CHUYÊN ĐỀ - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức - Bất đẳng thức BECNULI Nếu x  1  �1   x  �1   x  Nếu x  1   �1   x  �1   x  - Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Nếu a1 , a2 , , an �0 n n n a � �i � n i 1 i 1 Dấu xảy khi: a1  a2   an - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ Với hai dãy số thực: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn �n � �n � �n � � a b � a bi � � � � i i� � i � � i  i  i  � � � � � � Dấu xảy a1  kb1 , , an  kbn - Bất đẳng thức thứ tự Cho hai dãy số tăng a1 �a2 � �an b1 �b2 � �bn ( n �2 ) Nếu 1 , , ,  n hoán vị dãy 1, 2, , n thì: n n n i 1 i 1 i 1 �aibn1i ��aibi ��aibi - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Nếu xi  0i  1, n p �q  1 �1 n q �p �1 n p �p �n �xi � ��n �xi � � i 1 � � i 1 � - Bất đẳng thức SHUR Cho a, b, c  0, r  thì: a r  a  b   a  c   b r  b  a   b  c   c r  c  a   c  b  �0 - Bất đẳng thức CHEBYCHEP Trang Nếu hai dãy: a1 �a2 � �an �n � �n � ; b1 �b2 � �bn n � ��� � �a b thì: � � � bi ��n �i 1 i 1 i 1 i i - Bất đẳng thức MIN-COP-XKI Với hai dãy: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn n �  bi  i 1 � n �ai2  i 1 n �b i 1 i Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức: - Nếu y  f  x  có y '  K f  x  đồng biến K: x  a � f  x  f  a ; x  b � f  x  f  b Đối với y '  ta có bất đẳng thức ngược lại Việc xét dấu y ' phải cần đến y '', y ''', xét dấu phận, chẳng hạn tử số phân số có mẫu dương,… Nếu y ''  y ' đồng biến từ ta có đánh giá f '  x  f  x  ,… - Bất đẳng thức có biểu thức dạng f  b  f  a f  b  f  a dùng định lý Lagrange  f '  c  , tồn ba ba số c � a; b  hay giá trị f '  c  có đánh giá bất đẳng thức - Bất đẳng thức JENSEN: x � a; b  � a; b  i  1, n Nếu f ''  x   0, x � a; b  n �1 n � f a � f   � i �n �ai � n i 1 � i 1 � �1 n � n f '' x  0,  x � a ; b f     Nếu � �ai �� �f   �n i 1 � n i 1 - Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số thuộc K có tổng a1  a2   an  nb không đổi Bất đẳng thức có dạng f  a1   f  a2    f  an  �nf  b  Lập phương trình tiếp tuyến x  b : y  Ax  B Nếu f  x  �Ax  B K, dấu xảy x  b Khi f  a1   f  a2    f  an  �A  a1  a2   an   nB  Anb  nB  n  Ab  B   nf  b  Dấu xảy a1  a2   an  b Trang Còn f  x  �Ax  B K, dấu xảy x  b có ngược lại f  a1   f  a2    f  an  �nf  b  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đối với hàm số y  f  x  D Xét dấu đạo hàm y ' từ bảng biến thiên có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t  g  x  với điều kiện đầy đủ t Nếu y  f  x  đồng biến đoạn  a; b  thì: f  x   f  a  max f  x   f  b  Ngược lại với hàm nghịch biến Nếu y  f  x  liên tục đoạn  a; b  f '  x   có nghiệm xi thì:  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b   max f  x   max  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b   Nếu f lồi đoạn  a; b  GTLN  max  f  a  ; f  b     f  a  ; f  b   f  x   2 f lõm đoạn  a; b  GTNN Đối với đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn Dựa vào giả thiết, quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ CÁC BÀI TỐN Bài tốn 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: �� � � 2� 0; a) 2sin x  tan x  3x với x �� b) cos  x  y   y sin x 5 với x  0, y  x  y  x sin y Hướng dẫn giải �� �và: � 2� 0; a) Hàm số f  x   2sin x  tan x  3x liên tục nửa khoảng � f '  x   2cos x  1   cos x  cos x  3 cos x cos x �� �nên f  x   f    � 2� 0; Do hàm số f đồng biến � b) Xét hàm số: f  t   sin t 5 với  t  t Trang Ta có f '  t   Nếu  t  Nếu t cos t  sin t cos t  t  tan t   t2 t2  tan t  t � f '  t    �t � cos t �0 sin t �0 � f '  t   Nếu   t  5 5 cos t  0; tan t  t � f '  t   Do f '  t   0,0  t  nên f hàm số 4 � 5 � � � � 0; nghịch biến khoảng � Từ giả thiết có  x  x  y  sin  x  y  sin x 5 �  x  2y x Do x  x  y  nên từ có x sin  x  y   x sin x  y sin x � x.2cos  x  y  sin y  y sin x � đpcm (vì x  x  y  5 5 �y � sin y  ) Bài toán 6.2: Chứng minh bất đẳng thức  �sin x � �� a) � 0; �với  �3 � �cos x, x �� �x � � 2� b)  x  1 cos    x cos  1, x � x 1 x Hướng dẫn giải sin x �� 1 �thì có  sin x  x nên  x � 2� 0; a) Khi x �� �sin x � �� Suy � 0; � ��cos x, x �� �x � � 2� Xét hàm số F  x   Ta có F '  x   sin x � �  x , x � 0; � � cos x � 2� 2cos x  3cos x cos x  3cos x cos x   Xét G  t   2t  3t t  1, t � 0;1 G '  t   t  t �0, t � 0;1 Trang nên G  t  nghịch biến G  t  �G  1  0, t � 0;1 � � �nên F  x  đồng biến � 2� 0; Suy F '  x  �0, x �� � � � � 2� 0; Do F  x  �F    0, x �� b) BĐT � x sin � x sin   x  1    sin   cos  2sin 2 x  x  1 x  x  1 x 1  x  1   x  1   sin  sin 2 x  x  1 x  x  1  x  1 Vì x � �  �   x  1      x  1 x  x  1 sin   x  1   sin 0 x  x  1  x  1 Ta chứng minh: x sin Đặt t     sin x  x  1  x  1  , t    � x sin t  sin xt x  x  1 Xét f  t   x sin t  sin xt , t �0, f '  t   x cos t  x cos xt  x  cos t  cos xt  Vì  t  xt   � f '  t   với t  � f  t  đồng biến  0; � � f  t   f    � đpcm Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương: a) n x n  y n �n 1 x n 1  y n 1 với n �2 x, y �0 b)  x  x x3 xi x2n     1   �0 với x 2! 3! i!  2n  ! Hướng dẫn giải a) Với x  y  , bất đẳng thức n n 1 �x � �x � Với xy  , BĐT: n  � � �n 1  � � �y � �y � Trang Xét hàm số f  t   Ta có f '  t   1 tn n n 1 1 t với t � 0; � n 1 t n 1   t  n 1   t n1  n2 n 1 tn  n 1 ; f ' t   � t  BBT x f ' t  � + − f  t 1 Suy f  t  �1 với t � 0; � � đpcm i x x3 x2n i x     1   , x �� b) Xét f  x   1  x 2! 3! i!  2n  ! Với x  f  x  �1 �0 : Với x  2n thì: �x n �x � �x x3 � x n 1 � f  x    �  x � �  �  � � 2n  !   2n  1 ! � � �2! � �4! 3! � � � x x3 x n1    x     x      x  2n  �1 �0 : 2! 4!  2n  ! Với �x �2n f liên tục đoạn  0;2n  nên tồn giá trị bé x0 Nếu x0  hay x0  2n f  x  �f  x0  �1 �0 Nếu x0 � 0;2n  f đạt cực tiểu x2 x n1 x 2n f '  x   1  x      f  x 2!  2n  1 !  2n  ! x02 n  2n  ! �f x0  Vì f '  x0   f  x f  x0  : Bài toán 6.4: Chứng minh bất đẳng thức sau:   4 4 2 2 2 2 2 2 a) a  b  c  d  2abcd  a b  a c  a d  b c  b d  c d  với số a, b, c, d dương b) 27c  a  ab  a  3b  với a, b, c số mà phương trình: Trang x  ax  bx  c  có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Khơng tính tổng qt, giả sử a �b �c �d  Xem vế trái hàm số f  a  , a �0 f '  a   4a3  2bcd  2a  b  c  d  f ''  a   12a   b  c  d   nên f ' đồng biến  0; � : f ' a a � b f '  b  Vì f '  b   2b  b  c   2bd  c  d  �0 nên f  a  đồng biến  0; � : a  � f  a   f    : đpcm 2 b) Đặt f  x   x  ax  bx  c, D  �, f '  x   x  2ax  b Vì f  x   có nghiệm phân biệt nên f '  x   có nghiệm phân biệt: x1   a  a  3b a  a  3b với a  3b  , x2  3 Và hệ số cao f dương nên yC Ð  f  x1   f  x2   yCT  �1 �3 Ta có f  x   � x  � f  xi   � ab a �f '  x    3b  a  x  c  � 9 ab 3b  a  xi  c   9 Từ f  x1   � 2 a  3b   2a  27c  9ab f  x2   � 2a  27c  9ab  Do vậy: 2a  27c  9ab  a a  3b   3b  3 Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: a)  b) x2 x    x   x , với x  1  x2  1  y2 � với x, y � 0;1  xy Hướng dẫn giải Trang a) Xét hàm số f  x    f ' x   x   x  0; � Ta có: 1  �0 với x �0 nên f  x  đồng biến nửa khoảng  0; � 2 1 x Do f  x   f    với x �0 Xét hàm số g  x    x   Ta có: g '  x   x2  0; �  1 x 1   , g ''  x    �0 nên g ' đồng biến  0; � , 4 1 x 1 x 1 x g '  x   g '    Suy g đồng biến  0; � nên g  x   g    với x � 0; � � đpcm b) Giữ y cố định, xét hàm số f  x   Ta có f '  x   x  1 x  3/2 1   đoạn  0;1  xy  x2 1 y2 y   xy  3/2 Như dấu f '  x  dấu x   xy   y   x    x  y   x  y  x y  x y  3 Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai dương, f '  x  đổi dấu từ âm sang dương y, suy y điểm cực đại, suy f  x  �f  y   : đpcm Dấu xảy x  y Bài toán 6.6: Cho x, y, z �0 x  y  z  Chứng minh: 27 a) �xy  yz  zx  xyz � ��1 ��y x�  b) xyz � � �1 � �1 � � � y �  � z �  � 1�� z � �z x � �x y � � 27 Hướng dẫn giải a) Giả sử z số bé �z � Ta có T  xy  yz  zx  xyz  xy   z    x  y  z � xy  x  y  z �0 Trang �x  y � Và có T �� �  z    x  y  z �2 �  1   z    z     z  z   2 z  z  1 4 3 Xét f  z   2 z  z  1,0 �z � � 1� f '  z   6 z  z  z   3z  �0 f  z  đồng biến � 0; , đó: � 3� � �1 � T  f  z  �f � � �3 � 27 ��1 ��y x�  b) Ta có: xyz � � �1 � �1 � � � y �  � z �  � 1� z � �z x � �x y � �  x y  x z  y x  z x  z y  yz  xyz   x  y  z   xy  yz  zx   xyz  xy  yz  zx  xyz 3 Vì x  y  z  �  số x, y, z � Giả sử z � � S  x, y, z   xy  yz  zx  xyz  xy   z    x  y  z 2 1 z � 2 z  z  �x  y � � ��  z  x  y z   z   z z          � � � �2 � �2 � Xét f  z   2 z  z  � 1� 3 z  z � 1� 0; �thì f '  z   0; �nên f đồng biến, � �0 � � 3� � 3� �1 � max f  z   f � � �3 � 27 dấu đẳng thức xảy x  y  z  27 Vậy S  x, y, z  � Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) cos b  cos a �b  a với a, b tùy ý b) 1   x  1  arctan 1  với x  x  x  1  x2 Hướng dẫn giải a) Nếu a  b bất đẳng thức Trang Nếu a �b bất đẳng thức tương đương: cos b  cos a �1 Khơng tính tổng qt, giả sử b  a ba Hàm số f  x   cos x liên tục  a; b  có đạo hàm f '  x    sin x Theo định lý Lagrange, tồn c � a; b  cho: f  b  f  a  cos b  cos a  f ' c  �   sin c ba ba � cos b  cos a   sin c �1 : đpcm ba b) BĐT: 1   x  1  arctan  x  1  arctan x   x2  x  1  x Hàm số f  x   arctan x liên tục  x; x  1 có f '  x   1  x2 Theo định lý Lagrange, tồn c � x; x  1 cho: f  b  f  a arctan  x  1  arctan x  f ' c  �  ba  c2  x  1  x Vì c � x; x  1 nên 1   x  1  1  � đpcm  c2  x2 Bài toán 6.8: Cho số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 a b c a)   � bc ca ab b) 1 1 63    �a  b  c  d  với tổng a  b  c  d  a b c d Hướng dẫn giải a) Bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: a  b  c  Do a2 b2 c2 x2 với  x    � Xét hàm số f  x   3 a 3b 3 c 3 x Ta có f '  x   6x  x2   x ; f ''  x   18   x Vì f ''  x    0;3 nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen có Trang 10 BBT x � f' + f + 1/18 0 1 Kết hợp �M � 18 18 Do đó:  M � Vậy max M  x  y , M  y  18 Bài toán 6.24: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x  y  z   3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Hướng dẫn giải Từ giả thiết x  y  z   xyz �  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   2� � �  x  y  z  �  x  y  z    x  y  z  � 2 � � Đặt t  x  y  z Khi t  x  y  z  t2  3t t2 Xét hàm f  t     0;� 3t  t  2 4 Ta có f '  t   t   , f ' t   � t  2 3t 3t f  t  f Lập BBT t�min  0;�  2  3 , đạt t  Ta có P �x  y  z �3 Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  Vậy P  , đạt x  2, y  z  Bài toán 6.25: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  x 1  y  Trang 24 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x  1  y  1   x  y Hướng dẫn giải Điều kiện x �y �1 Suy x  y �0  2 Áp dụng bất đẳng thức  au  bv  � a  b  x  y   x 1  y     u  v  ta có: x   y   �3  x  y  Suy �x  y �3 Đặt t  x  y t � 0;3 P   x  y    x  y     x  y    t  2t   t  2 Xét hàm f  t   t  2t   t   0;3 f '  t   2t   ; f ''  t    4t  4t   với t � 0;3   Suy f '  t  đồng biến  0;3 Do f '  t   f '    với t � 0;3 Suy f  t  đồng biến  0;3 f  t   f  3  25 , đạt t  � x  2, y  Vậy max P  max  0;3 P  f  t   f    18 , đạt t  � x  1, y   0;3 Bài toán 6.27: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x  y2  y  x2  Hướng dẫn giải Ta có  a  � b  ab a2  b2 với a, b Áp dụng: x2   y y   x2 x  y2 � , y  x2 � 2 Suy  x  y  y  x �2 Do dấu đẳng thức xảy nên x   y y   x Suy x, y �0 x  y  Trang 25   2 Đặt t  x  y Khi �t � x  y    2 Đặt t  x  y Khi t � x  y  Mặt khác t   x  y  �x  y  Suy t � 2 2 � Ta có xy   x  y    x  y   t  2;2 Do t �� � � 2 Suy P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy �t � t2   x  y   12  x  y   12 �  1� 12  1 �2 � t2  t  6t  12t  1 Xét hàm f  t   t  6t  12t  f '  t   3t  12t  12  t2 2; �  � � � Ta có: t �t � �  1� �2 � 0 � � � , với t �� � 2;2 �nên f  t  đồng biến � 2;2 � f  t   f    ; f  t   f Vậy max � 2;2 � � 2;2 � � � � �    14  12 Bài toán 6.28: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xy  yz  zx  Hướng dẫn giải �y  z   x �yz   x   x  Từ giả thiết ta có: � S �4 P �   x  �4 �  x   x � � �� 3x  x  �0 � ۣ x   3 2 Mà: x  y  z   x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  3xyz   x  y  z �  3xyz  x  y  z    xy  yz  zx  � � �   3xyz , nên Trang 26 P    3xyz  xy  yz  zx 20 20   15   15 xyz xyz x  4x2  5x � � � � Xét hàm f  x   x  x  5x � ;2 � f '  x   x  x  5, f '  x   � x  1, x  �2 � �5 � 50 f  1  f    2, f � � , f � � �3 � 27 �3 � 27 � � � � Do  f  x  �2 với x �� ;2 �nên P �25 Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  hoán vị Vậy P  25 , đạt x  2, y  z  hoán vị Bài toán 6.29: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ab  a  2c   b  2c   16  a  b2  c 2 Hướng dẫn giải 2 2 Ta có:  a  b  c �   a   Suy ra: 1 2  b  c � 1 a  b  c �  a  b2  c  a  b  c Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a  b a  2c  b  2c ab  a  2c   b  2c  � 2  1  a  b   a  b  4c    a  b   a  b  4c  12  a  b    a  b  4c  � � �   a  b  c � � 12 Suy ab  a  2c   b  2c  nên P � 27  a  b  c  �  a  b  c 32 1 a  b  c Trang 27 27 32  t2 t 1 Đặt t  a  b  c t  P � Xét hàm f  t   54 32 27 32 0; � , f '  t       t  t  1 t2 t 1 f '  t   �  t  3  16t  21t    � t  f  t   f  3  5 Lập BBT min 0;� Do P �5 , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a  b  c  Bài tốn 6.30: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y4 sin x 2 cos x  Hướng dẫn giải Đặt sin x  t ,0 �t �1 y  4t  y '  4t ln  1t  Ta có y '  �  t 1 t 1t  ,0 �t �1 t 1 t2 2 2t 1t �  2t 1 t2 1 t2 2t 2u Xét hàm số f  u   ,0  u  u f ' u   Vì  u u 2u ln  2u  u.ln  1  ; f ' u � �  u �   u2 u2 ln  f  1  f    ln Suy f  u  �2, u � 1;2 f  u   2, u � 0;1 2 2t 1t Giả sử �2t  : khơng thỏa mãn �2  2t 1 t2 Do  2t  Vì f  u  nghịch biến  0;1 nên phương trình f  2t   f    t � 2t   t � t  Trang 28 �1 � Ta có y    9, y  1  8, y � � 5.4 , so sánh �5� 1 y  , cos x  max y  5.4 , sin x  Bài toán 6.31: Cho số thực x, y, z thỏa mãn P3 x y 3 y z 3 zx x  y  z  Tìm giá trị nhỏ  6x2  y2  6z Hướng dẫn giải Ta có x  y  z  nên z    x  y  có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy �0 Ta có P  3 x y �3 x y �3 x y x y 3 3 y x 3 3 x y yx  x y  2.3  2.3 yx x y 2 x y  12  x  y  xy   12 �  x  y   xy � � �  12 �  x  y   xy � � � 2 x y Đặt t  x  y �0 , xét f  t   f '  t   2.3  3 3t   3t  3t ln   � � � � f đồng biến  0;  �   f  t f  0  3 3t ln  � � � Mà x  y �30  nên P �30   , dấu “=” xảy � x  y  z  Vậy P    2 Bài toán 6.32: Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  ab  bc  ca  12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  a2  b2  c2  ab  bc  ca abc Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn:  a  b  c   ab  bc  ca  12 ta có a  b  c  24   a  b  c    2 2 2 Và 12 �3 a  b  c � a  b  c �4 Trang 29 12 �3  a  b  c   a  b  c � a  b  c �3 2 Suy a  b  c � 3;4  2 Đặt t  24  a  b  c Do P   t � 2;3 a  b2  c2 24   a  b  c 2   12   a  b  c  24  t   24  t � 24 � 12 5  12   � 3t  t  � t 5� t � Xét hàm f  t   3t  t  24  2;3 t 24 � 24 �  t   5t  � với t � 2;3   � t2 � t � f '  t   6t   nên f đồng biến đoạn  2;3 f  t   f  3  32;min f  t   f    22 nên �P �4 Do max  2;3  2;3 Vậy max P  , đạt a  b  c  Min P  , đạt a  2, b  c  hoán vị Bài toán 6.33: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức 2 �x  xy  z � �y  yz  x � �z  zx  y � P�   � � � � x 1 � � � � � z 1 � � � � y 1 � � rr r r r r Với vectơ u , v ta có u.v �u v r r Chọn u  x; x ;1 , v  1; y ; z   x  xy  z      Hướng dẫn giải  x   x y  1.z  � x 2  x  1   y  z  �x  xy  z � Do đó: � �1  y  z � � x 1 � � � 2 �y  yz  x � �z  zx  y � Tương tự � �1  z  x ; � �1  x  y � � � y 1 � � z 1 � � � Trang 30   2 2 2 Nên P �3   x  y  z   x  y  z �6  x  y  z  12 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy giá trị lớn P 12, dấu = x  y  z  Bài toán 6.34: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x3  y  z  P   y  z  x2  Hướng dẫn giải Vì a, b � 0;1 nên ta có: a3  a  � b2 � �  a    �1  b2  � b2  b2  � � 2 b2   a     a  3 2 b 2 2 b2 �  a  3   a     a  b    a 2b 2 2 Dấu đẳng thức xảy a, b � 0;1 Tương tự: b3  2 2 � b c    b c c2  2 c3  3 2 � c  a   ca   a2  2 Suy P �  2 a b  b 2c  c 2a  �  Vậy giá trị lớn P , đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Bài tốn 6.35: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:  x  y  z   xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1    x  yz  y  zx  z  xy Hướng dẫn giải Ta có: xyz   x  y  z  �4.3 xyz nên xyz �8 Trang 31 Và:  x  yz �2 2 x  yz �2 2 x yz  2 xyz yz �4 yz Suy 1 1 �1 � � � � �  x  yz 4 yz � yz � �2 � �1 1 � �3 � � �   � �  � �2 yz � �4 yz � Tương tự: 1 �3 � 1 �3 � � � � , � � �  x  yz �4 zx �2  x  yz �4 xy � �9 �4 Do P � �  Vậy max P  1 � �9 �   � �  � xy yz zx � �4 � , x  y  z  Bài toán 6.36: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y   x  x  21   x  3x  10 Hướng dẫn giải �  x  x  21 �0 � � 2 �x �5 Với 2  x  : Điều kiện �  x  3x  10 �0 � y'  x   x  x  21   2x   2 x   x  x  10  x  3x  10    x   x  x  21  x  x.21  x  3x  10 Cho y '  �   x   x  x  10    x   x  x  21 �   x    x  �0 � �� 2   x    x  3x  10     x    x  x  11 � � � �x  hay x  �� � x � 51x  104 x  29  � Ta có y  2   3; y  1  2; y    Vậy y  x  3 Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định � thỏa mãn: Trang 32 f  cot x   sin x  cos x, x �� Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x  f   x  đoạn  1;1 Hướng dẫn giải Đặt z  cot x f  z   f  cot x   sin x  cos x  z2  2z 1 z2 1 x2  2x 1   x     x   suy g  x   x2  1 x 1 � 1� � � 2; � Đặt y   x t  xy Do x � 1;1 nên ta có t �� t  8t  g  x    h t t  2t  h ' t     5t  4t   t  2t   , h ' t   � t   34 �1 � g  x   max h  t   h � � Lập BBT thì: xmax � 1;1 � 1� �4 � 25 t�� 2; � � 4� �2  34 � g  x   h  t   h � �  34 x� 1;1 � 1� t�� 2; � � � � 4� Bài toán 6.38: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c   b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a3  b  3c   32b3  a  3c   a  b2 c �a �c � �b � �c � � Ta có  a  c   b  c   4c � �  1� �  1� Đặt x  a b ; y   x  1  y  1  c c � S  P  � P   S Do 3 � � x � � y �� 2 P  32 � � � � �� x  y � �y  � �x  �� � � Trang 33 �x y � 2 �8 �  � x  y �y  x  � � S  3S    S  � S � S  3S  P � S  8�   � � � S  P  S   S    � � � � 3 �S  5S  � S �S  � S  8�  8� � � �2 � � 2S  12 �   S  1  P '   S  1  S , S �2 0, S �2 Dấu “=” xảy chẳng hạn x  y  Vậy P  P     BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: x3 �� 0; � a) tan x  x  với x �� � 2� b) b.tan a  a.tan b với  a  b   Hướng dẫn x3  a) Xét f  x   tan x  x  ,0 �x  b) Xét f  x   tan x  ,0  x  x Bài toán 6.2: Cho a, b, c số dương, đặt X  Chứng minh bc ca ,Y  abc abc 1  � 1 X 1 Y Hướng dẫn a  b  2c �1 , cố định X giảm giá trị Y vế trái bất đẳng thức tăng lên nên ta abc cần chứng minh X  Y  X Y  Trang 34 Bài toán 6.3: Chứng minh a)  a  b 8a ab  a  b  với a �b  �  ab � 8b  a  b  3c    a  c  3b    c  b  3a  2 2c   b  a  2b   c  a  2a   b  c  b) 2 � với a, b, c  Hướng dẫn a) Dùng định lý Lagrange b) VT bậc Đặt x  a b c ,y  ,z   a  b  c  a  b  c  a  b  c Bài toán 6.4: Chứng minh a) b) a  b  c  b  c a  b c  a  c  a b  c  a  b � với a, b, c   a  b  c 2 a b c 3   � với a, b, c � a  b  c  a  b  c  10 Hướng dẫn a) Chuẩn hóa: a  b  c  dùng tiếp tuyến x  b) Tiếp tuyến x  x hàm số f  x   x 1 Bài toán 6.5: Chứng minh a) tan A B C  tan  tan � với tam giác ABC 2 n 1 2xn  x � xn  � b) với x  0, x �1, n �1, n �� � � � �  x n 1 � � n x  Hướng dẫn x a) Dùng bất đẳng thức Jensen cho f  x   tan ,0  x   b) Chứng minh quy nạp Bài tập 6.6: Cho ABC tam giác có ba góc nhọn, cạnh a, b, c Chứng minh: a)   a  b  c  �3  aA  bB  cC  �a �A b)  a  b  c  � �  b c�  � B C� Hướng dẫn a) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep Trang 35 b) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) x y x y  � với x, y �� 2019  x 2019  y 2019  x  y b) a b c ab bc   �   với a, b, c  b c a bc ab Hướng dẫn a) Xét hàm số f  t   t , t �0 , 2019  t b) BĐT �  a  b    b  c    a  b   b  c  2 b2  a  b  cb  b  c  a 2c �  a  ab  ac   b  ab  c  bc b c a Bài toán 6.8: Chứng minh rằng: a)  cot x  cos x  � với  x  sin x 2 a b b c c a � � b)   �� 1 � với a, b, c � 1; 2 c a b � � Hướng dẫn a) Đặt t  tan x, t  Đưa t.ln t � t  1 ln t 1 b) Dồn biến với giả sử �a �b �c �1  Xét f  a  a  b   b  c   c  a  abc f ' a  Bài tập 6.9: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d4 a b c d    � a)  a  b   a  b2   b  c   b  c   c  d   c  d   d  a   d  a      3 3 2 b) a  b  c  a  b  c  12abc � , a  b  c  Hướng dẫn a) Dùng BCS b) Đặt x  ab  bc  ca, y  abc Trang 36 Đưa chứng minh: 18 y  12 x  � Bài tốn 6.10: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 1  a) f  x   sin x  cos x  b) f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x Hướng dẫn a) Đặt t  cos x  sin x xét hàm Kết f  4 ; max f  8 8 , f  27 b) Kết max f  Bài tốn 6.11: Cho số dương có tổng    3 3 2 2 a) Tìm GTNN a  b  c  d  a  b  c  d b) Tìm GTLN  1 b  c 1 c  a 1 a  b    a2  b2  c2 Hướng dẫn a) Dùng phương pháp tiếp tuyến Kết b) Kết 1 a  b  c  d  a  b  c  10 Bài toán 6.12: Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S   x3  y   y  3x   25 xy Hướng dẫn S  16 x y  12  x3  y   xy  25 xy  16 x y  12 �  34 xy  16 x y  xy  12  x  y   3xy  x  y  � � � Đặt t  xy , ta S  16t  2t  12  x  y �xy �  � 1� � t �� 0; � 4� � Trang 37 � 1� � � 0; � Xét hàm f  t   16t  2t  12 đoạn � Kết max S  25 191 , S  16 Trang 38 ...  16t  21t    � t  f  t   f  3  5 Lập BBT min 0;� Do P �5 , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a  b  c  Bài toán 6. 30: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ. .. Bất đẳng thức có biểu thức dạng f  b  f  a f  b  f  a dùng định lý Lagrange  f '  c  , tồn ba ba số c � a; b  hay giá trị f '  c  có đánh giá bất đẳng thức - Bất đẳng thức. .. �3 Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  Vậy P  , đạt x  2, y  z  Bài toán 6. 25: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  x 1  y  Trang 24 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P