http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT r r Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k�0 vectơ, kí hiệu ka r r , hướng với hướng với a k> , ngược hướng với a k< r có độ dài k a r r r r Quy ước: 0a= k0 = Tính chất : r r r i) (k + m)a= ka+ ma r r iii) k(ma) = (km)a r r r r v) 1a= a, (- 1)a=- a r r r r ii) k(a�b) = ka�kb � r r k= r iv) ka= � � � r a= � � Điều kiện để hai vectơ phương r r r r r r  b phương a ( a�0) có số k thỏa b= ka uuu r uuur  Điều kiện cần đủ để A , B,C thẳng hàng có số k cho AB = kAC Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương r r r r r r Cho a không phương b Với vectơ x biểu diễn x = ma+ nb với m, n số thực B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC tính độ dài chúng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) uur uuur CB + MA A.a B.2a C.3a D.4a uuu r uuu r b) BA - BC A c) B a C a D a B a 21 C a 21 D a 21 B a 127 C a 127 D a 127 r uuur uuu AB + 2AC A d) a a 21 uuur uuur MA - 2,5MB A a 127 Lời giải: (Hình 1.14) uur uuur CB = CM suy theo quy tắc ba điểm ta có a) Do r uur uuur uuur uuur uuu CB + MA = CM + MA = CA Vậy uur uuur CB + MA = CA = a Hình 1.14 b) Vì r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA - BC = BA - BM = MA 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Theo định lí Pitago ta có �� a� a MA = AB - BM = a - � �= � �� 2� �� 2 uuu r uuu r a Vậy BA - BC = MA = 2 c) Gọi N trung điểm AB, Q điểm đối xứng A qua C P đỉnh hình bình hành AQPN r uuur uuur uuur uuu AB = AN , 2AC = AQ suy theo quy tắc hình bình hành ta có r uuur uuur uuur uuu r uuu AB + 2AC = AN + AQ = AP Khi ta có Gọi L hình chiếu A lên QN � = MNB � = CAB � = 600 Vì MN / / AC � ANL Xét tam giác vuông ANL ta có � = sin ANL AL � = a sin600 = a � AL = AN sin ANL AN � = cos ANL NL � = a cos600 = a � NL = AN cos ANL AN a 9a Ta lại có AQ = PN � PL = PN + NL = AQ + NL = 2a+ = 4 Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có AP = AL2 + PL2 = Vậy 3a2 81a2 21a2 a 21 + = � AP = 16 16 r uuur uuu a 21 AB + 2AC = AP = 2 d) Gọi K điểm nằm đoạn AM cho MK = MA , H thuộc tia MB cho MH = 2,5MB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Khi uuur uuuu r uuur uuur MA = MK , 2,5MB = MH Do uuur uuur uuuu r uuur uuur MA - 2,5MB = MK - MH = HK a 5a 3 a 3 3a Ta có MK = AM = , MH = 2,5MB = 2,5 = = 4 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vng KMH ta có KH = MH + MK = Vậy 25a2 27a2 a 127 + = 16 64 uuur uuur a 127 MA - 2,5MB = KH = Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuuu r a) Chứng minh u = 4MA - 3MB + MC - 2MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u r u A = a r B u = a r u C = 3a r u D = 2a Lời giải: (Hình 1.15) a) Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur u = MO + OA - MO + OB + MO + OC - MO + OD uuur uuu r uuu r uuur = 4OA - 3OB + OC - 2OD ( ) ( ) ( ) ( uuur uuu r uuu r uuur r uuur uuu r Mà OD =- OB, OC =- OA nên u = 3OA - OB r Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M ) Hình 1.15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Lấy điểm A ' tia OA cho OA ' = 3OA uuuu r uuur r uuuu r uuu r uuur OA ' = 3OA u = OA '- OB = BA ' Mặt khác BA ' = OB2 +OA '2 = OB2 + 9OA = a r Suy u = a Bài tập luyện tập Bài 1.26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M , N trung điểm BC , CA Dựng vectơ sau tính độ dài chúng uuur uur a) AN + CB A b) a B a C a D a B a C 5a D 3a B a 28 C 5a 28 D 3a 28 B 3a C a D a r uuuu r uuu BC - 2MN A 7a uuu r uuur c) AB + 2AC A 7a 28 uuur uuur c) 0,25MA - MB A 5a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uur uuur uuur uuuu r AN + CB = NC + CM = NM uuur uur a Suy AN + CB = MN = AB = 2 r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuu b) Theo quy tắc trừ ta có BC - 2MN = BM - BA = AM � Hình r uuuu r uuu a BC - 2MN = AM = 2 c) Gọi F điểm đối xứng A qua C , điểm E là đỉnh hình bình uuu r uuur uuu r uuu r uuu r hành ABEF , theo quy tắc hình bình hành ta có AB + 2AC = AB + AF = AE Gọi I hình chiếu E lên AC � = CAB � = 600 Vì AB / / EF � EIF � = sin IFE IE � = asin600 = a � IE = EF.sin IFE EF � = cos IFE IF � = acos600 = a � IF = EF.cos IFE EF Áp dụng định lí Pitago ta có 2 � � a� a 3� a 28 � � 2 � � � � AE = AI + IE = � 2a+ � + = � � � � � 2� � � � �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur a 28 Suy AB + 2AC = AE = uuur uuuu r uuur uuur d) Lấy điểm H , K cho 0,25MA = MH ; MB = MK uuur uuur uuuu r uuur uuur Suy 0,25MA - MB = MH - MK = KH uuur uuur Do 0,25MA - MB = KH = 2 �AM � � � � � MB� �+� �= � � � � � �4 � � � � 2 � �� a 3� a� a � � � � � +� �= � � � � � � �� 4� �8 � Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuuu r a) Chứng minh u = MA - 2MB + 3MC - 2MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u r A u = 4a r B u = a r C u = 3a Lời giải: Bài 1.27: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur u = MO + OA - MO + OB + MO + OC - MO + OD uuur uuu r uuu r uuur = OA - 2OB + 3OC - 2OD ( ) ( ) ( ) ( uuur uuu r uuu r uuur r uuur Mà OD =- OB, OC =- OA nên u =- 2OA r Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M r uuur b) u = - 2OA = 2OA = a DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải ) r D u = 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng:  Các tính chất phép tốn vectơ  Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ  Tính chất trung điểm: uuur uuur r M trung điểm đoạn thẳng AB � MA + MB = uuur uuu r uuur M trung điểm đoạn thẳng AB � OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý)  Tính chất trọng tâm: uuu r uur uuu r ur G trọng tâm tam giác ABC � GA + GB + GC = O uuur uuu r uuu r uuur G trọng tâm tam giác ABC � OA + OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Khẳng định sau đúng? a) uuur uuu r ur A AC + BD = IJ uuur uuu r ur B AC + BD = IJ uuur uuu r ur C AC + BD = 3IJ uuur uuu r ur D AC + BD = 2IJ uuur uuu r uuu r uuur ur A OA + OB + OC + OD = IJ uuur uuu r uuur uuur uuur B OA + OB + OC + OD = 2OI uuur uuu r uuu r uuur r C OA + OB + OC + OD = uuu r uuu r uuu r uuur uuur D OA + OB + OC + OD = 2OJ b) c) với M điểm uuur uuur uuur uuuu r uuuu r A MA + MB + MC + MD = 3MO uuur uuur uuur uuuu r uuuu r B MA + MB + MC + MD = 2MO uuur uuur uuur uuuu r uuuu r C MA + MB + MC + MD = MO uuur uuur uuur uuuu r uuuu r D MA + MB + MC + MD = 4MO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: (Hình 1.16) a) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uur ur uur ur uur AC = AI + IJ = AI + IJ + JC uuu r uu r ur uur Tương tự BD = BI + IJ + JD Hình 1.16 14 uur uu r r uur uur r Mà I, J trung điểm AB CD nên AI + BI = 0, JC + JD = uuur uuu r uur uu r uur uur ur ur AC + BD = AI + BI + JC + JD + IJ = IJ Vậy đpcm ( ) ( ) uuur uuu r uur uuu r uuur uur b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA +OB = 2OI , OC + OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O trung điểm IJ nên OI + OJ = uuur uuu r uuu r uuur uur uur r OA + OB + OC + OD = OI + OJ = Suy đpcm ( ) uuur uuu r uuu r uuur r c) Theo câu b ta có OA +OB +OC +OD = với điểm M uuur uuu r uuu r uuur r OA +OB +OC +OD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r � OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = ( ) ( ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuuu r uuuu r � MA + MB + MC + MD = 4MO đpcm Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm G Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 Chứng minh uuuu r uuuu r uuuu r r GG1 + GG2 + GG3 = Lời giải: uuuu r uur uuu r uuur Vì G1 trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1 Tương tự G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r uuu r uur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur 3GG2 = GA + GB +GC1 3GG3 = GA + GC +GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uur uuu r uuur uuur uuur GG1 +GG2 +GG3 = GA +GB + GC + GA1 + GB1 + GC1 ( ) ( ) Mặt khác hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm G nên uuur uuur uuur uuu r uur uuu r r GA + GB1 + GC1 GA + GB + GC = uuuu r uuuu r uuuu r r Suy GG1 + GG2 + GG3 = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chọn khẳng định đúng? a) uuur uuu r uuur uuur A HA + HB + HC = 4HO uuur uuu r uuur uuur B HA + HB + HC = 2HO uuur uuu r uuur uuur C HA + HB + HC = HO uuur uuu r uuur uuur D HA + HB + HC = 3HO uuur uuu r uuu r uuur A OA +OB +OC = OH uuuuur uuur uuu r uuur B OA + OB + OC = OH uuur uuu r uuur uuur C OA + OB + OC = OH uuur uuu r uuu r uuuur D OA +OB +OC = 2OH uuur uuur uuur A GH + 2GO = OA uuur uuur r B GH + 2GO = uuur uuur uuu r C GH + 2GO = AB uuur uuur uuur D GH + 2GO = AC b) c) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur � 2ME = 2MF � ME = MF Vậy tập hợp điểm M đường trung trực EF uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur MA + MB MC = MA + MA + AB MA + AC b) Ta có ( ) ( ) uuu r uuur uuu r uuur uuu r = 2AB- 3AC = 2AB- 2AH = 2HB uuur uuur Với H điểm thỏa mãn AH = AC uuur uuur uuur uuur uuur Suy MA + MB = k MA + 2MB- 3MC ( ) uuur uuu r uuur uuu r � 2ME = 2kHB � ME = kHB Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua E song song với HB Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý, lấy điểm M N cho uuuu r uuu r uuur uuur AM = kAB, DN = kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN k thay đổi A tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AC BD, B tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AD BC, C tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AB DC, D Cả A, B, C sai Lời giải: (hình 1.29) Gọi O, O' trung điểm AD BC, ta có uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r AB = AO + OO ' + O ' B DC = DO +OO ' + O 'C uuu r uuur uuuu r Suy AB + DC = 2OO ' Tương O, I trung điểm AD MN nên uuuu r uuur uur AM + DN = 2OI Hình 1.29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uur uuu r uuur uuuu r Do OI = kAB + kDC = kOO ' ( ) Vậy k thay đổi, tập hợp điểm I đường thẳng OO' Bài tập luyện tập Bài 1.59 Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA - MB A Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB B Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB C Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB D Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur b) 2MA + MB = MA + 2MB Lời giải: Bài 1.59: a) Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính điểm AB uuu r uur r b) Gọi K điểm thoả mãn: 2KA + KB = uur uur r L điểm thoả mãn: LB + 2LC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: 2MA + MB = MB + 2MC � MK = ML Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng KL AB với I trung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.60 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur a) MA + kMB = kMC với k số thực thay đổi r uuur uuur uuur uuu r b) v = MA + MB + 2MC phương với véc tơ BC uuur uuu r uuur uuur c) MA + BC = MA - MB (HD: dựng hình bình hành ABCD) Lời giải: Bài 1.60: a) Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r MA + kMB = kMC � MA = k(MC - MB) � MA = kBC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song với cạnh BC ABC uur uu r uur r b) Gọi J trung điểm AB, I trung điểm JC ta có IA + IB + 2IC = r uuur uuur uuur uuu r � v = MA + MB + 2MC = 4MI r uuu r Do v phương với BC M thuộc đường thẳng qua I song song với BC Bài 1.61 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) 2MA + 3MB = 3MB- 2MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 4MA + MB + MC = 2MA - MB - MC Lời giải: uuu r uur r Bài 1.61: a) Gọi K điểm thoả mãn: 2KA + 3KB = uur uur r L điểm thoả mãn: 3LB- 2LC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB = MB + MC � MK = ML Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng KL uur uu r uur r b) Với I trung điểm BC Gọi J điểm thoả mãn: 4JA + JB + JC = Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4MA + MB + MC = 2MA - MB- MC uuu r uuur uuu r uuu r uur � 6MJ = 2MA - 2MI � 6MJ = 2IA � MJ = IA Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm J bán kính R = IA Bài 1.62: Cho tứ giác ABCD uuu r uuu r uuur a)Xác định điểm O cho : OB + 4OC = 2OD uuur uuur uuuu r uuur MB + MC MD = MA b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức Lời giải: uuu r uuu r uuur uuu r uu r Bài 1.62: a) OB + 4OC = 2OD � OB = CI với I trung điểm BD uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur b) MB + 4MC - 2MD = 3MA � MO = MA Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn OA Bài 1.63: Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho : uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MA + MB + MC + MD + ME + MF nhận giá trị nhỏ Lời giải: Bài 1.63: Gọi P trọng tâm D ABC , Q trọng tâm D DEF uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MA + MB + MC + MD + ME + MF = uuur uuuu r MP + MQ = 3( MP + MQ) �3QP Dấu " = " xảy M thuộc đoạn PQ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy tập hợp điểm M cần tìm điểm thuộc đoạn PQ Bài 1.64: Trên hai tia Ox Oy góc xOy lấy hai điểm M, N cho OM + ON = a với a số thực cho trước tìm tập hợp trung điểm I đoạn thằng MN Bài 1.64: Gọi hai điểm M , N thuộc tia Ox Oy cho uuu r a- k uuuuuu r a OM = ON = Giả sử OM = k, �k �a ta có MI = M 0N Do tập a hợp điểm I đoạn M 0N DẠNG 7: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ Phương pháp giải Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam r r r r r giác kết " ma+ nb= � m= n = với a, b hai vectơ không phương " Các ví dụ Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác uuur uuur uuu r uuur ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết PM = BM ; AP = AN 5 ABCD tứ giác hình gì? A hình bình hành B.hình thang C.hình chữ nhật D.hình vng Lời giải: uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur Ta có: AB = AM + MB = AM + 5MP uuu r uuuu r uuur uuur = 5AP - 4AM = 2AN - 2AD uuur uuur uuur = 2(AD + DN )- 2AD uuur uuur = 2DN = DC � ABCD hình bình hành http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả uuu r uur uuu r r mãn: a2GA + b2GB + c2GC = ABC tam giác ? A.đều B.cân A C.thường D.Vuông B Lời giải: uuu r uur uuu r r uuu r uur uuu r G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = � GA =- GB- GC Suy uuu r uur uuu r r a2GA + b2GB + c2GC = uur uuu r uur uuu r r � a2 - GB- GC + b2GB + cGC = uur uuu r r � ( b2 - a2 ) GB +( c2 - a2 ) GC = 0.( *) ( ) uur uuu r Vì GB GC hai vecơ khơng phương, (*) tương đương với: � b2 - a2 = � � a= b= c hay tam giác ABC �2 � c - a2 = � Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm thay đổi uuuu r uuur uuur r CA, AB thoả mãn AA ' + BB' +CC ' = Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Lời giải: uuur uuur uuuu r uuu r Giả sử AB' = mAC , AC ' = nAB uuur uuur uuu r uuur uuu r Suy BB' = AB' - AB = mAC - AB uuur uuuu r uuur uuu r uuur CC ' = AC ' - AC = nAB- AC uuuu r uuu r uuur Mặt khác A' trung điểm BC nên AA ' = AB + AC ( uuuu r uuur uuur r Do AA ' + BB' + CC ' = � r uuur uuur uuu r uuu r uuur r uuu AB + AC + mAC - AB + nAB- AC = ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r � 1� uuur r � 1� n- � AB +� m- � AC = � � hay � � � � � 2� � � 2� � � uuu r uuur Vì AB, AC khơng phương suy m= n = B', C' trung điểm CA, AB Vậy BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Bài tập luyên tập Bài 1.65: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thoả mãn uuur uuu r uuu r uuur r OA + OB + OC + OD = tứ giác ABCD hình gì? A hình bình hànhB.hình thang vng C.hình chữ nhật D.hình Lời giải: uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r Bài 1.65: Đặt OA = xAC , OC = yAC , OB = zBD , OD = tBD uuur uuu r uuu r uuur r uuur uuu r r Suy OA + OB + OC + OD = � ( x + y) AC +( z + t) BD = Do x =- y; z =- t � OA = OC , OB = OD nên tứ giác ABCD hình bình hành Bài 1.66: Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả uuuu r uuur uuur r mãn AA ' + BB' +CC ' = Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC Lời giải: uuuu r uuur uuur r Bài 1.66: Ta có AA ' + BB' + CC ' = uuu r uuu r uuu r uur uuuu r BA + BC CA +CB r uuur uuur r � AA ' + + = � BA ' + CA ' = 2 � AA' trung tuyến tam giác ABC Bài 1.67: Cho ABC có A', B', C' điểm thay đổi BC, CA, AB cho uuuu r uuur uuur r AA ', BB', CC ' đồng quy thoả mãn AA ' + BB' + CC ' = Chứng minh AA ', BB', CC ' trung tuyến tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur Bài 1.67: Giả sử A ' B = kA 'C , B'C = mB' A , C ' A = nC ' B uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r AB- kAC A ' B = kA 'C � AB- AA ' = k AC - AA ' � AA ' = 1- k ( ) uuu r uuur uuu r uuu r uuur BC - mBA ( m- 1) AB + AC Tương tự ta có BB' = , = 1- m 1- m uuu r uuur uuu r uur uuur CA - nCB - nAB +( n- 1) AC CC ' = = 1- n 1- n uuuu r uuur uuur r � AA ' + BB' + CC ' = uuu r �- k �1 n � � �� - 1AB +� + � � � � � � 1- k 1- n� 1- k 1- m � � Suy � uuu r r � 1� AB = � � � n - k - 1= + - 1= � k = m= n 1- k 1- n 1- k 1- m Mặt khác theo định lí Xêva ta có kmn=- nên k = m= n =- Vậy AA ', BB', CC ' trung tuyến tam giác ABC Bài 1.68: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn uuur uuu r ur AD + BC = 2IJ Chứng minh J trung điểm CD Lời giải: uuur uuu r ur uur uur ur Bài 1.68: AD + BC = 2IJ � ID + IC = 2IJ uur uur uur Gọi K trung điểm DC suy ID + IC = 2IK K �J hay J trung điểm CD Bài 1.69: Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho uuur uuu r uuu r uuur r OA = OB = OC = OD OA + OB + OC + OD = Chứng minh ABCD hình chữ nhật Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.69: (hình 1.55) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA từ phương trình thứ hai ta được: r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r r = OA + OB+ OC + OD = 2OM + 2OP � OM +OP = � M , P ,O thẳng hàng O trung điểm MP r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r = OA + OB+ OC + OD = 2ON + 2OQ � ON +OQ = Hình 1.55 � N ,Q ,O thẳng hàng O trung điểm NQ Ta có D OAD cân O nên NQ ^ AD , D OBC cân O nên NQ ^ BC suy AD / / BC Tương tự AB / / DC suy ABCD hình bình hành Mà N, Q trung điểm BC, AD nên AB / / NQ � AB ^ BC Suy ABCD hình chữ nhật Bài 1.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác ABC A', B', C' điểm thỏa mãn: uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuur OA = 3OA ', OB = 3OB', OC = 3OC ' Chứng minh G trực tâm tam giác A ' B' C ' Lời giải: uuur uuur uuu r uuu r Bài 1.70: G trọng tâm tam giác ABC nên 3OG = OA + OB + OC uuur uuuu r uuur uuur Do OG = OA ' + OB' + OC ' Suy G trực tâm tam giác A ' B'C ' Bài 1.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H trực tâm uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r tam giác A', B', C' điểm thỏa mãn: OA ' = 3OA , OB' = 3OB, OC ' = 3OC Chứng minh H trọng tâm tam giác A ' B'C ' Lời giải: uuur uuur uuu r uuur Bài 1.71: H trực tâm tam giác ABC suy OH = OA + OB + OC uuur uuuu r uuur uuur Do 3OH = OA ' +OB' + OC ' hay H trọng tâm tam giác A ' B'C ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.72: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng AM cắt BC D, BM cắt CA E CM cắt AB F Chứng minh uuur uur uur r AD + BE + CF = M trọng tâm tam giác ABC Lời giải: Bài 1.72: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau r r r Cho ba véc tơ a; b; c đôi không phương thỏa mãn điều kiện : r r r r � ma+ nb+ pc = � � r r r ( m, m' �0) � r � m ' a + n ' b + p ' c =0 � � Chứng minh : p m n = = Thật : m' n' p' Dễ thấy m, m' �0 suy n, n’, p, p’ phải khác không �r n r p r � a= b+ c � � m m � Từ giả thiết ta có : � r n' r p' r � � a= b+ c � � m' � m' véc tơ phân tích cách qua hai véc tơ không phương nên p n n' p p' m n = ; = � = = m m' m m' m' n' p' Trở lại toán uuur uur uur r AD uuur BE uuur CF uuur r MA + MB + MC = Ta có AD + BE + CF = � MA MB MC Mặt khác S BE S CF S AD SABD S = = = = ADC = , tương tự MB S- Sb MC S- Sc MA SABM SACM S- Sa (với S = SABC ,Sa = SMBC , Sb = SMCA , Sc = SMAB ) uuur uuur uuur r MA MB MC + + =0 Do ta có S- Sa S- Sb S- Sc uuur uuur uuur r Mặt khác ta có Sa MA +Sb MB + Sc MC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1 Áp dụng bổ đề suy S- Sa S- Sb S- Sc hay M trùng trọng = = � Sa = Sb = Sc Sa Sb Sc tâm tam giác ABC DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ Phương pháp  Sử dụng bất đẳng thức bản: r r Với vectơ a, b ta ln có r r r r r r + a+ b � a + b , dấu xảy a, b hướng r r r r r r a + - b � a - b , dấu xảy a, b ngược hướng uuu r MI  Đưa toán ban đầu tốn tìm cực trị với M thay đổi uuu r + Nếu M điểm thay đổi đường thẳng D MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu M lên D uuu r MI + Nếu M điểm thay đổi đường tròn (O) đạt giá trị nhỏ uuu r MI M giao điểm tia OI với đường tròn; đạt giá trị lớn M giao điểm tia IO với đường tròn Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường uuur uuur uuur thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ T = MA + MB- MC Lời giải: uur uu r uur r Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI IA + IB- IC = uuu r uur uuu r uu r uuu r uur Khi : T = MI + IA + MI + IB - MI + IC ( ) ( ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uur uu r uur uuu r = MI + IA + IB- IC = MI Vậy T đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d Ví dụ 2: Cho tam giác ABC A ' B'C ' tam giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA '+ BB'+ CC ' uuu r uur uuu r r uuuuu r uuuur uuuur r Giải: Vì GA + GB + GC = G ' A ' + G ' B' +G 'C ' = nên uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuur uuu r AA ' + BB' + CC ' = AG + GG ' + G ' A + BG + uuur uuuur uuu r uuur uuuur + GG ' + G ' B' + CG + GG ' + G 'C ' uuur uuu r uur uuu r uuuuu r uuuur uuuur uuur = 3GG '- (GA + GB + GC) + (G ' A ' + G ' B' + G 'C ') = 3GG ' Do đó: uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur AA '+ BB'+ CC ' = AA ' + BB' + CC ' � AA ' + BB' + CC ' = GG ' = 3GG ' uuuu r uuur uuur Đẳng thức xảy vectơ AA ', BB', CC ' hướng Vậy giá trị nhỏ T 3GG ' Bài tập luyên tập Bài 1.73: Cho tam giác ABC , đường thẳng d ba số a ,b , g cho a + b + g �0 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức uuur uuur uuur T = a MA + b MB + gMC đạt giá trị nhỏ Lời giải: Bài 1.73: Do a + b + g �0 nên tồn điểm I cho uur uu r uur r a IA + b IB + gIC = uuur uuur uuur uuu r uur uuu r uu r uuu r uur Ta có a MA + b MB + gMC = a(MI + IA ) + b(MI + IB) + g(MI + IC) uuu r uur uu r uur uuu r = (a + b + g)MI + a IA + b IB + gIC = (a + b + g)MI Do T = a + b + g MI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy T nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d Bài 1.74: Cho tam giác ABC Tìm điểm M đường tròn (C) ngoại tiếp tam uuur uuur uuur giác ABC cho MA + MB + MC a) Đạt giá trị lớn b) Đạt giá trị nhỏ Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.74: G trọng tâm tam giác ABC ta có MA + MB + MC = MG a) M giao điểm tia GO với (C) b) M giao điểm tia OG với (C) Bài 1.75: Cho tứ giác ABCD A ' B'C ' D ' tứ giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA '+ BB'+ CC '+ DD ' Lời giải: Bài 1.75: ĐS: T = 4GG ' Bài 1.76: Cho tam giác ABC M, N, P điểm cạnh BC, uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r CA, AB cho BM = kBC , CN = kCA , AP = kAB Chứng minh đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Do đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Lời giải: uuuu r uuur uur r Bài 1.76: Ta có AM + BN + CP = uuuu r uuur uur uuuu r uuur uur uuur uur Suy AM =- BN + CP � AM = BN + CP � BN + CP ( ) uuur uur Vì BN CP khơng phương nên khơng thể xảy dấu AM < BN + CP Tương tự ta có BN < AM + CP , CP < AM + BN Bài 1.77 : Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh AB không trùng với http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải đỉnh ta có: MC.AB < MA.BC + MB.AC Lời giải: uuur MB uuu r MA uur MB MA CA + CB � MC < CA + CB Bài 1.77: CM = AB AB AB AB Hay MC.AB < MA.BC + MB.AC Bài 1.78: Cho tứ giác ABCD , M điểm thuộc đoạn CD Gọi p, p1 , p2 chu vi tam giác AMB, ACB, ADB Chứng minh p < max{ p1; p2} Lời giải: uuuu r MD uuur MC uuur MD MC AC + AD � AM < AC + AD Bài 1.78: Ta có: AM = CD CD CD CD uuur MD uuu r MC uuu r MD MC BC + BD � BM = BC + BD BM = CD CD CD CD Từ suy MD MC ( AC + BC) + ( AD + BD) CD CD � MD MC � � � AM + BM < � + max{ AC + BC; AD + BD} � � � �CD CD � � AM + BM < � p < max{ AC + BC + AB; AD + BD + AB} Hay p < max{ p1; p2} Bài 1.79: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n+ điểm Pi , i = 1,2, ,2n + 1( n �N ) phía với đường kính Chứng uuur OP � i �1 2n+1 minh i=1 Lời giải: Bài 1.79: Ta chứng minh quy nạp + Với n= : hiển nhiên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải + Giả sử BĐT với n = k ta chứng minh với n = k+ hay uuur OP � i �1 2k+3 i=1 uuur uuuuuur Trong 2k+ vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1 , OP2k+3 r 2k+2 uuur uuur uuur uuuuuur uuu Đặt OA = OP1 + OP2k+3 , OB = �OPi i =2 � � Suy điểm A, B nằm góc P OP2k+3 AOB� 900 uuur uuu r uuu r � OA + OB � OB uuu r Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB = 2k+2 i =2 uuur uuur uuu r uuu r OP = OA + OB � OB �1 Suy � i 2k+3 i=1 uuur �OP i �1 ... liệu file word có lời giải Bài 1.34: Cho n vectơ đôi khác phương tổng n- vectơ n vectơ phương với vectơ lại Chứng minh tổng n vectơ cho vectơ không Lời giải: ur r ur ur ur Bài 1.34: Giả sử n vectơ. .. (*) ta có : uur r uur uu r uur r a uur b uu IC =- IA - IB � aIA + bIB + cIC = c c Bài tập luyện tập Hình 1.20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.28:... (a + b)MI đpcm Bài tập luyện tập uuur uuur uuur r Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA + 2MB + 3MC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.41: Xác định