Đang tải... (xem toàn văn)
cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. Hầu hết các công trình xây dựng đều đặt trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình
Chương 3. Ứng suất trong đất 3.1 Chương 3 ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 3.1. Khái niệm Vấn đề xác định ứng suất trong đất có ý nghĩa quan trọng đối với việc xác định độ bền, ổn định và biến dạng của đất dưới tác dụng của tải trọng ngoài và trọng lượng bản thân của đất. Khi giải quyết vấn đề này, đến nay trong cơ học đất người ta vẫn sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính. Để xác định ứng suất theo lý thuyết này những phương trình và quan hệ trong lý thuyết đàn hồi đều có thể sử dụng được đối với đất vì nó xây dựng trên quan hệ biến dạng tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng. Muốn vậy thì nền đất được thiết kế không ở trạng thái ứng suất giới hạn và tải trọng tác dụng phải nằm trong giới hạn tỷ lệ, vì rằng ở trạng thái ứng suất giới hạn quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không còn là quan hệ đường thẳng nữa. Khi vùng cân bằng giới hạn phát triển lớn, ví dụ khi nền đất chịu tải trọng rất lớn của công trình thì việc sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính sẽ không còn phù hợp nữa. Những đều kiện phụ thêm để có thể sử dụng quy luật phân bố ứng suất của các vật thể biến dạng tuyến tính là không có sự phân bố lại những thành phần trong đất, tức là nguyên lý biến dạng tuyến tính chỉ thích hợp với giai đoạn ban đầu (khi trạng thái của đất chưa bị phá hoại) và giai đoạn kết thúc (ở trạng thái ổn đinh tĩnh học của đất và để xác định ứng suất trong khung cốt đất). 3.2. phân bố ứng suất – trường hợp bài toán không gian 3.2.1. Bài toán cơ bản – Tác dụng của lực tập trung thẳng đứng Chúng ta xem xét tác dụng của lực tập trung thẳng đứng P trên bề mặt bán không gian vô hạn của khối đất (như hình 3-1). Lấy 1 điểm M trong nền đất có toạ độ ),( Rβ. Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với bán kính R và xác định trị số ứng suất Rσ tác dụng lên nó. Nếu điểm M càng xa điểm đặt lực P thì chuyển vị của nó càng nhỏ, khi R cố định thì nó phụ thuộc vào góc β, có thể viết được biểu thức sau: RKSβcos.1= (a) V ới K1 là hệ số tỷ lệ; S là chuyển vị của điểm M. Tương tự xét điểm M1 nằm trên bán kính đó cách M một đoạn dR, chuyển vị của điểm M1 sẽ là: Hình 3_ 1 Sơ đô tác dụng của lực tập trung. Chương 3. Ứng suất trong đất 3.2 dRRKS+=βcos.11 (b) Lúc đó biến dạng tương đối của đoạn dR sẽ là: ).(cos.cos.).11(111dRRRKdRKdRRRdRSSR+=+−=−=ββλ Bỏ qua vi phân dR ta có: 21cos.RKRβλ= (c) Vì công nhận quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ tuyến tính nên: 2221cos.cos RRKKRβαβσ== (d) Trong đó: 21.KK=α là hệ số tỷ lệ. Để xác định hệ số α ta xét cân bằng của bán cầu tâm là điểm đặt của lực P như hình 3-2. Hình 3_ 2 Sơ đồ ứng suất pháp dưới tác dụng của lực tập trung. Điều kiện cân bằng cần sẽ là: Tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục thẳng đứng bằng 0, tức là: ∫=−2/00.cos.πβσdFPR (e) Ở đây dF là diện tích mặt cầu hình vành khăn: ββπRdRdF )sin.(2= (f) Thay trị số Rσ từ biểu thức (d) và dF từ biểu thức (f) vào (e) và biến đổi ta được: Chương 3. Ứng suất trong đất 3.3 ∫=2/02.sin.cos2πβββπαdP (g) ∫==2/0232)(cos.cos2ππαββπαdP Tính α từ biểu thức (g): πα23P= Như vậy ứng suất theo phương bán kính trên mặt phẳng vuông góc với nó sẽ là: βπσcos.232RPR= (3-1) Chiếu ứng suất pháp Rσ lên mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn như trên hình 3-3a và gọi nó là 'Rσ: βσσcos.'RR= Vì Rz=βcos⇒4223'RPzRπσ= (3-2) Chiếu 'Rσ lên phương của 3 trục toạ độ ta có (hình 3-3b): );'cos('. zRRzσσσ= );'cos('. yRRzyσστ= );'cos('. zRRzσστ= Vì RxxRyyRzzRRR=== );'cos(;);'cos(;);'cos(σσσ nên ta có các thành phần ứng suất: 5323RPzzπσ= 5223RPyzzyπτ= (3-3) 5223RPxzzxπτ= Chúng ta thấy rằng ứng suất pháp Zσ và ứng suất tiếp zxzyττ, trên các mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn không phụ thuộc vào các hệ số biến dạng ),(00µE của bán không gian. Còn biểu thức xyyxτσσ,, là phụ thuộc vào hệ số biến dạng và phức tạp hơn. Chúng ta chỉ dẫn ra các công thức tính tổng ứng suất θ tại một điểm trong bán không gian vô hạn và công thức tính chuyển vị của 1 điểm trên mặt bán không gian ),0(rRz == là các công thức thường dùng trong các chương sau. Chương 3. Ứng suất trong đất 3.4 Tổng ứng suất chính: 30321).1.(RzPzyxµπσσσσσσθ+=++=++= (3-4) Chuyển vị thẳng đứng: RCPWz π= (3-5) Trong đó: 2001µ−=EC gọi là hệ số biến dạng tuyến tính; 0E là mô đun tổng biến dạng; 0µ là hệ số biến dạng hông, tương tự như hệ số Poisson. Trong việc tính toán độ lún, ứng suất zσcó ý nghĩa quan trọng, để thuận tiện cho việc tính ứng suất này người ta biến đổi công thức và lập bảng để tính toán. Thay 2/12221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=zrzrzR vào biểu thức zσ ta có: 22/52.123zzrPz⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=πσ Đặt: 2/52123⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=zrPKπ Ta có: 2.zPKz=σ (3-6) Ứng suất zσ là ứng suất nén thẳng đứng, người ta lập bảng để tra hệ số K khi biết tỷ số r/z (bảng 8), trong đó r là khoảng cách nằm ngang, z là khoảng cách thẳng đứng từ điểm đặt lực đến điểm tính ứng suất. Nếu như bề mặt có một số lực tập trung P1, P2, P3 (hình 3-3) thì ứng suất nén zσ tại điểm M có thể xác định theo nguyên lý cộng tác dụng. Chương 3. Ứng suất trong đất 3.5 Hình 3_ 3 Sơ đồ tác dụng của một số lức tập trung. 233222211 .zPKzPKzPKz++=σ Trong đó: K1, K2, K3 là hệ số phụ thuộc vào zrzrzr321,, tra từ bảng 8. Mặc dù trong thức tế không có trường hợp tải trọng tập trung thuần tuý nhưng kết quả do Bussinet nêu ra trên đây là bài toán cơ bản dùng để tính toán ứng suất trong đất của tải trọng thực tế. 3.2.2. Tác dụng của lực tập trung nằm ngang Khi có lực tập trung nằm ngang Q đặt trên bề mặt song song với mặt phẳng bán không gian giới hạn, Ceruttic (năm 1858) đã lập được công thức tính các thành phần ứng suất tại điểm M có toạ độ (x,y,z) (như hình vẽ 3-4). Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q. 2523xzRQzπσ= Chng 3. ng sut trong t 3.6 3222cos.sin.cos23zQzx= (3-7) 322cos.sin.sin.cos23zQzy= Cũn tng ng sut chớnh: 30)1(RxrQà+= (3-8) Khi ó tớnh toỏn c cỏc thnh phn ng sut do lc thng ng P v lc nm ngang Q thỡ cú th d dng xỏc nh c ng sut do ti trng nghiờng gõy ra. 3.2.3. Phõn b ng sut trong trng hp ti trng cc b phõn b u Hin nay nhng tớnh toỏn chớnh xỏc trong trng hp ny ch cú th thc hin c khi ti trng phõn b u theo din chu ti ch nht (hỡnh 3-5). Hỡnh 3_ 5 S ti trng phõn b u din tớch chu ti ch nht. Tin hnh chia din chu ti, ly mt phõn t dF thỡ cú th coi nh tng ti trng tỏc dng lờn din tớch dF l lc tp trung cú tr s p.dF. Theo cụng thc 3-3 tr s ng sut phng thng ng z ti im M bt k thuc bỏn khụng gian di tỏc dng ca phõn t dF=dx.dy s l: 532 .3Rdydxpzdz= (a) Ly tớch phõn biu thc (a) trờn ton din chu ti ch nht ta cú: =111153 .23bbllzRdydxpz (3-9) Chương 3. Ứng suất trong đất 3.7 Egorov cùng một số người khác đã tiến hành tính tích phân công thức (3-9) tính được trị số zσ dưới các điểm đặc biệt của diện chịu tải. Theo lời giải đó, ứng suất thẳng đứng tại điểm M có độ sâu z dưới tâm O của diện tích chịu tải: ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++=221221112121222212111 arcsin 2 2zbzlblblzDzblDzblpOZπσ (3-10) Còn ứng suất nén tại điểm bất kỳ trên đường thẳng đứng đi qua điểm góc C của diện chịu tải: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++=22222222222 arcsin 2 2zbzlblblzDzblDzblpCZπσ (3-11) Trong công thức 3-10 và 3-11: P_ cường độ của tải trọng phân bố; z_ chiều sâu của điểm tính ứng suất. 22121zblD ++= Giá trị của ứng suất nén dưới các điểm góc của tải trọng phân bố đều hình chữ nhật cho phép xác định nhanh chóng ứng suất nén dưới bất kỳ điểm nào của bán không gian. Để lập bảng cho tính toán, công thức 3-10, 3-11 được biển đổi thành công thức 3-10’, 3-11’: pKOZ.0=σ (3-10’) Còn ứng suất dưới điểm góc: pKCZC.=σ (3-11’) So sáng công thức (3-10) và công thức (3-11) có thể rút ra kết luận sau: ứng suất nén zσ dưới điểm góc của tải trọng phân bố hình chữ nhật tại điểm có độ sâu z bằng 1/4 ứng suất zσ dưới tâm của diện chịu tải tại độ sâu z/2 tức là: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=241)(zzOCZZσσ (3-12) Công thức 3-12 cho phép lập một bảng chung để xác định K0 và KC (Bảng 9) trong đó khi xác định ứng suất tại điểm có độ sâu z thì: );2(0blbzfK ===αβ (3-13) );(41blbzfKC===αβ (3-14) “Phương pháp điểm góc” để xác định ứng suất nén zσ khi diện chịu tải được phân ra các hình chữ nhật nhỏ như trong các trường hợp sau (hình 3-6): Hình 3_ 6 Sơ đồ sủa dụng phương pháp điểm góc tính ứng suất. Chương 3. Ứng suất trong đất 3.8 1- Điểm M nằm ngay trên một cạnh của diện chịu tải hình chữ nhật; 2- Điểm M nằm trong diện tích chịu tải; 3- Điểm M nằm ngoài diện tích chịu tải. Trong trường hợp thứ nhất (hình 3-6a): [ ]pMecdKabeMKggZ.)()( +=σ (3-15) Trong trường hợp thứ 2 (hình 3-6b): [ ]pMfgdKMecfKhbeMKahMgKggggZ.)()()()( +++=σ (3-16) Trong trường hợp thứ 3 (hình 3-6c,d): TH 3-a [ ]pMgfdKhagMKMecfKhbeMKggggZ.)()()()( −−+=σ (3-17) TH 3-b [ ]pfdgMKhagMKfceMKhbeMKggggZ.)()()()( +−−=σ (3-18) 3.2.3. Ảnh hưởng của diện tích tải trọng đến sự phân bố ứng suất Những tính toán ứng suất cho thấy rằng: diện chịu tải càng lớn thì sự giảm ứng suất theo chiều sâu càng chậm. Hình 3_ 7Thí dụ về ảnh hưởng của độ lớn diện tích tải trọng đến sự phân bố ứng suất theo chiểu sâu. Chương 3. Ứng suất trong đất 3.9 Ví dụ như trên hình 3-7, nếu ngoài tải trọng 1 còn có tải trọng 2 và 3 thì ứng suất nén zσ tại điểm M sẽ tăng lên nhưng mức độ tăng của zσ do tải trọng 2 và 3 gây nên tại điểm M sẽ nhỏ hơn là do tải trọng 1 gây nên vì khoảng cách giữa chúng đến M là lớn hơn. 3.2.4. Phương pháp cộng tổng các phân tố Đối với những diện tích chịu tải bất kỳ (ví dụ như hình cong, hình đa giác .) thì phương pháp điểm góc đối với diện chịu tải hình chữ nhật không dùng được. Khi đó ta dùng phương pháp cộng tổng các phân tố sẽ trình bày sau đây: Chia diện tích chịu tải trọng ra thành nhiều diện tích nhỏ sao cho tải trọng tác dụng lên mỗi phân tố được chia ra có thể coi là những lực tập trung đặt tại trọng tâm của các phân tố đó. Khi đó ứng suất nén thẳng đứng zσ tại điểm M ở độ sâu z được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng. ∑==niiizzPK12.σ (3-19) Trong đó: iK_ hệ số phân bố ứng suất của phân tố thứ i xác định theo bảng 8 phụ thuộc vào tỷ số ri/z; ri là khoảng cách từ điểm đang xét đến trọng tâm phân tố trên mặt bằng; iP_ là tải trọng tác dụng lên phân tố thứ i bằng cường độ của tải trọng nhân với diện tích của phân tố; z_ độ sâu của điểm cần tính ứng suất; n_ số các phân tố được chia ra. Việc so sánh kết quả tính ứng suất theo công thức 3-19 với các kết quả của phương pháp chính xác cho thấy rằng: khi diện chịu tải được chia ra có chiều dài lo nhỏ thua 1/2 khoảng cách từ trung tâm của phân tố đó đến điểm đang xét (R0) thì sai số chừng 6%. Còn khi: :3/10≤oRl sai số không vượt quá 3% :4/10≤oRl sai số không vượt quá 2%. Cần phải nói thêm rằng: phương pháp cộng tổng các phân tố không dùng được để xác định ứng suất khác và trong nhiều trường hợp (ví dụ khi tính toán ảnh hưởng về độ lún của những móng lân cận) thì cần tính thêm các ứng suất ngang nữa. 3.3. phân bố ứng suất trong trường hợp bài toán phẳng Những công trình kéo dài ví dụ như móng băng dưới cột, móng dưới tường, tường chắn, đê đập, nền đường, . thì ở bất kỳ điểm nào (trừ phần rìa của công trình dài khoảng 2-3 lần chiều rộng) phân tố ứng suất trên các tiết diện thẳng góc với trục kéo dài là như nhau. Trong trường hợp này ta có bài toán là bài toán phẳng và các thành phần τσσ,,yz trong mặt phẳng thẳng góc với trục kéo dài ZOY không phụ thuộc vào các hệ số biến Chương 3. Ứng suất trong đất 3.10 dạng (mô đun tổng biến dạng, mô đun biến dạng ngang). Sau đây ta dẫn ra các phương pháp tính ứng suất thương dùng. 3.3.1. Tác dụng của tải trọng phân bố đều Đối cới trường hợp tải trọng phân bố đều có cương độ là p vô hạn theo phương trục x vuông góc với mặt phẳng đang xét ZOY như trên hình vẽ 3-8. Hình 3_ 8 Tác dụng của tải trọng phân bố đểu trong bài toán phẳng. Sử dụng kết quả tính ứng suất dưới tải trọng đường thẳng theo trục x ta có: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛±−+±==∫)2sin(212sin21.cos22121212ββββπββπσββPdpz ⎟⎠⎞⎜⎝⎛±+−±==∫)2sin(212sin21.sin22121212ββββπββπσββPdpy (3-20) ()122cos2coscos.sin212ββπβββπτββ−==∫Pdp Dấu “+” trước 2β đối với điểm M nằm ngoài băng tải trọng còn dấu “-“ khi điểm M nằm trong băng tải trọng (ví dụ tại vị trí M’). Biểu thức 3-20 đã được lập bảng để tính ứng suất theo công thức sau: pKzz.=σ pKyy.=σ (3-20’) pKyzyz.=τ Trong đó: yzyzKKK ,, phụ thuộc vào bybz, (tra bảng 11). [...]... R z = β cos ⇒ 4 2 2 3 ' R Pz R π σ = ( 3- 2 ) Chiếu ' R σ lên phương của 3 trục toạ độ ta có (hình 3- 3 b): );'cos('. z RRz σσσ = );'cos('. y RRzy σστ = );'cos('. z RRz σστ = Vì R x x R y y R z z RRR === );'cos(;);'cos(;);'cos( σσσ nên ta có các thành phần ứng suất: 5 3 2 3 R Pz z π σ = 5 2 2 3 R Pyz zy π τ = ( 3- 3 ) 5 2 2 3 R Pxz zx π τ = .. .Chương 3. Ứng suất trong đất 3. 3 ∫ = 2/ 0 2 .sin.cos2 π βββπα dP (g) ∫ == 2/ 0 2 3 2 )(cos.cos2 π παββπα dP Tính α từ biểu thức (g): π α 2 3P = Như vậy ứng suất theo phương bán kính trên mặt phẳng vng góc với nó sẽ là: β π σ cos. 2 3 2 R P R = ( 3- 1 ) Chiếu ứng suất pháp R σ lên mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn như trên hình 3- 3 a và gọi nó là ' R σ :... trọng ngang Q. 2 5 2 3 xz R Q z π σ = Chương 3. Ứng suất trong đất 3. 11 Sử dụng cơng thức 3- 2 0’ cho phép tính giá trị ứng suất trong đất, từ đó vẽ các biểu đồ ứng suất và các đường thẳng ứng suất. 3. 3.2. Những ứng suất chính Đối với những điểm nằm trên trục thẳng đứng đi qua điểm giữa của băng tải trọng thì các góc 21 ββ = và theo cơng thức 3- 2 0 ta có: 0)2cos2.(cos 2 12 =−= ββ π τ P ... điểm trong bán khơng gian vơ hạn và cơng thức tính chuyển vị của 1 điểm trên mặt bán không gian ),0( rRz == là các công thức thường dùng trong các chương sau. Chương 3. Ứng suất trong đất 3. 5 Hình 3_ 3 Sơ đồ tác dụng của một số lức tập trung. 2 3 3 2 2 2 2 1 1 z P K z P K z P K z ++= σ Trong đó: K 1 , K 2 , K 3 là hệ số phụ thuộc vào z r z r z r 3 21 ,, tra từ bảng 8. Mặc dù trong... phẳng giới hạn (hình 3- 1 0). Chương 3. Ứng suất trong đất 3. 10 dạng (mô đun tổng biến dạng, mô đun biến dạng ngang). Sau đây ta dẫn ra các phương pháp tính ứng suất thương dùng. 3. 3.1. Tác dụng của tải trọng phân bố đều Đối cới trường hợp tải trọng phân bố đều có cương độ là p vơ hạn theo phương trục x vng góc với mặt phẳng đang xét ZOY như trên hình vẽ 3- 8 . Hình 3_ 8 Tác dụng của tải... toán cơ bản dùng để tính tốn ứng suất trong đất của tải trọng thực tế. 3. 2.2. Tác dụng của lực tập trung nằm ngang Khi có lực tập trung nằm ngang Q đặt trên bề mặt song song với mặt phẳng bán không gian giới hạn, Ceruttic (năm 1858) đã lập được cơng thức tính các thành phần ứng suất tại điểm M có toạ độ (x,y,z) (như hình vẽ 3- 4 ). Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q. 2 5 2 3 xz R Q z π σ = ... ứng suất dưới tải trọng hình băng phân bố đều (hình 3- 9 ), nó cho ta hình ảnh của trạng thái ứng suất trong nền. Hình 3_ 9 Elíp ứng suất tác dụng của tải trọng hình băng. 3. 3 .3. Tải trọng phân bố theo quy luật tam giác Một trong các dạng tải trọng phân bố khơng đều của bài tốn phẳng là phân bố theo quy luật tam giác. Ở đây chỉ dẫn ra các cơng thức đơn giản để tính ứng suất nén thẳng đứng z σ ... ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ±+−±== ∫ )2sin( 2 1 2sin 2 1 .sin 2 2121 2 1 2 ββββ π ββ π σ β β P d p y ( 3- 2 0) () 12 2cos2coscos.sin 2 1 2 ββ π βββ π τ β β −== ∫ P d p Dấu “+” trước 2 β đối với điểm M nằm ngồi băng tải trọng cịn dấu - khi điểm M nằm trong băng tải trọng (ví dụ tại vị trí M’). Biểu thức 3- 2 0 đã được lập bảng để tính ứng suất theo công thức sau: pK zz .= σ pK yy . = σ ( 3- 2 0’) pK yzyz .= τ Trong đó: yzyz KKK ,, phụ thuộc... Còn đối với các điểm khác thuộc nền đất, người ta còn chứng minh được rằng: tại mỗi điểm phương của ứng suất chính trùng với đường phân giác của góc nhìn α của điểm đó, cịn phương của ứng suất chính thứ hai vng góc với phân giác đó. Trị số của các ứng suất phụ thuộc vào góc nhìn α như sau: )sin( 1 αασ += z p )sin( 2 αασ −= z p ( 3- 2 1) Từ cơng thức ( 3- 2 1) có thể xây dựng các elip ứng suất . công thức 3- 1 0, 3- 1 1 được biển đổi thành công thức 3- 1 0’, 3- 1 1’: pKOZ.0=σ ( 3- 1 0’) Còn ứng suất dưới điểm góc: pKCZC.=σ ( 3- 1 1’) So sáng công thức ( 3- 1 0) và. vẽ 3- 4 ). Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q. 2523xzRQzπσ= Chng 3. ng sut trong t 3. 6 32 22cos.sin.cos23zQzx= ( 3- 7 ) 32 2cos.sin.sin.cos23zQzy=