PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A ( 1;2;0) Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , B ( 3;4;1) D ( - 1;3;2) , Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45� C ( 5;9;5) C ( 1;5;3) C ( - 3;1;1) C ( 3;7;4) A B D C Hướng dẫn giải Chọn D uuu r AB = (2;2;1) Cách � x = - + 2t � � � CD : � y = + 2t � � z = 2+ t � � Đường thẳng CD có phương trình uuu r uuu r C ( - + 2t;3 + 2t;2 + t) CB = (4 - 2t;1- 2t;- 1- t), CD = (- 2t;- 2t;- t) Suy ; � = cosBCD Ta có (4 - 2t)(- 2t) + (1- 2t)(- 2t) + (- 1- t)(- t) (4 - 2t)2 + (1- 2t)2 + (- 1- t)2 (- 2t)2 + (- 2t)2 + (- t)2 (4 - 2t)(- 2t) + (1- 2t)(- 2t) + (- 1- t)(- t) Hay (4 - 2t)2 + (1- 2t)2 + (- 1- t)2 (- 2t)2 + (- 2t)2 + (- t)2 = 2 (1) Lần lượt thay t 3;1;- 1;2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C phương án A, B, C, D), ta thấy t = thoả (1) Cách uuu r uuur AB = (2 ;2 ;1 ),AD = (- 2;1;2) Ta có uuu r uuu r AB ^ CD Suy AB = AD uuu r uuu r Theo giả thiết, suy DC = 2AB Kí hiệu C(a;b;c) , ta có uuur DC = (a + 1;b - 3;c - 2) , uuu r 2AB = (4;4;2) Từ C(3;7;4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng � � � x = t1 x =1 x =1 � � � � � � � � � d1 : � y = d2 : � y = t2 d3 : � y=0 � � � � � � z=0 z=0 z = t3 � � � � � � , , Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H ( 3;2;1) d d d cắt ba đường thẳng , , A , B , C cho H trực tâm tam giác ABC A 2x + 2y + z - 11 = B x + y + z - = C 2x + 2y - z - = D 3x + 2y + z - 14 = Hướng dẫn giải Chọn A A ( a;0;0) B ( 1;b;0) C ( 1;0;c) Gọi , , uuu r uuu r uuu r uuur AB = ( 1- a;b;0) , BC = ( 0;- b;c) , CH = ( 2;2;1- c) , AH = ( - a;2;1) Yêu cầu toán uuu r uuu r uuu r � � � � AB,BC CH � � =0 � � 2bc + 2c( a - 1) + ( 1- c) b( a - 1) = � � � b=0 � � u u u r u u u r � � � � � � AB.CH = � a = b + � 9b 2b = � � � � � � uuu r uuur b= � � � c = 2b � � � BC.AH = � � � � Nếu b = 0suy A � B (loại) � � �9 � � 11 � A� B� 1; ;0� � ;0;0� � � � b= � � � �2 � �, C ( 1;0;9) Suy phương trình mặt phẳng , tọa độ � Nếu , � ( ABC) 2x + 2y + z - 11 = Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp B C D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(m;0;0) , chữ nhật ABCD.A ���� (0;0;n) với m,n > m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC � D(0;m;0) , A � M đạt giá trị lớn Khi thể tích tứ diện BDA � 245 64 A 108 B C 27 Hướng dẫn giải � � n� � C(m;m;0),C � (m;m;;n),M � m;m; � � � � 2� Tọa độ điểm uuur uuu r uuur � n� � BA �= ( - m;0;n) ,BD = ( - m;m;0) ,BM = � 0;m; � � � � � 2� uuur uuu r � � � ( BA ,BD� = - mn;- mn;- m2) � 75 D 32 VBDA �M uuur uuu r uuur 1� m2n � � = � BA ,BD� BM = � � m + m + 2n� � � m.m.(2n) ‫�=ޣ‬ � � � � � Ta có VBDA �M 512 27 m2n 256 27 64 ‫ޣ‬ 27 Chọn đáp án: C Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4x - 4y + 2z - = 2x - 2y + z + = chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương A V= 27 B V= 81 C V D V 64 27 Hướng dẫn giải Theo hai mặt phẳng x  y  z   x  y  z   chứa hai mặt hình lập phương Mà hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   (Q) : x  y  z   song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng cạnh hình lập phương Ta có M (0; 0; 1) �(Q) nên d ((Q), ( P ))  d ( M , ( P))  2  42  (4)  22  2 2 V  3 27 Vậy thể tích khối lập phương là: Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm �x  t � d : �y  �6 � M � ;  2; � � A(2;3;0), B (0;  2;0), �5 �và đường thẳng �z   t Điểm C thuộc d cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhấ độ dài CM A B C D Hướng dẫn giải Do AB có độ dài khơng đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ AC  CB nhỏ Vì C �d � C  t;0;  t  � AC   2t  2   9, BC   2t   4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word � AC  CB  Đặt � r u   2t  2   9  2t  r 2t  2;3 , v   2t  2;   2t  2  9    2t     r r r r  ápdụngbấtđẳngthức u  v �u  v 4 �  2   25 Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2 2t  2 �7 � �6 � � 3�  � t  � C � ;0; �� CM  �  �  �  �  2 5 5 5�  t  � � � � � Chọn C A  1;1;1 B  0;1;  Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , , 2 C  2;0;1  P  : x  y  z   N � P  Tìm điểm cho S  NA  NB  NC đạt giá trị nhỏ � 3� �3 � N�  ; ; � N � ;  ; 2 � N  3;5;1 N  2; 0;1 � A � 4 � B C D �2 Hướng dẫn giải Chọn A � 3� � 5� I� 1; ; � J� 0; ; � 2 4 � � � � BC J I AI Gọi trung điểm trung điểm Do Khi S  NA2  NI  1 BC  NJ  IJ  BC 2  P Do S nhỏ NJ nhỏ Suy J hình chiếu N � �x  t � � NJ : �y   t � � z  t � � Phương trình đường thẳng �x  y  z   � �x  t �x   � � � � � �y  �y   t � � � � �z   t �z  � � J Tọa độ điểm nghiệm hệ: Câu 7: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng �x  �x  � � d1 : �y  1, t ��; d : � y  u , u ��; x 1 y z 1 :   �z  t �z   u � � 1 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1 , d có tâm thuộc đường thẳng  ? A  x  1  y   z  1  2 2 2 2 � 1� � 1� � 1� �x  � �y  � �z  � B � � � � � � � 3� � 1� � 3� �x  � �y  � �z  � C � � � � � � � 5� � 1� � 5� �x  � �y  � �z  � D � � � � � � 16 Hướng dẫn giải Chọn A uur M 1;1;0 u   0;0;1   d Đường thẳng qua điểm có véc tơ phương d1 uur M 2;0;1 u   0;1;1   d Đường thẳng qua điểm có véc tơ phương d2 I   t ; t;1  t  Gọi I tâm mặt cầu Vì I � nên ta tham số hóa , từ uuuu r IM   t ;1  t ; 1  t  , Theo giả thiết ta có d  I ; d1   d  I ; d  I  1;0;1 bán kính mặt cầu  x  1 , tương đương với uuuu r uur uuuu r uur � � � � IM ; u IM � d1 � � ; ud2 �  � uur uur ud1 ud Suy tìm uuuur IM    t ; t ; t   1 t   t2 21 t   R  d  I ; d1    y   z  1  �t 0 Phương trình mặt cầu cần Câu 8: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;0;  ; B  0; 1;  P : x  y  z  12  mặt phẳng   Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  cho MA  MB nhỏ nhất? A M  2; 2;9  �7 31 � M�; ; � �6 � C � 18 25 � M�  ; ; � 11 11 11 � � B � 11 18 � M�  ; ; � 5 � � D Hướng dẫn giải Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A  1; 0;  ; B  0; 1;   P  , ta Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng P  A P  B   �  P hai điểm A, B phía với mặt phẳng  P  Ta có Gọi A�là điểm đối xứng A qua MA  MB  MA�  MB �A� B Nên  MA  MB   A� B M giao B với  P  điểm A� �x   t � AA� : �y  2t �z   2t A 1;0;  � Phương trình ( AA� qua  có uuur n   1; 2; 1 véctơ phương  P  )  P  , suy tọa độ H H  0; 2;  , suy Gọi H giao điểm AA�trên �x  t � A� B : �y  1  3t �z   4t A�  1; 4;6  , nên phương trình � � 11 18 � M�  ; ; � 5� �5 B với  P  nên ta tính tọa độ Vì M giao điểm A� Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y 1 z  :   1 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Phương trình đường thẳng d  P  cho d cắt vuông góc với đường thẳng  nằm �x  3  t � x  3t � � d : �y   2t  t �� d : �y   t  t �� �z   t �z   2t � � A B �x  2  4t �x  1  t � � d : �y  1  3t  t �� d : �y   3t  t �� �z   t �z   2t � � C D Hướng dẫn giải Chọn C r  : u   1;1; 1 Vectơ phương , vectơ pháp tuyến r r r r r � d  ud  u � � � �r u  ; n P  � r � ud  � � � �  4; 3;1 d � P  u d  n P  � � Vì  P uuur n P    1; 2;  Tọa độ giao điểm �x  t �y   t � � t  2 � H  2; 1;  � z   t � � �x  y  z    d ;   � P   d , mà H   � P  H   � P  nghiệm hệ Suy H �d r H  2; 1;  u d   4; 3;1 d Vậy đường thẳng qua có VTCP nên có phương �x  2  4t � d : �y  1  3t  t �� �z   t � trình Lại có (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Trong khơng gian cho điểm M (1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A, B, C mà OA  OB  OC �0 A B C D Câu 10: Hướng dẫn giải Chọn C ( ) cần Giả sử mặt phẳng A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, c)(a, b, c �0) ( ) : tìm cắt Ox, Oy, Oz x y z   1 ( ) :    1(*) a b c a b c ; ( ) qua M (1; 3; 2) nên: a  b  c (1) � � a  b  c (2) OA  OB  OC �0 � a  b  c �0 � � � a  b  c (3) � a  b  c (4) � Thay (1) vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm Thay (2), (3), (4) vào (*) ta tương ứng a  4, a  6, a  3 Vậy có mặt phẳng (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz A, B, C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC A x  y  z  11  0  B x  y  z  66=0 Câu 11: C x  y  z  18  D x  y  z  12  Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn D Cách : Với đáp án A: Với đáp án B: Với đáp án C: A(11; 0; 0); B(0;11;0); C(0;0; A( 11 11 11 11 121 ) � G ( ; ; ) � OG  3 33 11 15609 ; 0; 0); B(0;66;0); C(0; 0; 66) � G ( ; 22; 22) � OG  4 16 A(9;0;0); B(0;18; 0);C(0;0;18) � G(3; 18 18 ; ) � OG  81 3 Với đáp án D: A(12;0;0); B(0;6;0);C(0;0;6) � G( 4; 2; 2) � OG  24 Cách : A  a;0;0  , B  0; b;  , C  0;0; c  Gọi 1   1 với a, b, c  Theo đề ta có : a b c Cần tìm 2 giá trị nhỏ a  b  c a Ta có  b  c     1 � a.2  b.1  c.1 �  a  b  c  � 2a  b  c  2 Mặt khác a  b  c     1 � a.2  b.1  c.1 �8 1 � � 2a  b  c  �   � �a b c � �   1  36 a2  b  c � a  2b  2c 2 a  b  c � Suy Dấu ''  '' xảy 2 Vậy a  b  c đạt giá trị nhỏ 216 a  12, b  c  x y z   1 Vậy phương trình mặt phẳng : 12 6 hay x  y  z  12  (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường x2 y z 2 d:   S  :  x  1   y     z  1    thẳng mặt cầu Hai mặt phẳng  P   Q  chứa d tiếp xúc với  S  Gọi M , N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN 2 A B C D Câu 12: Hướng dẫn giải Chọn B  S I  1;2;1 , R  r u   2; 1;4  d Đường thẳng nhận làm vectơ phương Gọi H hình chiếu I lên đường thẳng d Mặt cầu có tâm H �d � H  2t  2; t ;4t  Lại có : uuu rr IH u  �  2t  1; t  2;4t  1  2; 1;   �  2t  1  t    4t  1  � t  Suy tọa độ điểm H  2;0;0  Vậy IH     Suy ra: HM    Gọi K hình chiếu vng góc M lên đường thẳng HI 1 1      2 MH MI 4 Suy ra: MK Suy ra: MK  � MN  3 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1;2;1  P  thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy, Oz Mặt phẳng A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Câu 13: Hướng dẫn giải Chọn C A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0,0, c  với a, b, c  x y z P a  b  c   Phương trình mặt phẳng : M � P  �    a b c Vì : Gọi VOABC  abc Thể tích khối tứ diện OABC : 12   �3 ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : a b c Hay �۳ 33 abc abc �۳ 54 Suy : Vậy : VOABC �9 54 abc abc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x   t � d1 : �y   t �z  2t � Câu 14: �x   2t � � d : �y  �z  t � � Mặt phẳng (THTT – 477) Cho hai đường thẳng cách hai đường thẳng d1 d có phương trình A x  y  z  12  B x  y  z  12  C x  y  z  12  D x  y  z  12  A Hướng dẫn giải M Chọn D B P r d1 qua A 2;1;0 có VTCP u1   1;1;2 ; r d2 qua B 2;3;0 có VTCP u2   2;0;1 uuu r r r r uuu r r u1,u2  AB  10 u1, u2    1;5;2 AB   0;2;0   Có ; , suy , nên d1;d2 chéo P Vậy mặt phẳng   cách hai đường thẳng d1, d2 đường thẳng song song I 2;2;0 với d1, d2 qua trung điểm  đoạn thẳng AB P Vậy phương trình mặt phẳng   cần lập là: x  5y  2z  12  A  3;3;1 , B  0; 2;1  : x  y  z 7  (THTT – 477) Cho hai điểm mặt phẳng    cho điểm d cách điểm A, B có Đường thẳng d nằm phương trình �x  t �x  t �x  t �x  2t � � � � �y   3t �y   3t �y   3t �y   3t �z  2t �z  2t �z  2t �z  t A � B � C � D � Câu 15: Hướng dẫn giải Chọn A Mọi điểm d cách hai điểm A, B nên d nằm mặt phẳng trung trực đoạn AB uuu r AB   3;1;0 �3 � I � ; ;1� trung điểm AB �2 �nên mặt phẳng trung trực Có AB là: � 3� � 5� 3�x  � �y  � � 3x  y  � 2� � 2� Mặt khác d �   nên 3x  y   � �y  7 3x �� � �x  y  z   �z  2x d giao tuyến hai mặt phẳng: M� ;1  t � ;1  2t � M   t ; t;  2t    t�  giao điểm Gọi giao điểm  d ;  d ' uuuuur MM '   t �  t ;1  t �  t ;   2t �  2t  Ta có:  nP �MM � uuuuur r t4 6t  � cos30O  cos MM � ,ud �  �� t  1 36t  108t  156 � // MM � Ta có uuuuur �M � P    � MM �  P � �   t ; 1  t ;3  2t  �uuuuur uur � t �   �x  �x  t � � � 1 : �y   t ;  : �y  1 �z  10  t �z  t � � � Vậy, có đường thẳng thoả mãn cos  1 ,    Khi đó, Oxyz , hệ trục toạ độ cho điểm  P  mặt phẳng qua A cho tổng khoảng Gọi  P  lớn biết  P  không cắt đoạn BC Khi đó, cách từ B C đến  P ? điểm sau thuộc mặt phẳng  G  2; 0; 3 F  3; 0; 2   E  1;3;1  H  0;3;1 A B C D Câu 57: Trong không gian A  1;0;1 ; B  3; 2;0  ; C  1; 2; 2  với Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm đoạn BC ; điểm B� , C �� , I hình chiếu B, C , I  P B�là hình thang II � Ta có tứ giác BCC � đường trung bình � d  B,  P    d  C ,  P    BB�  CC �  II � �IA (với IA không đổi) Mà II � d  B,  P    d  C ,  P   Do vậy, lớn I� �A uu r �  P I 2;0; 1 qua A vng góc IA với  �  P  :  x  z   � E  1;3;1 � P  Câu 58: Trong không gian A  1;0;  , B  0; b;0  , C  0;0; c  mp  ABC  đúng? với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm  P  : y  z   Biết b, c dương mặt phẳng d  O,  ABC    mp  P  , mệnh đề sau vng góc với http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A b  c 1 B 2b  c  C b  c 1 D 3b  c  Hướng dẫn giải x y z   1 Ta có phương trình mp( ABC ) b c 1  ABC    P  �   � b  c (1) b c 1 1 d  O,  ABC    �  �   8(2) 1 b c 1  b c Ta có � b  c  � b  c 1 Từ (1) (2) Oxyz , Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm A  1; 2;3 ; B  0;1;1 ; C  1; 0;   2 M � P  : x  y  z   Điểm cho giá trị biểu thức T  MA  2MB  3MC nhỏ Câu 59:  Q  :2 x  y  z   khoảng Khi đó, điểm M cách 121 A 54 C B 24 101 D 54 Hướng dẫn giải Gọi M  x; y; z  2 Ta có T  x  y  z  x  y  z  31 2 � � � � �� �� 145 �T  6� x   y  z  � � � �� �� 3 � � � �� �� � � T  6MI  �2 � 145 I � ; ; � với �3 � � T nhỏ 13 � � M � ;  ;  � 18 18 MI nhỏ � M hình chiếu vng góc I  P  � � � Oxyz, (Đề minh họa L1) Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm A  1; 2;0 , B 0; 1;1 , C  2;1; 1 D  3;1;4 Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A B C D Có vơ số mặt phẳng Câu 60: Hướng dẫn giải uuur uuur uuur AB   1;1;1 ; AC   1;3; 1 ; AD   2;3;4 Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur � AB, AC �  4;0; 4 � � AB, AC � AD  24 �0 � � � Suy ra: � � điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Khi đó, mặt phẳng cách điểm A, B, C, D có hai loại: Loại 1: Có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại (đi qua trung điểm cạnh chung đỉnh) � có mặt phẳng thế) Loại 2: Có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại (đi qua trung điểm cạnh thuộc hai cặp cạnh chéo nhau) � có mặt phẳng thế) Vậy có tất mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán � Chọn đáp án C A  1;0;2 (Đề minh họa L1 )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x y z   Viết phương trình đường đường thẳng d có phương trình: thẳng  qua A , vng góc cắt d x y z :   1 1 B Câu 61: D : x y z   3 Hướng dẫn giải �B� B   �d � � �B �d Do  cắt d nên tồn giao điểm chúng Gọi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x  t  � � y  t ,t �� �z  t  B t  1;t;t  1 d Phương trình tham số : � Do B �d , suy uuur � AB   t;t;2t  3 uuur A , B �  Do nên AB vectơ phương  uuur r r d  Theo đề bài, vng góc nên AB  u ( u  (1;1;2) vector phương d ) uuur x y z  uuur r :   � AB  1;1;     Giải t  1 1 Suy ABu Vậy � Chọn đáp án B Câu 62: (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;3;1 B 5; 6; 2  Oxz điểm M Tính Đường thẳng AB cắt mặt phẳng AM tỉ số BM AM AM AM AM  2  3 A BM B BM C BM D BM Hướng dẫn giải Ta có: Ta M � Oxz � M  x;0;z có: A , B, M uuur uuuur AB   7;31 ;  � AB  59 AM   x  2;  3;z  1 ; ; thẳng hàng �x   7k �x  9 � � � �3  3k � �1  k uuuur uuur �z   k �z  � AM  k.AB  k�� � � � M  9;0;0 uuuu r BM   14;  6;  2 � BM  118  2AB � Chọn đáp án A Câu 63: (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương x y z d :   P   song song cách hai đường thẳng 1 1 trình mặt phẳng x y z d2 :   1 1  P  : 2x  2z  1  P  : 2y  2z  1 A B C  P  :2x  2y  1 D  P  : 2y  2z  1 Hướng dẫn giải Ta có: d1 qua điểm A  2;0;0 có VTCP r u1   1;1;1 d2 qua điểm đường thẳng Khi  P Lại có  P B 0;1;2 d1 d2 có VTCP nên VTPT  P r u2   2; 1; 1 Vì  P r r r n � u1 ,u2 � � �  0;1; 1 song songvới hai có dạng y  z  D  � loại đáp án A C cách d1 d2 nên  P � � M� 0; ;1� � �của AB Do qua trung điểm  P  : 2y  2z  1 � Chọn đáp án B Câu 64: Oxyz, (Tạp chí THTT Lần 5) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm M  1;2; 1    qua gốc tọa độ O  0;0;0 cách Viết phương trình mặt phẳng M khoảng lớn x y z    x  2y  z  x  y  z  x  y  z   A B 1 C D Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu M (P ) � MHO vng H  MH MO uuuur � MH max  MO � MO(1;2; 1) ( P ) M MO Khi qua vng góc với vecto pháp tuyến (P ) � phương trình mặt phẳng (P ) 1(x  0)  2(y  0)  1(z  0)  x  2y  z  hay � Chọn đáp án A Oxyz, (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ cho A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2; 2;0   Oyz  có cao điểm Tìm điểm D mặt phẳng độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến  Oxy  Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán là: mặt phẳng D 0;3; 1 D 0; 3; 1 D 0;1; 1 D 0; 2; 1 A  B  C  D  Câu 65: Hướng dẫn giải Vì D � Oyz  � D  0; b; c  Khoảng � cách , cao độ âm nên c  từ D  0; b; c  c  � c  1  c   D  0; b; 1 đến mặt phẳng  Oxy  : z  uuu r uuu r uuu r AB   1; 1; 2  , AC   4; 2;  ; AD   2; b;1 Suy tọa độ Ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r �� AB; AC �  2;6; 2  � � AB; AC � AD  4  6b   6b    b  1 � � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word � VABCD  uuu r uuu r � AB; AC � AD  b  � � D  0;3; 1 � b3 � VABCD  � b   � � �� b  1 � D  0; 1; 1 D  0;3; 1 � Mà Chọn đáp án � Chọn đáp án A (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho H  1; 2;3  P  qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho điểm Mặt phẳng H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng  P  A ( P) : x  y  z  11  B ( P) : x  y  z  10  Câu 66: C ( P) : x  y  z  13  D ( P) : x  y  3z  14  Hướng dẫn giải Do tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc nên H trực OH   ABC  OH   P  tâm tam giác ABC dễ dàng chứng minh hay uuur  P  qua điểm H  1; 2;3 có VTPT OH  1; 2;3 nên phương Vậy mặt phẳng  P   x  1   y     z  3  � x  y  3z  14  trình � Chọn đáp án D (THPT Chuyên ĐHKH Huế Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A  0;0;   Oxy  M �O Gọi D hình cho điểm , điểm M nằm mặt phẳng chiếu vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu A R  B R  C R  D R  Câu 67: Hướng dẫn giải Ta có tam giác OAM ln vng O Gọi I trung điểm OA (Điểm I cố định) Ta có tam giác ADO vng D có ID đường trung tuyến nên ID  OA   1 Ta có IE đường trung bình tam giác OAM nên IE song song với AM mà OD  AM � OD  IE Mặt khác tam giác EOD cân E Từ suy IE đường trung trực OD �  ODE � ; IOD �  IDO � � IDE �  IOE �  90�� ID  DE   DOE Nên OA R 2 Vậy DE tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính � Chọn đáp án A (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;0;   Oxy  M �O Gọi D hình chiếu , điểm M nằm mặt phẳng vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu A R  B R  C R  D R  Câu 68: Hướng dẫn giải A Chọn A Ta có tam giác OAM vuông O Gọi I trung điểm OA (Điểm I cố định) I Ta có tam giác ADO vng D có ID D ID  OA   1 đường trung tuyến nên M O có IE đường trung bình tam giác OAM Ta E nên IE song song với AM mà OD  AM � OD  IE Mặt khác tam giác EOD cân E Từ suy IE đường trung trực OD Nên �  ODE � ; IOD �  IDO � � IDE �  IOE �  90�� ID  DE   DOE Vậy DE tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R OA 2 Câu 69: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Cho điểm A(0;8; 2) mặt cầu ( S ) có phương trình ( S ) : ( x  5)  ( y  3)  ( z  7)  72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A tiếp xúc với ( S ) cho khoảng cách từ B đến ( P ) lớn Giả sử r n  (1; m; n) vectơ pháp tuyến ( P) Lúc A m.n  B m.n  2 C m.n  D m.n  4 Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng (P ) qua A có dạng a(x - 0) + b(y - 8) + c(z - 2) = � ax + by + cz - 8b - 2c = Điều kiện tiếp xúc: 5a - 3b + 7c - 8b - 2c 5a - 11b + 5c d(I ;(P )) = � =6 2� =6 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 (*) 9a - 7b + 23c - 8b - 2c 9a - 15b + 21c d(B ;(P )) = = a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 Mà 5a - 11b + 5c + 4(a - b + 4c) = � 2 a +b +c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word � 5a - 11b + 5c 2 a +b + c +4 a - b + 4c 2 a +b +c �6 + 12 + (- 1)2 + 42 a2 + b2 + c2 2 a +b +c = 18 a b c = = Dấu xảy - Chọn a = 1;b = - 1;c = thỏa mãn (*) = - Khi (P ) : x - y + 4z = Suy m = - 1;n = Suy ra: mn : Câu 70: x  y z 1   (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian cho đường thẳng x  y 1 z  d:   Viết phương trình mặt phẳng  P  qua  đường thẳng tạo với đường thẳng d góc lớn A 19 x  17 y  20 z  77  B 19 x  17 y  20 z  34  C 31x  y  z  91  D 31x  y  z  98  Hướng dẫn giải Chọn D Đường thẳng d có VTCP ur u1   3;1;  Đường thẳng  qua điểm Do  � P  nên Phương trình Do  � P  M � P   P M  3;0; 1 có VTCP Giả sử VTPT có dạng  P r u   1; 2;3 r n   A; B; C  ,  A2  B  C �0  A  x  3  By  C  z  1  rr nên u.n  � A  B  3C  � A  2 B  3C P Gọi  góc d   Ta có ur r u1.n  2B  3C   B  2C A  B  2C sin  ur r   u1 n 14 A2  B  C 14  2 B  3C   B  C B  7C   14 14 B 212 BC  10C TH1: Với C  sin   B  7C  5B  12 BC  10C 70  14 14 B sin  t 14 C ta có TH2: Với C �0 đặt  5t   5t  12t  10 Xét hàm số f�  t  Ta có f  t   5t   5t  12t  10 � 50t  10t  112  5t  12t  10  � �8 � 75 t  � f � � � �5 � 14 f�  t   � 50t  10t  112  � � � �7� t � f �  � � �5� � Và lim f  t   lim x ��� x ���  5t   5t  12t  10 5 Bảng biến thiên Từ ta có Maxf  t   �8 � 75 75 B sin  f � � t �  14 �5 � 14 14 C Khi So sánh TH1 Th2 ta có sin lớn sin  B 75  14 C Chọn B  8 � C  5 � A  31 Phương trình  P 31 x  3  y   z  1  � 31x  y  z  98  (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2  S  :  x  1   y     z  3  mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi M  a; b; c   S  cho khoảng cách từ M đến  P  lớn Khi điểm mặt cầu A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D a  b  c  Câu 71: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  2 có tâm I  1; 2;3 bán kính R  I  1; 2;3  P Gọi d đường thẳng qua vng góc Suy phương trình tham số đường thẳng d �x   2t � �y   2t �z   t �  S  , tọa độ A, B ứng với t nghiệm Gọi A, B giao d phương trình Với   2t  1 t 1 � 2    2t      t  3  � � t  1 � t  � A  3;0;  � d  A;( P)   13 t  1 � B  1; 4;  � d  B;( P )   Với  S ta ln có Vậy khoảng cách từ M đến  P 13 M  3;0;  lớn Với điểm M  a; b; c  d  B;( P )  �d  M ;( P )  �d  A;( P )  Do a  b  c  Câu 72: (LÊ HỒNG PHONG) Trong không gian với x 1 y z  d:    S 1 1 mặt cầu 2  S  :  x  1   y     z  1  18 Đường thẳng diện tích tam giác IAB 11 16 11 A B C hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng tâm I d cắt  S có phương trình hai điểm A, B Tính 11 11 D Hướng dẫn giải Chọn A r C  1;0; 3 u   1; 2; 1 d Đường thẳng qua điểm có vectơ phương Mặt cầu  S có tâm I  1; 2; 1 , bán kính R  Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d uur r � IC , u � � � IH  r uur u IC   0; 2; 2  Khi đó: , với ; uur r � IC , u � � �  6; 2; 2   22  22 66 IH    1 Vậy Suy Vậy, HB  18  S IAB  22  3 1 66 8 11 IH � AB  � �  2 3 B C D có cạnh (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Cho hình lập phương ABCD A���� D   BC � D  AB�� Tính khoảng cách hai mặt phẳng 3 A B C D Câu 73: Hướng dẫn giải Chọn A Ta chọn hệ trục tọa độ cho đỉnh hình lập phương có tọa độ sau: A  0;0;0  B  2;0;0  C  2; 2;0  D  0; 2;0  A�  0;0;  B�  2;0;  C �  2; 2;  D�  0; 2;  uuur uuur AB�   2; 0;  , AD�   0; 2;  , uuu r uuur BD   2; 2;0  , BC �   0; 2;  D A  0;0;0   AB�� * Mặt phẳng qua nhận r uuur uuur � n � AB� , AD�  1; 1;1 D  AB�� � � véctơ làm véctơ pháp tuyến Phương trình : x  y  z  uuu r uuur r 1� �  1;1; 1 m  BD , BC � BC � D B  2; 0;0   � � * Mặt phẳng qua nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến D  BC � Phương trình : x  y  z   D D  AB��  BC � Suy hai mặt phẳng song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng D  BC � Cách : d  A,  BC � D   khác: d   AB�� D  ,  BC � D   2  3 Thấy khoảng cách cần 1 AC �   3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tìm (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2; 2;0   Oyz  có cao độ âm Điểm D mặt phẳng cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt  Oxy  Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn tốn là: phẳng D 0;3; 1 D 0; 3; 1 D 0;1; 1 D 0; 2; 1 A  B  C  D  Câu 74: Hướng dẫn giải Chọn A D � Oyz  � D  0; b; c  Vì , cao độ âm nên c  D  0; b; c  Khoảng cách từ đến mặt phẳng  Oxy  : z  c  � c  1  c   D  0; b; 1 Suy tọa độ Ta có: uuu r uuu r uuu r AB   1; 1; 2  , AC   4; 2;  ; AD   2; b;1 uuu r uuu r �� AB, AC �  2;6; 2  � � uuu r uuu r uuu r �� AB, AC � AD  4  6b   6b    b  1 � � r uuu r uuu r uuu � VABCD  � AB, AC � AD  b  � 6� � D  0;3; 1 � b3 � VABCD  � b   � � �� b  1 � D  0; 1; 1 � Mà Câu 75: Chọn đáp án D  0;3; 1 A 2;11;- 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( mặt phẳng ( P ) : 2mx +( m2 +1) y +( m2 - 1) z - 10 = Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định P tiếp xúc với mặt phẳng ( ) qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu A 2 B C D 12 Lời giải tham khảo: Gọi ( ta có I a; b; c ) , r r = d ( I ,( P) ) = P tâm bán kính mặt cầu Do mặt cầu tiếp xúc với ( ) nên 2ma +( m +1) b +( m - 1) c - 10 ( m2 +1) = ( b - c ) m + 2ma + b - c - 10 ( ( ( m2 +1) ) ) � b + c - r m + 2ma + b - c - r - 10 = ( 1) � 2 � b + c m + ma + b c 10 = r m + � ( ) ( ) � b + c + r m + 2ma + b - c + r - 10 = ( 2) � � TH1: ( b +c - ) r m2 + 2ma + b - c - r - 10 = ( 1) P Do m thay đổi có mặt cầu cố định tiếp xúc với ( ) nên yêu cầu toán trờ 1 thành tìm điều kiện a, b, c cho ( ) khơng phụ thuộc vào m Do ( ) với � b +c - r = � � � �� a =0 � � � b - c - r - 10 = � � b = r +5 = � � �� a =0 � � � � c =- � Lại có A �( S ) Suy ( ) ( ( + - 11- - r nên suy : ( b +c + r 2) m TH2: đề ) ) 2 I 0;5 + r 2; - => ( S ) : x + y - - r +( z + 5) = r + 2ma + b - c + r - 10 = ) � r =2 = r � r - 12 2r + 40 = � � � r = 10 � � làm tương tự TH1 (trường hợp không thỏa P Tóm lại : Khi m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( ) qua A có tổng bán kính : 12 suy chọn D Câu 76: A 3;0;0) , B( 0;2;0) ,C ( 0;0;6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm ( D ( 1;1;1) Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây? M - 1;- 2;1) N 5;7;3) P 3;4;3) Q 7;13;5) A ( B ( C ( D ( Lời giải tham khảo: Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C : D �( ABC ) Dễ thấy Suy x y z ( ABC ) : + + = � x + y + z - = Gọi A ', B ', C ' hình chiếu vng góc A, B, C d d ( A, d ) + d ( B, d ) + d ( C , d ) = AA '+ BB '+ CC ' �AD + BD + CD Dấu xảy A ' �B ' �C ' �D Hay tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn d đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng B x = + 2t � � � � ( ABC ) => d : �y = + 3t ; N �d � � � �z = + t suy chọn A 5;5;0) , B( 1;2;3) , C ( 3;5;- 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( P : x + y + z + = mặt phẳng ( ) Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S P thuộc mặt phẳng ( ) SA = SB = SC Câu 77: A V= 145 B V = 145 C V= 45 D V= 127 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải tham khảo: Gọi S ( a; b; c ) �( P ) => a + b + c + = ( 1) Ta có : Do 2 2 2 AS = ( a - 5) +( b - 5) + c , BS = ( a - 1) +( b - 2) +( c - 3) , CS = ( a - 3) +( b - 5) +( c +1) 2 2 2 � � � 4a + 6b - 8c - 21 = � ( a - 1) +( b - 2) +( c - 3) = ( a - 3) +( b - 5) +( c +1) SA = SB = SC � � �� � � 2 2 � 4a + 2c - 15 = � � � � ( a - 5) +( b - 5) + c = ( a - 3) +( b - 5) +( c +1) Ta có hệ : � � � a =6 � a + b c 21 = � � � � � 13 � 23 � � � 4a + 2c - 15 = �� b =� S =� 6; ;- � � � � � � � � � � 2� � � � a + b + c + = � � � � c =� � � Lại có : uuu r uuu r AB ( - 4; - 3;3) , AC ( - 2; 0; - 1) uuu r uuu r uur � 23 � uuu r uuu r uur 145 => AB �AC = ( 3; - 10; - 6) ; AS = � 1; ;- � => AB �AC AS =145 => VS ABC = � � � � � 2� ( ) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cm SA = SB = SC = ( cm) Gọi D điểm đối xứng B qua C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD ? A 5cm B 2cm C 26cm D 37cm Câu 78: Lời giải tham khảo : ABC ) Cách : Dựng CG vuông góc với ( , Qua E dựng mặt phẳng vng góc với SB , mặt phẳng cắt CG F Suy F tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Đặt SF = R R - CH ( 1) Xét hình chữ nhật : FGSH => FC = SH - FG = SH - 2 Lại có : FC = R - CB ( 2) Từ (1) (2) suy SH - 6- R - 12 = R - 36 � - R - 12 = => R = 37 ( cm) Suy chọn D Cách : Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có : ( ) ( ) ( C ( 0;0;0) , A - 3; - 3; , B - 3;3;0 , S - 3; 0; F �CG => F ( 0; 0; t ) � FA = FS � 36 + t = 12 +( t - 6) � t = => SC = 37 ( cm) suy chọn D R - CH = R - CB ) ... ABC, A’B’C’ có trọng tâm � � + + 1- + 0 + - 6� � G =� ; ; = ( 1;0;- 2) � � � � 3 � � Ta có tọa độ G là: Đó tọa độ trọng tâm G’ D A ''B ''C '' Câu 26: (AN LÃO )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...   � � � � � �y  �y   t � � � � �z   t �z  � � J Tọa độ điểm nghiệm hệ: Câu 7: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng �x  �x  � � d1 : �y  1, t ��;... Có mặt phẳng qua điểm M (1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) cho OA  OB  OC A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ