Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐỀ 02) Câu 1: Dãy số có giới hạn khác ? cos n n A B n 2n + C n D n Lời giải Chọn C −1 cos n −1 cos n < < lim = lim = lim =0 n n n n n n mà nên theo nguyên lý kẹp Loại A Ta có 2+ 2n + n =2 lim = lim n Hơn nữa, Câu 2: Dãy số ( un ) với un = A n2 + n + 2n + có giới hạn bằng: B C D Lời giải Chọn B 1+ + n2 + n + n n =1 lim = lim 2n + 2+ n Ta có: Câu 3: 2n + b 5n + Để dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, giá trị b bằng: Dãy số với A b số thực tùy ý B b nhận giá trị ( un ) un = C Không tồn b D b nhận giá trị Lời giải Chọn A b 2+ 2n + b n = , ∀b lim un = lim = lim 5n + 5+ n Ta có: Câu 4: lim ( −3n3 + 2n − ) A −3 B −6 C −∞ D +∞ Lời giải Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- Chọn C 5  lim ( −3n3 + n2 − ) = lim n3  −3 + − ÷ = −∞ n n   Ta có: Câu 5:  2n3 − 5n +  lim  ÷  3n − n  A − 2 B D +∞ C Lời giải Chọn B  − +   2n − 5n +  n n lim  ÷ = lim  3 n − n    3− n  Ta có: ( un ) Câu 6: Dãy số A −1  ÷ ÷= ÷  3 với un = n + − n có giới hạn bằng: B C D Lời giải Chọn D lim un = lim ( ) n3 + − n = lim ( Ta có: = lim Câu 7: Cho ( )      n + 13 ÷ + n + 13 + n ÷  ÷ n  n   an n n lim an = −∞ bn lim an = −1 bn A C ( 3 ) )  n3 + + n n3 + + n ÷  n3 + + n n3 + + n n3 + − n3 ( −1) = )(  n3 + − n   bn = = lim    1 n   + ÷ + + + 1÷  ÷ n  n   =0 n Khi đó: an B Khơng tồn giới hạn dãy bn lim D an =1 bn Lời giải Chọn B Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Ta đặt: un = Chuyên đề : Giới hạn- an n = ( −1) bn Theo nhận xét SGK dãy khơng tồn giới hạn Hoặc ta chứng minh khơng tồn giới hạn cách sau: Cách 1: Phản chứng Giả sử tồn giới hạn lim un = x ∈ ¡ Khi đó: lim un +1 u ( −1) = −1 1= = lim n+1 = lim n lim un un ( −1) n +1 : vô lý! Cách 2: Xét dãy Xét hai dãy lim u2 n = lim ( −1) 2n ( un ) =1 ( u2n ) ( u2n +1 ) Ta có: lim u2 n +1 = lim ( −1) n +1 = −1 Do đó, hai dãy giới hạn ( un ) không tồn ( un ) Câu 8: Cho ( ) hai dãy số có giới hạn (hữu hạn vô cực) Khẳng định sau đúng: A C lim un = lim un lim un = lim un lim 1 = un lim un lim un lim un = lim B D Lời giải Chọn A - 1 = u = n Xét dãy n , biểu thức lim n +∞ khơng có nghĩa Loại B ( −1) = ( −1) lim n n lim un = =0 n không xác định n lẻ, Loại C u lim un lim n +∞ lim n = 1, = = lim lim n +∞ không xác định Loại D Xét dãy un = = n , biểu thức Xét dãy un n , un n3 + n 6n + Câu 9: lim A B C D +∞ Lời giải Chọn A Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- 1 1+ n +n n = lim n2 = lim = lim 2 2 6n +   n6 + ÷ 6+ ÷ n n   Ta có: n + 3 lim Câu 10: Kết A n3 + 5n − 3n − n + C B −∞ D Lời giải Chọn C − n + 5n − n n3 = lim = lim 3n − n + 3− + n n Ta có: 3 L = lim  n  Câu 11: Nếu A ( 1+ ) n2 + n + − n2 + n −   L B +∞ C −1 D Lời giải Chọn C Nhân lượng liên hợp, ta được: L = lim  n  = lim (  n n + n + − n + n −  = lim   )  1   1+ + + 1+ − ÷ n n n n   2n + 3n3 4n + 2n + Câu 12: A = ( ) ( )  n2 + n − ÷  2 n + n +1 + n + n − n2 + n + − lim B +∞ C D Lời giải Chọn B Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- + 3n 2n + 3n3 lim = lim n = +∞ 4n + 2n + 4+ + n n Ta có: lim n + − n + Câu 13: B +∞ A C −∞ D Lời giải Chọn C lim n +2− n +4 Ta có: Câu 14 Kết A 10 lim ( n + 10 − n = lim n +2+ n +4 ( n2 + 2 ) −( n2 + )   n  1+ + 1+ ÷ n n  = lim  = −∞ −2 ) B +∞ D −10 C Lời giải Chọn C lim ( Câu 15 Tính ) n + 10 − n = lim lim n + 10 − n 10 = lim =0 n + 10 + n n + 10 + n n + 2n n3 + 3n − Kết là: A C Lời giải B D Chọn D + n + 2n n n =0 lim = lim n + 3n − 1+ − n n Câu 16 Trong giới hạn sau đây, giới hạn ? A lim + 2n3 2n − B lim 2n − −2 n − lim C Lời giải n − 3n −2 n − D lim 2n − 3n −2 n + n Chọn B − 2n − n n3 = lim = lim −2n3 − −2 − n Câu 17 Dãy số sau có giới hạn +∞ ? Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 A C un = 9n + n n + n2 un = 2007 + 2008n n +1 Chuyên đề : Giới hạn- B un = 2008 − 2007 n D un = n + Lời giải Chọn D    lim un = lim ( n + 1) = lim  n 1 + ÷ = +∞   n  lim n = +∞ v lim n un = = un bằng: n + n + Khi Câu 18 Cho A B C D Lời giải Chọn B 2+ ( n + 1) n =2 lim = lim = lim un n+2 1+ n Câu 19 Trong dãy số có số hạng tổng quát un sau đây, dãy số có giới hạn ? A un = n n+2 B un = 1− n 1+ n un = C Lời giải n +1 n +1 D un = n n +1 Chọn C 1 + n +1 n n lim un = lim = lim =0 n +1 1+ n Câu 20 Dãy số sau có giới hạn A C un = − n + 2n3 − 3n3 + 2n − un = n − 3n3 9n + n − − 3? −2 n + n 3n + B − n + 2n − un = 3n + 4n − D Lời giải un = Chọn C −3 n = lim n − 3n3 1 lim un = lim 9+ − = − n n 9n + n − 5n − 3n lim 4n + 2n + Câu 21 A B C Lời giải Chọn D Trang | D − Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- −3 n2 = lim 5n − 3n lim 4+ + = − n n 4n + 2n + u v w Câu 22 Cho ba dãy số ( n ) , ( n ) , ( n ) Nếu un ≤ ≤ wn với n lim un = lim A lim un = lim = lim wn B Chưa đủ thông tin để kết luận cho lim wn C lim un = lim > lim wn D lim un = lim < wn Lời giải Chọn B 1 un = = wn = + lim w n Ví dụ ta xét ba dãy: n +1 , n, n Chưa đủ thông tin để kết luận cho Ta ln có: un ≤ ≤ wn lim un = lim = lim wn = Câu 23 Tính lim A 5n + 3n − ta kết quả: B C Lời giải D Chọn B n = lim 5n + lim 3− = n 3n − Câu 24 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? 5+ 2n + lim − 2n A − n3 lim n + 2n C B ( 2n + 1) ( n − 3) lim n − 2n +1 3.2n − 3n n lim D Lời giải Chọn D n n  2 1  ÷ + ÷ 0+0 3 = lim   n  = =0 3.0 − 2 2n +  ÷ − lim n n 3 3.2 − Câu 25 Dãy số đau có giới hạn −∞ ? A un = 3n − n B un = n − 3n C un = −n + n Lời giải D un = 3n − 2n Chọn D  3  3  lim un = lim ( 3n3 − 2n ) = lim  n  − ÷ = −∞ lim  − ÷ = −2 <   n n  lim n = +∞ 100n + 7n − lim 1000n − n + Câu 26 A −9 B +∞ C −∞ D 10 Lời giải Chọn B Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn-    100 + n − n3 ÷ 100n3 + n − lim = lim  n ÷ = +∞ 1 1000n − n +  1000 − + ÷ n n   100 + − n n = >0 lim 1 1000 − + 10 n n lim n = +∞ Câu 27 Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A C lim 2n + 3n = −3 2n − lim 2n + 3n = +∞ 2n − B D lim n + 3n =1 2n − lim 2n + 3n = −∞ 2n − Lời giải Chọn C    n   + 1÷  n   ÷ ÷ 2n + 3n        = +∞ lim n = lim  ÷ n  −1 2  1     −  ÷ ÷ ÷      Ta có: Câu 28 lim ( n2 − n + − n A −∞ ) C B D − Lời giải Chọn C lim Ta có: ( ( n − n + − n ) = lim = lim n2 − n + − n )( n2 − n + + n ) n2 − n + + n −n + 1 =− 1 n 1− + + n n n Câu 29 Xét câu sau: (1) lim un = +∞ kể từ số hạng trở số hạng dãy lớn số dương tuỳ ý cho trước (2) lim un = −∞ kể từ số hạng trở số hạng dãy nhỏ số dương tuỳ ý cho trước Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- (3) Mọi dãy có giới hạn +∞ −∞ dãy không bị chặn (4) Mọi dãy khơng bị chặn có giới hạn +∞ −∞ Trong câu trên, có câu sau đúng: A (1) (3) B (1), (2) (3) C (1), (2), (3) (4) D (1), (3) (4) Lời giải Chọn C (2) sai vì: kể từ số hạng trở số hạng dãy nhỏ số ÂM tuỳ ý cho trước un = ( −1) n n (4) sai dãy khơng tồn giới hạn, ví dụ Câu 30 lim 2n − 2n + 4n + 2n + A +∞ B C D 11 Lời giải Chọn B 2 2− + 2n − 2n + n n =1 lim = lim 4n + 2n + 4+ + n n Ta có: − 2n 3n + Câu 31 A lim B − C D Lời giải Chọn C n   1 − 1 n   n ÷ 1− 2 lim n = lim ữ ì n  = +1   1  1+  ÷    3   Ta có: Câu 32 lim 9n − n − 3n A B C −1 D −3 Lời giải Chọn C Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- 1 9− 9n − n n = lim n = −1 lim = lim − 3n 2  2  n  − 3÷  − 3÷ n  n  Ta có: n 9− Câu 33 (u ) u = n + an + − n + , a số Để lim un = −1 Cho dãy số n với n giá trị a là: A B C −3 D −2 Lời giải Chọn D Ta có: lim un = lim = lim = lim ( n + an + − n + ) an + n + an + + n + a+ n a = a 1+ + + 1+ n n n a = −1 ⇔ a = − Để lim un = −1 Câu 34 ( −1) L = lim n + Khi L Gọi A n − B −1 C − D Lời giải Chọn D ( −1) Do n n 1 −1) ( ≤ ; lim = ⇒ L = lim =0 n+4 n n n+4 Câu 35 Trong bốn giới hạn sau, giới hạn −1 ? A lim n2 − n3 2n + B lim 2n + − 3n C lim n2 + n −2 n − n D lim n3 n2 + Lời giải Chọn C Trang 10 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- 1+ n2 + n n = −1 lim = lim −2n − n − −1 n Ta có: Câu 36 ( un ) Dãy số A −3 với un = − 3n − 5n cos n + n có giới hạn B −4 C −5 D −2 Lời giải Chọn C − −5 − 3n − 5n n2 n lim un = lim = lim = −5 cos n cos n + n +1 n2 Ta có: lim Câu 37 n + n − n B +∞ A C −2 D Lời giải Chọn D lim Ta có: n2 + n − n = lim ( = lim n2 + n + n n2 + n − n )( n2 + n + n ) +n   n = lim  + + ÷ = n n   n 1+  n − n sin n  lim  + ÷ − 2n n   Câu 38 A −1 B C D − Lời giải Chọn D    − n 2sin n ÷  n − n sin n  lim  + = lim  + ÷= − ÷ 2 n  n ÷  − 2n  −2 n   Ta có: Trang 11 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- n  3 un +1 − <  ÷   , với n Khi đó: Câu 39 Giả sử A lim un = B Không đủ thông tin để tính giới hạn dãy số ( un ) C lim un = −∞ D lim un = Lời giải Chọn D n n  3  3 un +1 − <  ÷ ;lim  ÷ =0   ⇒ lim ( un +1 − ) = ⇔ lim ( un ) =   Do lim Câu 40 2n + 2n + A B C +∞ D Lời giải Chọn D 2n + n =1 lim = lim 2n + 2+ n Ta có: 2+ Trang 12 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN ... = ( −1) n n (4) sai dãy khơng tồn giới hạn, ví dụ Câu 30 lim 2n − 2n + 4n + 2n + A +∞ B C D 11 Lời giải Chọn B 2 2− + 2n − 2n + n n =1 lim = lim 4n + 2n + 4+ + n n Ta có: − 2n 3n + Câu 31... 3n 2n + 3n3 lim = lim n = +∞ 4n + 2n + 4+ + n n Ta có: lim n + − n + Câu 13: B +∞ A C −∞ D Lời giải Chọn C lim n +2 n +4 Ta có: Câu 14 Kết A 10 lim ( n + 10 − n = lim n +2+ n +4 ( n2 + 2. .. = +∞ Câu 27 Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A C lim 2n + 3n = −3 2n − lim 2n + 3n = +∞ 2n − B D lim n + 3n =1 2n − lim 2n + 3n = −∞ 2n − Lời giải Chọn C    n   + 1÷  n   ÷ ÷ 2n + 3n 