BÀI SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C ) (d ) : y  g ( x) y Phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  : f ( x)  g ( x)  1 Khi đó:  Số giao điểm (C )  d  với số nghiệm phương trình  1 y0 x0 O x  Nghiệm x0 phương trình  1 hồnh độ x0 giao điểm  Để tính tung độ y0 giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y  f ( x ) y  g ( x)  Điểm M  x0 ; y0  giao điểm (C )  d  B KỸ NĂNG CƠ BẢN I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Xét hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d đồ thị  d    a �0  có đồ thị  C  hàm số bậc nhất: y  kx  n có Lập phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : ax  bx  cx  d  kx  n (1) Phương trình  1 phương trình bậc ba nên có nghiệm Ta có trường hợp:  Trường hợp 1: Phương trình  1 có “nghiệm đẹp” x0 Thường đề hay cho nghiệm x0  0; �1; �2; đó: x  x0  � (1) �  x  x0   Ax  Bx  C   � � Ax  Bx  C    � Khi đó: +  C   d  có ba giao điểm � phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt � phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x0 ( Đây trường hợp thường gặp) +  C   d  có hai giao điểm � phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt � phương trình   có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm x0 phương trình   có nghiệm kép khác x0 +  C   d  có giao điểm � phương trình  1 có nghiệm � phương trình   vơ nghiệm phương trình   có nghiệm kép x0  Trường hợp 2: Phương trình  1 khơng thể nhẩm “nghiệm đẹp” ta biến đổi phương trình  1 cho ẩn x tất nằm bên vế trái, chuyển tất tham số m nằm bên vế phải http://dethithpt.com  1 � f ( x )  g ( m) Ta khảo sát vẽ bảng biến thiên hàm số vế trái: y  f ( x) biện luận số giao điểm  C   d  theo tham số m CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm giao điểm đồ thị (C ) : y  x  x  x  đường thẳng y  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x  x   � x3  x  x  x0 � � �� x  Vậy có ba giao điểm A  0;1 , B  1;1 , C  2;1 � x2 � Ví dụ 2: Cho hàm số y  mx  x  x  8m có đồ thị  Cm  Tìm m đồ thị  Cm  cắt trục hoành ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: mx  x  x  8m  (1) x  2 � � mx  (2 m  1) x  m  �  x  2 � � � � � mx  (2m  1) x  4m  � (2)  Cm  cắt trục hoành ba điểm phân biệt �  1 có ba nghiệm phân biệt m �0 � � �   có hai nghiệm phân biệt khác 2 � �   12m  4m   � 12m  �0 � � �m �0 m �0 � � �1 � � �  m  � � 1 Vậy  m � �6 �6 � m � � � m �0 � � �1 thỏa yêu cầu toán  m � �6 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x   C  Tìm m để đường thẳng d : y   x  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : x0 � x3  3mx   m  1 x    x  � x  x  3mx  m   � � 2 x  3mx  m   * � �   m  8m  � m  m  Yêu cầu toán �  * có hai nghiệm phân biệt khác � � m �0 � http://dethithpt.com Vậy m  m  thỏa u cầu tốn Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx  cắt trục hoành điểm Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số với trục hoành: x  mx   Vì x  khơng nghiệm phương trình Do đó, phương trình tương đương m   x2  x  x �0  2 2 x  Xét hàm số: f ( x)   x  ; x �0 � f '( x )  2 x    � x 1 x x x2 Bảng biến thiên: Đồ thị cắt trục hoành điểm � m  3 Vậy m  3 thỏa yêu cầu tốn Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị  C  hàm số y  x  3x  x  m cắt trục hoành ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành: x3  3x  x  m  � x3  3x  x  m  1 Phương trình  1 phương trình hồnh độ giao điểm hai đường  C1  : y  x  3x  x đường thẳng  d  : y   m Số nghiệm  1 số giao điểm  C   d  Khảo sát vẽ bảng biến thiên hàm số y  x3  3x  x Tập xác định D  R x3 �  3x  x  9; y�  � 3x2  x   � � Đạo hàm y � x  1 � Bảng biến thiên: http://dethithpt.com Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1 có ba nghiệm phân biệt � 27  m  � 5  m  27 Ví dụ 6: Gọi  d  đường thẳng qua điểm A(1;0) với hệ số góc k (k ��) Tìm k để đường thẳng d k cắt đồ thị hàm số y  x  x  (C ) ba điểm phân biệt A, B, C tam giác OBC có diện tích (O gốc tọa độ) Lời giải Đường thẳng  d  qua A(1;0) có hệ số góc k nên có dạng: y  k ( x  1)  kx  y  k  Phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  là: x  1 � x3  3x   kx  k �  x  1  x  x   k   � � g ( x)  x  x   k  (*) �  d  cắt (C ) ba điểm phân biệt � phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 '  k 0 � � �� �� k �9 �g (1) �0 � Khi g ( x)  � x   k ; x   k Các giao điểm A(1;0), B   k ;3k  k k  , C   k ;3k  k k  Tính được: BC  k  k , d (O, BC )  d (O, d )  k k  k  � k Khi đó: S OBC  1 k toán k 1 k k  � k  � k  Vậy k  thỏa yêu cầu II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Cho hàm số y  ax  bx  c  a �0  có đồ thị  C  đường thẳng y  k có đồ thị  d   Lập phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : ax  bx  c  k 2 Đặt t  x  t �0  ta có phương trình: at  bt  c  k   2  1 +  C   d  có bốn giao điểm �  1 có bốn nghiệm phân biệt �   có hai nghiệm dương phân biệt �  � � phương trình   thỏa �P  (Trường hợp thường gặp) �S  � http://dethithpt.com +  C   d  có ba giao điểm �  1 có ba nghiệm phân biệt �   có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương nghiệm x  +  C   d  có hai giao điểm �  1 có hai nghiệm phân biệt �   có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu +  C   d  giao điểm �  1 vơ nghiệm �   vơ nghiệm có nghiệm âm +  C   d  có giao điểm �  1 có nghiệm �   có nghiệm x  nghiệm âm CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm giao điểm đồ thị (C ) : y  x  x  trục hoành Lời giải � x2  � x  �1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   � �2 x  3  loai  � Vậy có hai giao điểm: A  1;0  , B  1;0  Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x  x  m   có bốn nghiệm phân biệt Lời giải 4 Phương trình: x  x  m   � x  x   m  1 Phương trình  1 phương trình hồnh độ giao điểm hai đường  C  : y  x  x  đường thẳng  d  : y  m Số nghiệm  1 số giao điểm  C   d  Khảo sát vẽ bảng biến thiên hàm số y  x  x  Tập xác định D  R x0 �  x3  x; y�  � x3  x  � � Đạo hàm y � x  �1 � Bảng biến thiên: x–∞0+∞y– 0+0–0+y+∞2 3+∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1 có bốn nghiệm phân biệt �  m  Vậy  m  thỏa u cầu tốn 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x   m  1 x  m  3m   Cm  Định m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y  2 bốn điểm phân biệt Lời giải http://dethithpt.com Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm )  d  : x   m  1 x  m2  3m   2 � x4   m  1 x  m2  3m   1 Đặt t  x  t �0  2 Khi phương trình trở thành: t   m  1 t  m  3m    (Cm )  d  có bốn giao điểm �  1 có bốn nghiệm phân biệt �   có hai nghiệm dương phân biệt � m � 5m   � '  � �1 �  m0 �2 � � �P  � �m  3m  � �m  0, m  � � Vậy � �S  �2 m   �m  1 m3 �  � � � � �1  m0 � thỏa yêu cầu tốn � m3 � Ví dụ 4: Cho hàm số y  x   3m   x  3m  C  Tìm m để đường thẳng (d ) : y  1 cắt đồ thị (C ) bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  : y  1 x   3m   x  3m  1 � x   3m   x  3m   t 1 � Đặt t  x  t �0  , ta có phương trình: t   3m   t  3m   � � đó: t  3m  � 2 � x2  �2 x  3m  �  3m   � 1 �   m  m �0 Vậy   m  m �0 thỏa yêu cầu Yêu cầu toán � � 3m  �1 3 � toán Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  (3m  4) x  m có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  (3m  4) x  m   1 Đặt t  x  t �0  , phương trình  1 trở thành: t  (3m  4)t  m   2  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt �  1 có bốn nghiệm phân biệt �  5m  24m  16  � �   có hai nghiệm dương phân biệt � �P  m  �S  3m   � http://dethithpt.com � m  4 �m   � � � m � � � m �0 �� � � m � � � m � (*) Khi phương trình   có hai nghiệm  t  t2 Suy phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt x1   t2  x2   t1  x3  t1  x4  t2 Bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng � x2  x1  x3  x2  x4  x3 �  t1  t  t1 � t2  t1 � t2  9t1 (3) t1  t2  3m  � Theo định lý Viet ta có: � t1t2  m � (4) (5) � 3m  t  � �1 10  6 Từ  3   ta suy � 9(3m  4) � t  �2 10 m  12 � �  3m    10m 2 � � Thay   vào   ta được:  3m    m � � 12 (thỏa (*)) � m 100  3m    10m � 19 � m  12 � � Vậy giá trị m cần tìm 12 � m 19 � III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ : y  ax  b cx  d KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Cho hàm số y  ax  b cx  d  ad  bc �0  có đồ thị (C ) đường thẳng y  kx  n có đồ thị  d  �Ax  Bx  C  ax  b �  kx  n � � Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  d cx  d �x � c � d (C )  d  có hai giao điểm �  1 có hai nghiệm phân biệt khác  c  1 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C ) : y  http://dethithpt.com 2x 1 đường thẳng y  x  2x 1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x 1  x2 2x 1  1 Điều kiện: x � Khi đó: (1) � x   (2 x  1)( x  2) � x  x   � x �y � � 2 � x 1� y  � � 1� Vậy tọa độ giao điểm cần tìm � ; �và  1;3 � 2� 2x 1 có đồ thị (C ) Tìm m để đường thẳng  d  : y   x  m cắt đồ thị x 1 (C ) hai điểm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x 1  x  m x 1  1 Điều kiện: x �1 Khi đó: (1) � x   ( x  m)( x  1) � x  (m  1) x  m    2  d  cắt (C ) hai điểm phân biệt �  1 có hai nghiệm phân biệt � �   m  1 �   m  1  � � � � (2) có hai nghiệm phân biệt khác � �   m  1  m  �0 � � � m  6m   � m  m  Vậy giá trị m cần tìm m  m  mx  có đồ thị  Cm  Tìm m để đường thẳng  d  : y  x  cắt đồ thị x2 hai điểm phân biệt A, B cho AB  10 Ví dụ 3: Cho hàm số y   Cm  Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: mx   2x 1 x2  1 Điều kiện: x �2 Khi đó: (1) � mx   (2 x  1)( x  2) � x  ( m  3) x   http://dethithpt.com  2  d  cắt  Cm  hai điểm phân biệt A, B �  1 có hai nghiệm phân biệt � �   m  3 � 8 � � � � (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 � �  2m   �0 � � m � (*) Đặt A  x1 ; x1  1 ; B  x2 ; x2  1 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình   m3 � x1  x2  � � � �x x   �1 2 Theo định lý Viet ta có: Khi đó: AB   x1  x2  2  10  x1  x2   x1 x2 �   x1  x2   10 � � � � m3� �� � �  � m  �2 � (thỏa (*)) Vậy giá trị m cần tìm m  2x 1 (C ) Tìm m để đường thẳng (d ) : y  2 x  m cắt (C ) hai điểm x 1 phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích Ví dụ 4: Cho hàm số y  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  : 2x 1  2 x  m � x    x  1  2 x  m  ( điều kiện: x �1 ) x 1 � x    m  x   m   1 ( điều kiện: x �1 )  d  cắt (C ) hai điểm A, B phân biệt � (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 � �  m   m �� Suy  d  cắt (C ) hai điểm A, B phân biệt với m �2.(1)  (4  m)(1)   m �0 Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , y1  2 x  m; y2  2 x  m x1 , x2 nghiệm  1 Theo định lý Viet ta có: m4 � x1  x2  � � � �x x   m �1 2 Tính được: http://dethithpt.com d  O, AB   SOAB m ; AB   x1  x2    y1  y2    x1  x2   20 x1 x2  2  m2  8 m m2   AB.d  O, AB    � m  �2 Vậy m  �2 thỏa yêu cầu tốn 2x 1 (C ) Tìm k để đường thẳng (d ) : y  kx  2k  cắt (C ) hai điểm x 1 phân biệt A, B cho khoảng từ A B đến trục hồnh Ví dụ 5: Cho hàm số y  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C )  d  : 2x 1  kx  2k  � x    x  1  kx  2k  1 ( điều kiện: x �1 ) x 1 � kx   3k  1 x  2k   1 ( điều kiện: x �1 )  d  cắt (C ) hai điểm A, B phân biệt � (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 k �0 � k �0 � � ��   k  6k   �� k   2, k   2 � � k (  1)  k  (  1)  k �   � Khi đó: A  x1 ; kx1  2k  1 , B  x2 ; kx2  2k  1 với x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lý Viet ta có: 3k  � �x1  x2  k � � �x1 x2  Tính được: d  A, Ox   d  B, Ox  � kx1  2k   kx2  2k  x1  x2  loa� i kx1  2k   kx2  2k  � � � � kx1  2k   kx2  2k  k  x1  x2   4k   � � � k  x1  x2   4k   � k  3 Vậy k  3 thỏa yêu câu toán CHỦ ĐỀ 2.1: SỰ TƯƠNG GIAO NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Cho hàm số y   x  x2  Số giao điểm đồ thị hàm số cho với trục Ox là: A  2 B 1  C  3 D  4 http://dethithpt.com Phương pháp tự luận: Ta có đồ thị hàm số y  x  x  Dựa vào đồ thị ta tìm kết để đồ thị cắt hàm số ba điểm phân biệt 1  m  Với x  � y  nên yêu câu toán � 1  m  Vậy chọn 1  m  x0 � Phương pháp trắc nghiệm: Xét m  , ta phương trình x  3x  � � x�3 � không đủ hai nghiệm dương � loại B, C, D Vậy chọn 1  m  Câu Cho phương trình x  3x   m  (1) Điều kiện tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa x1   x2  x3 khi: A 3  m  1 B 1  m  C m  1 D Đáp án khác Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Ta có x  3x   m  phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  x  3x  y  m (là đường thẳng song song trùng với Ox ) Xét y  x  3x  Tập xác định D  R Tính y '  3x  x x  � y 1 � Cho y '  � x  x  � � Ta có x  � y  1 x  � y  3 � http://dethithpt.com Dựa vào đồ thị, số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị y  x  x  đường thẳng y  m Do đó, yêu cầu toán � 3  m  1 Phương pháp trắc nghiệm Chọn m  thay vào (1) tìm nghiệm Casio Ta nhận thấy (1) có nghiệm Suy loại đáp án B Tiếp tục thử m  1 thay vào (1) tìm nghiệm Casio Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm có nghiệm Suy loại C Tiếp tục thử m  2 thay vào (1) tìm nghiệm Casio Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm thỏa yêu cầu toán Suy loại D Vậy A đáp án cần tìm Câu Cho hàm số y  x3  x  có đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : y  x  Giao điểm (C ) (d ) A(1; 0) , B C Khi khoảng cách B C là: 34 30 14 A BC  B BC  C BC  D BC  2 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) x 1 � x3  3x   x  � x3  3x  x   � ( x  1)(2 x  x  2)  � � 2 x  x   0(1) � Khi ta có A(1;0), B( x1; x1  1) C ( x2 ; x2  1) ( x1 , x2 nghiệm (1)) uuur Ta có BC ( x2  x1 ; x2  x1 ) Suy 34 BC  ( x2  x1 )2  ( x2  x1 )2  2( x2  x1 )  2(( x2  x1 )  x1 x2  2(  4)  Vậy chọn A Phương pháp trắc nghiệm http://dethithpt.com Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   x  � x  3x  x   - Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba - Gán hai nghiệm khác vào B C - Nhập máy X  Dùng lệnh CALC tìm tung độ điểm B C gán vào hai biến D E Khi BC  (C  B)  ( E  D )  34 Vậy chọn A 2x 1 có đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : y  x  Đường thằng (d ) cắt (C ) x 1 hai điểm A B Khoảng cách A B là: 5 5 A AB  B AB  C AB  D AB  5 Câu Cho hàm số y  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) x  � y 1 � A(2;1) � 2x 1 �  x  3( x �1) � x  x   � 1 � x 1 x   � y  4 � B( ; 4) � 2 uuu r 5 5 Ta có AB  ( ; 5) Suy AB  Vậy chọn AB  2 Phương pháp trắc nghiệm Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1  x  ( x �1) x 1 Dùng lệnh CALC CASIO ta tìm hai nghiệm phương trình x  2; x   5 suy A(2;1) B( ; 4) Dùng CASIO tính AB  2 Vậy chọn AB  5 2x 1 có đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : y  x  m Đường thằng (d ) cắt x 1 (C ) hai điểm A B giá trị m thỏa: A m  4  �m  4  B m ‫ڳ‬ 2�6 m Câu Cho hàm số y  C 4   m  4  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận http://dethithpt.com D 4  �m �4  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : 2x 1  x  m ( x �1) � x  mx   m  0(1) x 1 Yêu cầu toán � (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 �   m  8(1  m)  �� � m  4  �m  4   m   m �0 � Vậy chọn m  4  �m  4  Phương pháp trắc nghiệm Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : 2x 1  x  m ( x �1) � x  mx   m  0(1) x 1 Chọn m  thay vào (1) tìm nghiệm Casio, ta nhận thấy (1) vô nghiệm Suy loại C D Tiếp tục chọn m  4  thay vào (1) tìm nghiệm Casio, ta nhận thấy (1) có nghiệm kép Suy loại B Vậy chọn m  4  �m  4  Câu Cho hàm số  C  : y  x đường thẳng  d  : y  x  m Với giá trị m  C   d  x 1 cắt hai điểm? A m B m  �m  2 C 2  m  D Đáp án khác Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : x  x  m � x2   m  2 x  m  x 1  C  1 cắt  d  hai điểm phân biệt �  1 có hai nghiệm phân biệt �   � m   (đúng với m) Vậy chọn m Phương pháp trắc nghiệm: Đối với câu có câu ta nên tính tốn thứ Câu Tìm tất giá trị m để đường thẳng  d  : y  x  m cắt đồ thị hàm số  C  : y   x  x ba điểm phân biệt? A   m  B m �1 C m �R D 1  m  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) :  x  x  x  m �  x  3x  m http://dethithpt.com Ta khảo sát hàm số  C  : y   x  3x Có đồ thị sau: Tìm yCT  2, yCD  nên ycbt � 2  m2  �   m  Vậy chọn   m  Phương pháp trắc nghiệm: +Với m  3, ta có phương trình  x3  x   , bấm máy tính ta tìm nghiệm � loại B, C +Với m  1.4, ta có phương trình  x  3x  1.4  , bấm máy tính ta ba nghiệm � loại D Vậy chọn   m  Câu 10 Tất giá trị tham số m để đồ thị  C  : y  x biệt � m  1 m � � A � B � C m �0 � � m �0 � cắt  P  : y   3m  4 x2  m2 bốn điểm phân � m  4 �m   � � � m �0 � D m �0 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình hồnh độ giao điểm  C   P  là: x4   3m  4 x  m2  x   3m  4 x  m2  (1) 0 � �  C  cắt  P  bốn điểm phân biệt  Phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt  � P0  � S 0 � � m  4 �m   � 5m2  24m  16  � � m �2 � � m �0 � � m 0 � � � � m � � 3m   � � m � http://dethithpt.com � m � Vậy chọn � � m �0 � Câu 11 Cho đồ thị  C  : y  x3  3x  Gọi (d ) đường thẳng qua A  0;  1 có hệ số góc k Tất giá trị k để  C  cắt (d ) ba điểm phân biệt là: 9 9 � � � � k k k  k � � � � 8 A � B � C � D � � � � � k � k � k � k �0 � � � � Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình đường thẳng (d ) : y  kx  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : x  (1) � x3  3x2   kx   x  x  3x  k    � 2 x  3x  k (2) �  C  cắt (d ) ba điểm phân biệt � Phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác  � 0 k � � Vậy chọn � �  k �0 � � k �0 � � k  � � � k �0 � Câu 12 Cho hàm số đồ thị  C  : y  x  x  Gọi  d  đường thẳng qua I  1;  với hệ số góc k Với giá trị k  d  cắt  C  ba điểm phân biệt I, A, B thỏa I trung điểm AB A k  3 B k C k  3 D k  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Phương trình  d  : y  k  x  1  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : x3  3x   kx  k  � x  3x  kx  k    1 x 1 � �  x  1  x  x  k    � � g  x   x  x  k   0(*) �  d cắt  C  ba điểm phân biệt � Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác �  'g  k 3 � � �� �� � k  3 3  k �0 � �g  1 �0 �x1  x2   xI Hơn theo Vi-et: � nên I trung điểm AB �y1  y2  k  x1  x2   2k    y I Vậy chọn k  3 http://dethithpt.com Phương pháp trắc nghiệm: Ta tính tốn đến phương trình  1 +Với k  2 , ta giải phương trình x3  x2  x  thu x1  2, x2  0, xI  �x1  x2   xI Hơn � nên I trung điểm AB � loại C, D từ ta loại B �y1  y2   yI Vậy chọn k  3 Câu 13 Với giá trị tham số m  Cm  : y  x3   m  1 x   m2  4m  1 x  4m  m  1 cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1? A  m �1 B m  C m � D Đáp án khác Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) trục Ox : x   m  1 x   m2  4m  1 x  4m  m  1  x2 � x2 0 � � �  x    x   3m  1 x  2m  2m   � �2 �� x  2m x  (3 m  1) x  m  m  � � x  m 1 � 2 �1 �2  m �1  2m �2 � � �  m  �2 � �  m �1 �  m �1 Yêu cầu toán � � �2m �m  �m �1 � � � Vậy chọn  m �1 Phương pháp trắc nghiệm: Câu có đáp án khác nên ta phải tính tốn để có đáp số cuối Nhưng khơng có đáp án khác ta kiểm tra trực tiếp kết Việc kiểm tra tương tự câu Câu 14 Cho đồ thị  C  : y  4x3  3x  đường thẳng (d ) : y  m  x  1  Tất giá trị tham số m để  C  cắt (d ) điểm là: A m  B m �0 C m �0 �m  D m  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm  C  (d ) x3  3x   m  x  1   x 1 � x3   m  3 x  m    � x  x  m   (1) �  C  cắt (d ) điểm  Phương trình  1 vơ nghiệm hay phương trình  1 có nghiệm http://dethithpt.com � 0 4m  � � � � �  0 4m   m  Vậy chọn m  � � � � � � � �   m 1  m9 � � � � VẬN DỤNG CAO (tối thiểu 10 câu) 2x  có đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : y  x  m Giá trị m để (d ) cắt (C ) x 1 hai điểm phân biệt A, B cho AB  10 là: A m  �m  B m  C m  D Kết khác Câu Cho hàm số y  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) 2x 1  x  m ( x �1) � x  ( m  1) x  m   0(1) x 1 Khi (d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt A , B chi phương trình (1) có hai nghiệm � ( m  1)  4(m  1)  � � m  �m  (*) phân biệt khác 1 � � ( 1)  (m  1)  m  �0 � Khi ta lại có uuur A( x1 ; x1  m), B( x2 ; x2  m) � AB  ( x2  x1 ; x2  x1 ) � AB  2( x2  x1 )  x2  x1 �x1  x2   m Mà � �x1 x2  m  Mặt khác: AB  10 � x2  x1  � ( x2  x1 )  x1 x2  � (1  m)  4(m  1)  � m  6m  m0 � �� (thỏa (*) m6 � Vậy chọn m  �m  Phương pháp trắc nghiệm � 1 x � 2x   x ( x �1) Dùng lệnh CALC tìm � Chọn m  thay vào (d ) Ta x 1 � 1 x � � r � 1 1   � uuu ; ), B � ; � AB (  5,  5) � AB  10 Suy A( � � 2 2 � � � Nhận thấy m  thỏa yêu cầu http://dethithpt.com Tượng tự chọn m  kiểm tra tương tự m  nhận thấy m  thỏa yêu cầu toán Vậy chọn m  �m  2x 1 có đồ thị (C ) y  x  m (d ) Giá trị m để (d ) cắt (C ) hai điểm x 1 phân biệt A , B cho tiếp tuyến A B song song với Câu Cho hàm số y  B m  A Không tồn C m  3 D m  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) 2x 1  x  m ( x �1) � x  ( m  1) x  m   0(1) x 1 Khi (d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt A , B chi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 � (m  1)2  4(m  1)  m  �m  � � � �2 �� � m  �m  m �R  (m  1)  m  �0 � � Ta có: f '( x)  ( x  1) Gọi A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) x1 , x2 nghiệm (1) (nên ta có x1  x2   m ) Suy : k A  1 kB  , ( x1  1) ( x2  1)2 Tiếp tuyến A B song song 1  � x1    x2  � x1  x2   �  m   � m  3(l ) ( x1  1) ( x2  1) Vậy chọn không tồn Câu Cho  P  : y  x  2x  m ,    : y  x  Giả sử  P  cắt    hai điểm phân biệt A, B tọa độ trung điểm I AB là: A I  2; 5 B I  1;  m2  1 C I  1; 3 D I  2;  m2  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : x  x  m2  x   x  x  m2    1  P  cắt    hai điểm phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt  � 0  m2   (m) http://dethithpt.com Hoành độ điểm A, B nghiệm x1, x2 phương trình  1 tung độ trung điểm I thỏa � x1  x2 2 �xI  phương trình    , nên tọa độ trung điểm I : � Vậy I  2; 5 � �yI  xI   Vậy chọn I  2; 5 Câu Định m để  Cm  : y   m  1 x  x  m có điểm chung với trục hồnh 4 A m  �m  B m  C m  D m  3 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]: Xét m  , phương trình x   có hai nghiệm (loại) x  � y  m � � 2 27 m3  54m  27 m  + m �1 đó: y '   m  1 x  x  � � x �y �  m  1 27  m  1 �  Cm  có điểm chung với Ox � yCD yCT  � � m  �m  m  27m3  54m  27 m   27  m  1 0 4 Vậy chọn m  �m  3 Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án đề + Với m  1 , phương trình 2 x3  x   thu x  nghiệm � loại B, D + Với m  , phương trình x3  x   thu x  nghiệm � loại C Vậy chọn m  �m  Câu Cho hàm số y  x  3x  m  có đồ thị (C ) Giá trị m để đồ thị (C ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là: A m  3 B m  C m  D Kết khác Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Đồ thị (C ) cắt trục hoành điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng � x  3x   m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng Suy đường thẳng y  m qua điểm uốn đồ thị y  x  x  (Do đồ thị (C ) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) Mà điểm uốn y  x  3x  I (1; 3) Suy m  3 Vậy chọn m  3 Phương pháp trắc nghiệm Chọn m  3 thay vào phương trình x  3x  m   http://dethithpt.com Ta x3  3x   Dùng chức tìm nghiệm phương trình bậc ba ta ba nghiệm x   3, x  1, x   thỏa cấp số cộng Vậy chọn m  3 2x 1 có đồ thị (C ) đường thẳng ( d ) : y  x  m Đường thẳng (d ) cắt đồ x 1 thị (C ) hai điểm A B Với C (2;5) , giá trị m để tam giác ABC A m  �m  B m  C m  D Đáp án khác Câu Cho hàm số: y  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) đường thẳng (d ) : 2x 1  x  m ( x �1) � x  (m  3) x  m   0(1) x 1 Khi (d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt A , B chi phương trình (1) có hai nghiệm � (m  3)  4( m  1)  � m  2m  13  � � � � m �R phân biệt khác 1 �2 �  m � R  (m  3)  m  �0 � � Gọi A( x1 ; x1  m), B ( x2 ; x2  m) x1 , x2 nghiệm (1) �x1  x2   m Nên theo Vi – et ta có � �x1 x2  m  Gọi I ( x1  x2 x1  x2  2m ; ) trung điểm AB 2 uur 3 m 3 m 3 m 3 m ; ) , suy CI (2  ;5  ) � CI  (m  7)  (7  m) 2 2 2 uuu r Mặt khác AB  ( x2  x1 ; x2  x1 ) � AB  2( x2  x1 )  2( m  2m  13) Suy I ( Tam giác ABC CI  3 AB � 2(m  7)  2( m2  2m  13) 2 m 1 � � (m  7)  3(m  2m  13) � 2m  8m  10  � � m  5 � Vậy chọn m  �m  5 Câu Cho hàm số y  x  (2m  1) x  2m có đồ thị (C ) Giá trị m để đường thẳng (d ) : y  cắt đồ thị (C ) bốn điểm phân biệt có hồnh độ lớn là: � m� � � �m � 11 � A � B � C  m  D Kết khác 11 � �  m  1 m  � � Hướng dẫn giải http://dethithpt.com Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) đường thẳng (d ) : � x2  x  (2m  1) x  2m  � x  (2m  1) x  2m   � �2 x  2m  (1) � 4 Đường thẳng (d ) cắt (C ) bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ � m� � m  � � � �� �� Vậy chọn  2m   11 � � 1 m  � � m� � � � 11 � 1 m  � Câu Cho hàm số: y  x  2mx  3(m  1) x  có đồ thị (C ) Đường thẳng (d ) : y   x  cắt đồ thị (C ) ba điểm phân biệt A(0; 2), B C Với M (3;1) , giá trị m để tam giác MBC có diện tích là: A m  1 �m  B m  1 C m  D Kết khác Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm x  2mx  3( m  1) x    x  � x  x  2mx  3(m  1)   x0 � � �2 x  2mx  3( m  1)  0(1) � Đường thẳng (d ) cắt (C ) ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm � m  3m   phân biết khác ��۹ � m  �0 � m �R � � �m �1 m Khi ta có: C ( x1 ;  x1  2), B( x2 ;  x2  2) x1 , x2 nghiệm (1) �x1  x2  2m Nên theo Vi-et ta có � �x1 x2  3m  uuu r Ta có: CB  ( x2  x1 ;  x2  x1 ) � CB  2( x2  x1 )  8( m  3m  3) d ( M ;(d ))  3   2  Diện tích tam giác MBC m  1 � 8(m  3m  3)  � m  3m   � m  3m   � � ( thỏa m �1 ) m4 � Vậy chọn m  1 �m  http://dethithpt.com Câu Cho  Cm  : y  x  x    m  x  m Tất giá trị tham số m để  Cm  cắt trục hoành ba 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 thỏa x1  x2  x3  là: � m � A m  B � C m  D m �0 � m � � Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành x3  x    m  x  m   x 1 �  x  1  x  x  m    �2 x  x  m  (1) �  Cm  cắt trục hồnh ba điểm phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác  � 0  4m  m � � � (*) � � �   m �0 m �0 � � � m �0 � �x1  x2  Gọi x3  cịn x1, x2 nghiệm phương trình  1 nên theo Vi-et ta có: � �x1 x2   m 2 2 2 Hệ thức: x1  x2  x3   x1  x2     x1  x2   x1x2    m  (thỏa (*)) Vậy chọn m  x  mx  x  m  có đồ thị  Cm  Giá trị m để  Cm  cắt trục Ox 3 2 ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa x1  x2  x3  15 A m  �m  1 B m  1 C m  D m  Câu 10 Cho hàm số : y  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) đường thẳng (d ) : x  mx  x  m   �  x  1  x   3m  1 x  3m    3 x 1 � �� g  x   x   3m  1 x  3m   (1) �  Cm  cắt Ox ba điểm phân biệt � phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác g  � � ��۹ � �g  1 �0 � m  6m   � 6m �0 � m �x2  x3  3m  Gọi x1  x2 , x3 nghiệm phương trình  1 nên theo Vi-et ta có: � �x2 x3  3m  http://dethithpt.com Hệ thức: x12  x22  x32  15 �   x2  x3   x2 x3  15 �  3m  1   3m    14  � 9m   � m  �m  1 Vậy chọn m  �m  1 Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra đáp án +Với m  2 , ta giải phương trình bậc ba: x  x  x   thu nghiệm 3 x1  6.37 , x2  1, x3  0.62 Ta chọn giá trị nhỏ nghiệm kiểm tra điều kiện tốn Cụ thể ta tính  6.4   12   0.63  42.3569  15 � loại C, D 2 +Với m  , ta làm tương tự thu nghiệm x1  6.27 , x2  1, x3  1.27 Tính 6.22  12   1.3  41.13  15 � loại B Vậy chọn m  �m  1 x2  x  Câu 11 Cho đồ thị  C  : y  đường thẳng (d ) : y  m Giá thị tham số m để  C  cắt (d ) x 1 hai điểm phân biệt A , B cho AB  là: A m  � B m   C m   D m  �m  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận �x �1 x2  x  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  (d )  m  �2 x 1 �x   m  1 x  m   (1)  C  cắt (d ) hai điểm phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác     m  1  m  3  �  m  1 �m  3(*) �  m   m  �0 � �x1  x2  m  Hoành độ giao điểm x1, x2 nghiệm phương trình (1) nên theo Vi-et ta có: � �x1 x2  m  Khi đó: A  x1; m  , B  x2 ; m  Do đó: AB   AB    x2  x1     x1  x2  � � m 1   m 1 � ( thỏa (*))  x1x2    � m 1   m 1 � � Vậy chọn m  � 2x  Câu 12 Cho đồ thị  H  : y  đường thẳng (d ) : y  kx  2k  Giá trị k để  H  cắt (d ) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A từ B đến trục hoành 1 A k  3 B k  C k  D k   http://dethithpt.com Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Phương trình hoành độ giao điểm (C ) đường thẳng (d ) : �x �1 2x   kx  2k   � x 1 kx   3k  1 x  2k  (1) �  H  cắt (d ) hai điểm phân biệt A, B  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 k �0 � k �0 k �0 � � � 0 (*) �  �2 � k  k   k   2 � k   2 � � � k (1)2  (3k  1)(1)  2k �0 �  3k � �x1  x2  k Hoành độ A, B nghiệm x1, x2 phương trình  1 nên theo Vi-et ta có: � � x x  �1 tung độ A, B thỏa phương trình đường thẳng (d ) khoảng cách từ A từ B đến trục kx1  2k   kx2  2k  � hoành  y A  yB  kx1  2k   kx2  2k   �  kx1  2k   kx2  2k  � x1  x2  loa� i �  k  3 (thỏa (*)) � k  x1  x2   4k   � Vậy chọn k  3 http://dethithpt.com ...  thỏa yêu cầu II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Cho hàm số y  ax  bx  c  a �0  có đồ thị  C  đường thẳng y  k có đồ thị  d   Lập... 19 � III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ : y  ax  b cx  d KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Cho hàm số y  ax  b cx  d  ad  bc �0  có đồ thị (C ) đường thẳng y  kx  n có đồ thị  d... http://dethithpt.com +  C   d  có ba giao điểm �  1 có ba nghiệm phân biệt �   có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương nghiệm x  +  C   d  có hai giao điểm �  1 có hai nghiệm phân biệt �   có