Đang tải... (xem toàn văn)
Hơn 12.000 bài luyện tập cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức một cách chủ động và hiệu quả hơn., Học và làm bài tập Online. Các dạng từ cơ bản đến nâng cao. Bài kiểm tra . Ôn tập hè môn với Luyện thi 123.com., Website học .
CÁC GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN A Kiến thức Góc tâm Số đo cung a) Định nghĩa góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đtròn đgl góc tâm b) Số đo cung: - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn) - Số đo nửa đtr 1800 »AC » »AB CB c) Tính chất số đo cung: Nếu C điểm nằm cung AB sđ =sđ +sđ Liên hệ cung dây a) Định lý 1: Với cung nhỏ đtròn hay đtròn nhau: - cung căng dây - dây căng cung b) Định lý 2: Với cung nhỏ đtròn hay đtròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn Góc nội tiếp a) Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đtròn cạnh chứa dây cung đtròn Cung nằm góc gọi cung bị chắn b) Định lý: Trong đtròn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c) Các hệ quả: Trong đtròn - Các góc nt chắn cung - Các góc nt chắn cung chắn cung - Góc nt (nhr 900) có só đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nt chắn nửa đtròn góc vng Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a) Định nghĩa: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, cạnh tiếp tuyến cạnh lại chứa dây cung b) Định lý: Sđ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn · Ax B c) Định lý đảo: Nếu có đỉnh nằm đtròn, cạnh chứa dây cung AB, có sđ nửa sđ cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đtròn d) Hệ quả: Trong đtròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Góc có đỉnh bên đtròn Góc có đỉnh bên ngồi đtròn a) Góc có đỉnh bên đtròn - Định lý: Sđ góc nửa tổng sđ cung bị chắn b) Góc có đỉnh bên ngồi đtròn - Định lý: Sđ góc nửa hiệu sđ cung bị chắn B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho (O) điểm M cố định khơng nằm đtròn Qua M kẻ đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đtròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đtròn (O) C D CMR: MA.MB = MC.MD LG * TH1: điểm M nằm bên đtròn (O) - Xét tam giác MAC tam giác MDB, ta có: ¶ =M ¶ M (đối đỉnh) ·CAM = BDM · (góc nt chắn cung BC) ⇒ ∆MAC : ∆MDB ( g.g ) MA MC ⇒ = ⇒ MA.MB = MC.MD MD MB A C O M D B C D * TH2: điểm M nằm bên ngồi đtròn (O) - Xét tam giác MAD tam giác MCB, ta có: ¶ M (chung) ¶D = B µ 1 (góc nt chắn cung AC) ⇒ ∆MAD : ∆MCB ( g g ) MA MD ⇒ = ⇒ MA.MB = MC.MD MC MB M O A B »AC » CD » DB Bài 2: Trên đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB cho sđ =sđ =sđ =600 hai đường thẳng AC BD cắt E, hai tiếp tuyến đtròn B C cắt T CMR: ·AEB = BTC · a) b) CD tia phân giác góc BCT? LG ·AEB = »AB − CD » = ( 1800 − 600 ) = 600 E T 2 a) Ta có: ¼ · ¼ » − CD » + DB » BTC = BAC − BDC = »AB + AC 2 C D = ( 1800 + 600 − 600 − 600 ) = 600 ( ( A O B Do đó: ) ) ( ) ( ) ·AEB = BTC · b) Ta có: µ = CD » = 300 C (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) ¶ = DB » = 300 C 2 =C ả C (gúc nội tiếp) Do CD phân giác góc BCT Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtròn (O), tia phân giác góc A cắt BC D cắt đtròn M a) CMR: OM vng góc với BC b) Phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt (O) N CMR ba điểm M, O, N thẳng hàng c) Gọi K giao điểm NA BC, I trung điểm KD CMR: IA tiếp tuyến đtròn (O) LG x A N O K I B D2 H C M àA = A ả BM ẳ = CM ẳ ⇒ BM = CM a) Ta có: BM = CM ⇒ OB = OC ⇒ OM ⊥ BC OM trung trực BC · · · Ax = 1800 = 900 MAN = BAC +C 2 b) Ta có: · · MAN MAN = 900 ⇒ mà góc nội tiếp MN đường kính Do M, O, N thẳng hàng ·MAN = 900 ⇒ DAK · = 90 ⇒ ∆ c) Do DAK vuông A mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cân I · ¶ IAD =D 1 · ¶ ⇒ ⇒ IAD = D2 ¶D = D ¶ (1) ( ) · · ⇒ OAM = OMA Mặt khác: tam giác OAM cân O (2) · · ¶ · · ¶ · ⇒ IAD + OAM = D2 + OMA ⇒ IAO = D2 + OMA Từ (1) (2) (3) ¶ · ⇒ D2 + OMA = 90 Do tam giác MHD vuông H (theo a) (4) · ⇒ IAO = 90 ⇒ Từ (3) (4) IA tiếp tuyến đtròn (O) Bài 4: Cho nửa đtròn tâm O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đtròn (C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E Chứng minh rằng: a) EH vng góc với AB b) Vẽ tiếp tuyến với đtròn D, cắt EH I Chứng minh rằng: I trung điểm EH LG E I C D H A a) Ta có: ·ACB = 900 ·ADB = 900 K (góc nt chắn nửa đtròn) O B ⇒ AC ⊥ BC ⇒ AD ⊥ BD (góc nt chắn nửa đtròn) AE ⊥ BC BE ⊥ AD ⇒ mà AD × BC = H ⇒ EH ⊥ AB Xét tam giác EAB, ta có: H trực tõm ca tam giỏc EAB ả =B à ả =B µ H F D 2 b) Ta có: (cùng phụ ); (cùng chắn cung AD) ¶ ¶ ⇒ H = D2 ⇒ ∆IHD cân I => IH = ID (1) µ +B µ = 90 E ¶ +D ¶ = 900 E =D ả IED D 1 ả m B = D2 Mặt khác: cân I => ID = IE (2) Từ (1) (2) => IH = IE => I trung điểm EH Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngồi đtròn (O) vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E a) CMR: MC = ME b) DE phân giác góc ADB c) Gọi I trung điểm AB CMR điểm O, I, C, M, D nằm đtròn d) CMR: M phân giác góc CID LG C O B M I E A D a) + ta có: · BCE = ·ACE · · CBA = MCA (gt) (cùng chắn cung AC) · · · · · · · ⇒ BCE + CBA = ACE + MCA hay BCE + CBA = MCE + mặt khác: · · · BCE + CBA = CEM (1) (tính chất góc ngồi tam giác) (2) ·MCE = CEM · ⇒ ∆MCE + từ (1) (2) cân M => MC = ME b) + MC MD tiếp tuyến => MC = MD, mà MC = ME => MD = ME => tam giác · · · ⇒ MED = MDE = MDA + ·ADE MDE cân M (1) ·MED = B µ + BDE · + mặt khác: (tính chất góc ngồi tam giác) (2) ·MDA + ·ADE = B µ + BDE · + (1); (2) (3) · µ MDA =B + lại có: (cùng chắn cung AD) (4) · · ⇒ ADE = BDE ⇒ DE + (3); (4) phân giác góc ADB · · ⇒ OCM = ODM = 900 ⇒ c) + MC, MD tiếp tuyến (O) điểm O, C, D, M thuộc đtròn có đường kính OM (*) ⇒ IO ⊥ AB + lại có: I trung điểm AB (định lý đường kính dây) => IO vng góc với IM => tam giác IOM vuông I => điểm I, O, M thuộc đtròn có đường kính OM (**) + (*) (**) => điểm 0, I, C, M, D nằm đtròn d) + Xét đtròn qua điểm: O, I, C, M, D có đường kính OM, ta có: ¼ · CIM = sd CM ( góc nt ) · ·DIM = sd DM ¼ · ( góc nt ) ⇒ CIM = DIM ⇒ ¼ ¼ mà CM = DM ⇒ sd CM = sd DM IM phân giác góc CID Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn D Kẻ đường kính AE CMR: a) BC song song với DE b) Tứ giác BCED hình thang cân LG A O H B C D E a) Ta có: BC vng góc với AD (gt) (1) ·ADE = 900 + mà (góc nt chắn nửa đtròn) => DE vng góc với AD (2) + Từ (1) (2) suy BC // DE (cùng vng góc với AD) b) HTC = HT + góc đáy (hoặc đường chéo nhau) (Chú ý: Hình thang có cạnh bên chưa HTC (VD: Hình bình hành hình thang có cạnh bên khơng HTC)) + BC // DE suy tứ giác BCED hình thang (1) » D = sdCE » ⇒ sd B + lại có: BC // DE (2 cung bị chắn hai dây song song nhau) » D + sdDE » = sdCE » + sdDE » ⇒ sd BE » = sdCD » ⇒ BE = CD ⇒ sd B (liên hệ cung dây) (2) + từ (1) (2) suy tứ giác BCED Hình thang cân ************************************************************* ... a) Ta có: BC vng góc với AD (gt) (1) ·ADE = 900 + mà (góc nt chắn nửa tròn) => DE vng góc với AD (2) + Từ (1) (2) suy BC // DE (cùng vng góc với AD) b) HTC = HT + góc đáy (hoặc đường chéo nhau)... tuyến tròn (O) Bài 4: Cho nửa tròn tâm O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa tròn (C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E Chứng minh rằng: a) EH vng góc với AB b) Vẽ tiếp tuyến với tròn D,... C, D, M thuộc tròn có đường kính OM (*) ⇒ IO ⊥ AB + lại có: I trung điểm AB (định lý đường kính dây) => IO vng góc với IM => tam giác IOM vuông I => điểm I, O, M thuộc tròn có đường kính OM