WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi PHẦN MỞ ĐẦU Bài tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi dạng tốn khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia quốc tế Trong trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi tìm tòi đúc kết rút số kĩ thuật tìm giới hạn toán dạng Hiện nay, tài liệu chuyên sâu chuyên đề giới hạn dãy số hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi toán u thích tốn có thêm tài liệu tham khảo giới hạn dãy số, kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, nghiên cứu viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi” Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 Người thực đề tài Huỳnh Đoàn Thuần GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi PHẦN NỘI DUNG Trong sách giáo khoa ĐS GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 Đoàn Quỳnh chủ biên) trang 135, tập nguyên văn sau: u1 = 10  “Cho dãy số (un) xác định sau:  un+1 = un + 3, ∀n ≥ a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định = un − 15 cấp số nhân b) Tính limun” Qua phân tích giải tốn trên, tơi nhận thấy: - Nếu đề không cho câu a) mà u cầu tìm limun tốn trở nên khó lạ học sinh Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi - Việc đề yêu câu thêm câu a) để xác định công thức tổng quát (CTTQ) dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ cấp số nhân, từ áp dụng định lí giới hạn để tính limun - Khai thác tốn trên, tơi xây dựng thành kĩ thuật để tính giới hạn dãy truy hồi là: “ Kĩ thuật tính giới hạn dãy truy hồi cách xác định CTTQ dãy” Ngồi ra, q trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đúc kết thành số kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, trình kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi sau đây: GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định CTTQ dãy Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định CTTQ dãy Phương pháp xác định CTTQ dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi viết tơi trình bày kĩ thuật tìm CTTQ dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy cho cấp số cộng(CSC) cấp số nhân(CSN) tổng hiệu cấp số cộng, cấp số nhân Quay lại tập trang 135 sách giáo khoa ĐS GT 11 NC u1 = 10  Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định sau:  u =  n+1 un + 3, ∀n ≥ a) CMR dãy số (vn) xác định = un − 15 cấp số nhân b) Tính limun” Giải: a) Ta có (vn) CSN ⇔ vn+1 = q.vn (= const ), q ≠ 0, ∀n ≥ Thật vậy, ta có vn+1 = un+1 − 15 15 15 = un + − = (vn + ) − = Nên (vn) CSN có 5 4 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi n −1 25 25   công bội q = v1 = Do = v1.q n−1 =  ÷ 4 5 n −3 15   b) Từ câu a) suy un = + =  ÷ 4 5 + n −3 1 =  ÷ 5 15 15 Do lim un = 4 Nhận xét: 1/ Vì lại nghĩ phép đổi biến = un − 15 để dãy (vn) CSN? 1 Ta thấy un+1 = un + , ta cần tìm số b cho un+1 − b = (un − b) 5 1 15 ⇒ un+1 = b − b + un = un + ⇒ b = 5 Do vậy, đặt = un − 15 vn+1 = , ∀n ≥ nên (vn) CSN 2/ Ngồi ra, đặt = 5n.un , ∀n ≥ , ta có vn+1 − = 3.5n+1 , ∀n ≥ n −3 15 n 15 5n − 35   Suy = (5 − 1) + 35 ⇒ un = n = n + n =  ÷ 5 45 + 15 Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007) u1 = Cho dãy số (un) xác định  2un+1 = un + 1, ∀n ≥ Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n ≥ a) CMR dãy số (vn) với = un – , n ≥ CSN lùi vô hạn b) Tính limSn Giải: 1 1 a) Ta có vn+1 = un+1 − = un + − = (un − 1) = , ∀n ≥ 2 2 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi n−2 1 Suy dãy số (vn) CSN lùi vô hạn với công bội q = Nên =  ÷ 2 n−2 1 b) Từ câu a) suy un = + =  ÷ 2 + 1, ∀n ≥ n−2 1 Suy Sn = ∑ uk = ∑ ( ) k −2 + n = + n −  ÷ 2 k =1 k =1 n n n−  1  Vậy limSn =lim  4+n-  ÷  = +∞     Nhận xét: Có thể tìm CTTQ dãy (un) phép đổi biến = 2n.un , ∀n ≥ 1 Ta có vn+1 = 2n +1.un+1 = 2n +1 ( un + ) = + n , ∀n ≥ ⇒ vn+1 − = 2n , ∀n ≥ 2 Do = − vn−1 + vn−1 − vn−2 + + v2 − v1 + v1 = 2n−1 + 2n−2 + + + n −2 Hay = 2(2 n −1 1 − 1) + = + ⇒ un = +  ÷ 2 n Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách tập ĐS GT 11NC, NXBGD 2007) u1 =  un − Cho dãy số (un) xác định  u = , ∀n ≥ n +  u + n  a) CMR un ≠ −4, ∀n ≥ b) CMR dãy (vn) với = un + CSN Tính limun un + Giải: GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi a) Ta chứng minh quy nạp un ≠ −4, ∀n ≥ Khi n = ta có u1 = ≠ −4 Giả sử uk ≠ −4, ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 ≠ −4 Thật vậy, giả sử ngược lại uk +1 = −4 , uk − = −4 ⇒ uk − = −4uk − 24 ⇒ uk = −4 , trái với giả uk + thiết quy nạp Vậy un ≠ −4, ∀n ≥ b) Từ câu a) suy xác định với ∀n ≥ un − +1 un+1 + un + 2(un + 1) = = = , ∀n Vậy (vn) CSN lùi Ta có vn+1 = un+1 + un − + 5(un + 4) un + n 2 vô hạn với công bội q = Suy =  ÷ 5 n n 2 2 4. ÷ − 4. ÷ − 5 lim un = lim   n = −1 Nên un = n Do 2 2 1−  ÷ 1−  ÷ 5 5 u1 =  Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định  u = u +  n+1 n n(n + 1) , ∀n ≥  Tính limun Giải: 1 Ta có un +1 − un = n(n + 1) = n − n + ⇒ un = un − un −1 + un −1 − un −2 + + u2 − u1 + u1 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi ⇒ un = 1 1 1 − + − + + − + = − n −1 n n − n −1 n n Do limun = lim (2 − ) = u1 =  n Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định  Tính limun 1 un+1 = un +  ÷ , ∀n ≥ 2  n 1 Giải: Ta có un +1 − un =  ÷ ⇒ un = un − un −1 + un −1 − un− + + u2 − u1 + u1 2 n −1 n−2 1 1 ⇒ un =  ÷ +  ÷ 2 2 n −1 − ( )n 1 = 2−  + +  ÷ + =  ÷ 2 2 1−   n−1  Do limun = lim  −  ÷  =     Như vậy, xác định CTTQ dãy số tốn trở nên quen thuộc ta tính giới hạn dãy cách dễ dàng dựa vào định lí giới hạn học chương trình sách giáo khoa Sau số tập tương tự * Bài tập tham khảo: u1 = −5  1/ Cho dãy số (un) xác định  Tính limun u = u + 6, ∀ n ≥  n+1 n ĐS: limSn = -18 u1 = u 2/ Cho dãy số (un) xác định  Tính lim 2nn un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi ĐS: lim un = 22 n u1.u2 un + 3/ Cho dãy số (un) xác định un = 124+ 4422+ n 4 43 Tính lim ndaucan (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) HD: Tìm CTTQ dãy (un) un = cos u u u π , ∀n lim n n = n +1 2 π n + 4/ Cho dãy số (un) xác định un = 124− 4422+ 4 43 Tính limun ndaucan HD: Từ suy un = 2n − cos GV: Huỳnh Đoàn Thuần π π = n +1.sin n +1 Do limun = π n 2 Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lý kẹp *Cơ sở lí thuyết: Cho dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn điều kiện v n ≤ un ≤ w n , ∀n limv n =lmw n = a , limun = a (Nguyên lí kẹp) Kết hợp với việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá sử dụng ngun lí kẹp, ta tính giới hạn số dãy số cho hệ thức truy hồi Sau số ví dụ Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách tập ĐS GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)  u =  Cho dãy số (un) xác định  u = u + un , ∀n ≥ n  n+1 a) CMR: ≤ un ≤ , ∀n u n +1 b) CMR: u ≤ , ∀n Tính limun n Giải: a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh ≤ un , ∀n Ta CM un ≤ , ∀n Với n = u1 = 1 Giả sử uk ≤ , ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 ≤ Thật vậy, ta 4 4 có uk ≤ ⇒ uk ≤ uk 3 1 3 uk ≤ = Do uk +1 ≤ uk + uk = uk ≤ < 4 16 4 16 4 Vậy ≤ un ≤ , ∀n GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi u 1 n +1 b) Từ câu a) suy u = un + ≤ + = , ∀n n n −1 u u u 3 3 Do ta có < un = n n −1 u1 ≤ .u1 =  ÷ , ∀n un −1 un − u1 4 4 4 n −1   Mà lim  ÷ =0, nên theo ngun lí kẹp limun = 4 Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ dãy (un) kĩ thuật trình bày gặp nhiều khó khăn, sử dụng bất đẳng thức để đánh giá ngun lí kẹp tốn giải đơn giản Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách tập ĐS GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)  u1 = Cho dãy số (un) xác định  u = un , ∀n ≥ n +1 n +1  u n +1 a) CMR: un > u ≤ , ∀n n b) Tính limun Giải: Nhận xét: Việc xác định CTTQ dãy (un) khó khăn, từ hệ thức un +1 truy hồi ta thấy đánh giá tỉ số u dễ dàng n a) Dễ dàng chứng minh quy nạp un > 0, ∀n u 1 n +1 Từ hệ thức truy hồi ta có u = n + ≤ , ∀n ≥ n n u u u 1 1 1 b) Từ câu a) ta có < un = n n−1 u1 ≤ =  ÷ , ∀n ≥ un −1 un − u1 2 2 2 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi a) CMR < un+1 + ≤ a +1 (un + 1), ∀n ≥ b) Tính limun Giải: Nhận xét – < un < 0, với n (kiểm tra chứng minh quy nap) Từ suy < un + < Suy un+1 = un + un + un + > − < (un + 1) − = un , ∀n ≥ , nên Dãy (un ) dãy giảm Do −1 < un ≤ un−1 ≤ ≤ u1 = a < 0, ∀n ≥ ⇒ un ≥ a ⇒ un + ≥ a + ⇒ un + Nên < un+1 + = un + ≤ a2 + 1 un + ≤ a2 + (un + 1), ∀n ≥   ⇒ < un + ≤ (un −1 + 1) ≤  ÷ (un −2 + 1) 2 a +1  a +1  n −1   ≤ ≤  ÷ (u1 + 1), ∀n ≥  a +1  n −1   Hay −1 < un ≤  ÷ (a + 1) − 1, ∀n ≥  a +1  n −1     < ⇒ lim (a + 1)  Vì < ÷ − 1 = −1   a2 + a +   Do theo ngun lí kẹp ta limun = -1 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 12 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi * Bài tập tham khảo u1 =  Bài 1: Cho dãy số (un) xác định  un+1 = un + n , ∀n ≥  a) CMR un+1 − un < , ∀n ≥ 2n+1 b) Tính lim un (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) un > Bài 2: Cho dãy số (un) xác định  un ≤ un − un+1 , ∀n ≥ 1 a) CMR un < , ∀n ≥ n b) Tính lim un (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)  u =  Bài 3: Cho dãy số (un) xác định  u = u + u , ∀k = 0, n − k k  k +1 n a) CMR − < un < n b) Tính lim un (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 13 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn * Cơ sở lí thuyết: - Trong sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu định lí sau: “ a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn” - Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un ≤ M , ∀n tồn giới hạn lim un lim un ≤ M ; dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un ≥ m, ∀n tồn giới hạn lim un lim un ≥ m un = lim un+1 - Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn nlim →+∞ n →+∞ Áp dụng tính chất trên, ta tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Dạng tập phổ biến đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30/4, đề thi HSG cấp Quốc gia Quốc tế Phương pháp tỏ hiệu giải tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Sau ta xét số ví dụ minh họa u1 = u Ví dụ 1: Cho dãy số ( n ) xác định  Tính lim un un+1 = + un , ∀n ≥ Giải: Trước hết ta chứng minh dãy số ( un ) tăng bị chặn GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Chứng minh dãy ( un ) tăng quy nạp, tức un+1 > un , ∀n ≥ Khi n = ta có u2 = + u1 = + > = u1 Giả sử uk +1 > uk , uk + = + uk +1 > + uk = uk +1 Vậy un+1 > un , ∀n ≥ Nên ( un ) bị chặn Ta chứng minh dãy ( un ) bị chặn quy nạp, Khi n = ta có u1 = < Giả sử uk < 2, ∀k ≥ , uk +1 = + uk < + = Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, a ≥ Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un+1 = lim + un  a = −1 Hay a = + a ⇔ a = a + ⇔  a = Vì a ≥ nên a = Vậy lim un = Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm CTTQ dãy (un) un = 2cos π , ∀n ≥ , nhiên việc xác định CTTQ (un) 2n+1 đơn giản nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn giải trên, toán giải gọn nhẹ u1 = u2 = u Ví dụ 2: Cho dãy số ( n ) xác định  Tính lim un u = u + u , ∀ n ≥  n+1 n n −1 Giải: Nhận xét: Ta thấy u1 = u2 = , u3 = + = > u2 ; u4 = u3 + u2 = + > u3 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 15 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Dự đoán dãy số (un) dãy dương tăng Ta chứng minh quy nạp, tức un+1 > un , ∀n ≥ Rõ ràng un > 0, ∀n ≥ Khi n = ta có u3 = > u2 = Giả sử uk +1 > uk , ∀k ≥ Ta có uk + = uk +1 + uk > uk + uk −1 = uk +1 , ∀k ≥ Nên dãy (un) dãy số dương tăng ⇒ un ≥ u1 = 1, ∀n ≥ Hơn nữa, ta thấy ∀n ≥ 3, un = un−1 + un−2 < un + un = un Hay un < 4un ⇒ un < 4( un > 0) Nên (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, a ≥ Từ hệ thức truy hồi suy lim un+1 = lim un + lim un−1 Hay a = a + a ⇒ a = 4a Do a ≥ > nên a = Vậy lim un = u1 = 2010 Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định  un − 2un un+1 + 2011 = , ∀n ≥ Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải: Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0 Giả sử uk > 0, ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 > uk + 2011 >0 Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk +1 = uk + 2011 > ⇒ uk +1 = 2uk Do ta có un+1 = un + 2011 2011 = (un + ) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có 2un un GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 16 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi un + 2011 2011 un+1 = ≥ un = 2011, ∀n ≥ 2un un un+1 un + 2011 2011 1 = = + ≤ + =1 Mặt khác ta có un 2un 2 2un 2 (vì un ≥ 2011, ∀n ≥ ⇒ 2011 2011 ≤ = ) 2un 2.2011 Nên (un) dãy số giảm bị chặn 2011 , dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, < a ≤ 2010 un + 2011 un + 2011 a + 2011 ⇒ lim un+1 = lim ⇒a= Và ta có un+1 = 2un 2un 2a ⇒ a = 2011 ⇒ a = 2011 Vậy lim un = 2011 u1 = 30 Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định  un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ Tính lim un+1 un ( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: Nhận xét un > 0, ∀n ( kiểm tra chứng minh quy nạp) Hơn nữa, ta có un+1 = 30un + 3un + 2011 > 30un > un = un , ∀n ≥ Nên dãy số ( un ) dãy tăng Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, ( un ) có giới hạn hữu hạn ta đặt lim un = a ( a > 0) Ta có lim un+1 = lim 30un + 3un + 2011 ⇒ a = 30 a + 3a + 2011 ⇒ a = 30a + 3a + 2011 ⇒ 29a + 3a + 2011 = Phương trình vơ GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un) không bị chặn hay lim un = +∞ un+1 30un + 3un + 2011 2011 = = 30 + + Mặt khác un un un un Do lim un+1 2011 = 30 + lim + lim = 30 un un un u1 =  Ví dụ 5:Cho dãy số ( un ) xác định  un + un , ∀n ≥ un+1 = 2010  Tính lim ( u1 u1 u + + + n ) u2 u2 un+1 ( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: un > 0, ∀n ≥ 1(*) Từ hệ thức truy hồi ta có un+1 − un = 2010 ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ , dãy (un) dãy số tăng ⇒ un > u1 = > 0, ∀n ≥ un 1 un+1 − un un = 2010( − ) = Từ (*) suy 2010 hay un+1 un un +1 un+1.un un +1.un ⇒ u1 u1 u 1 + + + n = 2010( − ) = 2010(1 − ) u2 u un+1 u1 un+1 un+1 Do lim ( u1 u1 u + + + n ) = lim 2010.(1 − ) u2 u2 un+1 un +1 Giả sử (un) bị chặn trên, dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a (Vì un > 1, ∀n ≥ ⇒ a ≥ ) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 18 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi un + un ) Từ hệ thức truy hồi suy lim un+1 = lim( 2010 a2 + a ⇒ a = (vô lý) Vậy (un) không bị chặn, tức lim un = +∞ Hay a = 2010 ⇒ lim un+1 = +∞ Vây lim ( u1 u1 u + + + n ) = 2010 u2 u un+1 0 < u n <  Ví dụ 6: Cho dãy số ( un ) thõa mãn  un+1 (1 − un ) > , ∀n ≥ a) CMR dãy (un) dãy số tăng b) Tính limun Giải: a) Nhận xét (un) dãy bị chặn Hơn < un < ⇒ − un > un+1 > 0, ∀n Theo bất đẳng thức Cosi, ta có un+1 + (1 − un ) ≥ un +1.(1 − un ) > = 1, ∀n ⇒ un+1 > un , ∀n Do (un) dãy số tăng b) Từ câu a) nhận xét suy dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a , a ≥ Do lim [ un+1 (1 − un ) ] = lim un+1.lim(1 − un ) = a(1 − a) Mặt khác từ giả thiết suy ra, lim [ un+1 (1 − un ) ] ≥ ⇔ a2 − a + Vậy limun = 1 ⇒ a (1 − a ) ≥ 4 1 ≤ ⇔ (a − )2 ≤ ⇔ a = 2 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 19 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi u1 >  a Ví dụ 7: Cho dãy số ( un ) xác định  (a > 0) un+1 = (un + u ), ∀n ≥ n  Tính limun Giải: Nhận xét (un) bị chặn a a Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có u2 = (u1 + ) ≥ a u1 Giả sử uk ≥ a , ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 ≥ a Theo bất đắng thức Cosi giả thiết quy nạp ta có a a uk +1 = (uk + ) ≥ uk = a Do un ≥ a , ∀n ≥ , nên (un) bị chặn uk uk a Mặt khác, ta có Do un+1 a 1 = + u ≥ a , ∀n ≥ ⇒ ≤ mà n un 2un 2un 2a un+1 a a = + ≤ + = ⇒ un+1 ≤ un , ∀n ≥ nên ( un ) dãy giảm un 2un 2 2a Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = α , α > Từ hệ thức truy hồi suy a a lim un+1 = lim (un + ) ⇒ α = (α + ) ⇒ α = a (Do α > 0) un α Vậy limun = a GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi u0 >  un Ví dụ 8: Cho dãy số ( un ) xác định  Tính limun un+1 = + u , ∀n ≥ n  Giải: Nhận xét un > với n Thật vậy, u0 > u1 = Giả sử uk > 0, ∀k ⇒ uk +1 = u0 >0 + u0 uk un+1 > = < 1, ∀n (vì un > ) Do 2 + uk un + un ⇒ un+1 < un , ∀n ⇒ (un ) dãy số giảm bị chặn nên ( un ) có giới hạn hữu hạn Đặt lim un = a, từ hệ thức truy hồi suy lim un+1 = lim un a ⇒ a = ⇒ a + a = a ⇒ a = Vậy lim un = 2 + un 1+ a u1 = Ví dụ 9: Cho dãy số ( un ) xác định  un+1 = + u1.u2 un , ∀n ≥ n Tính limSn k =1 uk Đặt S n = ∑ Giải: Nhận xét: Dễ thấy un >1, ∀n ≥ ⇒ u1.u2 .uk −1 > Ta có un+1 − un = + u1.u2 .un − un > + un − un = > ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ , ( un ) dãy số tăng Giả sử ( un ) dãy bị chặn trên, dãy ( un ) có giới hạn hữu hạn, ta đặt lim un = a Ta có a = lim un+1 = lim(1 + u1.u2 un−1.un ) = + lim(u1.u2 un−1 ).lim un GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 21 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Vì lim(u1.u2 un−1 ) ≥ ⇒ a ≥ + 1.a Điều vơ lí Vậy ( un ) không bị chặn tức lim un = +∞ Mặt khác ta có, uk +1 − = u1.u2 .uk = uk (u1.u2 .uk −1 + − 1) = uk (uk − 1) ⇒ uk +1 − = 1 = − , ∀k ≥ uk (uk − 1) uk − uk n n 1 1 1 = +∑ = + − = 2− u1 k =2 uk u1 u2 − un+1 − un+1 − k =1 uk ⇒ Sn = ∑ Do limSn = lim (2 − )=2 un+1 − * Bài tập tham khảo un <  Bài 1: Cho dãy ( un ) thõa mãn điều kiện  u (1 − u ) > , ∀ n ≥ n + n  (ĐS: lim un = Tính lim un ) u1 >  a Bài 2: Cho dãy ( un ) xác định  ( Với a > 0) u = (2 u + ), ∀ n ≥ n + n  un  (ĐS: lim un = Tính lim un a) u1 =  Bài 3: Cho dãy ( un ) xác định  u =  n+1 un − un + 2, ∀n ≥ n k =1 uk Tính nlim ∑ →+∞ GV: Huỳnh Đoàn Thuần (ĐS: 1) Trang 22 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010) u1 = Bài 4: Cho dãy ( un ) xác định  un+1 = un − un + 1, ∀n ≥ n k =1 uk Tính nlim ∑ →+∞ (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)  u =  Bài 5: Cho dãy ( un ) xác định  u = un + 4un + un , ∀n ≥  n+1 n có giới hạn hữu hạn tính giới hạn k =1 uk Chứng minh dãy yn = nlim ∑ →+∞ (VMO 2009) (ĐS:limyn= 6) u1 = a > Bài 6: Cho dãy ( un ) xác định  un+1 = un , ∀n ≥ n uk k =1 uk +1 − Tính nlim ∑ →+∞ (Tạp chí THTT tháng 10/2010) ĐS: a u1 = a >  un + un − Bài 7: Cho dãy ( un ) xác định  u = , ∀n ≥  n+1 u n  n k =1 uk − Tính nlim ∑ →+∞ (Tạp chí THTT tháng 10/2010) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 23 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi u1 = 2009 u Bài 8: Cho dãy ( n ) xác định  un+1 = un ( un + 1) , ∀n ≥ n Tính nlim ∑ →+∞ k =1 uk + n (Tạp chí THTT tháng 10/2010) (ĐS: nlim ∑ →+∞ k =1 uk + = ) 2009 u1 =  Bài 9: Cho dãy ( un ) xác định  u = ( un + 1), ∀n ≥ n +  n k =1 uk + Tính nlim ∑ →+∞ (Tạp chí THTT tháng 10/2010) u1 =  Bài 10: Cho dãy ( un ) xác định  u = ( un − 7un + 25), ∀n ≥ n +  n k =1 uk − Tính nlim ∑ →+∞ GV: Huỳnh Đồn Thuần (Tạp chí THTT tháng 10/2010) Trang 24 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi PHẦN KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc kết rút kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai khối 11 khối 12 năm học 2010 – 2011 Qua năm triển khai thực đề tài này, tơi thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho năm Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết Tôi mong hội đồng chuyên mơn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cho năm Nhà trường đạt hiệu cao Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Duyệt Hội đồng chuyên môn nhà trường: ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… … Duyệt Hội đồng chuyên môn cấp trên: ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 26 WWW.ToanCapBa.Net ... cho hệ thức truy hồi un + 2011 2011 un+1 = ≥ un = 2011, ∀n ≥ 2un un un+1 un + 2011 2011 1 = = + ≤ + =1 Mặt khác ta có un 2un 2 2un 2 (vì un ≥ 2011, ∀n ≥ ⇒ 2011 2011 ≤ = ) 2un 2 .2011 Nên (un)... bị chặn 2011 , dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, < a ≤ 2010 un + 2011 un + 2011 a + 2011 ⇒ lim un+1 = lim ⇒a= Và ta có un+1 = 2un 2un 2a ⇒ a = 2011 ⇒ a = 2011 Vậy lim un = 2011 u1... 2010 – 2011) Giải: Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0 Giả sử uk > 0, ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 > uk + 2011 >0 Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk +1 = uk + 2011 > ⇒