Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 CHƯƠNG 00 CHƯƠNG ƠN TẬP TẬP HÌNH HÌNH HỌC HỌC KHÔNG KHÔNG GIAN GIAN 11 11 ÔN QUAN HỆ HỆ SONG SONG SONG SONG I.I QUAN Hai đường thẳng song song � a, b �(P ) a/ /b � � a �b  � � a) Định nghĩa: b) Tính chất � (P ) �(Q) �(R) � � � (P ) �(Q)  a a, b,c � o� ng qui �� � (P ) �(R)  b a / / b/ / c � � (Q) �(R)  c � � (P ) �(Q)  d � � d / / a/ / b (P ) �a,(Q) �b � � � d �a(d �b) � � �a/ / b �a �b � aP b � �a P c, bP c Đường thẳng mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P)  d  (P) =  b) Tính chất �d �(P ),d ' �(P ) � d / /(P ) � d / /(P ) � d/ / a � � d / / d ' ( � �Q) �d,(Q) �(P )  a � (P ) �(Q)  d � d / /a � (P )/ / a,(Q)/ / a � Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) =  b) Tính chất � � � (P ) �a, b (P ) �(Q) (Q)/ /(R) � � � � (P )/ / (Q)  � (P ) / /(R) � (P )/ /(Q)  � (P ) �(Q)  a � a / / b  �a �b  M � � � (Q)/ /(R) (P ) �(R)  b �a / /(Q), b/ /(Q) � � Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau:  Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)  Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba  Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d / /(P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng II QUAN QUAN HỆ HỆ VNG VNG GĨC GĨC II Hai đường thẳng vng góc Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 �, b  900 a) Định nghĩa: ab a b) Tính chất r r rr  Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a  b � u.v  �b � � c � a b � �a  c Đường thẳng mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: b) Tính chất d  (P)  d  a, a  (P) �a, b �(P ), a �b  O � d  (P )  Điều kiện để đường thẳng  mặt phẳng: � �d  a, d  b �a P b � a �b � (P )  b � aPb � � (P )  a a  (P ), b  (P ) � � � � (P ) �(Q) (P ) P (Q) � a  (Q) � (P ) P Q) � � a  (P ) (P )  a,(Q)  a � � � � a �(P ) a P (P ) � b a � aP  P) � � b  (P ) a  b,(P )  b � �  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng  Định lí ba đường vng góc Cho a  (P ), b �(P ) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: (P)  (Q)  � (P ),(Q)  900   b) Tính chất � (P ) �a � (P )  (Q)  Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: � a  (Q) � � (P )  (Q) � � (P )  (Q),(P ) �(Q)  c � a  (Q) � a �(P ) �  �A �(P ) �a �(P ), a  c � a  A , a  ( Q ) � � (P ) �(Q)  a � (P )  (R) � a  (R) � � (Q)  (R) � Chứng minh quan hệ vng góc a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d  a , ta sử dụng cách sau:  Chứng minh góc a d 900  Chứng minh vectơ phương a d vng góc với  Chứng minh d  b mà b P a  Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc  Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12  Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P)  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)  Chứng minh  (� P ),(Q)  900 III GÓC GÓC –– KHOẢNG KHOẢNG CÁCH CÁCH III Góc a) Góc hai đường thẳng: �, b   a �', b' a//a', b//b'   a �, b  900 Chú ý: 00   a b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: �,(P ) = 900  Nếu d  (P) d     �,(P ) =  d �, d ' với d hình chiếu d (P)  Nếu d  (P ) d �,(P )  900 Chú ý: 00  d     � a  (P ) �, b � (� P ),(Q)   a � b  ( Q ) � �a �(P ), a  c �, b  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng �  (� P ),(Q)  a b � ( Q ), b  c � � Chú ý: � (P ),(Q) �90 c) Góc hai mặt phẳng       d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = (� P ),(Q) Khi đó:S = S.cos   Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng:  Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ  Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 IV Nhắc Nhắc lại lại số công cơng thức thức IV Hình Hình học học phẳng phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vng A, có đường cao AH  AB2  AC  BC  AB2  BC.BH , AC  BC.CH  1   2 AH AB AC  AB  BC.sinC  BC.cosB  AC.tanC  AC.cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2=b2  c2 �2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC a b c   2 R  Định lí hàm số sin: sin A sin B sin C  Công thức độ dài trung tuyến: b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1  S  a.ha  b.hb  c.hc  S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc  S  S  pr  S  p p  a  p  b  p  c 4R  ABC vuông A: 2S  AB.AC  BC.AH ma2   ABC đều, cạnh a: S a2 S = a2 (a: cạnh hình vng) S = a.b (a, b: hai kích thước) � S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD � e) Hình thoi: S  AB.AD.sinBAD  AC.BD S   a  b .h f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC.BD b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: d) Hình bình hành: CHƯƠNG II CHƯƠNG KHỐI ĐA ĐA DIỆN DIỆN VÀ VÀ THỂ THỂ TÍCH TÍCH CỦA CỦA KHỐI CHÚNG CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V  abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 V  S�a� h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp y Thể tích khối lăng trụ: V  S�a� với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ y.h Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức  Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC  VOA'B'C ' OA' OB ' OC ' * Bổ sung  Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên  Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên mặt đáy  (450 <  < 900) Tính thể tích hình chóp 1 atan  V  a3 tan Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mp(SCD) cắt SC SD C D Tính thể tích khối đa diện ADD.BCC HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 V Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x y HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) xy V  x2  y2 12 Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP.AQ.AR HD: Tính h = Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 (a2  b2  c2)(b2  c2  a2)(c2  a2  b2) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA  (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM V 3a3 SA SM SN �SA2 � 16  HD: V   �  � � 50 VSABC SA SB SC � �SB2 � 25 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 7cm, SA  (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD VSAMN Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD  (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có mp(ABC) tạo với đáy góc 450 diện tích ABC 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vng góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA  (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC)  BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA  (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Bài a3 ; cos  Bài 10 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vng góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN HD: V a3 ; cos  Bài 11 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, BC HD: 2a3 a ; d (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD HD: Bài 12 V V Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM  BP tính thể tích khối CMNP 3a3 96 Bài 13 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN  BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC HD: V HD: d a (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với � ABC  � BAD  900 , BC = BA = a, AD = 2a SA(ABCD), SA a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCD) a HD: d Bài 15 (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB Bài 14 3a3 V 12 Bài 16 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD a , SA = a SA  (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC)  (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD: a3 36 Bài 17 (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA  (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A SB, SC Tính thể tích hình chóp A.BCMN HD: V 3a3 50 Bài 18 (Dự bị A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a � BAC  1200 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB  MA1 tính khoảng cách HD: V d từ A đến (A1BM) HD: d a   (Dự bị A–07): Cho hình chóp SABC có góc � (SBC ),( ABC )  600 , ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) 3a d HD: 13 Bài 20 (Dự bị B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA  (ABCD) AB = a, SA a Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC(AHK) tính thể tích tứ diện OAHK Bài 19 Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 2a3 27 Bài 21 (Dự bị B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S cho � (SAB),(SBC )  600 Gọi H, K hình chiếu A HD: V   SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích tứ diện SABC R3 12 Bài 22 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD: V a3 12 Bài 23 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM  B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C HD: V a 30 10 Bài 24 (Dự bị A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' a = � BAD  600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC'  (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN HD: d 3a3 V 16 Bài 25 (Dự bị A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Trên a cạnh SA lấy điểm M cho AM = Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM HD: 10 3 a 27 Bài 26 (Dự bị B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, � BAD  600 , SA  (ABCD), SA = a Gọi C' trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC' song song với BD, cắt cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' HD: V a3 18 Bài 27 (Dự bị B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tan thể tích khối chóp A'.BB'C'C HD: V 2 2 tan = 3b  a ; V  a 3b  a a Bài 28 (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) HD: Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 b Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3b V  HD: a2  16b2 Bài 29 (Dự bị D–06): Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC cho CK = a Mặt phẳng () qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện a3 2a3 ; V2  3 Bài 30 (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB  (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 31 (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a HD: V1  HD: S AMB  2 a ÔN TẬP TẬPKHỐI KHỐI ĐA ĐADIỆN DIỆN ƠN Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a � ASB   a) Tính diện tích xung quanh hình chóp a  b) Chứng minh chiều cao hình chóp cot2  2 c) Tính thể tích khối chóp Bài   c) V = a3 cot2  Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc  tạo với mp(SAD) góc  a) Xác định góc ,  b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp HD: a) � SBA   ; � BSD   HD: a) Sxq = a2 cot a2 a2 sin  (sin   sin  )  c) Stp = cos2   sin2  cos2   sin2  V= a3 sin sin  3(cos2   sin2  ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a) Chứng minh SH  (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM a a2  4ax  x2 a2  x2 Bài Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B, D hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (ABD) cắt SC C Tính thể tích khối chóp SABCD HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK = VSAB�� 16a3 C   VSABCD = VSABC 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A, B, C, D Chứng minh: HD: SA SC SB SD    SA� SC� SB� SD� HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA  BC b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABC c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vng góc với a3 HD: b) V = ; Stp = a2 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 60 cạnh đáy a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp a3 a2 HD: a) V = b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên  a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo  h b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) 4h3 4h2 tan HD: a) Sxq = ; V= 3(tan2   1) tan2   Bài Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0  x  a) nửa đường thẳng Ax vng góc A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính thể tích khối chóp SABCM d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM e) I trung điểm SC Tìm quĩ tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD 1 x HD: b) d = c) V = ay(x  a) d) Vmax = a 24 Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc  hợp với mặt bên SAB góc  Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0  k  a ) a Chứng minh MN // (A/D/BC) b Tìm k để MNmin Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD, DB Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) � k k � �k k ; , N � ; a ; 0� � 2� �2 � z � 0; AM = DN = k � M � � Chứng minh A/C  ( AB/ D/ ) : uuuu r �A/C  (a; a;  a) r � �uuuu Ta có: �AB/  (a; 0; a) �uuuur/ �AD  (0; a; a) uuuu r uuuur r � n( AB/ D/ )  AB/ , AD/  (a2 ;  a2 ; a2 ) uuuu r r r � / A C, n( AB/ D/ ) �  � (a; a;  a), (a2 ;  a2 ; a2 )� � � � � uuuu r r � A/C P n( AB/ D/ ) A/ D/ B/ C/ k M D A k N B a C z Vậy A/C  ( AB/ D/ ) uuuu r uuuu r � / � �u �A/C  AB/ Au/uC AB r uuuur  � �/ � A/C  (AB/ D/ ) Cách khác: � u / / / �A C  AD �A C AD  uuuu r uuur r Tính j: n1  [DA/ , DC ] (0; a2 ; a2 ) r r r n2  n( ABB/ A/ )  j  (0; 1; 0) r r n1.n2 a2 � cos  r r   a2 n1 n2 Vậy   45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuu r MN  (k; a  2k;  k) uuuu r uuu r r r n  n( A/ D/ BC )  [BA/ , BC ]   a2 (1; 0; 1) uuuu r r  a2 (k  k)  Ta có: MN n � MN P ( A/ D/ BC ) (do M �(A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN  (6k2  2ak  2a2 ) k – a MN2 Trang 69 WWW.ToanCapBa.Net a + y Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a2 � MNmin  a � k a 3 uuuu r a a Khi k  MN  (1; 1;  1) 3 u u u u r r �uuuu a MN.AD/  (1; 1;  1)(0; a; a)  � �MN  AD/ � � �uuuu � � r uuur �MN  BD �MN BD  a (1; 1;  1)(a; a; 0)  � Vậy MN đoạn vng góc chung AD/ BD Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD/A/ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) �a � � a a� � M � ; 0; � , N� 0; ; � �2 � � 2� Tính R: Phương trình mặt cầu (S): x2  y2  z2  2 x   y  2 z  d  C, D/ , M , N �(S) , suy ra: �2a2  2 a  2 a  d  � �2a   a  2 a  d  �a2 �   a d �4 �a2 �   a  a d  �2 (1) – (2) suy ra: a = g (2) – (4) suy ra: d = a2 5a (3) �     a (4) �   (1) (2) z D/ A/ (3) L B/ K (4) N C/ D a B M x  Phương trình mặt cầu (S): x2  y2  z2  5a a 5a x  y  z  a2  2 Trang 70 WWW.ToanCapBa.Net y A C Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 2 �5a � �5a2 � �a � 35a2 R  � � � � � � a  �4 � � � �4 � 16 a Vậy R  35 Tính r: 2 Phương trình mặt cầu (S): x2  y2  z2  2 /2 x  2 / y  2 / z  d/  (S) A/ , B/ , C / , D �(S/ ), suy ra: I �a2  2 / a  d/  �2 �a  2 / a  d/  � 3a  2 / a   / a  2 / a  d/  � / / � �a   a  d  � /  /  /  R (C) R/ a / ,d 0 � (S/ ): x2  y2  z2  ax  ay  az  bán kính R/  I/ a Dễ thấy C(a; a; 0) �(S/ ) � C �(C ) Gọi I , I / , J tâm (S), (S/) (C) �5a a 5a � / �a a a � �I� ; ; ,I �; ; � � �4 4 � �2 2 � Ta có: J C  II / � r  d(C, II / )  uur uur [II / , CI ] II / uur uur uur � 3a a 3a � uur �a 3a 5a � a2 / II /  �  ; ; CI  ; ; (1; 3; 2) � � �� [II , CI ]  � 4 � �4 4 � �ra 14 19 Tính S: uuur uuur a2 r n(CMN )  [CM , CN ]   (2;  1; 3)  Phương trình mặt phẳng (CMN): x  y  3z  a  �x  � Phương trình đường thẳng AA: �y  (t �R) � �z  t �x  � Phương trình đường thẳng DD: �y  a (t �R) � �z  t Gọi K  (CMN) � AA/ , L  (CMN ) � DD/ Trang 71 WWW.ToanCapBa.Net C r J Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net � a� � 2a � � K� 0; 0; � , L� 0; a; � 3� � � � uuur uuu r uuur uuur � S  SCMKL  [CM , CK ]  [CK , CL ] � �a �� �� a�  �  ;  a ; ,  a ;  a ; � � � � � � 2� �2 �� 3� � ��  � S Bài Tập Hình Học Lớp 12  � �� � a �� 2a � , a; 0; �a;  a; �� � � �� �� � � � �� � a2 14 BÀI TẬP Bài 14 Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3), B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0) a 15 Bài 15 Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)  Vmin  27 �    a b c Bài 16 Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy  ABC vng C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 60o HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), �a a � �a a � G� ; ; 0� , S� ; ; x� �3 � �2 �  d(AB; OM )  a  x Bài 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) �a � ; 0; 0�(SO = h) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A� �3 � � �  r r 5a2 uuur uuur � a2 10 ( AMN)  (SBC ) � n( AMN ).n(SBC )  � h2  � S AMN  � AM, AN  � 16 12 2� Bài 19 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F Trang 72 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: �a a � � a a � �a a � � a a � A(0; 0; 0), B � ; ; 0� , C�  ; ; 0� , A'(0; 0; a), B '� ; ; a� , C '� ; ; a� �2 � �2 � �2 � �2 � a 21 Bài 20 Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC = AD = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Bài 21 Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh 1, O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ số thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC b) H chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G SAC �3 � � � ; 0; �  ;  ; �; HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), A� ; B� �3 � � � � � � � � � � 6� � 6� C�  ; ; �; S� 0; 0; 0; �; I � � � � � � � � � � � � � � V(SBCM ) �  V (SABC )  d  A'B; B 'C '  Bài 22 Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D �a a � HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), C1 � ; ; 2a�, �2 � � � D(0;a;a) a2 15  Giá trị lớn SDC M  M  A Bài 23 Cho tứ diện SABC có đáy ABC vng cân B, AB = a, SA  (ABC ) SA = a AH  SB H, AK  SC K a Chứng minh HK  SC b Gọi I  HK �BC Chứng minh B trung điểm CI c Tính sin góc j SB (AHK) d Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC uuur uur a ; ĐS: a/ HK SC  0; c/ d/ SJ  J C, R  Bài 24 Cho tứ diện SABC có đáy ABC vuông cân B, AB = a, SA  ( ABC ) SA  a Gọi D trung điểm AC a Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC) b Mặt phẳng (a) qua A vng góc SC, (a) cắt SC SB M N Tính thể tích hình chóp SAMN c Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Trang 73 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a a a3 b/ d/ ; dB  18 d  ( ABC ) Bài 25 Cho ABC cạnh a Trên đường thẳng A lấy điểm S, SA = h a Tính d(A, (SBC)) theo a h b Đường thẳng   (SBC ) trực tâm H DSBC, chứng tỏ D qua điểm cố định S di động d c D cắt d S/ Tính h theo a để SS/ nhỏ ĐS: a/ dA  ĐS: a/ ah 2 3a  4h ; b/ Trọng tâm DABC d/ a ; h  a Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA  a Mặt phẳng (P) qua A ( )  SC ; (P) cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K a Chứng minh AH  SB, AK  SD b Chứng minh BD // (a) BD // HK c Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC d Tính VS.AHMK uuur r uuur uuur uuur uur uuur uuu r ĐS: a/ AH SB  AK SD  b/ BD.n  0; BD  HK ; Bài 26 a3 18 Bài 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA  (ABCD) ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a N trung điểm SD a Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN) b Tính cosin góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) � c Gọi M trung điểm SA Tìm điều kiện a b để cosCMN  Trong trường hợp tính VS.BCNM b a 2ab a3 ; ; ; ĐS: a/ b/ c/ a  b; V  20a2  5b2 4a2  5b2 c/ HG / / GK ; d/ Trong mp(P) cho hình vng ABCD Trên tia Az  ( ) lấy điểm S Đường thẳng (1 )  (SBC ) S cắt (P) M, (2 )  (SCD) S cắt (P) N Gọi I trung điểm MN a Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng b Khi S di động Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định c Vẽ AH  SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm DSMN d Cho OS = 2, AB = Tính VASMN uuur uuu r uuu r uuur � h2 h2 � ĐS: a/ MA  h2 AB, NA  h2 AD; b/ I �  ;  ; ��AC; � 2 � 16 c/ AH  (SMN); MN  SH; SM  AH; d/ Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) , đáy ABCD hình vng cạnh a Trên cạnh BC, CD lấy điểm M, N Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a) a Tìm hệ thức x y để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) 45o b Tìm hệ thức x y để (SAM )  (SMN ) Bài 28 Trang 74 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng ĐS: WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a/ 4a4  4a3 (x  y)  2axy(x  y)  x2 y2  b/ x2  ax  ay  Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a , đường cao SO, cạnh bên a a Tính thể tích hình chóp Xác định tâm Ivà bán kính R hình cầu (S) nội tiếp hình chóp b Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD Q R Tính diện tích thiết diện c Chứng tỏ mặt phẳng (MNP) chia hình chóp hai phần tích Bài 30 4a3 a 2a3 b/ a2 c/ ; OI  R  3 Bài 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, đường cao SO Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt cạnh SC, SD M, N a Tính góc AN với (ABCD) BD b Tính khoảng cách AN BD c Tính thể tích hình khối ABCDMN ĐS: a/ V  5a3 48 Bài 32 Cho hình vng ABCD cạnh a tâm O Trên tia Oz  (ABCD) lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc  a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SA CD b Mặt phẳng (b) qua AC vng góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS: a/ a sin b/ cos2  ĐS: a/ sin  13 b/ a 22 c/ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB= 2, AD = 4, AA = Gọi I, J uuuu r uuur uuur uuur trung điểm AB, CD Gọi M, N thỏa AM  mAD, BN  mBB/ (0 �m�1) Bài 33 a b c d Tính khoảng cách từ A đến (BDA) Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng Xác định tâm K bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA Tính bán kính r đường tròn giao (S) (BDA) uur uu r uuu r 12 26 ĐS: a/ b/ [IN, IJ ].IM  c/ K (1; 2; 3), R  14 ; d/ 7 Bài 34 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M, N trung điểm AB DD a Chứng minh MN // (BDC) Tính MN d(MN, (BDC)) b Gọi P trung điểm CD Tính VC.MNP góc MN BD c Tính bán kính R đường tròn (A/BD) uuuu rr ĐS: a/ MN.n  0; MN  6; d  b/ V  1;   30o; c/ ; 3 Bài 35 Cho lăng trụ OAB.OAD đáy OAB vuông O, OA= a, OB = b, OO/ = h Mặt phẳng (P) qua O vng góc AB a Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA/ I, J (I, J không trùng A, B, A/) b Với điều kiện tính: SDOIJ tỉ số thể tích phần thiết diện chia lăng trụ Trang 75 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a3b a2  b2  h2 V1 a4  V2 3a2 h2  3b2 h2  a4 2h(a2  b2 ) Bài 36 Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng A, SC  (ABC ) SC = AB = AC = a Các điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn b Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA ĐS: a/ a  h ĐS: a/ MN  3t2  4at  2a2 ;  b/ S  ; a 2a ,t 3 b/ MN  AM , MN  CN Bài 37 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB= 3, BC = Cạnh bên SA  (ABC ) SA = a Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC b Trên AB lấy điểm E với AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích lớn 41 ĐS: a/ SI  IC; R  b/ max S  4, x  2 Bài 38 Cho tam giác SAD hình vng ABCD cạnh a nằm mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB a Chứng minh mặt phẳng (CMF )  (SIB) b Tính khoảng cách đường thẳng AB SD CM SA a a ; Bài 39 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc � BAD  60o Gọi M trung điểm cạnh AA N trung điểm cạnh CC ĐS: b/ a Chứng minh điểm B, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính cạnh AA theo a để tứ giác BMDN hình vng ĐS: b/ a ĐỀ THI THI CHUNG CHUNG CỦA CỦABỘ BỘ GD-ĐT GD-ĐT ĐỀ Bài 1: (A–2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) a2 10 16 Bài 2: (A–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai đường thẳng: ĐS: S Trang 76 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 �x   t � �x  y  z   1 : � 2 : �y   t x  y  z   � � �z   2t a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D song song với đường thẳng D2 b Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳngD cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ĐS: a/ (P ) : x  z  b/ H(2; 3; 3) Bài 3: (B–2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB 1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N ĐS: a/ a ; b/ MP  C1N Bài 4: (D–2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 34 17 Bài 5: (D–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho mặt phẳng � (2m 1)x  (1  m)y  m  (P): 2x – y + = đường thẳng dm: � (m tham số) �mx  (2m 1)z  4m  Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: m  Bài 6: (A–2003) Cho hình lập phương ABCD.A /B/C/D/ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A/C, D] ĐS: 120o Bài 7: (A–2003) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có A trùng với gốc hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; b) (a >0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC/ a Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a b a b Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A/BD) (MBD) vng góc với b a ab ĐS: a/ b/  ; b Bài 8: (B–2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD hình thoi cạnh / / a, góc � BAD  60o Gọi M trung điểm cạnh AA Nlà trung điểm cạnh CC Chứng minh bốn điểm B/, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA / theo a để tứ giác B/MDN hình vng ĐS: a Bài 9: (B–2003) Trong không gian với hệ u tọa uur độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) điểm C cho AC  (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA ĐS: Bài 10: (D–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho đường thẳng: ĐS: Trang 77 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 �x  3ky  z   (dk ) : � kx  y  z   � Tìm k để đường thẳng (dk) vng góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + = ĐS: k = Bài 11: (D–2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng D Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với D AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a a a ; AH  2 Bài 12: (A–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ĐS: R Bài 13: (B–2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy j( (0o    90o ) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a j ĐS: a/ 30o; a2 tan Bài 14: (B–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng �x  3  2t � d: �y   t � �z  1  4t Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, cắt vng góc với đường thẳng d x  y z ĐS: () :   1 Bài 15: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > a Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b b Cho a, b thay đổi, ln thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn ab ; ĐS: a/ b/ ; a  b  a2  b2 Bài 16: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ĐS: tan ; (x  1)2  y2  (z  1)2  Bài 17: (A–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x  y z mặt phẳng (P): x  y  z     1 ĐS: Trang 78 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), biết  qua A vng góc với d �x  t � ĐS: a) I1 (3;5; 7), I (3; 7;1) b) A(0; –1; 4); : �y  1 � �z   t Bài 18: (B–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC với A(0; –3; 0), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), B(4; 0; 4) a) Tìm toạ độ đỉnh A, C Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCCB) b) Gọi M trung điểm AB Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AC điểm N Tính độ dài đoạn MN 576 ĐS: a) A (0; –3; 4), C (0; 3; 4); (S): x2  (y  3)2  z2  25 17 Bài 19: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y z �x  y  z   d1 :   va� d2 : � 1 �x  3y  12  a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d 1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) ĐS: a) (P): 15 x  11y  17 z  10  b) SOAB = Bài 20: (A–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.ABCD với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC tạo với mặt phẳng Oxy góc , biết cos  ĐS: a) d(AC, MN) = b) (Q1): x  y  z   , (Q2): x  y  z   2 Bài 21: (A–2006) Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB b) (P): x  y  2z  12  ; MN = 3a3 12 Bài 22: (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: �x   t � x y1 z d1 :   va� d2 : �y  1  2t 1 � �z   t a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng ĐS: V= Trang 79 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 ĐS: a) (P): x  3y  5z   b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1) Bài 23: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a3 36 Bài 24: (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: x  y  z x  y  z d1 :   va� d2 :   1 1 a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d1 cắt d2 x  y  z ĐS: a) A (–1; –4; 1) b) :   3 5 Bài 25: (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS: VAINB = 3a3 50 Bài 26: (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: �x  1  2t � x y1 z d1 :   va� d2 : �y   t 1 � �z  a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): x  y  z  cắt hai đường thẳng d1, d2 x  y z ĐS: b) d:   4 Bài 27: (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: V= 3a3 96 Bài 28: (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x2  y2  z2  x  y  2z   , (P): x  y  z  14  a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn ĐS: a) (Q): y  z  b) M(1; 1; 3) Bài 29: (B–2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ĐS: VCMNP = Trang 80 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 a Bài 30: (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x 1 y z đường thẳng :   1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2  MB2 nhỏ ĐS: d(MN, AC) = x y z b) M(–1; 0; 4)   1 Bài 31: (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, � ABC  � BAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a ĐS: d(H, (SCD)) = Bài 32: (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng x  y z d:   2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn ĐS: a) H(3; 1; 4) b) (P): x  y  z  ĐS: a) d: Bài 33: (A–2008) Cho lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA, BC a3 cos  Bài 34: (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x  y  z   cho MA = MB = MC ĐS: a) x  y  z   b) M(2; 3; –7) Bài 35: (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ĐS: V= a3 ; cos  Bài 36: (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: V= ĐS: a) x2  y2  z2  3x  3y  3z  b) H(2; 2; 2) Trang 81 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 Bài 37: (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC khoảng cách hai đường thẳng AM, BC a d= a ; Bài 38: (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS: V= 15a3 Bài 39: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   mặt cầu (S): x2  y2  z2  x  y  z  11  Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ĐS: H(3; 0; 2), r = Bài 40: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y z x  y z x  y  z   va hai đường thẳng 1 : Xác   , 2 :   1 2 định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) �18 53 � M � ; ; � ĐS: �35 35 35 � Bài 41: (B–2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc đường thẳng BB mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C � BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A.ABC theo a ĐS: V= 9a3 208 Bài 42: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) ĐS: (P): x  y  z  15  (P): x  3z   Bài 43: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x y z1 ĐS: :   26 11 2 Bài 44: (D–2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC, I giao điểm AM AC Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) ĐS: V= ĐS: V= 4a3 , d= 2a Trang 82 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 Bài 45: (D–2009) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x  y  z  20  Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) �5 � D � ; ; 1� ĐS: �2 � Bài 46: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x  y z mặt phẳng (P): x  y  3z   Viết phương trình đường :   1 1 thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng  �x  3  t � ĐS: d: �y   2t � �z   t Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 83 WWW.ToanCapBa.Net ... xung quanh hình Bài Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Bài Cắt hình nón mặt... quanh hình nón Bài 50 Cho hình nón có bán kính đáy R góc đỉnh  Trong hình nón có hình trụ nội tiếp Tính bán kính đáy chiều cao hình trụ, biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng Bài 51 Cho hình. .. 2a3 a ; d (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD HD: Bài 12 V V Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Bài Tập Hình Học Lớp 12 tam giác nằm mặt