Đang tải... (xem toàn văn)
12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án 12 đề thi học sinh giỏi toán lớp 6 có đáp án
12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP ĐỀ Câu ( 2,0 điểm) Cho A = + 22 + 23 + 24 + + 220 Tìm chữ số tận A Câu ( 1,0 điểm) Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27 Câu ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n Câu ( 1,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố Câu ( 1,5 điểm) a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*) Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440 Câu ( 1,0 điểm) Tìm số nguyên x, y cho: xy – 2x - y = -6 Câu ( 2,0 điểm) Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay a Tính BD � = 850, BCA � = 500.TínhACD � b Biết BCD c Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu Đáp án A = (2 + + + + + 220.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 Nên A.2 - A = 221 -2 Câu A = 221 - (2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 = 165 165 có tận Nên 165 có tận có tận Vậy A có tận 2 Điểm Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27 Câu 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Với số tự nhiên n ta có trường hợp sau: TH1: n chia hết cho tích chia hết cho 0,25 TH 2: n chia cho dư n = 5k +1 4n +1= 20k + chia hết cho tích chia hết cho Câu 0,25 TH3: n chia cho dư n = 5k +2 (1,5 điểm) 2n +1= 10k + chia hết cho tích chia hết cho 0,25 TH4: n chia cho dư n = 5k +3 3n +1= 15k + 10 chia hết cho tích chia hết cho TH 5: n chia cho dư n = 5k +4 n +1= 5k + chia hết cho tích chia hết cho Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n Nếu pq + 11 số nguyên tố phải số ngun tố lẻ ( pq (1,0 điểm) + 11 > 2) pq số chẵn số phải chẵn, tức + Giả sử p = Khi 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11 0,25 0,25 0,25 Câu 0,25 Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) q > có số hợp số p = q = + Giả sử q = Giải TT ta p = Vậy p = 2; q = p = 3; q = 0,25 0,25 0,25 a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 Md, 8n - Md 0,25 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) Md 31 Md d = 31 Để hai số nguyên tố d ≠ 31 Mà 7n + M31 7n + - 31 M31 7(n - 4) M31 n – M31( 31 nguyên tố nhau) n = 31k + 4( với k số tự nhiên) Do d ≠ 31 n ≠ 31k + 0,25 Vậy hai số 7n +3, 8n – nguyên tố n ≠ 31k + 4( với k số tự nhiên) 0,25 b) Gọi hai số phải tìm a b ( a, b N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và Câu k, q nguyên tố (1,5 điểm) Ta có : a - b = 84 k-q=3 Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k Tia CA nằm tia CB CD (2,0 điểm) => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,5 c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận K nằm A B - Suy ra: AK + KB = AB � KB = AB – AK = – = (cm) 0, * Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B - Suy ra: KB = KA + AB � KB = + = (cm) * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm (Bài thi thí sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa) ĐỀ Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16 b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78: 76 +70)]} Bài 2: (1,0điểm) M có số phương khơng nếu: M = + + +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) M2 b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài 4: (1,0điểm) So sánh A B biết: A= 1718 1719 , B= 1717 1718 0, Bài 5: (2,0điểm) Tím tất số nguyên n để: a) Phân số b) Phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 12n 30n phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550.Trên tia Bx, By lấy điểm A, C (A B, C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz Bài 7: (1,0điểm) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báodanh HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp Bài 1: (1,0 điểm) Ý/Phần a = 16(123+ 321 - 44):16 = 400 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273} =619 Bài 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án M = + + +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Tính số số hạng = (2n-1-1): + = n Tính tổng = (2n-1+1) n: = 2n2: = n KL: M số phương Bài 3: (1,5 điểm) Ý/Phần Đáp án a Ta có: 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) Điểm 0,5 0,5đ Điểm b = (34)25 = 8125 có chữ số tận 19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ số tận Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a �N ) Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + Vì 4aM4; khơng chia hết nên 4a+ không chia hết Bài 4: (1,0 điểm) Ý/Phần Vì A = 17 17 1718 Đáp án 18 17 1719 18 18 17 17 16 < A= 19 < 19 = 17 1 17 16 1717 171718 17 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Điểm = =B 0,75 0,25 Vậy A < B Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án n 1 a số nguyên (n+1) (n-2) Điểm n2 0.5 Ta có (n+1) = (n 2) 3 Vậy (n+1) (n-2) (n-2) (n-2) � Ư(3) = 3; 1;1;3 => n � 1;1;3;5 b 0,5 Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 (d N*) 12n 1d ,30n 2d 5(12n 1) 2(30n 2) d (60n+5-60n-4) d d mà d N* d=1 Vậy phân số cho tối giản Bài 6: (2,5 điểm) Ý/Phần Vẽ hình a TH1 Đáp án 0,25 0,5đ 0,25 Điểm TH2 0,25 Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C: AC= AD + CD = 4+3 = cm Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250 b c Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD Tính ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp 2:Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA Tính ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200 Bài 7: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án (2x+ 1); (y - 5) ước 12 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12 Vì 2x + lẻ nên: 2x + 1= x=0 , y =17 2x + 1= x=1 , y=9 Vậy với x = y = 17; Với x = y = ĐỀ SỐ Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : 2 2 a) 10 11 12 : 13 14 b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 3.4.2 16 c) 11.213.411 169 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết: 2 a) 19x 2.5 :14 13 b) x x 1 x x 30 1240 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Bài : (3 điểm) a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = 101102 b) So sánh M N biết : M 101103 101103 N 101104 Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : Đáp án 2 2 a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 Điểm 365 : 365 b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 1.2.3 7.8. 1.2.3 7.8 3.4.2 16 c) 11.213.411 169 3.2 11.2 2 11 13 32 218 16 36 36 36 3 3 2 11.213.222 236 11.235 236 235 11 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài : (4 điểm) Tìm x : Câu Đáp án a 19x 2.52 :14 13 8 42 � x 14 � 2.52 :19 13 8 42 � � � �x 4 11.213.222 236 1 Điểm b x x 1 x x 30 1240 � � � �x1 44x2 x 30 1240 43 � � � � 31 So hang � 30. 30 � 31x 1240 � 31x 1240 31.15 775 25 31 11 - (-53 + x) = 97 � x 11 97 (53) 33 -(x + 84) + 213 = -16 � (x 84) 16 213 � (x 84) 229 � x 84 229 �x c d 1 � x 229 84 145 Bài : (3 điểm) Đáp án Từ liệu đề cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy : � BCNN 15m; 15n 300 15.20 Điểm � BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : (4) � 15m 15 15n � 15. m 1 15n � m n Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài : (2 điểm) Câu Đáp án Điểm a Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c Biến đổi vế trái đẳng thức, ta : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] =a-1 So sánh, ta thấy : VT = VP = a - Vậy đẳng thức chứng minh Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có : � S a b c c b a a b � S ( a b)+c (c) (b a) (a b) � S (a b) a b Tính S : theo ta suy : � S a b * Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy : + a b dương, hay a > b > 0, a + b > : � S ab ab + a b âm, hay > a > b, a + b < � (a b) , nên suy : � S a b a b a b b * Xét với a b khác dấu : Vì a > b, nên suy : a > b < � b , ta cần xét trường hợp sau xảy : + a b ,hay a > -b > 0, a b a ( b) , suy ra: � S ab ab + a b , hay -b > a > 0, a b a ( b) , hay a b suy : � S a b (a b) a ( b) Vậy, với : + S a b (nếu b < a < 0) + S a b (nếu b < a < 0, b < < a b ) Bài : (6 điểm) Câu Đáp án Điểm Hình b o m a n vẽ Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy a : � OA < OB Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên : OA OB � OM ; ON 2 b Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N c Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có : � OM MN ON � MN ON OM suy : OB OA AB � MN hay : 2 10 Bài (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dơng Chứng minh tổng 31 số số dơng Bài (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 đợc viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số thứ tự ta đợc tổng Chứng minh tổng nhận đợc, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Bài (1,5đ): Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ lµ Ox VÏ hai tia Oy vµ Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: a) � xOz � � xOy yOz b) Tia ®èi tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại Đáp án: Bài (1,5®) a).5x = 125 5x = 53 => x= b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì => a a số tự nhiên với a �Z nªn tõ a < ta = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5 x = Câu a) (1,5 đ) (3,0 Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho 34x5y chia hết cho + + x + + y 9 => 12 + x + y 9 (1) 34x5y chia hết cho 5y 4 => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x 9 => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x 9 => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6) b) (1,5 đ) 9 19 9 10 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 9 Ta có A 10 2010 10 2011 102010 10 2011 10 2011 0,5 9 19 9 10 9 2010 2011 2010 2010 2011 10 10 10 10 10 10 10 Ta thấy 2011 2010 => Vậy A > B 10 10 0,5 B 0,5 Câu a) (1,0 đ) n (3,0 A= phân số n + 0 => n - n4 đ) b) (2,0 đ) A= 1,0 n n4 5 1 = n4 n4 n4 0,5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5 n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Câu (6,0 đ) 0,5 1,0 A E D C B 28 CÂU NỘI DUNG a) (1,5 đ) D nằm A C => AC = AD + CD = + = cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm hai tia BA BC nên ABC = ABD + DBC => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 c) (1,5 đ) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB Tính ABx = 900 – ABD Mặt khác tia BD nằm hai tia BA BC nên 00 tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E C nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC BD cắt Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm ) a) Rút gọn phân số: ĐIỂM 1,5 1,0 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 0,25 ĐỀ SỐ 12 ( 2) 33.53.7.8 3.53.2 4.42 b) So sánh không qua quy đồng: A 7 15 15 7 ; B 102005 102006 102005 102006 Bµi 2: ( 2.0 ®iĨm ) Khơng quy đồng tính hợp lý tổng sau: 1 1 1 1 1 1 a) A 20 30 42 56 72 90 13 b) B 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Mt ngi bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam số lượng 29 xồi lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xồi? Bµi 4: ( 3.0 ®iĨm ) Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p p + số nguyên tố( p > 3) Chứng minh p + hợp số A Đáp án biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) Đáp án a) 15 8 7 102005 102006 102005 102006 102006 15 7 7 8 7 B 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 8 2005 A B 2006 10 10 b)A Than g ®iĨ m 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2: ( 2.0 điểm ) 1 1 1 1 1 1 ( ) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 1 1 1 1 1 3 ( ) ( ) 5 6 10 10 20 a) A 13 13 7.( ) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 13 7.( ) 7.( ) 3 7 11 11 14 14 15 15 28 28 4 b) B 0.5 0.5 0.5 0.5 Bµi 3: ( 2.0 ®iĨm ) Tổng số xồi cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xồi lại gấp ba lần số cam lại nên tổng số xồi cam lại 30 0.5 số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán giỏ 71 kg Số xồi cam lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: giỏ cam giỏ đựng 71 kg ; 72 kg giỏ xoài giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg Bµi 4: ( 3.0 ®iĨm ) 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Vẽ hình B D C A O a)Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 0.5 0.5 0.5 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 Do AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, 2010.2009 góc tính hai lần Vậy có tất =2 019 045 góc 0.5 0.5 0.5 Bài 5: ( 1.0 điểm ) P có dạng 3k + 1; 3k + kN D¹ng p = 3k + p + hợp số trái với đề p = 3k + p + = 3k + p + hợp số 31 0.5 0.5 ... bao nhiêu? b, Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6? Câu 4 (6, 0 điểm): Cho.. .Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu Đáp án A = (2 + + + + + 220.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 Nên A.2 - A = 221 -2 Câu A = 221 - (2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 = 165 ... hàng 10,hàng 12, hàng 15 dư � a 3M 10 ;12; 15 � a �BC (10 ,12, 15) ta có BCNN(10 ,12, 15) =60 � a � 60 ;120 ;180; 240;300; 360 ; 420; 14 1.0 0.25 0.25 0.5 0.5 � a � 63 ;123 ;183; 243;303; 363 ; 423;