THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Chuyên đề TÍCH PHÂN (Phần 2) IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn Dạng b Để chứng minh b �f(x)dx � (hoặc �f(x)dx � 0) ta chứng minh a f(x) � (hoặc f(x) � ) với a " x �[ a; b ] Ví dụ 14 Chứng minh � 13 x6 dx � Giải x [ 0; 1] : x Với "Σ�-��-� x �1 x6dx 0 Dạng b Để chứng minh b �f(x)dx � �g(x)dx ta chứng minh f(x) � g(x) với " x �[ a; b ] a a Ví dụ 15 Chứng minh p p dx �1 + sin 10 x � 0; Với "Σ�‫�ޣ‬ � � dx �� 11 x + sin x Giải p� :0 2� � ‫>ޣ‬+�+� sin10 x sin11 x Vậy sin x p sin11 x sin10 x + sin11 x p 10 0 1 + sin10 x dx �1 + sin dx �� 11 x + sin x Dạng b f(x)dx � B ta thực bước sau Để chứng minh A � � a Bước Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m � f(x) � M b f(x)dx � M(b - a) = B Bước Lấy tích phân A = m(b - a) � � a Ví dụ 16 Chứng minh � � + x2 dx � Với "Σ+�‫ޣ‬+� x [ 0; 1] : 4 Giải x2 Vậy � � + x2 dx � x2 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long 3p Ví dụ 17 Chứng minh p dx p �� � p - 2sin x Giải p 3p � � x �; Với "Σ�‫�ޣ‬ �: 4� � �‫�ޣ‬-‫ޣ‬ � 2sin2 x ( ) sin x 2 sin2 x 1 - 2sin2 x 3p ( ) 3p p dx 3p p �� �1 2 4 4 p - 2sin x 3p Vậy p dx p �� � p - 2sin x p Ví dụ 18 Chứng minh cotx �� dx � 12 x p Giải � cotx p p� , x �� ; �ta có Xét hàm số f(x) = � x 3� � � -x - cotx � p p� f / (x) = sin x > " x �� ; � � 3� x � � p p p p� � �"�‫ޣ‬ ff (x) f x �; � � 3� � cotx p p� �"�‫ޣ‬ x �; � � p x p 3� � � ( ) ( ) p � � 3� p p� cotx 4� p p� � - � �� dx � � - � � � � � � �3 � �3 � � p � x p p p Vậy cotx �� dx � 12 x p 4 Dạng (tham khảo) b f(x)dx � B (mà dạng không làm được) ta thực Để chứng minh A � � a f(x) �g(x) " x �[ a; b] � � � � Bước Tìm hàm số g(x) cho �b � � �g(x)dx = B � �a b ‫ޣ‬ �f(x)dx a B THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long � h(x) �f(x) " x �[ a; b] � � � ‫ޣ‬A Bước Tìm hàm số h(x) cho �b � h(x)dx = A � � � �a Ví dụ 19 Chứng minh b �f(x)dx a 2 dx p �� � 2007 1- x Giải 2� :0 � � � � x � 0; Với "Σ�� � � �‫�ޣ‬-�-‫ޣ‬ x2 x2007 2 x2007 1 - x2007 2 x2 1 - x2 2 dx dx � x2007 - x2 0 Đặt x = sin t � dx = costdt p x = � t = 0, x = �t= �‫�ޣ‬ dx � 1- 2 � dx � 10 Vậy p costdt p = = � cost x2 2 dx p �� � 2007 1- x 3+1 xdx 2+1 �� � Ví dụ 20 Chứng minh x +2- Giải Với " x �[ 0; 1] : - � x2 + - � - x x x �‫ޣ‬ 3- 2- x +2- 1 xdx �‫�ޣ‬ 3- Vậy � xdx x +2- 1 xdx � 20 3+1 xdx 2+1 �� � x +2- Chuyên đề TÍCH PHÂN (Phần 3) V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y = f(x), x = a, x = b trục hoành S = �f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân �f(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e Ox Giải Do ln x � " x �[ 1; e] nên e S= e �ln x dx = �ln xdx = x ( ln x 1) e = 1 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x - 3, x = 0, x = Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S=- �( - x + 4x - 3) dx + � ( - x2 + 4x - 3) dx 1 �x � � x3 � � � =- � + 2x + 3x + + 2x2 + 3x � = � � � � � � � �0 � �1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b S = �f(x) - g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân �f(x) - g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f(x), y = g(x) S = �f(x) - g(x) dx Trong a, b nghiệm nhỏ lớn a phương trình f(x) = g(x) ( a �a > b � b ) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) đoạn [ a; b] THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân �f(x) - g(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = Giải h(x) = (x + 11x 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - Đặt h(x) = � x = �x = �x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S=- �( x - 6x + 11x - 6) dx + � ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx 1 �x � �x � 11x 11x2 � =- � - 2x3 + - 6x � + 2x + - 6x � � � � � � � = �4 �0 �4 � 2 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = � x = �x = �x = Bảng xét dấu x h(x) + – 4 S= �( x �( x - 6x + 11x - 6) dx - 6x2 + 11x - 6) dx 2 �x � 11x � =� � �4 - 2x + - 6x � �� �x � 11x2 � 2x + - 6x � = � �4 � � �2 2 Vậy S = (đvdt) 2 Chú ý: Nếu đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) khơng nghiệm ta dùng cơng b thức �f(x) a b g(x) dx = �[ f(x) - g(x) ] dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3, y = 4x Giải Ta có x = 4x � x = - �x = �x = � S= �( x - 4x ) dx + - �( x - 4x ) dx 0 �x4 �x4 � 2� � � - 2x2 � = � 2x + � � � � = � � �4 �- �4 � Vậy S = (đvdt) THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - x + trục hồnh Giải Ta có x2 - x + = � t2 - 4t + = 0, t = x � t =1 x = �1 � �x = � � � �� � � � �x = � t=3 x = �3 � � � 3 �x � S= - - x + dx = 2�x2 - 4x + dx �1 � � = �� ( x - 4x + 3) dx + � ( x2 - 4x + 3) dx � � �0 � 1 3 � � 16 �x � �x � � � � � = 2� - 2x2 + 3x � + 2x + 3x � � � � � � �= � � � � � 3 � � 16 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 4x + y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - 4x + = x + �x + � � x=0 � � x - 4x + = x + � � �� �� � � x=5 � � � � �� x2 - 4x + = - x - �� Bảng xét dấu x + – + x - 4x + 3 �( x � S= - 5x ) dx + � ( - x + 3x - 6) dx + � ( x2 - 5x ) dx 1 3 �x � � �x 5x � -x 3x 5x2 � 109 � � � � � = � + + 6x + = � � � � � � � � � �3 �1 �3 �0 � 2 �3 109 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - , y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + � t2 - = t + 5, t = x � t = x �0 � � �t = x � �2 � � t = t + �� � � x = �3 �� � � � t = � � � � t2 - = - t - �� � 3 � S= 3 �x - 1- ( - x + 5) dx = 2�x2 - Bảng xét dấu x x - – + ( x + 5) dx THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long � S=2 �( - x - x - 4) dx + � ( x2 - x - 6) dx 1 � � �x � -x x x2 73 � � =2� 4x + - 6x � = � � � � � � �3 �0 �3 �1 2 73 Vậy S = (đvdt) 3 Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) � 0" x �[ a;b ] , y = , b x = a x = b (a > b) quay quanh trục Ox V = p� f 2(x)dx a Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x2 + y2 = R quay quanh Ox Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R � x = �R Phương trình (C) : x2 + y2 = R � y2 = R - x2 R R � V = p� ( R - x ) dx = 2p� ( R - x2 ) dx 2 - R R �2 x � 4pR � = 2p � R x = � � � � 3� 4pR Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) � 0" y �[ c;d ] , x = , d y = c y = d (c > d) quay quanh trục Oy V = p g2(y)dy � c x y + = quay quanh Oy a b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) Oy = � y = �b b x2 y2 a2y2 Phương trình (E) : + = � x2 = a2 a b b2 b b �2 a2y2 � �2 a2y2 � � � � � � V = p� a dy = p a dy � � � � � � � � � � � b b - b Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse (E) : 2 R �2 a2y3 � 4pa2b � = 2p � a y = � � � � 3b2 � 4pa2b Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x) , x = a x = b (a > b, f(x) � 0,g(x) � " x �[ a; b ]) quay quanh trục Ox b V = p�f 2(x) - g2(x) dx a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải x=0 �x � � � � Hoành độ giao điểm � �4 � � x =1 �x = x � 1 � V = p�x - x dx = p ( �( x - x ) dx ) 3p x - x = 10 3p Vậy V = (đvtt) 10 =p Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y) , y = c y = d (c > d, f(y) � 0,g(y) � " y �[ c; d ]) quay quanh trục Oy d V = p�f 2(y) - g2(y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = - y2 + , x = - y quay quanh Oy Giải y=- � � y + = y � Tung độ giao điểm � y=2 � 2 � V = p�( - y2 + 5) - ( - y ) dy - =p �( y - 11y2 + 6y + 16) dy - �y5 11y3 � 153p =p� + 3y2 + 16y � � = � � � �5 �- Vậy V = 153p (đvtt) VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP   x  10 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S   C101  C102   C1010 Tính I= � 11 Tính: I  x   x  � 19 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S 1 1 18 19 C19  C19  C19   C19  C19 20 21 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long 3 Chứng minh rằng:  Cn1  Cn2   n 1  Cnn  n 1 n 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN (TỰ GIẢI) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x  cos x � � , biết F � � ln sin x  cos x � � Tính tích phân sau: e2 2 x  - 7x dx x B= �x -1 dx A= � ln dx C= � x -2 Tính tích phân sau:  e A= � e cos x ln x B= � dx x sin xdx * C= �x x dx D =� x -1 1 dx * x 4 Tính tích phân sau:  e sin(ln x) dx I= � x   ln dx L= �x x 3 ln e  2e C=  lg xdx K= � M= � dx N= �2 x -9 sin xdx cos x  sin x sin x dx x)2 � (1  cos Tính tích phân sau: dx A= � 4- x dx B= � x 3 3 ln 1- e x dx � x 1 e D= 10 dx sin x cot x J= � C= �16 - x dx dx x 1 E= �2 Tính tích phân sau: e ln x A= � dx x  2 ln x C = �2 dx x x sin x dx B =�  cos x * e * x2  F  � dx 1  x 3x  x E= � dx x cos(ln x) dx D =� * * Tính:   A= � cos xdx e ln x  dx x F= � xe x dx C= � B= � cos xdx 0 x  x dx G= � x  xdx H= � 0 e D= � x dx x dx x 1 I= � x x ln xdx E= � 1 x dx 1 x J= � Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y=  ln x x b y=2x; y=3x x=0  c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hồnh độ THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long 10 Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy 10 ... quanh trục Oy V = p g2(y)dy � c x y + = quay quanh Oy a b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) Oy = � y = �b b x2 y2 a2y2 Phương trình (E) : + = � x2 = a2 a b b2 b b 2 a2y2 � 2 a2y2 � � � � � � V =... 1- x Giải 2 :0 � � � � x � 0; Với "Σ�� � � �‫�ޣ‬-�-‫ޣ‬ x2 x2007 2 x2007 1 - x2007 2 x2 1 - x2 2 dx dx � x2007 - x2 0 Đặt x = sin t � dx = costdt p x = � t = 0, x = �t= �‫�ޣ‬ dx � 1- 2 � dx �... cost x2 2 dx p �� � 20 07 1- x 3+1 xdx 2+ 1 �� � Ví dụ 20 Chứng minh x +2- Giải Với " x �[ 0; 1] : - � x2 + - � - x x x �‫ޣ‬ 3- 2- x +2- 1 xdx �‫�ޣ‬ 3- Vậy � xdx x +2- 1 xdx � 20 3+1 xdx 2+ 1 ��