Thông tin tài liệu
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bài [ĐỀ MH 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , 1 f ' x dx x f x dx 0 A Tính B 1 f x dx C D Hướng dẫn giải: Xét I x f x dx du f ' x 1 u f x x3 I f x x f ' x dx x f ' x dx 1 Đặt x 30 dv x dx v 0 b b b Chứng minh BĐT tích phân sau: f x g x dx f x dx. g x dx a a a Với t * ta có: tf x g x t f x 2tf x g x g x Lấy tích phân vế theo biến x ta được: b b b a a a h t t f x dx 2t f x g x dx g x dx h t tam thức bậc không âm nên ta có điều kiện: 2 b b b b b b t 2 f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx a a a ' a a a Dấu ‚=‛ xảy tf x g x 1 1 Áp dụng: x f ' x dx x dx. f ' x dx 0 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Dấu ‚=‛ xảy f ' x kx Mặc khác: x f ' x dx 1 k 7 f ' x 7 x Mà f 1 nên C f x 7 x 3dx x C 7 f x dx x dx 4 4 0 1 NHẬN XÉT: Thật BĐT (*) hệ BĐT Holder tích phân BĐT Holder tích phân phát biểu sau: b a b p b q p q 1 f x g x dx f x dx g x dx với p , q thỏa p q a a Dấu ‚=‛ xảy tồn hai số thực m, n không đồng thời cho m f x n g x p q Hệ quả: Với p q BĐT trở thành f x g x dx f x dx. g x dx BTAD: Cho hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 2 1 x f ' x dx f x dx là: f 0 2 Giá trị nhỏ tích phân A f 0 B 3 C f 0 D f 0 Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f , max f ' x 0;1 f x dx Gọi M giá trị lớn tích phân Khẳng định sau đúng? 3 1 A M 1; B M 0; 2 2 1 C M ;1 2 Hướng dẫn giải: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn f x dx 3 D M ; 2 Ta có: f ' x 6, x 0;1 f ' x f x f x , x 0;1 (1) Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được: f t f x x f 0 x x 0 f ' t f t dt f t dt , x 0;1 x f t dt f x Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được: x x 12 f t dt f x 12 f x f t dt (2) x f x dx 12 f x f t dt dx I x Đặt u f t dt du f x x ' dx f x dx f t dt Suy I 2 1 1 1 1 udu f t dt f x dx 20 20 18 Vậy f x dx 12 18 3 Nhận xét: Ta hàm số f x thỏa mãn kiện đề cho xảy dấu ‘’=‛, hàm là: f x 28,815042623089894049x3 35,5890622041211331x2 8,6518534912024751x - g x Chú ý: f t dt ' f g x g ' x f h x h ' x h x Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f f 1 f ' x 0, x 0;1 Biết tích phân 64 B f Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 2 x x f ' x dx đạt giá trị nhỏ nhất, tính f ? A f 62 64 , C f 32 2 D f 2 3 2 Hướng dẫn giải: Ta có: I Ta có : 2x x 2x x f ' x f ' x dx 1 0 x x f ' x dx Do I 2x x f ' x dx 2 0 Mà: 2 x x f ' x dx 2 x x f ' x x x f ' x dx 0 x x dx f ' x dx f 1 f 3 2 Dấu ‚=‛ xảy : f ' x x x f x x 3 2 Ta có: f 1 C f x x 3 2 x 2 x C 64 f 2 Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn x x2 f t dt , x 0;1 Gọi m giá trị nhỏ tích phân định sau đúng? 3 1 A m 1; B m 0; 2 2 1 C m ;1 2 f x dx Khẳng 3 D m ; 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 2 Theo hệ BĐT Holder: xf x dx x dx. f x dx f x dx xf x dx 0 0 0 Giờ ta việc tìm tích phân xf x dx giải toán Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Gọi F(x) nguyên hàm f x , ta có: xF x ' dx x F x 1 1 0 0 F 1 Mà xF x ' dx xF ' x dx F x dx xf x dx F x dx 1 Suy F 1 xf x dx F x dx Từ đề: f t dt x (1) x2 x2 x2 F 1 F x F 1 dx F x dx dx 2 0 1 x2 dx Tương đương F 1 F x dx 0 1 1 Thay (1) vào (2) ta được: (2) xf x dx 1 Vậy 1 f x dx 3 Dấu ‚=‛ xảy f x x Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liện tục 0;1 thỏa mãn f 1 , 1 x f ' x dx x 1 e f x dx 0 A e B e2 Tính e f x dx C e Hướng dẫn giải: u f x du f ' x dx Xét I x 1 e x f x dx , đặt x x v xe dv x 1 e dx e2 e2 xe x f ' x dx Suy I xe f x xe f ' x dx 4 0 x 1 x Áp dụng hệ BĐT holder: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn D e 1 2 1 e2 x e2 2x xe f ' x dx x e dx f ' x dx 0 0 Dấu ‚=‛ xảy f ' x kxe Mà xe x f ' x dx x e2 k 1 Suy f x xe x dx x e x C Mà f 1 C Vậy f x x e x x e x dx e Bài Cho hàm số f x có đạo hàm dương liên tục 0;1 thỏa mãn f , 1 3 f ' x f x dx f ' x f x dx Tính f x dx 9 0 A B C Hướng dẫn giải: 1 1 D 1 Đề 3 f ' x f x dx f ' x f x dx 0 1 Áp dụng hệ BĐT holder: dx. f ' x f x dx 0 0 1 Suy Hay 1 f ' x f x dx 0 f ' x f x dx f ' x f x dx 1 f ' x f x dx 0 2 1 f ' x f x dx 1 f ' x f x dx 3k Dấu ‚=‛ xảy f' x f x k Xét f x 1 1 f ' x f x f ' x f x dx dx x C f x x 3C 9 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Vì f nên f x x f x dx Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục a; b thỏa mãn lim f x , lim f x f ' x f x b A x a x 1, x a; b Tìm giá trị nhỏ P b a B C D Hướng dẫn giải: Ta có: f ' x f x 1 f ' x f x 1 Lấy tích phân hai vế ta được: f ' x b f x a 1dx arctan f x a b b a arctan f b arctan f a b a Vì lim f x , lim f x nên b a x a x b Nhận xét: Khi hàm số f x cot x cận b , a dấu ‚=‛ xảy Bài Cho hàm số f x dương liên tục 1; thỏa mãn max f x 1;3 f x 1;3 A 3 1 biểu thức S f x dx. dx đạt GTLN, tính 1 f x B Hướng dẫn giải C D f x dx 1 f x f x 2 Từ đền suy f x 2, x 1; 3 nên , x 1; 3 f x 1 3 f x f x Lấy tích phân vế ta được: dx dx f x dx f x 1 f x Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Tương đương 2 3 3 25 5 25 f x dx f x dx dx 5 f x dx f x dx f x 1 3 Dấu ‚=‛ xảy f x dx x2 Bài Cho hàm số f x xác định liên tục 1; thỏa mãn f x dx x1 với x1 , x2 1; cho x1 x2 Tìm GTLN tích phân x23 x13 f x dx A B x23 x13 Ta có: x dx x1 x2 x2 f x x1 Hướng dẫn giải C x2 dx x dx x1 x D x2 x1 f x dx Do hàm f x x2 f x liên tục 1; nên: x2 f x f x x , x 1; Từ suy 2 1 f x dx f x dx xdx Dấu ‚=‛ xảy f x x ; x1 1; x2 x Bài 10 Cho hai hàm số f x không âm liên tục 0;1 Đặt g x f t dt ta giả sử có g x f x , x 0;1 Tìm GTLN tích phân g x dx A B Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 5 Hướng dẫn giải C D 13 F ' x f x Gọi F x hàm số thỏa mãn F x f t dt g x 2F x x Ta có F x g x f x f x F ' x Nháp: xét 2F x 1 2F x F ' x 2F x F ' x 1 2F x 1 dx x C F x x C Xét hàm số h x F x x C , x 0;1 Ta có h ' x 2F ' x 2F x nên h x nghịch biên 0;1 Suy h x h F C Ta có F f t dt nên h x C Ta chọn C cho C C Vậy 1 F x x g x x 1 g x dx BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f x không âm liên tục 0;1 Đặt x g x f t dt ta giả sử ln có g x f x , x 0;1 Tìm GTLN tích phân g x dx A B Biên soạn: Phạm Minh Tuấn C D ... 2 Hướng dẫn giải: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn f x dx 3 D M ; 2 Ta có: f ' x 6, x 0;1 f ' x f x f x , x 0;1 (1) Lấy tích phân hai vế BĐT... Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f f 1 f ' x 0, x 0;1 Biết tích phân 64 B f Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 2 x ... nhỏ tích phân A f 0 B 3 C f 0 D f 0 Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f , max f ' x 0;1 f x dx Gọi M giá trị lớn tích phân
Ngày đăng: 23/02/2018, 11:07
Xem thêm: Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – phạm minh tuấn