phương trình tuyến tính 1) y   y x 1    x  x  ln 3x 4) y   y  x  x x 7)  3x  1 y   4x  5y 2) xy   y  x 2e x 5) y   y  2  x  e x x dy  xy 8)  dx x  3) x dy    x  y   x  x e x dx   6) x  3x  y   y  y  x  1 9) y   2x  y  2x  x  6x  13 Phương trình Bernoulli 1) y y   7xy  2x 4) y   y 2e x  y  dy 7)  3y tan 3x  y  2x  5 cos3x dx 9) y ln x x x 5) 3y y   y  x  2) y   2y  3) y   3x y  4x y 6) xy   y  x y   8) y  x dx   y  6xy  dy  dy  y tan 2x   cos2x  dx 12 ... x 2  w x   M  x ; y  a 22  w y 2   w   y   a 12  a21  w xy w x   w y     w z   M x0; y 0;z  Điều kiện đủ Cực đại a11  a11  a a a a  a11a 22  a12a21  11 22 12. .. hoạp loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợpTC  Q 12  2Q 22  Q 32  Q1Q  2Q 2Q Hãy chọn kết hợp sản lượng cho lợi nhuận tối đa giá sản phẩm p1  20 $; p  28 $; p  26 $ Một công ty độc quyền... 12 21  a11 a 12 a13  D1  0; D  0; H   a21 a 22 a23  D  k a   31 a 32 a33   1 D k   ; k  1 ,2, 3 a11  w x 2 ;a 12  w xy Cực tiểu D1  0; D  0; D3  Dk  k  1 ,2, 3 Winner - 20 16