(Đề thi HSG, lớp 10,Trại hè Hùng Vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực x + x + 3x − + x + x + = Câu (4 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Goin H trực tâm ∆ABC P điểm đoạn BC (P ≠ B; P ≠ C) Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC T (T ≠ H) Đường thẳng TP cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC K (K ≠ T) Giả sử BK cắt AC M; CK cắt AB N Gọi X, Y trung điểm BN, CM a) chứng minh tứ giác ANKM nội tiếp b) chứng minh ·XPY có số đo khơng đổi P di động BC Câu (4 điểm) 1 Xét số thực dương x,y z thỏa mãn + + = x y z Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + + xy y + + yz z + + zx Câu (4 điểm) Với tam thức bậc hai a + bx + c cho phép thực phép biến đổi sau: (i) Đổi chỗ a c cho hoặc, (ii) Thay đổi x x + t với t số thực Bằng cách lặp lại phép biến đổi biến đổi tam thức x + x − 2015 thành tam thức 2016 x + x − hay khơng? Câu (4 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho số n − n5 + 2n + n3 − n + có ước số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu (1) x + x + 3x − + x + x + = ⇒ ( x + x − − 2) + ( x + x + − 3) = ⇔ ⇔ x + x + 3x − x + x + 3x − + x3 + x − x3 + x + + =0 ( x − 1) ( x + x + 5) ( x − 1) ( x + x + ) x + x + 3x − + x3 + x + + =0  x + x + 5) x2 + x + )  ( (  = ⇔ x =1 ⇔ ( x − 1)   x + x + x − + x3 + x + +  Thử lại x = thỏa mãn (1) Vậy phương trình có nghiệm x = · Câu a) Dễ thấy: BHC = 1800 − µA · · · Từ suy MKC = 1800 − BKC = 1800 − BHC = µA · Do NKM = 1800 − µA suy tứ giác ANKM nội tiếp · · · b) Ta có BTC nên T đối xứng với A qua BC = 1800 − BHC = BAC · · µ , suy tứ giác PKB nội tiếp Do PKC = TBC = ·ABC = B Tương tự ta có tứ giác PKMC nội tiếp · · µ = PBN · · · · Do PMC = PKC =B ; MKC = NKB = NPB ⇒ ∆PBN : ∆PMC · Vì X, Y hai trung điểm tương tự BN, CM nên ·XPB = MPY , từ suy 0 ·XPB = BPM · · · = 180 − MPY = 180 − MKC = 180 − µA khơng đổi 4 Câu Ta có x + ≥ x ⇒ x + + xy ≥ x ( x + y ) Do x ≤ x + + xy ( x + y ) y z ≤ ≤ Tương tự ; y + + yz ( y + z ) z + + zx ( z + x ) x y z 1 1  + + ≤  + + ÷ (*) x + + xy y + + yz z + + zx  x + y y + z z + x  1 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc + ≥ x y x+ y Do http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 11 1 1 1 + + ≤  + + + + + + ÷= (**) x+ y y+ z z+x 4 x y y z z x Từ (*) (**) suy điều phải chứng minh Câu 4.Với tam thức f(x) = ax + bx + c , kí hiệu biệt thức f(x) alf ∆ F = b − 4ac Với phép biến đổi (i) ⇒ ax + bx + c biến đổi thành cx + bx + a , suy chúng có biệt thứ ∆ = b − 4ac Với phép biến đổi (ii), gọi x1, x2 nghiệm f1(x) = ax + bx + c suy x1 + t; x2 + t nghiệm f2(x) = a(x + t)2 + b(x + t) + c b c Vì x1 + x2 = − ; x1x2 = nên a a  c 2 b ∆ f1 = b − 4ac = a  ÷ −  = a ( ( x1 + t ) − ( x2 + t ) ) = ∆ f2 a   a  Tức phép biến đổi không làm thay đổi biệt thức tam thức Do đó, phép biến đổi khơng làm thay đổi biệt thứ ∆ tam thứ (*) Mặt khác, tam thức x + x − 2015 , 2016 x + x − có biệt thức ∆ 8124; 8128 Do đó, từ (*) suy u cầu tốn khơng thể thực Câu +) Với n = 0, ta có n − n5 + 2n + n3 − n + = (không thỏa mãn) +) Với n = 1, ta có n − n5 + 2n + n3 − n + = thỏa mãn) 3 Xét n ≥ ta có n + n + = n ( n − n + 1) + ( n + 1) > n − n + > suy tồn số nguyên dương s, t  n + n + = p s cho s > t  t  n − n + = p s t Ta có n + = ( n + n + 1) − n ( n − n + 1) = p − np suy n + ≥ p t ⇒ n + ≥ n3 − n + ⇒ n ( n − n − 1) < Vô lý Vậy tất giá trị cần tìm cua rn n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Do đ , phép biến đổi không làm thay đổi biệt thứ ∆ tam thứ (*) Mặt khác, tam thức x + x − 2015 , 2016 x + x − có biệt thức ∆ 8124; 8128 Do đ , từ (*) suy u cầu tốn thực Câu +) Với n = 0, ta có... + y y + z z + x  1 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc + ≥ x y x+ y Do http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 11 1 1 1 + + ≤  + + + + + + ÷= (**) x+ y y+ z z+x 4... n3 − n + ⇒ n ( n − n − 1) < Vô lý Vậy tất giá trị cần tìm cua rn n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word