Sau nội dung sách giáo khoa ĐS 11( nâng cao) Chương chương (Sao chép cần thiết vào cột “nơi dung kiến thức cần đạt” gíao án mình, cột khác phải tự soạn theo ý người) Chương 3: Dãy sô Cấp số cộng cấp số nhân I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học Trong nhiều lĩnh vực khác Tốn học ( số học, hình học, giải tích ) ta thường gặp toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương biến n Ví dụ sau Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có: (1) Giải: Ta thấy (1) n=1 (2) Ta chứng minh khẳng định sau: "Với k số nguyên dương tùy ý, (1) với n=k với n=k+1" (3) Thật vậy: Nếu (1) với n=k tức là: Suy ra: , tức (1) với n=k+1 Từ (2) (3) ta suy (1) với giá trị nguyên dương n Một cách khái quát: Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực hai bước sau: Bước 1: ( bước sở hay bước mở đầu) Chứng minh A(n) n=1 Bước 2: ( bước quy nạp hay bước di truyền) Với k số nguyên dương, xuất phát từ giả thiết ( gọi giả thiết quy nạp) A(n) với n=k, ta chứng minh A(n) mệnh đề với n=k+1 Pháp pháp vừa nêu gọi phương pháp quy nạp tốn học Một số ví dụ Ví dụ 1: CMR với , ta ln có: Giải: Bước 1: Dễ thấy (4) với n=1 Bước 2: Giả sử (4) với , tức là: (4) Ta CM (4) với n=k+1, tức là: Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Vậy (4) với Tương tự, CM: Ví dụ 2: CMR với số nguyên dương (5) Giải Bước 1: Với n=3, dễ thấy (5) Bước 2: Giả sử (5) , ta ln có: , tức là: ta CM với n=k+1, tức là: Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Vậy (5) với số nguyên dương II DÃY SỐ Định nghĩa ví dụ Ở lớp dưới, qua việc giải tập, ta làm quen với khái niệm dãy số Khi đó, nói tới dãy số ta hiểu kết thu viết liên tiếp số theo quy tắc Chẳng hạn, viết liên tiếp lũy thừa với số mũ tự nhiên , theo thứ tự tăng dần số mũ, ta dãy số: Với số nguyên dương n, kí hiệu có: (1) số nằm vị trí thứ n (kể từ trái qua phải) dãy số (1), ta Điều cho thấy dãy số (1) thể quy tắc mà nhờ nó, ứng với số nguyên dương n, ta xác định số thực Vì thế, ta coi dãy số (1) hàm số xác định tập hợp số nguyên dương Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương gọi dãy số vô hạn ( hay gọi dãy số) Mỗi giá trị hàm số u gọi số hạng dãy số, gọi số hạng thứ i dãy số Người ta thường kí hiệu dãy số gọi số hạng tổng quát dãy số Ví dụ: Hàm số xác định tập dãy số Dãy số có vơ số số hạng: Chú ý: Người ta gọi hàm xác định tập hợp gồm m số nguyên dương dãy số Trường hợp dãy số có hữu hạn số hạng gọi dãy số hữu hạn, gọi số hạng đầu số hạng cuối Ví dụ: Hàm số xác định tập hợp M={1;2;3;4;5} dãy số hữu hạn, dãy có số hạng viết dạng khai triển: Các cách cho dãy số Một dãy số coi xác định ta biết cách tìm số hạng Từ đó, người ta thường cho dãy số cách sau: Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát Chẳng hạn: "Cho dãy số Cách 2: Cho dãy số hệ thức truy hồi ( hay gọi cho quy nạp) Ví dụ: Xét dãy số xác định bởi: (2) Rõ ràng, với cách cho trên, ta tìm số hạng tùy ý dãy Một ví dụ khác: Xét dãy số xác định bởi: (3) Người ta nói cơng thức (2), (3) hệ thức truy hồi Cách 3: Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa: Dãy số u(n) gọi dãy số tăng với n ta có Dãy số u(n) gọi dãy số giảm với n ta có Ví dụ: Dãy số dãy số tăng với n ta ln có: Dãy số dãy số giảm với n ta ln có: Dãy số bị chặn Định nghĩa: Dãy số u(n) gọi dãy số bị chặn (dãy bị chặn trên) tồn số M cho: Dãy số u(n) gọi dãy số bị chặn (dãy bị chặn dưới) tồn số m cho: Dãy số u(n) gọi dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn M m cho: Ví dụ: Dãy số dãy số bị chặn Nhưng dãy khơng phải dãy bị chặn không tồn M cho: Dãy số dãy số bị chặn III CẤP SỐ CỘNG I Định nghĩa Quan sát dãy số tự nhiên ta thấy số hạng có mối liên hệ đặc biệt : Kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạn tổng số hạng đứng trước Ta cịn gặp nhiều dãy số khác có tính chất tương tự dãy số lĩnh vực khác khoa học,kĩ thuật, thực tế sống.Người ta gọi dãy số cấp số cộng ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng tổng số hạng đứng trước số d khơng đổi, nghĩa là cấp số cộng Số d gọi cơng sai cấp số cộng Ví dụ a) Dãy số tự nhiên lẻ b) Dãy số cấp số cộng với công sai d=2 cấp số cộng với công sai d=4 Trong dãy số sau,dãy số cấp số cộng? Vì sao? a) b) II Tính chất Ta có định lí sau ĐỊNH LÍ Nếu ( ) cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức Chứng minh Gọi d công sai cấp số cộng Với Từ hai đẳng thức ta ta có với mioj Từ suy điều cần chứng minh Cho cấp số cộng có Hãy tìm III Số hạng tổng quát Dễ thấy, ta tìm số hạng tùy ý cấp số cộng biết số hạng đầu Chẳng hạn,để tìm ,ta làm sau : cơng sai d Một cách khái qt ta có ĐỊNH LÍ Nếu cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai d số hạng tổng qt xác định theo cơng thức sau : Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp.Cơng thức n=1,vì Giả sử cơng thức tức Khi ta có Vậy công thức Cho cấp số cộng có Từ suy điều cần chứng minh cơng sai Hãy tính Ví dụ Cho họ đường tròn đồng tâm số hạng đầu cơng sai Gọi diện tích hình tròn với số nguyên mà dãy số ,gọi cấp số cộng có gọi diện tích hình vành khăn tạo đường trịn Chứng minh Giải Đặt đường trịn câp số cộng.Hãy xác định công sai số hạng tổng quát cấp số cộng Khi , với ,ta có Suy Do (với cấp số cộng với công sai ) ,và số hạng đầu Từ đó,theo định lí 2,ta (với ) IV Tổng n số hạng cấp số cộng Giả sử có cấp số cộng với công sai d.Xét n số hạng cấp số cộng đó,ta biểu diễn mối quan hệ chúng sau : Quan sát bảng thấy tổng hai số nằm cột ln tổng Nhận xét dẫn ta đến ĐỊNH LÍ Giả sử cấp số cộng.Với số nguyên dương n,gọi tổng số hạng ( Khi ta có Ví dụ 3: Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ti 4,5 triệu đồng/quý, kể từ quý làm việc thứ hai,mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng cho quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho cơng \tiny Giải Với số ngun dương n,kí hiệu (triệu đồng) mức lương người kĩ sư quý làm việc thứ n cho công ti.Theo giả thiết tốn,ta có Do đó,dãy số với cấp số cộng với công sai d=0,3 Vì năm có q nên năm có 12 quý Như theo yêu cầu tốn ta phải tính tổng 12 số hạng cấp số cộng Theo định lí 2,ta có : Do đó,theo định lí 3,ta (triệu đồng) CHÚ Ý Từ định lí định lí 3,dễ dàng suy Cho cấp số cộng có cơng sai Hãy tính tổng 17 số hạng cấp số " Em chọn phương án nào?" Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với kĩ sư tuyển dụng,công ti liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn;cụ thể : - Ở phương án 1: Người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên,và kể từ năm làm việc thứ hai,mức lương tăng thêm triệu đồng năm - Ở phương án 2: NGười ta lao động nhận triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên,và kể từ quý làm việc thứ hai,mức lương tăng thêm 500 000 đồng quý Nếu em người kí hợp đồng lao động với cơng ti liên doanh A em chọn phương án nào? IV CẤP SỐ NHÂN I Định nghĩa Xét toán : Một ngân hàng quy định sau việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn : "Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền toàn số tiền (bao gồm vốn lãi) chuyển gửi tiếp với kì hạn kì hạn mà người gửi gửi" Giả sử có người gửi 10 triệu đồng với kì hạn tháng vào ngân hàng nói giả sử lãi suất kì hạn 0,4% a) Hỏi tháng sau,kể từ ngày gửi,người đến ngân hàng để rút tiền số tiền rút (gồm vốn lãi) bao nhiêu? b) Cũng câu hỏi trên,với giả thiết thởi điểm rút tiền năm sau,kể từ ngày gửi? Với số nguyên dương n,kí hiệu là số tiền người rút (gồm vốn lãi) sau n tháng,kể từ ngày gửi.Khi đó,theo giả thiết tốn ta có : Như vậy,ta có dãy số mà kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng tích số hạng đứng trước 1,004 Người ta gọi dãy số có tính chất tương tự dãy số nói cấp số nhân ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng tích số hạng đứng trước số q khơng đổi,nghĩa là cấp số nhân Số q gọi công bội cấp số nhân Ví dụ a) Dãy số với cấp số nhân với số hạng đầu b) Dãy số cấp số nhân với số hạng đầu Trong dãy số sau,dãy số cấp số nhân? Vì sao? a) b) c) Ví dụ công bội q=2 công bội Cho dãy số xác định với Chứng minh dãy số xác định số hạng đầu cơng bội cấp số nhân Giải Từ cơng thức xác định dãy số ,ta có Từ suy dãy số với cấp số nhân.Hãy cho biết với cấp số nhân với số hạng đầu công bội II Tính chất Ta có định lí sau : ĐỊNH LÍ Nếu (u_N) cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai,bình phương số hạng (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng đứng kề dẫy,tức Chứng minh Gọi q cơng bội cấp số nhân - Nếu hiển nhiên ta có điều cần chứng minh - Nếu từ định nghĩa cấp số nhân tao có Nhân vế tương ứng hai đẳng thức trên,ta điều cần chứng minh Hỏi có hay khơng cấp số nhân Ví dụ Cho cấp số nhân mà với cơng bội Biết ,hãy tìm Giải Theo định lí ta có Từ (1), (vì (1), (2) ),suy Từ (2) ta III Số hạng tổng quát Tương tự cấp số cộng,ta tìm số hạng tùy ý cấp số nhân biết số hạng đầu cơng bội Cụ thể ,ta có kết sau ĐỊNH LÍ Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội định cơng thức Ví dụ 4.Trở lại tốn đặt phần đầu mục I Theo yêu cầu toán ta cần tính Do số hạng tổng qt xác cấp số nhân với số hạng đầu công bội q=1,004 nên theo định lí ta có Suy : (đồng), (đồng) Dân số thành phố A triệu người.Biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm thành phố A 2%.Hỏi dân số thành phố A sau năm bao nhiêu? IV Tổng n số hạng cấp số nhân Tương tự cấp số cộng,người ta quan tâm tới việc xác định tổng n số hạng cấp số nhân theo số hạng đầu cơng bội Giả sử có cấp số nhân với công bội q Với số nguyên dương n,gọi tổng số hạn ( ) Nếu với Do đó,trong trường hợp ta có Khi ta có kết sau: ĐỊNH LÍ Nếu cấp số nhân với cơng bội Chứng minh Ta có Do tính theo cơng thức , hay Từ đó,do , suy điều cần chứng minh Ví dụ Cho cấp số nhân có Gọi q cơng bội cấp số nhân ,ta có Hãy tính tổng năm số hạng cấp số Giải Do đó,theo định lí 2,ta : Suy Vì thế,theo định lí 3,ta Đố vui." Một hào đổi lấy năm xu?" Tương truyền ngày nọ,có ngà toán học đến gặp nhà tỉ phú đề nghị "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau : Liên tục 30 ngày,mỗi ngày nhà toán học "bán" cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá đồng ngày kể từ ngày thứ 2,mỗi ngày tỉ phú phải "mua" với giá gấp đôi ngày hôm trước.Không chút đắn đo,nhà tỉ phú đồng ý tức thì,lịng thầm cảm ơn nhà tốn học lại cho ơng ta hội hốt tiền "nằm mơ không thấy" Hỏi nhà tỉ phú lãi mua bán kì lạ này? Chương 4: GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số I Dãy số có giới hạn Định nghĩa dãy số có giới hạn Xét dãy số với ,tức dãy số Biểu diễn số hạng dãy số cho trục số,ta thấy n tăng điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm Khoảng cách từ điểm đến điểm trở nên nhỏ miễn n đủ lớn Điều giải thích rõ hơn: - Mọi số hạng dãy số cho,kể từ số hạng thứ 11 trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ với - Mọi số hạng dãy số cho,kể từ số hạng thứ 24 trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ với ,tức ,tức Kể từ số hạng thứ trở đi,mọi số hạng dãy số cho có giá trị tuyệt đối nhỏ Cũng câu hỏi cho số : Như số hạng dãy số cho,kể từ số hạng trở có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước.Ta nói dãy số có giới hạn Một cách tổng quát,ta có ĐỊNH NGHĨA Ta nói dãy số có giới hạn (hay có giới hạn 0),nếu với số dương nhỏ tùy ý cho trước,mọi số hạng dãy số.kể từ số hạng trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết hoặc (Kí hiệu " " cịn viết " đến vô cực) Nhận xét Từ định nghĩa suy a) Dãy số ( ) có giới hạn dãy số Chẳng hạn,ta có b) Dãy số khơng đổi ( ,với " , đọc dãy số có giới hạn o n dần có giới hạn có giới hạn Một số dãy có giới hạn Dựa vào định nghĩa,người ta chứng minh a) ; Định lí sau thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn ĐỊNH LÍ Nếu với n Chứng minh Cho số dương nhỏ tùy ý Vì nên kể từ số hạng thứ N trở đi,mọi số hạng dãy số đêỳ nhỏ số dương Do nên số hạng dãy số ,kể từ số hạng thứ N trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương cho Vậy Ví dụ Chứng minh Giải Ta có Từ suy điều cần chứng minh Cho k số nguyên dương.Chứng minh Áp dụng định lí 1,có thể chứng minh định lí sau : ĐỊNH LÍ Nếu Ví dụ a) ; Chứng minh II Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn Xét dãy số với Ta có Ta nói dãy số có giới hạn Một cách tổng quát,ta có : ĐỊNH NGHĨA Ta nói dãy số có giới hạn số thực L Khi ta viết hoặc Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Ví dụ Dãy số khơng đổi với (c số) có giới hạn c Ví dụ Chứng minh Giải Đặt Vì nên Chứng minh ; Nhận xét 1) Từ định nghĩa vừa nêu,suy khoảng cách từ điểm đến điểm L trở nên nhỏ miễn đủ lớn; nói cách hình ảnh,khi n tăng điểm chụm lại quanh điểm L 2) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Chẳng hạn dãy số , tức dãy số khơng có giới hạn hữu hạn Trên trục số,các số hạng dãy số có biểu diễn hai điểm (1-) Khi n tăng điểm không chụm lại quanh điểm L Một số định lí Ta thừa nhận số định lí sau ĐỊNH LÍ Tìm tổng cấp số nhân Ví dụ Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hồn 0,777 dạng phân số Giải Ta có Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu công bội Do Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,313131 dạng phân số III Dãy số có giới hạn vơ cực Dãy số có giới hạn Xét dãy số với Ta thấy n tăng trở nên lớn miễn n đủ lớn.Nói cách khá,mọi số hạng dãy số , kể từ số hạng trở ,đều lớn số dương tùy ý cho trước Ta nói dãy số (2n-1) có giới hạn Một cách tổng quát ta có ĐỊNH NGHĨA Ta nói dãy số có giới hạn số dương tùy ý cho trước,mọi số hạng dãy số,kể từ số hạng trở đi,đều lớn số dương Khi ta viết hoặc Áp dụng định nghĩa chứng minh : a) b) c) Dãy số có giới hạn ĐỊNH NGHĨA Ta nói dãy số có giới hạn với số âm tùy ý cho trước,mọi số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi,đều nhỏ số âm Khi ta viết Dễ dàng thấy Ví dụ Vì nên CHÚ Ý Các dãy số có giới hạn cực Nhận xét gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ Nếu trở nên lớn được,miễn n đủ lớn.Do nhỏ được,miễn n đủ lớn trở nên Người ta chứng minh ĐỊNH LÍ Nếu Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Vì khơng phải số thực nên không áp dụng định lí cho dãy số có giới hạn vơ cực.Khi tìm giới hạn vơ cực,ta sử dụng quy tắc sau a) Quy tắc 1: Nếu Nếu Nếu Nếu và và Ví dụ Vì thì thì nên Tương tự,với số nguyên dương k,ta có b) Quy tắc Nếu Nếu Nếu Nếu Ví dụ Tìm a) Giải ; b) a) Ta có Vì nên Tìm a) ;b) c) Quy tắc Nếu cho sau : Nếu Nếu Nếu Nếu kể từ số hạng trở Ví dụ Tìm Giải Chia tử mẫu phân thức cho thức),ta lũy thừa bậc cao n tử mẫu phân Vì với n nên Tìm B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC VI ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn Xét toán sau : Cho hàm số n) cho dãy số thực khác (tức Hãy xác định dãy giá trị tương ứng Vì nên hàm số tìm với với n Do Từ (1) suy Ta nói hàm số f có giới hạn x dần đến Một cách tổng quát,ta có ĐỊNH NGHĨA Giả sử (a;b) khoảng chứa điểm Khi ta viết với n) mà f hàm số xác định tập hợp (a;b) \ { , ta có } (tức Ví dụ Tìm Giải Xét hàm số Với dãy số mà với n Vì ,ta có nên Do Tìm Nhận xét Áp dụng định nghĩa 1,dễ dàng chứng minh được: a) Nếu với ,trong c số,thì với , b) Nếu với b) Giới hạn vơ cực Giới hạn vô cực hàm số điểm định nghĩa tương tự giới hạn hữu hạn hàm số điểm Chẳng hạn, , ta có có nghĩa với dãy tập hợp (a;b)\ { } mà Ví dụ Tìm Giải Xét hàm số Với dãy số ( ) mà Vì với n nên Do Giới hạn hàm số vơ cực Giới hạn hàm số vô cực (khi x dần đến hàm số điểm ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định khoảng ) định nghĩa tương tự giới hạn Ta nói hàm số f có giới hạn số thực x dần đến với dãy số khoảng (tức mà , ta có Khi ta viết: Các giới hạn , định nghĩa tương tự Ví dụ a) , với dãy số âm mà ,ta có b) Tương tự,ta có Nhận xét Áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số,có thể chứng minh : Với sô nguyên dương k,ta có a) b) c) d) Một số định lí giới hạn hữu hạn Áp dụng định lí giới hạn dãy số,có thể chứng minh định lí sau giới hạn hàm số ĐỊNH LÍ Giả sử Khi a) ; b) ; c) d) Nếu Đặc biệt,nếu c số ; Để dễ nhớ,ta nói Giới hạn tổng,hiệu,tích,thương hai hàm số điểm tổng,hiệu,tích,thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương,giới hạn mẫu phải khác khơng) Định lí 1,vừa nêu định lí thay Nhận xét Nếu k số nguyên dương a số với ,ta có Ví dụ Tìm a) b)Với ,ta có Do Tìm Ví dụ Tìm Giải Chia tử mẫu phân thức cho thức),ta ( lũy thừa bậc cao x tử mẫu phân với Vì nên theo định lí 1.d),ta có Tìm ĐỊNH LÍ Giả sử a) b) c) Nếu Ví dụ 6.Tìm Giải Khi ; ; với giá trị { },trong J khoảng chứa , Vì nên Tìm V GIỚI HẠN MỘT BÊN Trong định nghĩa ,ta giả thiết hàm số f xác định tập hợp (a;b)\{ } , (a;b) khoảng chứa điểm Như vậy,các giá trị xét x giá trị gần ,bao gồm giá trị lớn lẫn nhỏ Khái niệm giới hạn bên xuất ta xét giá trị hàm số với xét giá trị hàm số với Giới hạn hữu hạn ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định khoảng số thực L x dần đến ,ta có (hoặc điểm Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải ) dãy số khoảng mà Khi ta viết Định nghĩa giới hạn bên trái hàm số phát biểu tương tự ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định khoảng số thực L.Khi x dần đến ,ta có (hoặc điểm Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái ) với dãy số khoảng mà Khi ta viết Nhận xét 1) Hiển nhiên hàm số f có giới hạn bên phải giới hạn bên trái điểm 2) Ta thừa nhận điều ngược lại đúng,nghĩa Nếu hàm số f có giới hạn điểm 3) Các định lí định lí thay Ví dụ Gọi d làm dấu Tìm (nếu có) Giải Với ,ta có Do Tương tự ta có Vì nên khơng tồn Tìm giới hạn bên phải,giới hạn bên trái giới hạn (nếu có) hàm số x dần đến -1 Giới hạn vô cực 1) Các định nghĩa phát biểu tương tự định nghĩa định nghĩa 2) Nhận xét nhận xét với giới hạn vơ cực Ví dụ a) Từ định nghĩa giới hạn bên trái giới hạn bên phải hàm số,ta có Vì nên khơng tồn b) Dễ dàng thấy Do Tìm VI MỘT VÀI QUI TẮC TÍM GIỚI HẠN VƠ CỰC Các định lí trước với giới hạn hữu hạn, không áp dụng cho giới hạn vô cực Trong mục này, ta giới thiệu định lí liên quan đến giới hạn vơ cực hai quy tắc tìm giới hạn vơ cực.Định lí quy tắc áp dụng cho trường hợp : Tuy nhiên,để cho gọn,ta áp dụng phát biểu cho trường hợp ĐỊNH LÍ Nếu Dễ dàng suy định lí từ định nghĩa giới hạn hàm số Quy tắc Nếu Nếu Nếu Nếu Ví dụ 1.Tìm a) ; b) Giải a) Ta có với Vì b) Vì nên nên Ví dụ Tìm Giải Với , ta có Vì nên Tìm Quy tắc Nếu với \{ } , J ... nhà tốn học lại cho ơng ta hội hốt tiền "nằm mơ không thấy" Hỏi nhà tỉ phú lãi mua bán kì lạ này? Chương 4: GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số I Dãy số có giới hạn Định nghĩa dãy số có giới hạn Xét dãy... điểm trở nên nhỏ miễn n đủ lớn Điều giải thích rõ hơn: - Mọi số hạng dãy số cho,kể từ số hạng thứ 11 trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ với - Mọi số hạng dãy số cho,kể từ số hạng thứ 24 trở đi,đều