TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— VŨ THỊ ĐỊNH TÍNH COMPACT VÀ SỰ HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN CÁC HÀM GIẢI TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN HÀ NỘI, 5/2014 Lời Cảm Ơn Bài khóa luận hồn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Th.S Hồng Ngọc Tuấn Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy tổ Giải tích thầy khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội II giúp đỡ em trình học tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn người dành cho em hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo bảo cho em suốt trình học tập nghiên cứu thực khóa luận Dù cố gắng, lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học lực hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót Em mong muốn nhận bảo, đóng góp q thầy khóa luận tốt Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Định i Lời Cam Đoan Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng, nỗ lực thân hướng dẫn nhiệt tình bảo thầy giáo Th.S Hồng Ngọc Tuấn em hồn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận thân nghiên cứu với hướng dẫn thầy giáo Th.S Hồng Ngọc Tuấn khơng trùng với đề tài Hà nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Định ii Mục lục Lời Mở Đầu iv Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Hệ thống số phức 1.2 Topo mặt phẳng phức 1.3 Hàm giải tích 1.4 Hàm phân hình 1.5 Tích phân phức 1.6 Nguyên lí modun cực đại Tính Compact Và Sự Hội Tụ Trong Không Gian Hàm Giải Tích 2.1 Khơng gian hàm liên tục C(G,Ω) 2.2 Không gian hàm giải tích 2.3 Không gian hàm phân hình 2.4 Định lý ánh xạ Riemann 2.5 Định lý thừa số Weierstrass 2.6 Nhân tử hóa hàm sin 2.7 Hàm Gamma Tài liệu tham khảo 1 Các 11 11 20 23 26 30 39 40 52 iii Lời Mở Đầu Lí chọn đề tài Giải tích hàm có tầm quan trọng toán học ứng dụng Nội dung phong phú, đa dạng Do kiến thức lớp với thời lượng eo hẹp nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn này, góc độ sinh viên sư phạm toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp với giúp đỡ thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày kiến thức đề tài Tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng : Tính compact hội tụ Phạm vi : Những kiến thức liên quan đến tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận tìm hiểu tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu tham khảo, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu iv Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Hệ thống số phức Định nghĩa 1.1 Định nghĩa C, số phức tập tất cặp có thứ tự (a, b) a b số thực phép cộng phép nhân định nghĩa bằng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad) Dễ dàng kiểm tra định nghĩa C thỏa mãn tiên đề trường số phức Đó là, C thỏa mãn tính chất kết hợp, giao hoán, luật phân phối phép nhân phép cộng; (0, 0) (1, 0) đồng thức cho phép cộng phép nhân, có tính cộng nhân ứng với phần tử khác không C Số phức viết (a, 0) Ánh xạ từ a → (a, 0) xác định phép đẳng cấu trường R vào C nên ta xét R tập C Nếu ta đặt i = (0, 1) (a, b) = a + bi Từ điểm ta bỏ cặp kí hiệu đặt số phức Chú ý i2 = −1, phương trình z + = có C Thực ra, với z ∈ C, z + = (z + i)(z − i) Khái quát hơn, z ω số phức ta z + ω = (z + iω)(z − iω) Cho z ω số thực; a b số thực, ta có a − ib a b = = − i , a + ib a + b2 a2 + b2 a2 + b Khóa luận tốt nghiệp nên công thức với phần tử nghịch đảo số phức Khi ta viết z = a + ib (a, b ∈ R), ta gọi a b phần thực phần ảo z kí hiệu a = Rez, b = Imz Ta kết thúc phần cách giới thiệu hai phép tốn C khơng phép tốn trường Nếu z = x + iy (x, y ∈ R) ta định nghĩa |z| = x2 + y giá trị tuyệt đối z z = x − iy liên hợp z Lưu ý |z|2 = zz Đặc biệt, z = z = z |z| Sau tính chất giá trị tuyêt đối liên hợp số phức: Rez = 21 (z + z) Imz = 12 (z − z), z + w = z + w zw = zw, |zw| = |z||w|, z w = |z| |w| , |z| = |z| 1.2 Topo mặt phẳng phức Vì mặt phẳng phức C đồng với R qua ánh xạ z → (Rez, Imz) nên topo mặt phẳng phức C topo R Vì vậy, ta nêu số kiến thức liên quan đến topo R sau Định nghĩa 1.2 Định nghĩa không gian metric Khơng gian metric cặp (X, ρ), X tập ρ : X × X :→ R hàm số xác định X × X , gọi metric, thỏa mãn điều kiện sau: ρ(x, y) ≥ 0, với ∀x, y ∈ X , ρ(x, y) = ⇔ x = y , ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y ∈ X , Vũ Thị Định K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với ∀x, y, z ∈ X Mỗi phần tử X gọi điểm X ; ρ(x, y) khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.3 Nếu x ∈ X r > cố định định nghĩa B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} B(x; r) B(x; r) tương ứng gọi hình cầu mở đóng, với tâm x, bán kính r Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric (X, ρ) Tập G ⊂ X tập mở với x ∈ G có ε > cho B(x; ε) ⊂ G Mệnh đề 1.1 Cho (X, ρ) khơng gian metric; a) Tập X ∅ tập mở; n b) Nếu G1 , , Gn tập mở X có Gk ; k=1 c) Nếu {Gj : j ∈ J} tập tập hợp mở X , J tập hợp số bất kì, G = {Gj : j ∈ J} mở Định nghĩa 1.5 Tập F ⊂ X đóng X \ F mở Mệnh đề 1.2 Cho (X, ρ) không gian metric Thế a) Tập X ∅ đóng; n Fk tập đóng; b) Nếu F1 , , Fn tập đóng X k=1 c) Nếu {Fj : j ∈ J} tập tập hợp đóng X , J tập hợp số bất kì, F = {Fj : j ∈ J} đóng Định nghĩa 1.6 Cho A ⊂ X tập hợp X phần A, hợp tất tập mở A, kí hiệu intA Bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu A− Nếu A = {a + bi : a, b ∈ R} lúc A− = C intA = ∅ Bằng Mệnh đề 1.1 1.2 ta có A− đóng intA mở Biên A xác định ∂A định nghĩa ∂A = A− (X \ A)− Vũ Thị Định K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Định lý 1.1 Cho (X, ρ) khơng gian metric; phát biểu sau tương đương: X compact; Mỗi tập vơ hạn X có điểm giới hạn; X dãy compact; X đầy với > có số hữu hạn điểm x1 , , xn X cho n B(xk ; ) X= k=1 Định nghĩa 1.7 Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với > có số nguyên N cho d(xn , xm ) < với n, m ≥ N Nếu khơng gian metric (X, ρ) có tính chất mà dãy Cauchy có giới hạn X khơng gian metric (X, ρ) đầy 1.3 Hàm giải tích Mệnh đề 1.3 Nếu an hội tụ tuyệt đối an hội tụ Định nghĩa 1.8 Nếu G tập mở C f : G → C f khả vi điểm a ∈ G f (a + h) − f (a) h→0 h lim tồn tại; giá trị giới hạn xác định f (a) gọi đạo hàm hàm f a Nếu f khả vi điểm G ta nói f khả vi G Nếu f khả vi G hàm f (a) định nghĩa f : G → C Nếu f liên tục ta nói f khả vi liên tục Mệnh đề 1.4 Nếu f : G → C khả vi điểm a ∈ G f liên tục a Định nghĩa 1.9 Hàm f : G → C giải tích f khả vi liên tục G Vũ Thị Định K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp ∞ an (z − an )n có bán kính hội tụ R > Mệnh đề 1.5 Nếu chuỗi ∞ n=0 an (z − an )n giải tích B(a; R) f (z) = n=0 Mệnh đề 1.6 Cho G Ω tập mở C Giả sử f : G → C g : Ω → C hàm liên tục cho f (G) ⊂ Ω g(f (z)) = z với z ∈ G Nếu g khả vi g (z) = 0, f khả vi f (z) = Nếu g giải tích f giải tích g (f (z)) Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa không gian C∞ ) Trong giải tích phức ta quan tâm tới hàm trở nên vô hạn biến tiến đến điểm định Để thảo luận vấn đề ta đưa mặt phẳng mở rộng C ∪ {∞} ≡ C∞ Ta muốn đưa vào hàm khoảng cách C∞ nhằm thảo luận tính chất liên tục hàm, giả sử hàm có giá trị vơ hạn Để thực điều hình ảnh cụ thể C∞ , ta biểu diễn C∞ hình cầu đơn vị R3 , S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 1} Để tránh nhầm lẫn B(a; r) dùng để hình cầu C B∞ (a; r) để hình cầu C∞ Mệnh đề 1.7 (a) Nếu a ∈ C r > có số ρ > cho B∞ (a; ρ) ⊂ B(a; r) (b) Ngược lại, ρ > a ∈ C có số r > cho B(a, r) ⊂ B∞ (a; ρ) (c) Nếu ρ > có tập compact K ⊂ C cho C∞ − K ⊂ B∞ (∞; ρ) (d) Ngược lại, tập compact K ⊂ C, có số ρ > cho B∞ (∞; ρ) ⊂ C∞ − K 1.4 Hàm phân hình Định nghĩa 1.11 Hàm f có điểm kì dị lập z = a có R > cho f xác định giải tích B(a; R) − {a} không xác Vũ Thị Định K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp phương trình có nghĩa Mặt khác (2.22) (2.27) suy ∞ zn − ωn log En z − ωn n=1 ∞ ≤ log n=1 ∞ ≤ n=1 ∞ ≤ n=1 zn − ωn z − ωn zn − ωn En −1 z − ωn n+1 δ δ = 21 − δ với |z| ≥ R1 Nếu ta tiếp tục thu hẹp δ để |eω − 1| < ε δ2 1−δ |ω| < , từ phương trình (2.28) suy |f (z) − 1| < ε |z| ≥ R1 Tức là, lim f (z) = z→∞ Hệ 2.10 Nếu f hàm phân hình tập mở G có g hàm giải tích g h G cho f = h 2.6 Nhân tử hóa hàm sin Trong phần ứng dụng Định lí Weierstrass cho sin πz nêu Nếu tổng vô hạn tích số cho sau dấu phẩy (nháy đơn) (nghĩa ), tổng tích thực tất số n ngoại trừ n = Ví dụ ∞ ∞ an = n=−∞ ∞ a−n + n=1 an n=1 Không điểm sin πz = 2i1 (eiπz − e−iπz ) số nguyên; nữa, không điểm đơn Vì ∞ n=−∞ Vũ Thị Định r n 39 0, từ (2.23) chọn pn = với n Định lí thừa số Weierstrass Do ∞ 1− sin πz = [exp(g(z))] z n=−∞ z z en ; n hoặc, điều kiện tích vơ hạn xếp lại ∞ sin πz = [exp(g(z))] z n=1 z2 1− n (2.29) với hàm nguyên g(z) Nếu f (z) = sin πz thì, theo Bổ đề 2.1 ∞ f (z) 2n π cot πz = = g (z) + + f (z) z n=1 z − n2 hội tụ tập compact mặt phẳng khơng chứa số ngun Lại có ∞ 2z π cot πz = + z n=1 z − n2 với z không số nguyên Vậy phải có g số g(z) = a ∀z Nên từ (2.29), với < |z| < ∞ ea z2 sin πz = (1 − ) πz π n=1 n Cho z tiến dần tới số không nên ea = π Ta : ∞ (1 − sin πz = πz n=1 z2 ) n (2.30) hội tụ tập compact C 2.7 Hàm Gamma Cho G tập mở mặt phẳng cho {fn } chuỗi hàm giải tích G Nếu {fn } hội tụ H(G) đến f f không đồng khơng, ta thấy fn hội tụ đến f M (G) Vì d(z1 , z2 ) = Vũ Thị Định 40 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1 , , d metric cầu trên C∞ , hội tụ z1 z2 fn 1 đến M (G) Ta thấy khơng khó để chứng tỏ hội f fn tụ đến tập compact K mà khơng làm fn bị triệt f tiêu Vì, theo Định lí 2.6, tích vơ hạn d ∞ z −z en n 1+ n=1 hội tụ H(C) đến toàn hàm ngun mà có khơng điểm đơn z = −1, −2, , thảo luận dẫn tới ∞ 1+ n=1 z n −1 z en (2.31) hội tụ tập hợp compact C − {−1, −2, } đến hàm với cực điểm đơn z = −1, −2, Định nghĩa 2.10 Hàm gamma, Γ(z), hàm phân hình C với cực điểm đơn z = −1, −2, xác định e−γz Γ(z) = z ∞ 1+ n=1 −1 z n z en , (2.32) γ số chọn cho Γ(1) = Đầu tiên ta phải chứng tỏ số γ tồn tại; điều dễ nhận thấy Thế z = vào (2.31) ta số hữu hạn ∞ c= n=1 1+ n −1 en mà rõ ràng số dương Cho γ = log c; dẫn tới với cách chọn γ , phương trình (2.32) với z = suy Γ(1) = Hằng số gọi số Euler thỏa mãn ∞ γ e = n=1 Vũ Thị Định 1+ n 41 −1 en (2.33) K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Vì vế (2.33) gồm số thực dương hàm thực logarit liên tục, ta logarit hai vế (2.33) có ∞ 1+ k log γ = k=1 ∞ = k=1 ek − log(k + 1) + log k k ∞ = lim n→∞ −1 k=1 = lim − log(k + 1) + log k k 1+ n→∞ 1 + ··· + n − log(n + 1) Cộng trừ log n cho số hạng dãy sử dụng lim log = suy γ = lim n→∞ 1+ 1 + ··· + n − log n n+1 n (2.34) Cơng thức cuối để tính gần γ Phương trình (2.34) dùng để nhận biểu thức khác cho Γ(z) Từ định nghĩa Γ(z) suy n e−γz z Γ(z) = lim 1+ z n→∞ k=1 k n −1 z ek z ke k e−γz = lim z n→∞ k=1 z + k e−γz n! 1 = lim exp z + + · · · + n→∞ z(z + 1) (z + zn ) z n Tuy nhiên e−γz exp + ··· + 1 z = n2 exp z −γ + + + · · · + − log n n n Công thức Gauss Cho z = 0, −1, n!nz Γ(z) = lim n→∞ z(z + 1) (z + n) Vũ Thị Định 42 (2.35) K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Cơng thức Gauss cho phép lấy đạo hàm đơn phương trình hàm thỏa mãn hàm Gamma Phương trình Hàm Cho z = 0, −1, Γ(z + 1) = zΓ(z) (2.36) Để phương trình đạt ta lấy z + thay cho z (2.35) suy n!z n+1 Γ(z + 1) = lim n→∞ (z + 1) (n + z + 1) n n!nz = z lim n→∞ z(z + 1) (z + n) z + n + = zΓ(z) n =1 n+z+1 Xét Γ(z +2); ta có Γ(z +2) = Γ((z +1)+1) = (z +1)Γ(z +1) phương trình hàm Áp dụng (2.36) suy Γ(z + 2) = z(z + 1)Γ(z) Ta lặp lặp lại trình Vì lim Γ(z + n) = z(z + 1) (z + n − 1)Γ(z) (2.37) với n số nguyên không âm z = 0, −1, Đặc biệt cho z = ta Γ(n + 1) = n! (2.38) Tức là, hàm Γ hàm giải tích nửa mặt phẳng bên phải phù hợp với hàm giai thừa số nguyên Do ta xét xem hàm gamma mở rộng giai thừa đến mặt phẳng phức; lần lượt, z = −1, −2, đặt z! = Γ(z + 1) định nghĩa phù hợp z! Khi đó, Γ có cực điểm đơn z = 0, −1, ; ta tìm thặng dư Γ cực điểm Lại có Res(Γ; −n) = lim (z + n)Γ(z) z → −n với số nguyên n không âm Nhưng từ (2.37) (z + n)Γ(z) = Vũ Thị Định Γ(z + n + 1) z(z + 1) (z + n − 1) 43 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Cho z ≈ −n suy (−1)n Res(Γ; −n) = , n ≥ n! Ta tính (2.39) Γ Γ ∞ Γ (z) z = −γ − + Γ(z) z n=1 n(n + z) (2.40) với z = 0, −1, hội tụ tập hợp compact C − {0, −1, } Cho nên từ Định Lí 2.2 ta tính đạo hàm Γ , ta lấy vi phân chuỗi (2.40) số hạng số hạng Do Γ z khơng phải số nguyên âm Γ (z) Γ(z) ∞ 1 = 2+ z (n + z) n=1 (2.41) Nhận xét định nghĩa Γ(z) cho Γ(x) > x > Do đó, log Γ(x) định nghĩa với x > và, theo công thức (2.41), đạo hàm thứ hai log Γ(x) dương Mệnh đề hàm gamma hàm mũ lồi (0, ∞); tức là, log Γ(x) lồi Như tính chất với phương trình hàm Γ(1) = mô tả cách đầy đủ hàm gamma Định lý 2.12 (Định lý Bohr-Mollerup)Cho f hàm xác định (0, ∞) cho f (x) > với x > Giả sử f có tính chất sau: (a) log f (x) hàm lồi; (b) f (x + 1) = xf (x) với ∀x; (c) f (1) = f (x) = Γ(x) ∀x Chứng minh Đầu tiên thấy rằng, f có tính chất (b) (c), nên thỏa mãn f (x + n) = x(x + 1) (x + n − 1)f (x) Vũ Thị Định 44 (2.42) K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp cho số nguyên n không âm Vậy f (x) = Γ(x), ≤ x ≤ 1, phương trình cho ta thấy f Γ trùng Cho ≤ z ≤ cho n số nguyên lớn hai Ta có log f (x + n) − log f (n) log f (n − 1) − log f (n) ≤ (n − 1) − n (x + n) − n log f (n + 1) − log f (n) ≤ (n + 1) − n Vì (2.42) nên ta có f (m) = (m − 1)! với số nguyên m ≥ Do bất đẳng thức trở thành f (x + n) − log(n − 1)! x ≤ log n! − log(n − 1)!; − log(n − 2)! + log(n − 1)! ≤ x log(n − 1) ≤ log f (x + n) − log(n − 1)! ≤ x log n Cộng log(n − 1)! vào bên bất đẩng thức áp dụng hàm mũ exp (exp hàm đơn điệu tăng bất đẳng thức bảo toàn) nên suy (n − 1)x (n − 1)! ≤ f (x + n) ≤ nx (n − 1)! Áp dụng (2.42) để tính tốn f (x + n) ta nx (n − 1)! (n − 1)x (n − 1)! ≤ f (x) ≤ x(x + 1) (x + n − 1) x(x + 1) (x + n − 1) nx n! x+n = · x(x + 1) (x + n) n Vì số hạng để bất đẳng thức kẹp trên, f (x), không nâng lên lũy thừa n số nguyên bất đẳng thức với số nguyên n ≥ 2, nên ta biến đổi số nguyên: vế trái vế phải độc lập với bảo toàn bất đẳng thức Đặc biệt, n − cho n vế trái để vế phải khơng thay đổi Suy nx n! nx n! x+n ≤ f (x) ≤ · x(x + 1) (x + n) x(x + 1) (x + n) n Vũ Thị Định 45 K36C SP Toán Khóa luận tốt nghiệp với n ≥ x ∈ [0; 1) Bây có giới hạn n → ∞ Vì x+n ) = 1, cơng thức Gauss nghĩa Γ(x) = f (x), < x ≤ lim( n Kết nhận áp dụng (2.42) phương trình hàm Định lý 2.13 Nếu Rez > ∞ e−t tz−1 dt Γ(z) = Bổ đề 2.8 Cho S = {z : a ≤ Rez ≤ A} < a < A < ∞ (a) Với ε > có δ > cho với a ∈ S β e−t tz−1 dt < ε < α < β < δ α (b) Với ε > có số κ cho với z ∈ S β e−t tz−1 dt < ε β > α > κ α Chứng minh Chứng minh (a), ý < t ≤ z ∈ S (Rez − 1) log t ≤ (a − 1) log t; e−t ≤ 1, |e−t tz−1 | ≤ tRez−1 ≤ ta−1 Vậy < α < β < β β ta−1 dt = (β a − αa ), ∀z ∈ S a e−t tz−1 dt ≤ α α Nếu ε > ta chọn δ, < δ < 1, cho a−1 (β a − αa ) < ε với |α − β| < δ Chứng minh phần (a) Để chứng minh phần (b) ý với z ∈ S t ≥ 1, |tz−1 | ≤ tA−1 Vì tA−1 exp(− 12 ) liên tục [1, ∞) hội tụ đến số khơng t → ∞, có số c cho tA−1 exp(− 12 ) ≤ c với t ≥ Nên suy |e−t tz−1 | ≤ ce− Vũ Thị Định 46 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp với z ∈ S t ≥ Nếu β > α > β β α 1 e− t = 2c e− α − e− β e−t tz−1 dt ≤ c α 1 Lại có, với > có số κ > cho 2c e− α − e− β < α, β > κ, phần (b) Kết bổ đề trước tiêu biểu cho khái niệm xác tích phân hội tụ Thực ta xét tích phân e−t tz−1 dt với < α < 1, α phần (a) Bổ Đề 2.8 nói tích phân thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy α → Tức là, hai hiệu số có số nhỏ tùy ý α β lấy đủ bé gần đến số khơng Một giải thích tương tự cho tích phân α e−t tz−1 dt với α > 1 Mệnh đề 2.11 Nếu G = {Z : Rez > 0} n e−t tz−1 dt fn (z) = n với n ≥ z ∈ G, fn giải tích G dãy hội tụ H(G) Chứng minh Nhận thấy fn (z) tích phân ϕ(t, z) = e−t tz−1 dọc , m fn giải tích Bây K tập hợp theo đoạn n compact G có số thực dương a A cho K ⊂ {z : a ≤ Rez ≤ A} Vì n m e−t tz−1 dt + fm (z) − fn (z) = n m Vũ Thị Định e−t tz−1 dt, 47 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp với m > n, Bổ đề 2.8 Bổ đề 2.2 kéo theo {fn } dãy Cauchy H(G) Nhưng H(G) đầy đủ nên {fn } phải hội tụ Nếu f giới hạn hàm {fn } từ mệnh đề tích phân xác định hàm Tức là, ∞ e−t tz−1 dt, Rez > f (z) = (2.43) Thấy hàm f (z) hàm Gamma thực với Rez > cần f (x) = Γ(x) với x ≥ Vì [1, ∞) có điểm giới hạn nửa mặt phẳng bên phải hai f Γ giải tích f phải Γ Bây nhận thấy việc thực liên tiếp phép lấy tích phân phần cho (1 − nt )n tx−1 ta n 1− n n x−1 t n!nx dt = x(x + 1) (x + n) mà hội tụ tới Γ(x) n → ∞ cơng thức Gauss Nếu ta ∞ tích phân phương trình hội tụ đến e−t tx−1 dt = f (x) n → ∞ Định lí 2.13 chứng minh Điều suy từ bổ đề sau z n Bổ đề 2.9 (a) Dãy 1+ hội tụ đến ez H(C) n (b) Nếu t ≥ t 1− n n ≤ e−t với n ≥ t Chứng minh (a) Cho K tập hợp compact mặt phẳng Thế |z| < n với z ∈ K n đủ lớn Ta nhận thấy lim n log + n→∞ z n n =z với z ∈ K Bổ đề 2.5 Ta thấy ∞ log(1 + w) = (−1) k=1 Vũ Thị Định 48 k−1 w k k , |w| < K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Cho n > |z|, ∀z ∈ K ; z điểm K n log + z2 z3 z =z− + − n 2n n2 nên n log + z 1z z −z =z − + n 2n n ; (2.44) lấy giá trị tuyệt đối vế trái (2.44) ∞ z z − z ≤ |z| n log + n k n k=2 ∞ ≤ |z| k=1 z n |z| n 1− R2 ≤ n−R ≤ k−1 k z n R ≥ |z| ∀z ∈ K Nếu n → ∞ hiệu số dần đến số không với z K (b) Bây cho t ≥ (−t) = z (2.44) t ≤ n Nên có ∞ t 1 k−1 n log − + t = −t ≤ n k n k=1 Do n log − t n ≤ −t; exp hàm đơn điệu nên phần (b) chứng minh Chứng minh (Định lí 2.13) x > cố định cho > Theo Bổ đề 2.8(b) ta chọn κ > cho r e−t tx−1 dt < (2.45) κ Vũ Thị Định 49 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp r > κ Chọn n số nguyên lớn κ cho fn hàm xác định Mệnh đề 2.12 Thế n t 1− n fn (x) − n n x−1 t t 1− n dt = − n tx−1 dt+ o n e −t t − 1+ n n tx−1 dt n Bây Bổ đề 2.9(b) Bổ đề 2.8(a) n 1− n n t n e−t tx−1 dt < tx−1 dt ≤ (2.46) với n đủ lớn Hơn nữa, n đủ lớn, phần (a) Bổ đề trước t 1− n n − e−t ≤ 4M κ κ tx−1 dt Do với t ∈ [0, κ] M = k e −t t − 1− n n tx−1 dt ≤ (2.47) n Dùng Bổ đề 2.9(b) công thức (2.45) n n n t e−t − − n e−t ex−1 dt ≤ tx−1 dt ≤ 2 κ κ với n > κ Nếu ta tổ hợp bất đẳng thức với (2.46) (2.47), ta n t 1− n fn (x) − n tx−1 dt < Vũ Thị Định 50 K36C SP Toán Khóa luận tốt nghiệp với n đủ lớn Tức n  1− = lim fn (x) −  n t n tx−1 dt n!nx = lim fn (x) − x(x + (x + n)) = f (x) − Γ(x) Đây chứng minh đầy đủ Định lí 2.13 Khi áp dụng Định lí 2.13 nhận thấy γ( 12 ) = √ √ π nên ta có ∞ e−t t− dt π= Thực số phép biến đổi cách đặt t = s2 ta √ ∞ ∞ Tức e−s s−1 (2s)ds = π= e−s ds √ ∞ e−s ds = π Đây tích phân thường dùng lí thuyết xác suất Vũ Thị Định 51 K36C SP Tốn Kết luận Luận văn trình bày kiến thức liên quan đến tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích Sử dụng kiến thức đặc trưng tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích để đưa Định lý, Mệnh đề, Bổ đề, Hệ để xây dựng nên tính compact hội tụ không gian hàm giải tích; từ thu số ứng dụng giải tích, nghiên cứu khơng gian hàm liên tục C(G, Ω), khơng gian hàm giải tích, khơng gian hàm phân hình, định lý ánh xạ Riemann, định lý thừa số Weierstrass, nhân tử hóa hàm sin, hàm gamma Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu để tìm giải đáp cho câu hỏi mở có liên quan đến metric đặt tập hợp hàm giải tích làm trình bày phần Mở đầu 52 Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh John B Conway (1973), Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, New York 53 ... Tốn Chương Tính Compact Sự Hội Tụ Trong Không Gian Các Hàm Giải Tích Trong chương metric đặt tập hợp tất hàm giải tích miền G cố định, tính compact hội tụ không gian metric thảo luận Trong số ứng... Tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng : Tính compact hội tụ Phạm vi : Những kiến thức liên quan đến tính compact hội tụ khơng gian hàm giải tích. .. Tính Compact Và Sự Hội Tụ Trong Khơng Gian Hàm Giải Tích 2.1 Khơng gian hàm liên tục C(G,Ω) 2.2 Khơng gian hàm giải tích 2.3 Khơng gian hàm phân hình