HTTP://DETHITHPT.COM 3.5 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lơgarit • Bất phương trình lơgarit là bất phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lôgarit Phương trình và bất phương trình lôgarit bản: cho a, b > 0, a ≠ • Phương trình lơgarit bản có dạng: log a f ( x) = b • Bất phương trình lôgarit bản có dạng: log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lơgarit • Đưa vê cùng sô  f ( x) > , với mọi log a f ( x) = log a g ( x) ⇔  < a ≠1   f ( x) = g ( x) Nếu  Nếu  a >1 thì < a log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x) thì  f ( x) > log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) < g ( x) • Đặt ẩn phu • Mũ hóa B KỸ NĂNG CƠ BẢN • Giải phương trình và bất phương trình lôgarit phương pháp: đưa vê lôgarit có số, mũ hóa và dùng ẩn phụ, sử dụng tính chất hàm sớ C MỘT SỐ DẠNG TOÁN CÀN LUYỆN TẬP Điều kiện xác định phương trình Câu 1: Điêu kiện xác định phươg trình log( x − x − 6) + x = log( x + 2) + là A x > B x > −2 C ¡ \ [ − 2;3] D x > Kiểm tra xem giá trị nào là nghiệm phương trình Câu 2: Phương trình log (3 x − 2) = có nghiệm là: 29 11 B x = 3 Tìm tập nghiệm phương trình A x = C x = 25 D x = 87 Câu 3: Phương trình log 22 ( x + 1) − log x + + = có tập nghiệm là: A { 3;15} B { 1;3} Tìm sô nghiệm phương trình C { 1; 2} Câu 4: Số nghiệm phương trình log ( log x ) + log ( log x ) = là: D { 1;5} HTTP://DETHITHPT.COM A B C D Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ nhất phương trình Câu 5: Tìm nghiệm lớn nhất phương trình log x − log x = log x − là 1 A x = B x = C x = D x = 4 Tìm môi quan hệ các nghiệm phương trình (tổng, hiệu, tích, thương…) Câu 6: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi đó tích x1.x2 bằng: A B −1 C −2 D Cho phương trình, đặt ẩn phu thì thu phương trình nào (ẩn t ) + = trở thành phương trình nào Câu 7: Nếu đặt t = log x thì phương trình − log x + log x A t − 5t + = B t + 5t + = C t − 6t + = D t + 6t + = Tìm điều kiện tham sô m để phương trình thỏa điều kiện nghiệm sơ (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện nào đó…) Câu 8: Tìm m để phương trình log x + log x + m − = có nghiệm A m ≤ B m < C m ≥ D m > 2 Câu 9: Tìm m để phương trình log x + log x + − 2m − = có nhất nghiệm thuộc đoạn 1;3    m ∈ [0; 2] A B m ∈ (0; 2) Điều kiện xác định bất phương trình C m ∈ (0; 2] D m ∈ [0; 2) Câu 10: Điêu kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x > C x > − B x > 2 D x > −1 10 Tìm tập nghiệm bất phương trình x x Câu 11: Bất phương trình log (2 + 1) + log (4 + 2) ≤ có tập nghiệm: A (−∞;0] B (−∞;0) C [0; +∞) D ( 0; +∞ ) Câu 12: Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) ( ( A 1 + 2; +∞ B 1 − 2; +∞ C −∞;1 +  D −∞;1 −  11 Tìm nghiệm nguyên (tự nhiên) lớn nhất, nguyên (tự nhiên) nhỏ nhất bất phương trình Câu 13: Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log ( log x ) > log ( log x ) là: A 17 B 16 C 15 D 18 m 12 Tìm điều kiện tham sô để bất phương trình thỏa điều kiện nghiệm sơ (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện nào đó…) x x Câu 14: Tìm m để bất phương trình log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≤ m có nghiệm x ≥ A m ≥ B m > C m ≤ 3.2 - LÔGARIT D m < HTTP://DETHITHPT.COM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Điêu kiện xác định phươg trình log x−3 16 = là: A < x ≠ 2 3  C x ∈ ¡ \  ;  2  B x ≠ D x > Hướng dẫn giải  2 x − > x > ⇔ ⇔ < x ≠ ,chọn đáp án A Biểu thức log x−3 16 xác định ⇔  2 x − ≠  x ≠ 2 Câu Điêu kiện xác định phươg trình log x (2 x − x − 12) = là: A x ∈ ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ ) B x ∈ ( −∞;0 ) C x ∈ ( 0;1) D x ∈ ( 0; +∞ ) Hướng dẫn giải Biểu thức log x (2 x − x − 12) xác định  x > x >   ⇔ x ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x ∈ (0;1) ∪ (1; +∞ ) 2 x − x + 12 >  47  2 ( x − ) +  >  16    chọn đáp án A x là: x +1 C x ∈ ¡ \ [ − 1;0] Câu Điêu kiện xác định phương trình log ( x − 1) = log A x ∈ ( 1; +∞ ) B x ∈ ( −1; ) D x ∈ ( −∞;1) Hướng dẫn giải  x >0  x < −1 ∨ x > x  ⇔ ⇔ x >1 Biểu thức log ( x − 1) và log xác định ⇔  x + x > x +1   x −1 > chọn đáp án A 2x = là: x +1 B x ∈ ( −1; +∞ ) C x ∈ ( −1; ) Câu Điêu kiện xác định phươg trình log A x ∈ ¡ \ [ − 1;0] Hướng dẫn giải Biểu thức log 2x xác định : x +1 D x ∈ ( −∞;1) HTTP://DETHITHPT.COM ⇔ 2x > ⇔ x < −1 ∨ x > ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞ ) , chọn đáp án A x +1 Câu Phương trình log (3 x − 2) = có nghiệm là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải  3x − > x > ⇔ ⇔ x = , chọn đáp án A PT ⇔  3x − =  x = Câu Phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log có nghiệm là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải x > x > x −1 >  ⇔ ⇔   x = −8 ⇒ x = , chọn đáp án A PT ⇔  ( x + 3)( x − 1) =  x + 2x − =  x =  Câu Phương trình log ( x − 6) = log ( x − 2) + có tập nghiệm là: A T = ∅ B T = {0;3} C T = {3} D T = {1;3} Hướng dẫn giải   x − > x < − ∨ x >   ⇔ x > ⇒ x ∈∅ , chọn đáp án A PT ⇔  x − >  x − = 3( x − 3)  x=0     x = Câu Phương trình log x + log ( x − 1) = có tập nghiệm là: A { 2} B { 1;3} C { −1;3} D { 1} Hướng dẫn giải x > x > x >   ⇔ ⇔   x = −1 ⇔ x = , chọn đáp án A PT ⇔  x − > log x ( x − 1) =  x − x − =  ]  x =  2[ Câu Phương trình log 22 ( x + 1) − log x + + = có tập nghiệm là: A { 1;3} B { 3;15} C { 1; 2} Hướng dẫn giải D { 1;5} HTTP://DETHITHPT.COM  x > −1  x > −1 x +1 > x =1   ⇔  log ( x + 1) = ⇔   x = ⇔  PT ⇔  , chọn A x = log ( x + 1) − 3log ( x + 1) + =  log ( x + 1) =  x =   Câu 10 Số nghiệm phương trình log ( log x ) + log ( log x ) = là: A B C D Hướng dẫn giải x > log x > x >   ⇔ 1 PT ⇔ log x > 1    log ( log x ) + log  log x ÷ =    log ( log x ) + log log x = 2  ( ) x > x >   ⇔ 1 ⇔ 3  log ( log x ) + log 2 + log ( log x ) =  log ( log x ) − =  x > x > x > ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ x = 16 ,chọn đáp án A log log x = log x = x = 16 ( )   2   Câu 11 Số nghiệm phương trình log x.log (2 x − 1) = log x là: A B C D Hướng dẫn giải x >   x > ⇔ PT ⇔ 2 x − > log x.log (2 x − 1) = log x log x [ log (2 x − 1) − ] =   1   x > x > x =   ⇔ ⇔ ⇔ , chọn đáp án A log x = x =1 x =      log (2 x − 1) =   x = Câu 12 Số nghiệm phương trình log ( x + 1) − log ( x − x + 1) − log x = là: A B C Hướng dẫn giải D HTTP://DETHITHPT.COM x >  x > x +1 >  ⇔ PT ⇔  x3 + x − x +1 >  x ( x − x + 1) =  log ( x + 1) − log ( x − x + 1) − log x =  2 x > x > x >  ⇔  ( x + 1)( x − x + 1) ⇔ ⇔ ⇒ x ∈ ∅ ,chọn đáp án A = x + = x = −    x ( x − x + 1)  Câu 13 Số nghiệm phương trình log ( x ) − log 25 ( x ) − = là : A B C D Hướng dẫn giải x > x > x >   ⇔ ⇔ 1 PT ⇔  log (5 x) − log 25 (5 x) − = log (5 x) − log (5 x) − =  log (5 x ) − = x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 55 ,chọn đáp án A log (5 x) = 5 x = x = Câu 14 Phương trình log (5 x − 3) + log ( x + 1) = có nghiệm x1 , x2 đó x1 < x2 Giá trị P = x1 + 3x2 A 14 là B C D 13 Hướng dẫn giải  5 x − >  x > PT ⇔ log (5 x − 3) + log ( x + 1) = ⇔    log3 (5 x − 3) − log ( x + 1) =  x> 3     x =1 x > x > x >  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 5 x =1 x = log (5 x − 3) = log ( x + 1) 5 x − = x +  x − x + =     3    x = Vậy x1 + x2 = 2.1 + 3.4 = 14 ,chọn đáp án A Câu 15 Hai phương trình log (3 x − 1) + = log (2 x + 1) và log ( x − x − 8) = − log ( x + 2) có nghiệm nhất là x1 , x2 Tổng x1 + x2 là? A B C Hướng dẫn giải PT1: log (3 x − 1) + = log (2 x + 1) D 10 HTTP://DETHITHPT.COM 3x − >   x > ⇔ PT ⇔ 2 x + > 2 log (3x − 1) + = log (2 x + 1) log (3x − 1) + log = 3log (2 x + 1) 5  5  1   x > x > ⇔ ⇔ 3 log 5(3x − 1) = log (2 x + 1)3 5(3 x − 1) = (2 x + 1)3   1   x > x > ⇔ ⇔ 3 3 5(9 x − x + 1) = x + 12 x + x + 8 x − 33 x + 36 x − =    x >  ⇔  ⇒ x1 =  x =   x = 2 PT2: log ( x − x − 8) = − log ( x + 2)   x < −2 ∨ x > x − 2x − >   ⇔  x > −2 PT ⇔  x + > log ( x − x − 8) = − log ( x + 2) log ( x − x − 8) = + log ( x + 2)  2   x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔   2  x − x − = 2( x + 2)  x − x − 12 = log ( x − x − 8) = log 2( x + 2) x >  ⇔   x = −2 ⇒ x2 =  x =  Vậy x1 + x2 = + = ,chọn đáp án A Câu 16 Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi đó tích x1.x2 bằng: A B −1 C D −2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điêu kiện: < x ≠ 1 PT ⇔ log x − log16 x = ⇔ log x − log 24 x = ⇔ log x − log x = HTTP://DETHITHPT.COM 4(log x 2) − 1 ⇔ log x − =0⇔ = ⇔ 4(log x 2) − = log x log x 1   log x =  x1 =  = x2  ⇔ (log x 2) = ⇔  ⇔ ⇔  x2 = 1 −  log = −   2 = x  x Vậy x1.x2 = = ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Đáp án B,D có tích âm thì có thể x1 < x2 < thì không thỏa mãn điêu kiện x nên loại Câu 17 Nếu đặt t = log x thì phương trình A t − 5t + = + = trở thành phương trình nào? − log x + log x B t + 5t + = C t − 6t + = D t + 6t + = Hướng dẫn giải Đặt t = log x PT ⇔ + t + 2(5 − t ) + =1⇔ = ⇔ + t + 2(5 − t ) = (5 − t )(1 + t ) − t 1+ t (5 − t )(1 + t ) ⇔ 11 − t = + 4t − t ⇔ t − 5t + = , chọn đáp án A Câu 18 Nếu đặt t = lg x thì phương trình A t − 3t + = + = trở thành phương trình nào? − lg x + lg x B t + 2t + = C t − 2t + = D t + 3t + = Hướng dẫn giải Đặt t = lg x PT ⇔ 2 + t + 2(4 − t ) + =1⇔ = ⇔ + t + 2(4 − t ) = (4 − t )(2 + t ) 4−t 2+t (4 − t )(2 + t ) ⇔ 10 − t = + 2t − t ⇔ t − 3t + = , chọn đáp án A Câu 19 Nghiệm bé nhất phương trình log x − log x = log x − là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải TXĐ: x > 3 PT ⇔ log x − log x = log x − ⇔ log x − log x − log x + = D x = HTTP://DETHITHPT.COM ⇔ log 23 x − log x − log 2 x + = ⇔ log x(log 2 x − 1) − 2(log 2 x − 1) = x = log x =   log x − = ⇔ (log 2 x − 1)(log x − 2) = ⇔  ⇔ log x = −1 ⇔  x =   log x − = log x = x =  chọn đáp án A vì x = nhỏ nhất Câu 20 Điêu kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x > C x > − B x > D x > −1 Hướng dẫn giải x > x >    BPT xác định khi: 4 x + > ⇔  x > − ⇔ x > , chọn đáp án A x −1 >    x > Câu 21 Điêu kiện xác định bất phương trình log ( x + 1) − log (5 − x) < − log ( x − 2) là: A < x < B < x < C < x < D −4 < x < Hướng dẫn giải x +1 >  x > −1   BPT xác định : 5 − x > ⇔  x < ⇔ < x < , chọn đáp án A x − > x >   Câu 22 Điêu kiện xác định bất phương trình log log (2 − x )  > là: A x ∈ ( −1;1) B x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) C x ∈ ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) D x ∈ [ − 1;1] Hướng dẫn giải − < x < 2 − x >  − < x < ⇔ ⇔ BPT xác định :    2 log (2 − x ) > 2 − x >    1 − x >  − < x < ⇔ ⇔ −1 < x < , chọn đáp án A − < x <   x x Câu 23 Bất phương trình log (2 + 1) + log (4 + 2) ≤ có tập nghiệm là: A (−∞;0] B (−∞;0) C [0; +∞) Hướng dẫn giải x x x Xét x > ⇒ > = ⇒ + > ⇒ log ( + 1) > log 2 = 1( 1) D ( 0; +∞ ) HTTP://DETHITHPT.COM x > ⇒ x > 40 = ⇒ x + > + = ⇒ log ( x + ) > log 3 = ( ) x x Cộng vế với vế ( 1) và ( ) ta được: log (2 + 1) + log (4 + 2) > x x Mà BPT: log (2 + 1) + log (4 + 2) ≤ nên x > ( loai ) x x x Xét x ≤ ⇒ ≤ = ⇒ + ≤ ⇒ log ( + 1) ≤ log 2 = 1( ) x ≤ ⇒ x ≤ 40 = ⇒ x + ≤ + = ⇒ log ( x + ) ≤ log 3 = 1( ) x x Cộng vế với vế ( 3) và ( ) ta được: log (2 + 1) + log (4 + 2) ≤ ( tm ) Vậy x ≤ hay x ∈ ( −∞;0] , chọn đáp án A Câu 24 Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) A 1 + 2; +∞ B 1 − 2; +∞ ( C −∞;1 +  ( D −∞;1 −  Hướng dẫn giải  x − x − >  x < −1 ∨ x > ⇔ ⇔ x>2 TXĐ ⇔  x > x −1 > 2 BPT ⇔ log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + ⇔ log ( x − x − ) ≥ log 2−1 ( x − 1) + ⇔ log ( x − x − ) + log ( x − 1) − ≥ ⇔ log 2 (x ⇔ − x − ) ( x − 1) (x − x − ) ( x − 1) ≥0 ≥ ⇔ ( x − x − ) ( x − 1) ≥ ⇔ x ( x − x − 1) ≥  x ≤ − ( loai ) ⇔ x2 − x − ≥ ⇔  ⇒ x ≥ 1+  x ≥ + ( tm ) chọn đáp án A Câu 25 Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log ( log x ) ≥ log ( log x ) là: A B 10 C D Hướng dẫn giải x > log x > x >   ⇔ BPT ⇔ log x > 1   + log  log x ÷ ≥ log ( log x )    + log log x ≥ log ( log x ) 2  ( ) HTTP://DETHITHPT.COM x < log ( x − x + 1) < ⇔ x − x + > ⇔  x >  2 Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log ( X − X + 1) Nhấn CALC và cho X = −5 (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị -9,9277… Vậy loại đáp án B và C Nhấn CALC và cho X = (thuộc đáp án A) máy tính hiển thị -1,709511291 Vậy chọn A Câu 51 Tập nghiệm bất phương trình log 3  A S =  −2; − ÷ 2  4x + ≤ là: x B S = [ −2;0 ) C S = ( −∞;2 ]   D S = ¡ \  − ;0    Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  4x +   x > 4x + x < − ∨ x > log ≤0⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ x < − x  4x + ≤  −2 ≤ x <  x Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log 4X + X Nhấn CALC và cho X = (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C và D Nhấn CALC và cho X = −1 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, chọn A Câu 52 Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điêu kiện: x >  x < −1 log 0,2 x − log5 ( x − ) < log 0,2 ⇔ log 0,2  x ( x − )  < log 0,2 ⇔ x − x − > ⇔  x > HTTP://DETHITHPT.COM So điêu kiện suy x > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log 0,2 X − log ( X − ) − log 0,2 Nhấn CALC và cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC và cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn A x −1 Câu 53 Nghiệm nguyên lớn nhất bất phương trình log ( 4.3 ) > x − là: A x = B x = C x = D x = −1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] log ( 4.3x −1 ) > x − ⇔ 4.3x −1 > 32 x −1 ⇔ 32 x − 4.3 x < ⇔ < x < ⇔ x < log Vậy chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] X −1 Nhập vào màn hình máy tính log ( 4.3 ) − X + Nhấn CALC và cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án C Nhấn CALC và cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC và cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Vậy chọn A HẾT -[3.5 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT] VẬN DỤNG THẤP Câu 54 Điêu kiện xác định phương trình log 3log ( x − 1) − 1 = x là: +1 A x > B x ≥ C x > 3 D x ∈ (0; +∞) \{1} Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Biểu thức log 3log ( x − 1) − 1 = x xác định và khi:  1   x > +1 log ( x − 1) > 3log ( x − 1) − > 3x − > 23 +  ⇔x> ⇔ ⇔ ⇔  1 3x − > x >  x > x >    3  chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] HTTP://DETHITHPT.COM Thay x = (thuộc B, C, D) vào biểu thức log ( 3x − 1) log (0) không xác định, loại B, C, D, chọn đáp án A ) ( ) ( 2 Câu 55 Điêu kiện xác định phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x ≥ C x > 0, x ≠ B x ≤ −1 D x ≤ −1 x ≥ Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình xác định và :  x − x2 −1 >    x + x − > ⇔ x ≥ , chọn đáp án A x2 −1 ≥  [Phương pháp trắc nghiệm] ) ( Thay x = −1 (thuộc B, D) vào biểu thức log x − x − log ( −1) không xác định, Thay (thuộc C) vào biểu thức x − Vậy loại B, C, D chọn đáp án A x= −3 không xác định ) ( ) ( 2 Câu 56 Nghiệm nguyên phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x = B x = −1 C x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x ≥ ( ) ) ( log x − x − log x + x − = log x − x − ) ( ) ( ⇔ log 6.log ( x + x − ) log 6.log ( x + x − ) − log ( x + Đặt t = log ( x + x − ) ta ( ) ⇔ log x + x − log x + x − = log x + x − 2 6 6 ) x2 −1 = D x = HTTP://DETHITHPT.COM log 6.log 6.t − t = ( ( ) ) log x + x − = t =  ⇔ ⇔ 1 t = log x + x − =  log 6.log log 6.log   x + x − = ( 1)  ⇔ log x + x − = log ( )   x + x − = ⇔ x = 1∈ ¢ ( 1) ⇔   x − x − =  x + x − = 2log6 2log6 + 2− log6 ⇔ ⇔ x = ∉¢ ( )  − log 2  x − x − = chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = vào phương trình ta VT = VP chọn đáp án A  32   x  t = log x log x − log Câu 57 Nếu đặt thì bất phương trình ÷+ log  ÷ < log 2−1 ( x ) trở thành 2  x    bất phương trình nào? A t − 13t + 36 < B t − 5t + < C t + 13t + 36 < D t − 13t − 36 < ( ) ( ) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x >  x3   32  log 42 x − log 21  ÷+ log  ÷ < log 22−1 ( x )  x   ⇔ log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x < ⇔ log 42 x − 13log 22 x + 36 < Vậy chọn đáp án A  32   x  Câu 58 Nghiệm nguyên lớn nhất bất phương trình log x − log  ÷+ log  ÷ < log 2−1 ( x ) là: x     A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x >  x3   32  log 42 x − log 21  ÷+ log  ÷ < log 22−1 ( x ) 8 x   ⇔ log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x < ⇔ log 42 x − 13log 22 x + 36 < 4 < x <  < log x < ⇔ < log x < ⇔  ⇔ 1  log 73 ( ) log x log ( x − 72 ) ≤ ⇔ log ( x − 72 ) ≤ x ⇔ x − 3x − 72 ≤ ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤ Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] ( ) x Thay x = log 73 (thuộc B, C, D) vào biểu thức log x log ( − 72 ) log x (0) không xác định, loại B, C, D, chọn đáp án A Câu 60 Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình log  x ( x − 1)  = Khi đó tích x1.x2 bằng: A −2 B C −1 D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điêu kiện x < x >  x = −1 log  x ( x − 1)  = ⇔ x − x − = ⇔  ⇔ x1.x2 = −2  x2 = Vậy chọn đáp án A x x x Câu 61 Nếu đặt t = log ( − 1) thì phương trình log ( − 1) log ( 2.5 − ) = trở thành phương trình nào? A t + t − = B 2t = C t − t − = D t = Hướng dẫn giải Điều kiện: x > log ( 5x − 1) log ( 2.5x − ) = ⇔ log ( x − 1) 1 + log ( x − 1)  − = Vậy chọn đáp án A Câu 62 Số nghiệm phương trình log ( x + 12 ) log x = là: A B C D Hướng dẫn giải Điêu kiện : < x ≠  x = −3 log ( x + 12 ) log x = ⇔ log ( x + 12 ) = log x ⇔ − x + x + 12 = ⇔  x = Loại x = −3 chọn đáp án A Câu 63 Phương trình log 52 (2 x − 1) − 8log x − + = có tập nghiệm là: A { 3; 63} B { 1;3} C { −1; −3} Hướng dẫn giải D { 1; 2} HTTP://DETHITHPT.COM [Phương pháp tự luận] Điêu kiện : x > 2 log (2 x − 1) − 8log x − + = ⇔ log 52 (2 x − 1) − log ( x − 1) + = log ( x − 1) = x = ⇔ ⇔  x = 63 log ( x − 1) = Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, D) vào vế trái ta = vô lý, loại B, D, Thay x = −1 vào log ( x − 1) ta log ( −3) không xác định, nên loại C Vậy chọn đáp án A x −1 x +1 x −1 < log log Câu 64 Nếu đặt t = log thì bất phương trình log log trở thành bất phương x +1 x +1 x −1 trình nào? t −1 t −1 t2 +1 A B t − < C D < >0 log ( log x ) là: A 17 B 16 C 15 D 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > log ( log x ) > log ( log x ) ⇔ log ( log x ) > ⇔ log x > ⇔ x > 16 Vậy chọn đáp án A Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = 16;15 (thuộc B, C) vào phương trình ta bất dẳng thức sai nên loại B, C Thay x = 17;18 vào phương trình ta bất đẳng thức HTTP://DETHITHPT.COM Vậy chọn đáp án A Câu 67 Phương trình A e3 + = có tích nghiệm là: − ln x + ln x B C e e D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > 0, x ≠ e−2;x ≠ e4 x = e ln x = 1 + = ⇔ ln x − 3ln x + = ⇔  ⇔ − ln x + ln x ln x = x = e Vậy chọn đáp án A Câu 68 Phương trình x log9 x = x có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ x log9 x = x ⇔ log ( x log9 x ) = log ( x ) ⇔ + log 92 x − log x = ⇔ log x = ⇔ x = Vậy chọn đáp án A Câu 69 Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log x − log x < là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ log x − log x < ⇔ log x < 0 < x < −1 log x > Vậy chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Loại B, D vì x ≠ 1; x ≠ Loại C vì x = ⇒ log − log > Vậy chọn đáp án A Câu 70 Phương trình x A x = e ln +7 = 98 có nghiệm là: B x = ln x C x = e D x = e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ Đặt x = et t x ln + 7ln x = 98 ⇔ et ln + ln e = 98 ⇔ 2.7t = 98 ⇔ t = Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay x = 2; x = e; x = e vào phương trình ta đẳng thức sai, loại B, C, D, Vậy chọn đáp án A Câu 71 Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: HTTP://DETHITHPT.COM ) A S = 1 + 2; +∞ ) B S = 1 − 2; +∞ ( C S = −∞;1 +  ( D S = −∞;1 −  Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điêu kiện : x > log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + ⇔ log ( x − x − ) ( x − 1)  ≥ ⇔ ( x − x − ) ( x − 1) − ≥ 1 − ≤ x ≤ ⇔ x3 − x − x ≥ ⇔   x ≥ + Chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Dựa vào điêu kiện ta loại B, C, D, Vậy chọn đáp án A 1 − log x + = có hai nghiệm x1, x2 Khẳng định nào sau là Câu 72 Biết phương trình log x đúng? 3 A x1 + x2 = 2049 3 B x1 + x2 = − 2047 3 C x1 + x2 = − 2049 3 D x1 + x2 = 2047 Hướng dẫn giải x > x > ⇔ Điêu kiện:  x ≠ log x ≠ Đặt t = log x Phương trình cho trở thành 3t − 7t − =  x = 23 =  log x = t =  ⇔ ⇔ ⇔ − (thỏa mãn điêu kiện)  log x = − t = − x=2 =    2049   3 Vậy tập nghiệm phương trình cho là S = 8;  ⇒ x1 + x2 = 4  x x +1 Câu 73 Số nghiệm nguyên dương phương trình log ( + ) = x − log ( − ) là: A B C D Hướng dẫn giải x +1 Điêu kiện: − > ⇔ x > log − Ta có: log ( + ) = x − log ( x x +1 4x + 4x + − ) ⇔ log x +1 = x ⇔ x +1 = 2x −3 −3 ( 1) 2 Đặt t = x , t > Ta có ( 1) ⇒ t + = 2t − 3t ⇔ t − 3t − = ⇒ t = ⇔ x = 22 ⇔ x = (thỏa mãn điêu kiện) Vậy nghiệm phương trình cho là x = Câu 74 Tập nghiệm bất phương trình log ( log ( x − 1) ) > là:  3 A S =  1; ÷  2  3 B S =  0; ÷  2 C S = ( 0;1) 3  D S =  ; ÷ 2  HTTP://DETHITHPT.COM Hướng dẫn giải 2 x − > ⇔ x > Điêu kiện:  log (2 x − 1) >  Ta có: log ( log ( x − 1) ) > ⇔ log ( log ( x − 1) ) > log 1 2 log (2 x − 1) < 0 < x − < ⇔ ⇔ ⇔ < x < (thỏa mãn điêu kiện) 2 x − > log (2 x − 1) >  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là S = 1; ÷  2 Câu 75 Tập nghiệm bất phương trình log ( x + x + 1) > log ( x + 1) là:   A S =  − ; ÷    1 B S =  0; ÷  2   C S =  − ;1÷   Hướng dẫn giải  x < −1 ∨ x > −  2 x + 3x + >  ⇔ x > −1 ⇔ Điêu kiện:  2 x + > x > −  1  D S =  ;1÷ 2  2 Ta có: log ( x + x + 1) > log ( x + 1) ⇔ log ( x + x + 1) > log ( x + 1) < x < (thỏa mãn điêu kiện)   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là S =  − ;0 ÷   ⇔ x + 3x + > x + x + ⇔ x + x < ⇔ − + log52 x là: C S = − 5;1 Câu 76 Tập nghiệm bất phương trình log x ( 125 x ) log 25 x > ( ) A S = 1; ( ) B S = −1; ( ) ( Hướng dẫn giải Điêu kiện: < x ≠ ( *) 3 + log 52 x ⇔ ( log x 53 + log x x ) log 52 x > + log 52 x 2 3 1  ⇔ ( 3log x + 1)  log x ÷ > + log 52 x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log x < 2 2  Ta có: log x (125 x).log 25 x > 1 ⇔ < log x < ⇔ < x < ⇔ < x < (thỏa mãn điêu kiện) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là S = 1; ( ) Câu 77 Tích nghiệm phương trình log x.log x.log8 x.log16 x = A B C Hướng dẫn giải Điêu kiện: x > ) D S = − 5; −1 81 là : 24 D HTTP://DETHITHPT.COM 81 1    81 ⇔ ( log x )  log x ÷ log x ÷ log x ÷ = 24 2    24 ⇔ log 42 = 81 ⇔ log x = ±3 ⇔ x = x = (thỏa mãn điêu kiện) 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho là S =  ;8 ⇒ x1.x2 = 8  Ta có: log x.log x.log x.log16 x = Câu 78 Phương trình log A x + = có nghiệm ? B C D Hướng dẫn giải Điêu kiện: x ≠ −1 Ta có: log x + = ⇔ x + = ⇔ x + = ±3 ⇔ x = x = −4 (thỏa mãn điêu kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho là S = { −4; 2} 2 Câu 79 Biết phương trình 4log9 x − 6.2log9 x + 2log3 27 = có hai nghiệm x1, x2 Khi đó x1 + x2 : 82 A 6642 B C 20 D 90 6561 Hướng dẫn giải Điêu kiện: x > Ta có phương trình tương đương 22log9 x − 6.2log9 x + 23 = (1) t = 2 Đặt t = 2log9 x , t > ( 1) ⇒ t − 6t + = ⇔  t = log x - Với t = ⇔ = ⇔ log x = ⇔ x = - Với t = ⇔ 2log9 x = 22 ⇔ log x = ⇔ x = 81 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho là S = { 9;81} ⇒ x1 + x2 = 6642 Câu 80 Tập nghiệm bất phương trình 2log22 x − 10 x log x + > là:  1 1  A S =  0; ÷∪ ( 2; +∞ ) B S = ( −2;0 ) ∪  ; +∞ ÷  2 2  1     C S = ( −∞; ) ∪  ; ÷ D S =  −∞; ÷∪ ( 2; +∞ ) 2 2   Hướng dẫn giải u Điêu kiện: x > (*) Đặt u = log x ⇒ x = u u Bất phương trình cho trở thành − 10 ( ) −u + > ⇔ 2u − 10 2u + > (1) t < −5 (l) u2 ⇔ 2u > ⇔ u > ⇔ u > u < −1 Đặt t = , t ≥ ( 1) ⇒ t + 3t − 10 > ⇔  t > - Với u > ⇒ log x > ⇒ x > - Với u < −1 ⇒ log x < −1 ⇒ x < HTTP://DETHITHPT.COM Kết hợp điêu kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho là x > < x < 2 Câu 81 Tập nghiệm phương trình 4log 2 x − x log = 2.3log2 x là: 1   1 4 A S =   B S = −  C S =   4  2 9  D S = { −2} Hướng dẫn giải Điêu kiện: < x ≠ Ta có: 4log2 x − x log = 2.3log2 x ⇔ 41+ log x − 6log2 x = 2.32+ 2log x ⇔ 4.4log2 x − 6log2 x = 19.9 log2 x (1) Chia vế cho 4log2 x  log x log x log x t = 3 9 3 > PT ⇒ 18t + t − = ⇔  (1) ⇔ 18  ÷ + ÷ − = Đặt t =  ÷ 2 4 2 t = − (l)  log x 3  ÷ 2 −2  4  3 =  ÷ =  ÷ ⇔ log x = −2 ⇔ x = 2−2 = 9  2 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho là S =   4 (thỏa mãn điêu kiện) VẬN DỤNG CAO Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log x − log3 ( x − ) = log m có Câu nghiệm? A m > B m ≥ C m < D m ≤ Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điêu kiện x > 2; m > log x − log ( x − ) = log m ⇔ x = ( x − ) m ⇔ x = 22m m −1 Phương trình có nghiệm x > m > ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay m = (thuộc C, D) vào biểu thức log m không xác định, loại C, D, Thay m = (thuộc B) ta phương trình tương đương x = x − vô nghiệm Vậy chọn đáp án A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + x + m ) ≥ nghiệm với Câu mọi x ∈ ¡ ? A m ≥ B m > C m < D < m ≤ Hướng dẫn giải log ( x + x + m ) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ x + x + m − ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ ⇔ m ≥ HTTP://DETHITHPT.COM Vậy chọn A Câu Tìm tất cả giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( mx − x ) ≤ log vô nghiệm? m > B   m < −4 A −4 < m < C m < D −4 ≤ m ≤ Hướng dẫn giải log ( mx − x ) ≤ log ⇔ mx − x ≥ ⇔ x − mx + ≤ 5 x − mx + ≤ vô nghiệm ⇔ x − mx + > ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ −4 < m < Vậy chọn A Câu Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log ( mx − x ) = vô nghiệm? A −4 < m < m > C   m < −4 B m < D m > −4 Hướng dẫn giải log ( mx − x ) = ⇔ − x + mx − = 0(*) Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ m − 16 < ⇔ −4 < m < Vậy chọn A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log x + 3log x + 2m − = có 4 Câu nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A m < B m > C m ≤ D < m < 8 8 Hướng dẫn giải Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 13 − 8m > ⇔ m < 13 Vậy chọn A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có 2 Câu nghiệm x ≥ ? A m ≤ B m > C m ≥ D m < Hướng dẫn giải x x x x BPT ⇔ log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≤ m ⇔ log (5 − 1) 1 + log (5 − 1)  ≤ m ( ) Đặt t = log x + x − x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) BPT ⇔ t (1 + t ) ≥ m ⇔ t + t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ m Với f (t ) = t + t HTTP://DETHITHPT.COM f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf (t ) = f (2) = x x Do đó để để bất phương trình log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ thì : m ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ chọn đáp án A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log x + log x + m − = có 3 Câu nghiệm? A m ≤ B m < C m ≥ D m > Hướng dẫn giải TXĐ: x > PT có nghiệm ∆′ ≥ ⇔ − (m − 1) ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ , chọn đáp án A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x − 1) ≤ m có nghiệm x ≥ ? Câu A m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ log ( x − 1) ≥ ⇔ m ≥ Vậy chọn đáp án A Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log x + log x + − 2m − = có 3 Câu nhất nghiệm thuộc đoạn 1;3  ? A m ∈ [0; 2] B m ∈ (0; 2) C m ∈ (0; 2] D m ∈ [0; 2) Hướng dẫn giải Với x ∈ 1;3  hay ≤ x ≤ 3 ⇒ log 32 + ≤ log 32 x + ≤ log 32 3 + hay ≤ t ≤ Khi đó bài toán phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nhất nghiệm thuộc đoạn [ 1; 2] ” Ta có PT ⇔ 2m = t + t + t Xét hàm số + f′ (t) f (t ) = t + t − 2, ∀t ∈ [ 1; ] , f '(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ [ 1; ] Suy hàm số đồng biến [ 1; 2] Khi đó phương trình có nghiệm ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Vậy ≤ m ≤ là giá trị cần tìm f (t) Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log ( 5x − 1) log ( 2.5 x − ) = m có Câu 10 nghiệm x ≥ ? A m ∈ [ 3; +∞ ) B m ∈ [ 2; +∞ ) C m ∈ (−∞; 2] D m ∈ ( −∞;3] Hướng dẫn giải HTTP://DETHITHPT.COM x x Với x ≥ ⇒ ≥ ⇒ log ( − 1) ≥ log ( − 1) = hay t ≥ Khi đó bài toán phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm t ≥ ” Xét hàm số f (t ) = t + t , ∀t ≥ 2, f '(t ) = 2t + > 0, ∀t ≥ t Suy hàm số đồng biến với t ≥ Khi đó phương trình có nghiệm 2m ≥ ⇔ m ≥ + f′ (t) Vậy m ≥ là giá trị cần tìm +∞ +∞ f (t) Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình Câu 11 log 32 x − ( m + ) log x + 3m − = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 27 ? A m = B m = −1 C m = −2 D m = Hướng dẫn giải Điêu kiện x > Đặt t = log x Khi đó phương trình có dạng: t − ( m + ) t + 3m − = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m < − 2 ∆ = ( m + ) − ( 3m − 1) = m − 8m + > ⇔  ( *)  m > + 2 Với điêu kiện ( *) ta có: t1 + t2 = log x1 + log x2 = log ( x1.x2 ) = log 27 = Theo Vi-ét ta có: t1 + t2 = m + ⇒ m + = ⇔ m = (thỏa mãn điêu kiện) Vậy m = là giá trị cần tìm Câu 12 Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc [ 32; +∞ ) ? ( A m ∈ 1;  log 22 x + log x − = m ( log x − 3) ) B m ∈ 1; ) ( C m ∈  −1; D m ∈ − 3;1 Hướng dẫn giải Điêu kiện: x > Khi đó phương trình tương đương: log 22 x − log x − = m ( log x − 3) Đặt t = log x với x ≥ 32 ⇒ log x ≥ log 32 = hay t ≥ t − 2t − = m ( t − 3) ( *) Khi đó bài toán phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ ” Với t ≥ thì (*) ⇔ ( t − 3) ( t + 1) = m ( t − 3) ⇔ t − t + − m t − = Phương trình có dạng ( ⇔ t +1 − m t − = ⇔ m = ) t +1 t −3 t +1 4 t +1 t +1 = 1+ Với t ≥ ⇒ < + ≤ 1+ = hay < ≤ 3⇒1< ≤ t −3 t −3 t −3 5−3 t −3 t −3 suy < m ≤ Vậy phương trình có nghiệm với < m ≤ Ta có HTTP://DETHITHPT.COM Tìm tất cả giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [ 12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12] Hướng dẫn giải  x2 + 4x + m x + >  m > − x − x = f ( x) (1) ⇔  ⇔  m < x − x + = g ( x)  x2 + 4x + m >  m ≥ Max f ( x) = −12 x = 2< x - m = : (2) không thỏa ∀x ∈ ¡ - m = : (3) không thỏa ∀x ∈ ¡ 7 − m >  ∆′2 = − ( − m ) ≤ (1) thỏa ∀x ∈ ¡ ⇔  m > ∆′ = − m <  m < m ≤  ⇔  ⇔ < m ≤ m >  m > Tìm tất cả giá trị thực tham Câu 14 + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) có nghiệm ∀x A m ∈ ( 2;3] B m ∈ ( −2;3] số C m ∈ [ 2;3) Hướng dẫn giải 2 Bất phương trình tương đương ( x + 1) ≥ mx + x + m > 0, ∀x ∈ ¡ ( − m ) x − x + − m ≥ (2) ⇔ (*), ∀x ∈ ¡ (3) mx + x + m > - m = m = : (*) không thỏa ∀x ∈ ¡ m để bất phương D m ∈ [ −2;3) trình ... log x + log x B t + 5t + = C t − 6t + = D t + 6t + = Hướng dẫn giải Đặt t = log x PT ⇔ + t + 2(5 − t ) + =1⇔ = ⇔ + t + 2(5 − t ) = (5 − t )(1 + t ) − t 1+ t (5 − t )(1 + t ) ⇔ 11 − t = + 4t... − t ⇔ t − 5t + = , chọn đáp án A Câu 18 Nếu đặt t = lg x thì phương trình A t − 3t + = + = trở thành phương trình nào? − lg x + lg x B t + 2t + = C t − 2t + = D t + 3t + = Hướng dẫn... t = lg x PT ⇔ 2 + t + 2(4 − t ) + =1⇔ = ⇔ + t + 2(4 − t ) = (4 − t )(2 + t ) 4−t 2+t (4 − t )(2 + t ) ⇔ 10 − t = + 2t − t ⇔ t − 3t + = , chọn đáp án A Câu 19 Nghiệm bé nhất phương trình log