CHUN ĐỀ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung: - Đưa số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,… - Lơgarit hóa, mũ hóa - Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu hàm số, định lý Lagrange,… Phương trình mũ lơgarit x - Dạng: a = b ( a > 0, a ≠ 1) Nếu b ≤ , phương trình vơ nghiệm Nếu b > , phương trình có nghiệm x = log a b - Dạng: log a x = b ( a > 0, a ≠ ) Phương trình ln có nghiệm x = a b f ( x) =a g( x) a =  a ≠ 1, f ( x ) = g ( x ) ( a > 0) ⇔  • a •  f ( x ) > hay g ( x ) > log a f ( x ) = log a g ( x ) , ( a > 0, a ≠ 1) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Bất phương trình mũ lơgarit a x < m ⇔ x < log a m (với m > a > ) a x < m ⇔ x > log a m (với m > < a < ) log a x < m ⇔ < x < a m (với a > ) log a x < m ⇔ x > a m (với < a < ) Nếu a > : a f ( x) Nếu < a < : a : log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) < g ( x ) Nếu < a < : log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) > Hệ phương trình mũ lơgarit Trang Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu hàm số, … phối hợp với biến đổi biểu thức mũ lơgarit, mũ hóa, lơgarit hóa CÁC BÀI TỐN Bài tốn 5.1: Giải phương trình sau: a) 3x +1 + 18.3− x − 29 = b) 27 x + 12 x = 2.8 x Hướng dẫn giải a) Đặt t = 3x , t > PT: 3t + 18 = 29 t ⇔ 3t − 29t + 18 = ⇔ t = t = Giải nghiệm x = c = log − x x  27   12  b) Chia vế cho > PT:  ÷ + ÷ =    8 x 3x x x 3 3 3 ⇔  ÷ +  ÷ − = Đặt t =  ÷ , t > 2 2 2 ( ) PT: t + t − = ⇔ ( t − 1) t + t + = ⇔ t = ⇔ x = Bài toán 5.2: Giải phương trình sau: x a) 34 = 43 x x b) 3x.8 x+1 = 36 Hướng dẫn giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x log 4 log = log ⇔  ÷ = ⇔ x = log ( log ) log 3 x x x −2 3x b) PT: 3x.2 x +1 = 32.22 ⇔ 3x − 2.2 x +1 = x−2  x1+1  ⇔  3.2 ÷   = ⇔ x − = 3.2 x+1 = 1 ⇔ x = x +1 = ⇔ x = x = −1 − log 3 Bài toán 5.3: Giải phương trình sau: Trang a) ( cos 72° ) + ( cos36° ) = 3.2− x x x b) e  π sin  x − ÷  4 = tan x Hướng dẫn giải a) Phương trình: ( 2cos 72° ) + ( 2cos36° ) = x Vì: 2cos 72°.2cos 36° = x 2sin 36°.cos36°.cos 72° =1 sin 36° t Đặt t = ( 2cos 72° ) , t > PT: t + = 3 ±  ±1 ⇔ t − 3t + = ⇔ t = = ÷   −1 suy nghiệm x = ±2 Ta có: 2cos 72° = 2sin18° = b) Điều kiện cos x ≠ , sin x = khơng thỏa mãn nên PT: e ( sin x − cos x ) = sin x 2 cos x sin x e e ⇔ = cos x sin x cos x Đặt u = sin x, v = cos x, u , v ∈ ( −1;1) , u.v > PT: e 2u u = e 2v v  2t  − 1÷e    y' = t Xét y = f t = e ( ) 2t ( = ) 2t − e 2t t , với t ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) 2t 2t , PT: 4.22 ln x − 6ln x − 18.32 ln x = ln x ln x Chia hai vế cho 2 , đặt t =  ÷ 3 4t − t − 18 = Chọn nghiệm t = PT: ⇔ x = e −2 b) ĐK: x > , đặt t = log x x = 4t PT: 3.3t + t = 2t ⇔ 4.3t = 3.2t t 3 3 log ⇔ ÷ = ⇔ t = log Vậy x = 4 2 Bài toán 5.9: Giải phương trình: x−2 =2 a) log ( x + ) ( x + 3)  + log 2 x+3 b) log x log 27 x = log x log81 27 x Hướng dẫn giải ( x + ) ( x + 3) >  x < −3  ⇔ a) ĐK:  x − >0 x >  x+3  x − 2 = log 16 ⇔ x − = 16 PT: log ( x + ) ( x + 3)  x + 3  ⇔ x = 20 ⇔ x = ±2 (chọn) Trang b) ĐK: x > , x ≠ 1 ,x ≠ , đặt t = log x PT: 27 2( + t ) t = ⇔ t + 3t − = ⇔ t = t = −4 + t 3( + t ) Suy nghiệm x = x = 81 Bài toán 5.10: Giải phương trình sau: a) log1− x ( x ) + log x ( − x ) = x x b) 3log ( −1) = 2log3 ( +1) + Hướng dẫn giải a) Điều kiện < x < Đặt a = log ( − x ) , b = log x Ta có 1 a + b = log ( − x ) + log x = log  x ( − x )  ≤ log  ÷ = −2 4 ⇒ a+b+2≤ PT: ⇔ log 2 + log x log 2 + log ( − x ) + =0 log ( − x ) log x 1+ b 1+ a + = ⇔ a + b2 + a + b = a b ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a + b ≤ 2 ⇔ ( a + 1) = ( b + 1) = ⇔ a = b = −1 2 ⇔ log ( − x ) = log x = −1 ⇔ x = 1 Vậy nghiệm x = 2 x b) Điều kiện 3x − > ⇔ x > Đặt a = log 3, y = ( ) PT: 3x − log = ( x + 1) log3 2+1 ⇔ ( y a − 1) = ( y + 1) a + ⇔ a (( ) a y a − 1) − − = y a ( ) a Xét hàm số f ( t ) = t − 1, t > PT f f ( f ( y ) ) = y a Khảo sát hàm số f ( t ) − t = t − t − 1, t > ta suy f ( t ) > t , ∀t > 2; f ( t ) < t ,0 < t < 2; f ( ) = ( ) Suy phương trình f f ( f ( y ) ) = y có nghiệm y = , suy x = Trang Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tốn 5.11: Giải phương trình ( a) log x + log ( x − ) = b) log + ) x + x = log x Hướng dẫn giải a) ĐK: x > Ta có f ( x ) = log x + log ( x − ) hàm đồng biến nên f ( x ) > f ( 3) = với x > f ( x ) < f ( 3) = với < x < Vậy x = nghiệm b) ĐK: x > , đặt x = 212 y PT: log ( + 26 y + 24 y ) = log 26 y ⇔ log ( + 26 y + y ) = y y ⇔ 1+ + 6y 4y y y    64   16  = ⇔  ÷ + ÷ + ÷ =1  81   81   81  4y y y y    64   16  Ta có y = thỏa mãn hàm số f ( y ) =  ÷ +  ÷ +  ÷ nghịch biến ¡ nên y =  81   81   81  nghiệm nhất, PT cho có nghiệm x = 212 Bài toán 5.12: Giải phương trình sau: ( ) ) ( ( 2 a) log x − x − + log x + x − = log x + x − ( ) ( b) log log ( log x ) = log log ( log x ) ) ) Hướng dẫn giải a) Điều kiện x ≥ Đặt t = x − x − ⇒ x + t x2 − = t t PT: log t + log = log ⇔ log t − log t + log t = ⇔ log t ( − log + log ) = ⇔ log t = ⇔ t = Do đó: x − x − = ⇔ x − = x2 − ⇔ x − x + = x − ⇔ x = : chọn Vậy nghiệm x = b) Điều kiện x > Phương trình tương đương với log ( log ( log x ) ) = log ( log ( log x ) ) Trang ⇔ ( log ( log x ) ) = log ( log x ) ⇔ ( log ( log x ) ) = log ( 2log x ) 2 ⇔ ( log ( log x ) ) − log ( log x ) − log = ⇔ log ( log x ) = ± + 4log Từ suy nghiệm x Bài tốn 5.13: Giải phương trình sau: a) ( ) −1 log x +x ( ) +1 log x = x2 + b) ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − )  = 15 ( x + 1) Hướng dẫn giải x a) Điều kiện ≥ x, x ≥ − Đặt a = x − x , b = x + 1, a, b ≥ Ta có a = x − x, b = x + ⇔ a − b = x − x − 1, a + b = x + ( 2 Do a + b ( )(a 2 PT: a − b = a + b − b ) = ( x + 1) ( x − x − 1) = 52 x − x.5 x − x − )(a ( ) − b2 ) ⇔ ( a − b ) − ( a + b2 ) ( a + b ) = - Nếu a − b = ⇔ a = b x − x = x + ⇔ x = x + x Xét f ( x ) = − x − 1, D = ¡ f ' ( x ) = x.ln − 4, f '' ( x ) = x.ln > Do phương trình có tối đa nghiệm mà f ( ) = 0, f ( 1) = nên phương trình có hai nghiệm x = 0, x = ( 2 - Nếu a + b Vì ) ( a + b ) = ⇔ ( 5x + 1) ( 5x − x + x + ≥ (5 x ) 5x − x + x + = − x ) + ( x + 1) = x + x + > nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = b) Điều kiện x > PT: log ( x − 3) + log ( x − ) − 15 x + =0 x−2 Xét hàm số vế trái f ( x ) , ta có: Trang 10 Xét hàm số f ( t ) = t + 2cos t , t > f ' ( t ) = 2t − 2sin t = ( t − sin t ) > 0, ∀t > nên hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Do ( 2) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y ( Thay vào phương trình (1) log x = log + ( Đặt log x = log + Suy ) x =t⇒ x = ( 3) x t ) = 2t − t    t +1 = ⇔  ÷ + ÷ =1   2 ( ) t t Vế trái hàm nghịch biến x = thỏa mãn nên nghiệm phương trình x = Vậy hệ có ( x, y ) = ( 2;2 ) b) Điều kiện x, y > − 2 Xét hàm số f ( x ) = t + 3t + ln ( 2t + 1) , t > − f ' ( t ) = 2t + + 2 > 0, ∀t > − nên f hàm đồng biến 2t + Giả sử x ≥ y từ hệ suy f ( y ) ≥ f ( x ) ⇒ y ≥ x Do ( x, y ) nghiệm hệ x = y nên có phương trình x + x + ln ( x + 1) = Vì vế trái hàm đồng biến x = thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = Bài toán 5.30: Giải hệ phương trình: 2log3 x + y log3 =  a) log y + log x = y  x x3   x + + y + = xy + b)  log x log y =  2 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) Hướng dẫn giải a) Điều kiện < x, x ≠ 1, y ≠ x PT (2): log x y + Đặt t = log x y Ta có t + =1 log x y − = ⇔ t − 4t + = t −3 ⇔ t = , suy log x y = ⇔ y = x Trang 22 Do đó: ( 1) ⇔ 2log3 x + 2log3 x = ⇔ 2log3 x + 2 log3 x = ⇔ 22 log3 x + 2log3 x − = ⇔ 2log3 x = ⇔ log x = ⇔ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;9 ) b) Điều kiện x, y > PT ( 1) : 1 + = x + y + xy + ⇔ ( xy + 1) ( x + y + ) = ( x + 1) ( y + 1) ⇔ xy ( x + y ) + xy + x + y + = x y + ( x + y ) + ⇔ xy ( x − y ) = ( x − y ) ⇔ ( x − y ) 2 ( xy − 1) = - Nếu x = y x = y = nghiệm Xét trường hợp x = y ≠ thì: ( 1) : ( log x − 1) ( log x − 1) = ⇔ log x.log x = log x + log x ⇔ 1 + = ⇔ log x + log x = ⇔ log x = ⇔ x = log x log x - Nếu xy = y = x ≠ , ta có x x log log = ⇔ ( log x − 1) ( log x + 1) = −1 3x ⇔ log x.log x = log x − log x ⇔ ⇔ log x − log x x = ⇔ log x 1 − =1 log x log x 2 =1⇔ x = 3 2 3 3 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1;1) , ( 6;6 ) ,  ; ÷ Bài tốn 5.31: Giải hệ phương trình sau:  y − x2 x + = e y +1 a)  3log ( x + y + ) = 2log ( x + y + ) +  ( 1) ( 2) Trang 23 log y ( log y ( − x ) ) = log 3− y ( log3− y x )  b)  x cot x − cot y = log y  ( 1) ( 2) Hướng dẫn giải a) Điều kiện x + y + > 0, x + y + > ( 1) : e x (x + 1) = e y (y + 1) Xét f ( t ) = et ( t + 1) , t ≥ ( ) ( ) 2 t t t Ta có f ' ( t ) = e + e ( t + 1) = e ( t + ) > nên f hàm đồng biến Phương trình f x = f y ⇔ x2 = y ⇔ x = ± y - Nếu x = y phương trình (2) trở thành 3log ( x + ) = 2log ( x + ) + ⇔ log ( x + ) = log ( x + 1) Đặt log ( x + ) = log ( x + 1) = t t t  2 1 x + = , x +1 = ⇒ = +1 ⇔  ÷ +  ÷ =  3 3 t t t t Vế trái hàm số nghịch biến t = thỏa mãn nên phương trình có nghiệm t = , suy x + = ⇔ x = Suy y = - Nếu x = − y ( ) ⇔ 3log ( − x ) = 2log 2 + ⇔ log ( − x ) = ⇔ − x = ⇔ x = Suy y = −3 b) Điều kiện < x, y < 3, y ≠ 1,log y ( − x ) > 0,log 3− y x > ( 2) : sin ( y − x ) = log x − log y sin x.sin y Vì −3 ≤ y − x ≤ a ∈ ( −3;3) ⊂ ( −π ; π ) nên: sin a ≥ ⇔ a ≥ 0,sin a < ⇔ a < Do phương trình tương đương với x = y ( Thay vào nên ( 1) : log 3− x ( log 3− x x ) = log x log x ( − x ) ⇔ log 3− x ( log 3− x x ) = ) log 3− x ( log x ( − x ) ) log 3− x x Đặt t = log 3− x x > PT: log 3− x t = − log 3− x t t ⇔ ( t + 1) log 3− x t = ⇔ log 3− x t = Trang 24 ⇔ t = ⇔ log 3− x x = ⇔ x = − x ⇔ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = y = Bài toán 5.32: Giải hệ phương trình sau: e x − e x − y = y  y y−z a) e − e = z  z z−x e − e = x ( 1) ( 2) ( 3) 5 x = y + + 2log ( y + 1)  y b) 5 = z + + 2log ( z + 1)  z 5 = x + + 2log ( x + 1) Hướng dẫn giải −y −y a) Nếu x = ( 1) :1 − e = y ⇔ − e − y = −y Bằng cách xét f ( y ) = − e − y phương trình f ( y ) = có nghiệm y = , x = y = z = Nếu x ≠ y ≠ 0, z ≠ Đặt f ( t ) = t.et , t ≠ hệ: et −  x y.e y e = e y − e x = f ( y )   y z.e z  y e = ⇔  e = f ( z ) z e −   z e = f ( x )  z x.e x e =  ex −1  Ta có f ' ( t ) = et ( et − t − 1) ( e − 1) t > 0, ∀t ≠ Lập BBT f ( t ) < 1, ∀t < f ( t ) > , ∀t > nên hệ tương đương x = y = z = t , et − t − = (vô nghiệm) Vậy hệ có nghiệm x = y = z = b) Điều kiện xác định: x, y, z ≥ − t Xét hàm số f ( t ) = g ( t ) = 2t + + 2log ( 4t + 1) , t > − hai hàm số đồng biến    − ; +∞ ÷   Trang 25  f ( x) = g ( y)  Hệ phương trình cho viết lại là:  f ( y ) = g ( z )   f ( z ) = g ( x) Không tính tổng quát, ta giả sử x số lớn Khi x ≥ y, x ≥ z Do x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) ⇒ g ( y ) ≥ g ( z ) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≥ f ( z) ⇒ g ( z) ≥ g ( x) ⇒ z ≥ x ⇒ x = y = z t Đưa PT: = 2t + + 2log ( 4t + 1) s Đặt s = log ( 4t + 1) ⇔ = 4t + 5t = 2t + s + s t s Suy ra: − 5t = ( t − s ) ⇔ + 2t = + s y Vì hàm số h ( y ) = + y đồng biến nên t = s ⇔ 5t = 4t + Suy phương trình có hai nghiệm t = 0, t = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 0;0;0 ) , ( 1;1;1) Bài tốn 5.33: Tìm nghiệm dương hệ phương trình:  x + y + xy = z + z  4 x + y = 2z  z −1 x− y ( x + y ) = ( z + 1) Hướng dẫn giải Đặt z = a > Hai phương trình đầu hệ viết lại là: 2  x + y + xy = a + 2a ( x + 1) ( y + 1) = ( a + 1) ⇔  4 4 4  x + y = 2a  x + y = 2a  x+ y  Áp dụng bất đẳng thức: ( x + 1) ( y + 1) ≤  + 1÷    x+ y  có: ( a + 1) ≤  + 1÷ ⇔ 2a ≤ x + y   4 x4 + y  x + y   x+ y Và ≥ ÷ có  ÷ ≤ a ⇔ x + y ≤ 2a     suy 2a ≤ x + y ≤ 2a nên đẳng thức bất đẳng thức phải xảy ra, tức 2a = x + y , x = y ⇔ x = y = a Trang 26 PT: ( x + y ) z −1 x + y > =1⇔   x + y = hay z − = - Nếu x + y = x = y = 1 z = ⇔ z = 2 - Nếu z = a = ⇒ x = y =  1 1 ; ; ÷  2 2 Vậy hai nghiệm là: ( 1;1;1) ,  Bài toán 5.34: Giải hệ bất phương trình sau:  x + y ≥ − log a)  x + y −1 + 3.42 y −1 ) ≤ ln ln (  x 4032 + x 2016 > 20162 x + 2016 x b)  4030 2015 < 20152 x + 2015x  x + x ( 1) ( 2) Hướng dẫn giải ( x + y −1 + 3.42 y −1 a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: ln ≥ ln ) ( ( ) ( ) ) ≥ ln x + y −1.3.42 y −1 = ln x +3 y − 2−ln ≥ ln 40 = ln Do dấu = xảy nên giải nghiệm: 1 x = log 12, y = log 2 b) Đặt 2016 = y ( 1) ⇔ x y − y x + x y − y x > ⇔ ( x y − y x ) ( x y + y x ) + x y − y x > ⇔ ( x y − y z ) ( x y + y x + 1) > ⇔ x y > y x ⇔ y ln x > x ln y ⇔ ln x ln y ln x ln 2016 > ⇔ > x y x 2016 2z z 2x x Đặt 2015 = z ( ) ⇔ x + x < z + z Biến đổi tương tự ta được: Do hệ tương đương: ln x ln 2015 < x 2015 ln 2016 ln x ln 2015 < < 2016 x 2015 Trang 27 Xét hàm số f ( t ) = ln t − ln t , t > ⇒ f '( t ) = < 0, ∀t > t t2 Suy hàm số nghịch biến ( 3; +∞ ) ln 2016 ln x ln 2015 < < ⇔ 2015 < x < 2016 2016 x 2015 Do đó, Đây nghiệm hệ phương trình cho ( Bài tốn 5.35: Cho x nghiệm PT: + 2 Chứng minh x nghiệm PT: ( ) =( x ) x ) x −1 + + = 2cos π Hướng dẫn giải Đặt t = ( ) x + > t = + ⇔ t − 3t − = t Xét nghiệm thuộc [ −2;2] , đặt t = 2cos α , α ∈ [ 0; π ] , Ta có: 8cos α − 6cos α − = ⇔ cos3α = ⇔α =± π ⇔ 3α = ± + k 2π π 2π +k ,k ∈¢ Trong đoạn [ 0; π ] , có giá trị α thỏa mãn 2cos π 5π 7π π , , , tức phương trình có ba nghiệm 2cos , 9 5π 7π π , 2cos , có 2cos > nên suy t = 9 ( ) x + = 2cos π Bài tốn 5.36: Chứng minh phương trình: ( ) x a) 4 x + = có ba nghiệm phân biệt b) x x +1 = ( x + 1) có nghiệm dương x Hướng dẫn giải ( ) ( ) x x a) PT: 4 x + − = Xét hàm số f ( x ) = 4 x + − 1, D = ¡ ( ) ( ) x x x Ta có f ' ( x ) = ln 4 x + + x.4 = ln 4 x + + x  f ' ( x ) = ⇔ ln ( x + 1) + x = ⇔ ( 4ln ) x + x + ln = ( *) Trang 28 PT (*) có biệt thức ∆ > nên có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên f ( x ) suy phương trình f ( x ) = có khơng q ba nghiệm phân biệt 1 2 Mặt khác: f  ÷ = 0, f ( ) = 0, f ( −3) f ( −2 ) < Do phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt: x1 = 0, x2 = − , x3 ∈ ( −3; −2 ) b) Với x > , PT: ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln ( x + 1) = Xét hàm số f ( x ) = ( x + 1) ln x − x ln ( x + 1) , x > f ' ( x ) = ln x + x +1 x x 1 − ln ( x + 1) − = ln + + x x +1 x +1 x x +1   f '' ( x ) =  − ÷− < 0, ∀x > nên f ' nghịch biến ( 0; +∞ ) , lim f ' ( x ) = nên x →+∞ x  ( x + 1)  x+x f ' ( x ) < , ∀x Do f ( x ) nghịch biến ¡ nên f ( x ) = có tối đa nghiệm Mà hàm f ( x ) liên tục khoảng ( 0; +∞ ) , f ( ) = 3ln − 2ln = ln − ln > f ( 3) = 4ln − 3ln = ln 81 − ln 64 > ⇒ đpcm Cách khác: Xét hàm f ( t ) = ln t ,t > t Bài tốn 5.37: Cho phương trình cos x = x ( 1) ;sin ( cos x ) = x ( ) ;cos ( sin x ) = x ( ) Chứng minh phương trình có nghiệm α , β , γ thỏa mãn: γα ln β < βγ ln α < αβ ln γ Hướng dẫn giải Xét hàm số tương ứng với PT (1) f ( x ) = x − cos x, D = ¡ Ta có f ' ( x ) = + sin x ≥ 0, ∀x nên f hàm đồng biến Mà f ( ) < 0, f ( 1) > f hàm liên tục nên phương trình f ( x ) = có nghiệm α ∈ ( 0;1) Chứng minh tương tự ta có nghiệm α , β , γ ∈ ( 0;1) Bất đẳng thức ⇔ ln β ln α ln γ < < β α γ ( *) Trang 29 Xét hàm số g ( t ) = ln t − ln t ,0 < t < Ta có g ' ( t ) = > nên hàm số đồng biến ( 0;1) t t2 Giả sử β ≥ α β = sin ( cos β ) < cos β ≤ cos α = α , vô lý nên β < α Giả sử γ ≤ α γ = cos ( sin γ ) > cos γ ≥ cos α = α , vô lý nên α < γ Vậy β < α < γ hay ln β ln α ln γ < < β α γ Bài tốn 5.38: Chứng minh hệ phương trình 2 x + y + z = 10  x y z a)  = 30 có nghiệm phân biệt  xyz =  y  x e = 2016 − ( 1)  y −  b)  có hai nghiệm phân biệt e y = 2017 − x ( 2)  x2 − Hướng dẫn giải a) Xét số ( x, y, z ) = ( log a,log b,log c ) a, b, c hốn vị { 2;3;5} Với số xyz = nên phương trình thứ ba hệ ln thỏa mãn Ta có: x + y + z = 2log2 a + 3log3 b + 5log5 c = a + b + c = + + = 10 x.3 y.5 z = 2log a.3log3 b.5log5 c = abc = 2.3.5 = 30 Do đó, xác định ln thỏa mãn hệ cho Vì có tất 3! hoán vị { 2;3;5} nên tương ứng có nghiệm hệ phương trình cho b) Điều kiện xác định x , y > x Từ hai PT hệ, ta có e − t Xét hàm số f ( t ) = e − f ' ( t ) = et + x x −1 t t2 −1 ( t − 1) t − = ey − y y −1 , t >1 > nên f hàm đồng biến Trang 30 x Do f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Ta có PT: e + t Hàm số g ( t ) = e − t t2 −1 x x −1 − 2017 = − 2017 , t > , ta chứng minh g ( t ) = có hai nghiệm khoảng ( 1; +∞ ) Bài tốn 5.39: Tìm điều kiện để phương trình: a) log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm thuộc đoạn 1;3  b) log ( x + 3) = log3 ( ax ) có nghiệm Hướng dẫn giải a) Đặt t = log x + 1, x ∈ 1;3  ⇔ ≤ t ≤ PT: t − + t − 2m − = ⇔ t + t = 2m + 2 Xét f ( t ) = t + t ,1 ≤ t ≤ 2, f ' ( t ) = 2t + > nên f đồng biến [ 1;2] Điều kiện có nghiệm: f ( 1) ≤ 2m + ≤ f ( ) ⇔ ≤ 2m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ b) PT: 2log ( x + 3) = log ( ax )  x + > ⇔ ⇔ ( x + 3) = ax, x + > log ( x + 3) = log ( ax ) ⇔ x + x + = ax, x > −3 Xét x = : Loại Xét x ≠ có: a = x2 + 6x + , x > −3 x x2 + 6x + x2 − Đặt f ( x ) = , x > −3, x ≠ 0, f ' ( x ) = , f ' ( x ) = x = x x2 BBT: x −3 f' f 0 +∞ − − +∞ −∞ + +∞ 12 Điều kiện có nghiệm nhất: a < hay a = 12 Bài tốn 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình: Trang 31 a) x − ( m + 3) x + 3m < ( m − ) log x có nghiệm b) a cos x ≥ 2cos x có nghiệm với x Hướng dẫn giải a) BPT: ( x − m ) ( x − 3) < ( m − x ) log x ⇔ ( x − m ) ( x − + log x ) < Để ý: f ( x ) = x − + log x, x > f '( x ) = + > nên đồng biến ( 0; +∞ ) f ( ) = x ln Do đó, bất phương trình tương đương:  x > m, x − + log x <  x > m,0 < x < ⇔  x < m, x − + log x >  x < m, x >   Từ suy điều kiện có nghiệm m ≠ b) Điều kiện a > Đặt t = 2cos x ⇒ ≤ t ≤ Yêu cầu toán tương đương với việc tìm a > cho a t −1 ≥ t , ∀t ∈ [ 0;2] Với t = bất đẳng thức không phụ thuộc a Với < t ≤ bất đẳng thức ⇔ ( t − 1) ln a ≥ ln t - Nếu t = bất đẳng thức - Nếu t ∈ ( 0;1) bất đẳng thức ⇔ ln a ≤ ln a ≤ lim− x →1 ln t Bất đẳng thức phải với t ∈ ( 0;1) nên t −1 ln t =1 t −1 - Nếu t ∈ ( 1;2 ) bất đẳng thức ⇔ ln a ≥ ln t t −1 Bất đẳng thức phải với t ∈ ( 1;2 ) nên ln a ≥ lim+ x →1 ln t = t −1 Do đó, ta cần phải có ln a = ⇔ a = e Thử lại, với a = e , ta cần chứng minh t − ≥ ln t , ∀t ∈ ( 0;2] Xét hs f ( u ) = u − − ln u , u ∈ ( 0;2] , ta có: f '( u ) = − f '' ( u ) = u −1 = , f '( u ) = ⇔ u = u u > nên f ( u ) đạt giá trị nhỏ u = u2 Trang 32 Ta có f ( u ) ≥ f ( 1) = − − ln1 = nên ta t − ≥ ln t , ∀t ∈ ( 0;2] Vậy giá trị cần tìm a = e 2 x + x = y + x + 2m Bài tốn 5.41: Tìm m để hệ  có nghiệm nhất:  x + y = Hướng dẫn giải Giả sử ( x; y ) nghiệm ( − x; y ) nghiệm, mà hệ có nghiệm nên x = Do đó: 1 + = y + 2m  y = ±1 ⇒   2m = − y y =1 Khi y = −1 ⇒ m = Khi y = ⇒ m = 2 x + x = y + x + Đảo lại, với m = hệ:  2  x + y = Hệ không nghiệm ( 0; −1) , ( 1;0 ) nghiệm ( 1) ( 2) 2 x + x = y + x Với m = hệ:  2  x + y = Từ ( ) ⇒ x ≤ 1, y ≤ ( ) Và ( 1) : y = + x − x = + x − x ≥ ≥ x x x Do y = x = : nghiệm Vậy m = Bài toán 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 7 x + x +1 − 2+ x +1 + 2017 x ≤ 2017   x − ( m + ) x + 2m + ≥ ( 1) ( 2) Hướng dẫn giải 2+ Điều kiện x ≥ −1 BPT ( 1) : x +1 (7 x−2 − 1) ≤ 2017 ( − x ) - Nếu x = bất phương trình thỏa - Nếu x < x −2 − < 0,1 − x > BPT thỏa - Nếu x > x −2 − > 0,1 − x < BPT khơng thỏa x2 − x + - Nếu −1 ≤ x ≤ ( ) : m ≥ x−2 Trang 33 x2 − 2x + Xét f ( x ) = , x ∈ [ −1;1] x−2 Lập BBT f ( x ) = −2 nên bất phương trình có nghiệm m ≥ −2 Vậy điều kiện cần tìm m ≥ −2 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 5.1: Giải phương trình: ( a) − 15 ) ( tan x + + 15 ) tan x =8 b) 81sin x + 81cos x = 30 Hướng dẫn ( a) Đặt ẩn phụ để ý − 15 Kết x = ± b) Kết x = ± ) (4+ tan x 15 ) tan x =1 π + kπ , k ∈ ¢ π π + kπ x = ± + kπ Bài tập 5.2: Giải phương trình sau: x −1 x −1 a) x2 = 8.4 x −2 b) 3  ÷ 5 = 53 x − Hướng dẫn a) Lơgarit hóa Kết x = x = − log b) Lơgarit hóa Kết x = ( log − ) 4log − Bài tập 5.3: Giải phương trình: a) ( + 15 ( b) − ) ( x + − 15 ) + ( + 3) x x ) x = 13 = 4x Hướng dẫn a) Kết x = b) Chia vế cho x Kết x = Bài tập 5.4: Giải phương trình: a) cos x −2 cos x = cos x b) cot x = tan x + tan x+1 Trang 34 Hướng dẫn giải a) Đặt t = cos x ,0 ≤ t ≤ dùng định lý Lagrange Kết x = k 2π x = x b) Kết tan = ± ( π + kπ ) ± , từ suy nghiệm x Bài tập 5.5: Giải phương trình: a) log ( x + 12 ) log x = b) 1 log ( x − ) − = log x − Hướng dẫn a) Đưa số Kết x = b) Đưa số Kết x = Bài tập 5.6: Giải phương trình: b) log x 16 + log x 64 = a) log log x + log log x = Hướng dẫn a) Đưa số Kết x = 16 b) Kết x = 4, x = Bài tập 5.7: Giải phương trình: ( ) a) log + x = log x b) log ( cot x + tan x ) − = log ( tan x ) Hướng dẫn ( a) Đặt log + ) x = log x = t + x = 2t x = 3t Đưa phương trình + 3t = 2t có nghiệm Kết x = b) Kết x = π 3π + kπ x = + kπ , k ∈ ¢ 8 Bài tập 5.8: Giải bất phương trình: a) x ≤ 3.2 x+x 1+ x +4 b) 4x Kết ≤ x ≤ b) Kết S = ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ ) Bài tập 5.9: Giải bất phương trình: a) ln x − + ln x + ≤ 3ln b) log x > log x Hướng dẫn a) Biến đổi tích Kết −1 − 17 ≤ x ≤ −2 ≤ x ≤ −1 + 17 < x < x > 3 b) Kết Bài tập 5.10: Giải hệ phương trình: 9 x − y = a)  log ( 3x + y ) − log ( x − y ) =  x − y = b)  log ( x + y ) − log ( x − y ) = Hướng dẫn 2 a) Phân tích x − y = ( x − y ) ( x + y ) Kết x = 1; y = b) Kết x = ;y = 2 Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình: a) 9sin b) ( x + 9cos ) x = m có nghiệm x + + 2m ( ) x − = x có nghiệm Hướng dẫn a) Đặt t = sin x,0 ≤ t ≤ xét hàm số VT Kết ≤ m ≤ 10 b) Kết m ≤ m = Bài tập 5.12: Tìm tham số m để bất phương trình a) 49 x − 5.7 x + m ≤ có nghiệm ( ) ( ) 2 b) + log x + ≥ log mx + x + m có nghiệm với x Hướng dẫn a) Kết m ≤ 25 b) Đưa đánh giá tham số m bên Kết < m ≤ Trang 36 ... toán 5. 22: Giải bất phương trình: a) log x 4x + < −1 − 5x b) log x < − x Hướng dẫn giải Trang 15 a) ĐK: x > 0, x ≠ , Nếu < x < ⇔ 4x + > ⇔ < x < , x ≠ − 5x 4x + < BPT ⇔ − 5x x 4x + x2 + 5x − + 5x... x ⇔ log x ( + log5 3) = log x.log x ⇔ log x = hay log x = log5 15 ⇔ x = hay x = 15 Trang 18 Vậy hệ PT cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) , ( 15; 15 ) Bài tốn 5. 26: Giải hệ phương trình: 3x − y =... vị { 2;3 ;5} Với số xyz = nên phương trình thứ ba hệ ln thỏa mãn Ta có: x + y + z = 2log2 a + 3log3 b + 5log5 c = a + b + c = + + = 10 x.3 y .5 z = 2log a.3log3 b.5log5 c = abc = 2.3 .5 = 30 Do