ổn định của vòm

òm là một loại kết cấu thuộc hệ thanh có trục là đường cong, vòm chỉ chịu nén đúng tâm khi trục thanh trùng với đường cong áp lực. Khi mất ổn định, vòm chuyển từ dạng cân bằng chịu nén sang

Trong phần, tôi trình bầy cách tính sự ổn định của hai loại vòm: vòm tròn và vòm parabôn Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ đề cập đến bài toán ổn định về dạng đối xứng của vòm parabôn

3.1 Phương trình vi phân của thanh tròn

Xét thanh tròn AB, chịu biến dạng uốn trong mặt phẳng ban đầu Sau khi biến dạng thanh di chuyển đến vị trí A’B’ như trên (hình 3-1), ta có thể phân tích chuyển vị của mỗi điểm trên thanh theo hai thành phần: chuyển vị hướng tâm ký hiệu là w và chuyển vị theo phương tiếp tuyến ký hiệu là u

Các chuyển vị của hệ được xem là nhỏ, đồng thời chuyển vị v thường rất nhỏ so với chuyển vị w, nên để tính toán ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u

Để thiết lập phương trình vi phân của chuyển vị cong ta xét một phân tố chiều dài ds của thanh Giả sử trước khi biến dạng phân tố có vị trí mn, sau khi biến dạng phân tố chuyển dời tới m’n’ Tiết diện m có chuyển vị hướng tâm là w và chuyển vị góc là dw/ds Tiết diện n có chuyển vị hướng tâm là (w + dw) và chuyển vị góc là: ds

+

Từ đó ta thấy gia số chuyển vị góc từ điểm m’ đến điểm n’ là: dsds

ddSdw( )dS

Hình 3-1 Sơ đồ biến dạng của một đoạn vòm cong

3-2

Trong đó r và r0 lần lượt là bán kính cong trước và sau khi biến dạng Từ các quan hệ hình học ta có:

= và

Nếu khi so sánh chiều dài của phân tố ở lúc trước và sau khi biến dạng, ta bỏ qua góc vô cùng bé dw/ds tức là xem chiều dài của phân tố m’n’ bằng (r0 - w)dθ thì:

r w)dθ- (r∆ds

0 − =− =−=

Do đó:

Hay:

00 ds

Vì bán kính cong ban đầu r0 và bán kính sau khi biến dạng r khác nhau rất ít nên ta có thể thay w/r0r bằng w/r20 Do đó, từ (3-1) và (3-2) ta có:

Nên phương trình (3-3) sẽ trở thành:

Đó là phương trình vi phân cân bằng của thanh cong viết theo hệ toạ độ cực

3.2 Ổn định của vành tròn chịu áp lực phân bố đều hướng tâm

3-3

Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vành tròn có thể mất ổn định trong mặt phẳng như trên (hình 3a) Ta hãy xét nửa vành tròn chịu áp lực phân bố đều với cường độ q và các phản lực N0, M0 như trên (hình 3-2) Mô men uốn tại tiết diện C bất kỳ có chuyển vị hướng tâm w được xác định theo biểu thức sau:

C = + − , nhưng: N0 =qAO, Nên: ⎟

= AC 2AO.AD2

Từ các hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

Do đó:

Nên sau khi thay vào biểu thức mô men uốn ta được: C = 0 − ⎜⎝⎛OC2−AO2⎟⎠⎞

MC = 0− 0 −

Do đó, phương trình vi phân (3-4) có dạng:

MAx

3-4

Hay:

Phương trình chuyển vị góc:

θ ; khi θ = π/2; 0dθdw =

mất ổn định đối xứng Lực dọc tại tiết diện bất kỳ

Hình 3-3 Sơ đồ tính vòm hai khớp.

3-5

Nếu tiết diện của vòm không đổi thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

Trong đó k xác định theo

Trường hợp đặc biệt khi α = π/2 thì:

Đối với trường hợp vòm thoải nghĩa là khi góc α khá nhỏ so với π thì trong công thức (3-11) ta có thể bỏ qua con số đơn vị Lúc này công thức lực tới hạn có dạng gần đúng như sau:

( )R.REJq

Lực dọc tới hạn:

Trong đó s là nửa chiều dài theo đường cung của vòm Như vậy đối với các vòm thoải, ta có thể xem vòm như một thanh có liên kết khớp ở hai đầu với chiều dài tính toán bằng một nửa chiều dài đường cung vòm và áp dụng công thức Ơle để xác định lực dọc tới hạn Ngoài ra cần chú ý rằng kết quả tìm được theo công thức gần đúng thường lớn hơn kết quả tìm được theo công thức chính xác

Để xác định xem loại vòm nào là vòm thoải, ta hãy nghiên cứu sai số giữa hai công thức (3-11) và (3-13) Ta dễ dàng tìm được sai số tỷ đối:

Trong trường hợp vòm có tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài nhịp l là f/l = 1/5, ta có:

3-6

tg = = Suy ra α = 43°30' Theo (3-15) sai số tỷ đối:

Như vậy ta thấy khi f/l ≤ 1/5 thì có thể coi vòm là thoải và công thức (3-13) cũng cho những kết quả đáp ứng được yêu cầu thực tế

3.3.2 Vòm không khớp

Theo A.N.Đinnhich, tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm không khớp sẽ xảy ra tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng Khi biến dạng, vòm không khớp chỉ khác vòm hai khớp là tại mặt cắt của chân vòm có xuất hiện các mô men M0

Như vậy mô men uốn trong vòm không khớp cũng được xác định như trong vòm hai khớp, nhưng có bổ sung thêm mô men uốn phụ do M0 gây ra Biểu đồ mô men uốn phụ do M0 gây ra có dạng hình thang xoắn như trên (hình 3-4b)

Ta có:

2Rl =

Nên:

Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng: θ θ sinθ

khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0 và 0dθdw =

b,

3-7

Từ điều kiện thứ nhất ta được A = 0, còn từ điều kiện thứ hai và thứ ba ta được:

Sau khi khai triển và biến đổi ta được:

qth = 3 2 − (3-19) Bảng (3-1) cho ta các giá trị của k tương ứng với các góc α của vòm không khớp:

Trong trường hợp thứ hai, đường biến dạng của vòm đối xứng (hình 3-5b), điểm C có chuyển vị thẳng đứng Thực nghiệm chứng tỏ rằng tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm ba khớp xảy ra tương ứng với trường hợp biến dạng đối xứng Lúc này, cường độ của tải trọng tới hạn được xác định theo công thức sau:

α4v

trong đó k được xác định theo phương trình sau: −

−1) (k 2k 2)coskα

[2(k242 (k2 −1)kαsinkα]tgα=]

Hình 3-5 Sơ đồ tính vòm ba khớp

Hình 3-6 Vòm một khớp

3-9

q = (3-23) Lực dọc tới hạn cũng có thể viết dưới dạng chung:

N = (3-24) Hệ số K1 phụ thuộc góc α và có giá trị ghi trong bảng 3-2

Bảng 3-2 Bảng giá trị hệ số k1

2α Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 300

600 900 1200 1500 1800

294,0 73,3 32,4 19,1 11,5 8,0

162,0 40,2 17,4 10,2 6,56 4,61

143,0 32,0 15,0 8,0 4,76 3,00

108,0 27,6 12,0 6,75 4,32 3,00 Nếu thay: R(1 - cosα) = f;

2α= l

Rsin , thì công thức (3-23) sẽ có dạng như sau:

0,2 0,3 0,4 0,5

58,9 90,4 93,4 80,7 64,0

33,0 50,0 52,0 46,0 37,0

28,4 39,3 40,9 32,8 24,0

22,2 33,5 34,9 30,2 24,0

Ta cũng có thể biểu thị sự biến thiên của hệ số K2 theo các tỷ số f/l bằng đồ thị như trên (hình 3-7) Qua các đường cong đó ta thấy:

- Độ ổn định của vòm giảm dần khi số khớp trong vòm tăng lên

- Tải trọng tới hạn của các vòm có giá trị lớn nhất khi tỷ số f/l có giá trị vào khoảng 0,3

Trên (hình 3-8) biểu thị dạng mất ổn định phản đối xứng của vòm parabôn hai khớp tương ứng với tải trọng tới hạn nhỏ nhất

A C Lôcxin là người đầu tiên đã tìm ra nghiệm chính xác của bài toán này Viện sỹ A N Đinnhích đã nghiên cứu sự ổn định của vòm parabôn có tiết diện không đổi và thay đổi tương ứng với các điều kiện liên kết gối tựa khác nhau A N Đinnhích đã dùng phương pháp số để tích phân những phương trình vi phân cấp ba khá phức tạp và đã xác định các hệ số ổn định cho từng trường hợp Ở đây chúng ta không nghiên cứu tỉ mỉ các nghiệm chính xác mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng

Hình 3-8 Vòm parabol

Vòm một khớp

Vòm hai

khớp Biến dạng đối xứng

Biến dạng phản đổi xứng 0,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0

60,7 101,0 115,0 111,0 97,4 83,8 59,1 43,7

33,8 59,0

- 96,0

- 80,0 63,0 48,0

28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1

22,5 39,6 47,3 49,2 - 38,0 28,8 22,1

28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1

Cũng như trường hợp vòm tròn, công thức xác định lực tới hạn cho vòm parabôn có thể biểu diễn dưới dạng chung như sau:

= (3-27) K3 là hệ ổn định phụ thuộc loại vòm và tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài l của nhịp vòm Trong bảng 3-4 cho biết các giá trị của hệ số K3

Đối với vòm ba khớp ta cần đối chiếu các trị số K3 trong hai trường hợp biến dạng đối xứng và biến dạng phản đối xứng, chọn giá trị K3 nhỏ nhất để xác định lực tới hạn Khi biến dạng phản đối xứng, hệ số K3 của vòm ba khớp trùng với hệ số K3 của vòm hai khớp

Khi tính các loại cầu vòm có tiết diện thay đổi, ta cần phải thiết lập và tích phân các phương trình vi phân cân bằng có kể đến sự thay đổi của các mô men quán tính Nói chung, các loại bài toán này đã được nghiên cứu và đã có các bảng hệ số ổn định ứng với những trường hợp vòm có tiết diện thay đổi theo những quy luật thường gặp trong thực tế

Khi tính vòm parabôn có tiết diện thay đổi A F Smirnôp đã dùng lý thuyết ma trận để giải bài toán này một cách tương đối đơn giản

Công thức tính tải trọng tới hạn của vòm parabôn có tiết diện thay đổi chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều cũng có thể viết dưới dạng chung như sau:

= (3-28) Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cos3ϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-5) Trong đó J0 là mô men quán tính ở đỉnh vòm còn ϕ là góc hợp giữa tiếp tuyến với trục vòm so với phương nằm ngang

0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 1,0

65,5 134,0 204,0 277,0 444,0 587,0 700,0

30,7 59,8 81,1 101,0 142,0 170,0 193,0

24,0 51,2 81,1 104,0 142,0 170,0 193,0

Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cosϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-6)

Bảng 3-6 Bảng giá trị các hệ số k4

Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 1,0

62,3 112,0

- 154,0 152,0 133,0 118,0

29,5 49,0 - 57,0 52,0 44,0 37,0

23,2 43,6 59,0 57,0 52,0 44,0 37,0