TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP RỜI RẠC Phạm Viết Huy Trường THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi Những tốn phương trình hàm xuất thường xun kì thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế ngày trở nên quen thuộc học sinh yêu Toán Đặc biệt, việc giải phương trình hàm tập rời rạc ngồi việc sử dụng kỹ thuật chung, ta sử dụng tính chất số học đặc trưng tập rời rạc như: tính chất chia hết, tính chất số nguyên tố, số phương, nguyên lý cực hạn… Bài viết xin đề cập đến vấn đề thông qua số tốn minh họa Bài tốn Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn  m  n  f  m2  n2   mf (n)  nf (m), m, n  (1) Giải Giả sử f nghiệm hàm Kí hiệu P u ,v  việc thay m u, n v vào (1) P  0, n   nf  n2   nf (0), n    Do đó, f n2  f (0), n  Đặt g (n)  f (n)  f (0), n    Khi đó, ta có  m  n  g m2  n2  mg (n)  ng (m), m, n  g (n2 )  0, n  (2) , g (0)  Kí hiệu Q u ,v  việc thay m u, n v vào (2) Q  n, n   2ng  2n2   2ng (n), n    Do đó, g 2n2  g (n), n  Q  2n2 , n2   3n2 g  5n4   n2 g (n), n  Do đó, g (n)  3g  5n4  , n  Từ đó, ta suy g ( n) 3k ,n  ,k  Suy g (n)  0, n  Thử lại thấy thỏa mãn * hay f (n)  f (0)  const , n  Bài toán * Cho f :  * hàm số thỏa mãn điều kiện f (n  1)  f  f (n)  , n  Chứng minh f ( n)  n, n  * * (IMO-1977) Giải Giả sử f nghiệm hàm  Đặt d  f ( n), n Gọi m  * *  Theo nguyên lý cực hạn d tồn cho f (m)  d Nếu m  d  f (m)  f  f (m  1)  , mâu thuẫn Do đó, f (n) đạt giá trị nhỏ nhất điểm n=1  Lập luận tương tự ta có f (2)  f (n), n  * , n  2 lặp lại trình lập luận ta f (1)  f (2)   f (n ) Ta có f (1)  nên f (n)  n, n  Nếu tồn n0  * * mà f (n0 )  n0 f (n0 )  n0  Suy f  f (n0 )   f  n0  1 , mâu thuẫn Do đó, f (n)  n, n  * Thử lại thấy thỏa mãn Bài tốn Tìm tất hàm số f : dương n *  * thỏa mãn f(1)=1, f(3)=3 với số nguyên f (2n)  f (n); f (4n  1)  f (2n  1)  f (n); f (4n  3)  f (2n  1)  f (n) ( IMO-1988) Giải Giả sử f nghiệm hàm Một số k  k=4n+3 có dạng: k=4n; k=4n+1; k=4n+2; Do từ giả thiết ta thấy hàm số f xác định cách Ta sử dụng biểu diễn số để tìm biểu diễn hàm số f Ta có f (12 )  f (1)   12 ; f (102 )  f (2)   012 ; f (112 )  f (3)   112 ; f (1002 )  f (4)   0012 Quy luật: Biểu diễn f (n) hệ số cách viết ngược lại biểu diễn n hệ số b, tức f  a a k 1 k  .a1a0 2   a0 a1 ak 1ak 2 Chứng minh Giả sử tính chất cho k